\section{多用户扩展}
\label{sec:multiSatMultiUser}

第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节假设单用户：所有 $L$ 颗卫星的方向与 Doppler 都由同一个 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 决定。本节将用户数从 $K=1$ 推广到一般 $K\ge1$，仍采用单帧静态模型和已知导频，各星采样时间基对齐、复增益独立未知。
数学上这只是把每个用户的参数 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ 独立堆叠；但物理上引入了第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节不存在的新问题——\emph{用户分离的可辨识性}。当两个用户的 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ 在所有 $L$ 条链路上同时接近时，集中似然曲面会出现伪极值，这一退化结构也是后续数据驱动的干扰参数补偿方法的自然接入位置。本节用几何直觉指出这一现象，不展开严格证明；详细 \gls{crb} 与多用户 \gls{fim} 分块推导见\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}。

\subsection{多用户信号模型}
\label{subsec:multiUserSignalModel}

设 $K$ 个单天线用户与 $L$ 颗卫星在同一观测块内并发上行已知导频，第 $k$ 个用户的全局 \gls{doa} 为 $\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$，对应的参考星归一化 Doppler 记为 $\nu_{\mathrm{ref},k}$。沿用第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的全局/局部映射与参考星参数化，第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的本地导向矢量记为 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$，其链路 Doppler 由几何映射给出
%
\begin{equation}
  \nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})
  \triangleq
  \nu_{\mathrm{ref},k}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi_k),
  \qquad
  \Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi_k)\equiv 0.
\end{equation}
%
注意 $\Delta\nu_\ell(\cdot)$ 由卫星几何决定，不依赖用户索引 $k$；$k$ 只通过 $\boldsymbol\xi_k$ 与 $\nu_{\mathrm{ref},k}$ 进入。

每个用户对每颗卫星都有一个未知复干扰系数 $\zeta_{\ell,k}\in\mathbb C$。第 $\ell$ 颗卫星在采样点 $t$ 的接收向量为各用户贡献的叠加：
%
\begin{equation}
  \mathbf y_\ell(t)
  =
  \sum_{k=1}^{K}
  \zeta_{\ell,k}
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
  s_k(t)
  e^{j\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})t}
  +
  \mathbf n_\ell(t),
  \qquad
  \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell}).
\end{equation}
%
其中 $s_k(t)$ 为第 $k$ 个用户的已知导频，可逐用户彼此不同；噪声仍假设星间异方差、星内同方差。

定义第 $(\ell,k)$ 对的时间模板与空时导向向量
%
\begin{equation}
  \mathbf q_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    s_k(0)e^{j\nu_{\ell,k}\cdot 0},
    \cdots,
    s_k(T-1)e^{j\nu_{\ell,k}(T-1)}
  \end{bmatrix}^\Tran
  \in\mathbb C^{T\times 1},
  \qquad
  \mathbf g_{\ell,k}
  \triangleq
  \mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}.
\end{equation}
%
将第 $\ell$ 颗卫星观测按列向量化为 $\tilde{\mathbf y}_\ell=\vect(\mathbf Y_\ell)$，则
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec4_vec_model}
  \tilde{\mathbf y}_\ell
  =
  \sum_{k=1}^{K}
  \zeta_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k}
  +
  \tilde{\mathbf n}_\ell
  =
  \mathbf G_\ell\boldsymbol\zeta_\ell
  +
  \tilde{\mathbf n}_\ell,
\end{equation}
%
其中
%
\begin{equation}
  \mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \big[
    \mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}
  \big]
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times K},
  \qquad
  \boldsymbol\zeta_\ell
  \triangleq
  \big[\zeta_{\ell,1},\ldots,\zeta_{\ell,K}\big]^\Tran,
\end{equation}
%
$\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq[\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran$。

\subsection{多用户主参数与干扰参数}

主参数堆叠为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}
  \triangleq
  \big[
    \boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},
    \ldots,
    \boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}
  \big]^\Tran
  \in\mathbb R^{3K}.
\end{equation}
%
干扰参数为各星各用户的复增益与噪声方差
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\psi_{\mathrm{mu}}
  =
  \Big[
    \{\zeta_{\ell,k}\}_{\ell,k},
    \{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}
  \Big]^\Tran.
\end{equation}
%
当 $K=1$ 时 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 退化为静态主参数 $\boldsymbol\eta$（式~\eqref{eq:eta_main}），对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节。

\subsection{联合似然与集中似然}

各星条件独立，圆对称复高斯，多用户联合负对数似然为
%
\begin{equation}
  \mathcal L_{\mathrm{mu}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{mu}})
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \left[
    M_\ell T\log\sigma_\ell
    +
    \frac{1}{\sigma_\ell}
    \left\|
      \tilde{\mathbf y}_\ell
      -
      \mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}})\boldsymbol\zeta_\ell
    \right\|_2^2
  \right].
\end{equation}
%
在 $\mathbf G_\ell$ 列满秩的假设下（要求 $K\le M_\ell T$ 且各列方向充分分离），对 $\boldsymbol\zeta_\ell$ 的闭式消元给出
%
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\zeta}_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
  =
  \big(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell\big)^{-1}
  \mathbf G_\ell^\Herm
  \tilde{\mathbf y}_\ell.
\end{equation}
%
代回并再对 $\sigma_\ell$ 轮廓化（与第~\ref{sec:det_doa_est} 节完全平行），得到多用户集中似然准则
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec4_concentrated}
  \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{mu}}
  =
  \argmin_{\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  M_\ell T
  \log
  \left[
    \tilde{\mathbf y}_\ell^\Herm
    \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}
    \tilde{\mathbf y}_\ell
  \right],
\end{equation}
%
其中 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}\triangleq\mathbf G_\ell(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm$，$\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}=\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$。详细矩阵代入见\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}。

若噪声方差已知，可退化为加权空时匹配形式
%
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{mu}}
  =
  \argmax_{\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \frac{1}{\sigma_\ell}
  \tilde{\mathbf y}_\ell^\Herm
  \mathcal P_{\mathbf G_\ell}
  \tilde{\mathbf y}_\ell.
\end{equation}
%
与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的单用户加权融合相比，差别在于每颗卫星的匹配子空间从一维 $\mathbf g_\ell$ 升级为 $K$ 维 $\mathbf G_\ell$ 列空间；多用户的耦合\emph{在每颗卫星内部}通过 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 的非对角元体现。

\subsection{逐星匹配输出与条件压缩}
\label{subsec:perSatSufficientStat}

在每一个候选参数处，集中似然 \eqref{eq:sec4_concentrated} 可由匹配输出 $\mathbf G_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell$、候选 Gram 矩阵 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 和总能量 $\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2$ 计算。由于 $\mathbf G_\ell$ 随候选参数改变，某一个候选点的匹配输出只足以评估该点的目标函数。保留整个搜索域上的集中似然，需要相应的匹配函数及总能量；有限网格仅给出该函数的离散近似。

当各用户的时间模板已知时，可以沿时间维匹配并保留空间维。第 $(\ell,k)$ 对的空间匹配输出为
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec4_matched_channel}
  \widehat{\mathbf h}_{\ell,k}
  \triangleq
  \frac{\mathbf Y_\ell\mathbf q_{\ell,k}^*}{\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2}
  \in\mathbb C^{M_\ell},
\end{equation}
%
记上行等效信道为 $\mathbf h_{\ell,k}=\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$，则匹配输出的均值为
%
\begin{equation}
  \mathbb E[\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}]
  =\mathbf h_{\ell,k}
   +\sum_{k'\ne k}\mathbf h_{\ell,k'}
     \frac{\mathbf q_{\ell,k}^{\Herm}\mathbf q_{\ell,k'}}
          {\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2}.
  \label{eq:sec4_matched_channel_mean}
\end{equation}
%
时间模板两两正交时，交叉项为零；仅有空间导向正交并不能消去这些交叉项。利用 $\mathbf g_{\ell,k}^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell=\|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$，当空时 Gram 矩阵趋于对角时，投影能量可写为
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec4_decoupled}
  \tilde{\mathbf y}_\ell^\Herm\mathcal P_{\mathbf G_\ell}\tilde{\mathbf y}_\ell
  \;\longrightarrow\;
  \sum_{k=1}^{K}
  \|\mathbf q_{\ell,k}\|_2^2\,
  \frac{\big|\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\big|^2}
       {\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\|_2^2},
\end{equation}
%
当时间模板已知且两两正交时，各用户的空间匹配输出可分别用于本地 \gls{doa} 估计。噪声方差已知时，这些输出保留关于空间信道的信息；噪声方差未知时，还需保留总能量以重建集中似然。时间模板非正交时，应保留模板 Gram 矩阵以及输出之间的相关性，按联合模型处理。多用户信息损失见\appref{subsec:E3_maiCrb}；可辨识模型中的信息损失不等于随信噪比提高仍不消失的误差地板。

这一压缩有两点限定，决定了它在后续跨星融合中的可用边界：
\begin{enumerate}
  \item \emph{已知模板与估计模板不同}。$\mathbf q_{\ell,k}$ 依赖未知 Doppler。用本地估计值代入后，$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 的误差还包含模板估计误差；Doppler 在观测块内恒定并不能保证这种压缩无损。
  \item \emph{$\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 不含匹配峰的位置}。它编码本星本地 \gls{doa}（$\mathbf a_\ell$ 的方向）与复增益（幅度与相位），但匹配峰在 Doppler（及后续时延）网格上的\emph{位置}是形成 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$ 时所匹配的模板取值，须作为独立标量另行保留。故仅由 $\{\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$ 可重建各星本地 \gls{doa} 与相位，而跨星测距、测速所需的时延差与 Doppler 差还需保留这些峰位标量。这一区分在第~\ref{sec:userPositioning}--\ref{sec:timestampError} 节引入传播时延后，成为跨星差分能否干净取出到达时间差的关键。
\end{enumerate}

\subsection{用户分离的可辨识性}
\label{subsec:userSeparability}

\eqref{eq:sec4_concentrated} 的目标函数依赖于矩阵 $\mathbf G_\ell$ 是否列满秩。考虑两个用户 $(k,k')$，其空时导向向量在第 $\ell$ 颗卫星上的内积
%
\begin{equation}
  \rho_{\ell,kk'}
  \triangleq
  \frac{\big|\mathbf g_{\ell,k}^\Herm\mathbf g_{\ell,k'}\big|}
       {\|\mathbf g_{\ell,k}\|_2\,\|\mathbf g_{\ell,k'}\|_2}
\end{equation}
%
描述了二者在该卫星空时维度上的相干度。$\rho_{\ell,kk'}$ 由三个因素共同决定：
\begin{enumerate}
  \item 局部导向矢量相干 $\dfrac{|\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})|}{\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\|\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})\|}$，反映两个用户在该星本地角度域的分离；
  \item 时间模板相干 $\dfrac{|\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}|}{\|\mathbf q_{\ell,k}\|\|\mathbf q_{\ell,k'}\|}$，由 Doppler 差 $\nu_{\ell,k}-\nu_{\ell,k'}$ 与导频互相关共同决定；
  \item 二者通过 Kronecker 积联立后的乘积形式。
\end{enumerate}
当所有 $L$ 颗星上 $\rho_{\ell,kk'}\to1$ 时，模板矩阵趋于病态；在模板完全相同的极限，两个复增益无法分别辨识。方向与 Doppler 是否同时失去可辨识性，还取决于模板对这些参数的导数。

局部可辨识性的判据是：先逐星消去复增益的导数子空间，再将白化后的主参数 Jacobian 堆叠并实化，其秩应为 $3K$，见 \eqref{eq:E2_identifiability_rank}。不同卫星提供的导数信息可以互补，因此某一颗卫星上的分离困难不必导致整体不可辨识。

模板相干度可用于描述分离难度，最终的局部可辨识性仍按上述秩条件判断。各星复增益独立未知，不能用 $\sum_\ell\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 的可逆性代替这一检查。

\subsection{分离的低复杂度路径：字典化与稀疏恢复}
\label{subsec:dictSparseSeparation}

\eqref{eq:sec4_concentrated} 的联合分离对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影，每次目标评估含 $K\times K$ 矩阵求逆、复杂度 $O(K^3)$，并需对连续的延时--Doppler--角度参数良好初始化。一条等价的低复杂度路径是把延时--Doppler 平面离散为网格，将分离改写为对一个\emph{已知}字典的\emph{行稀疏}恢复 $\mathbf Y_\ell^\Tran=\mathbf Q_\ell\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran$：字典原子为各用户码在各网格点的时间模板，活跃用户对应少数非零行，行值即其空间信道 $\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}$、行所在网格点即 $(\hat\tau_{\ell,k},\hat\nu_{\ell,k})$，与第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户输出一致。该行稀疏问题可由近似消息传递（AMP）或稀疏贝叶斯学习（SBL）以每星每迭代近线性于问题规模的代价求解，替代联合最大似然的 $O(K^3)$，离格误差以粗网格定位加局部细化补偿。字典构造、AMP/SBL 不动点迭代与去噪算子的完整推导见\appref{sec:dictSeparationAmp}。

本节完成了多用户主线静态基线：用户索引 $k$ 进入 $\boldsymbol\xi_k$、$\nu_{\mathrm{ref},k}$、$\zeta_{\ell,k}$、$s_k(t)$，集中似然仍可写为对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影的加权和，但矩阵 $\mathbf G_\ell$ 的良态性约束了用户分离的可辨识性。
下一节将沿\emph{观测窗口}维度推进，把单帧推广为多帧观测窗口，引入跨帧绝对相位连续性。