\section{时间戳误差及其估计影响}
\label{sec:timestampError}

前面的多星模型采用共同的采样时间基和时间原点，各星复增益仍独立未知。实际系统中，各星对采样时刻的标记可能存在偏差，使相同时间标签对应不同的物理时刻。这里讨论这种时间戳误差；星间载波相位已知与否是另一项假设，第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst}~节的连续相位结构则约束同一颗卫星的跨帧相位。
本节在单帧已知导频模型中加入逐星未知时间戳误差 $\delta_\ell$，参考星取 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0$，仍不引入独立的星间频偏。先分析方向模型中的导频时移，再讨论位置模型中传播时延与时间戳的混淆。
时间戳误差使导频包络平移，并产生一个恒定的 Doppler 相位偏移。在本节的自由复增益模型下，恒定相位可由复增益吸收，剩余影响由包络时移及其与主参数的耦合决定。小偏移时可在零偏移附近展开；偏移较大时使用完整时移模型。两种情况下均可计算局部 \gls{efim}，详细推导见\appref{sec:timestampErrCrb}。

\subsection{时间戳误差与扰动信号模型}
\label{subsec:perturbedSignalModel}

把时间戳误差定义为采样点的名义时刻减去实际时刻，以采样点数为单位。因此，标签为 $t$ 的样本对应实际时刻 $t-\delta_\ell$。以参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 为基准，令 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$，其余卫星满足
%
\begin{equation}
  \delta_\ell\in\mathbb R,
  \qquad
  \ell\neq\ell_{\mathrm{ref}},
\end{equation}
%
对应的物理时间误差为 $\delta\tau_\ell=\delta_\ell T_{\mathrm{s}}$（秒）。$\delta_\ell$ 可正可负，不要求为整数采样。所有非参考星时间戳误差堆叠为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\delta
  \triangleq
  \big[\delta_\ell\big]_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}
  \in\mathbb R^{L-1}.
\end{equation}

在第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节的多用户基线上，第 $\ell$ 颗卫星按实际时刻 $t-\delta_\ell$ 观测信号：
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec5_signal_model}
  \mathbf y_\ell(t)
  =
  \sum_{k=1}^{K}
  \zeta_{\ell,k}
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
  s_k(t-\delta_\ell)
  e^{j\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})(t-\delta_\ell)}
  +
  \mathbf n_\ell(t).
\end{equation}
%
即采样网格保持 $t=0,1,\ldots,T-1$，但被采样的连续时间标记从 $t$ 变为 $t-\delta_\ell$。
窄带阵列假设下 $\mathbf a_\ell$ 与瞬时时间无关，故 $\delta_\ell$ 不进入空间导向矢量；它只通过\emph{导频时间偏移}与\emph{Doppler 相位偏移}两条途径出现在均值向量中。

\subsection{相位偏移耦合与导频时间偏移}

将 \eqref{eq:sec5_signal_model} 中复指数项展开
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec5_phase_decomp}
  e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}
  =
  e^{-j\nu_{\ell,k}\delta_\ell}
  \cdot
  e^{j\nu_{\ell,k}t},
\end{equation}
%
可见 $\delta_\ell$ 与 $\nu_{\ell,k}$ 以乘积形式产生一个与时间无关的相位常数 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$。
若把该常数吸入复增益，定义\emph{等效复增益}
%
\begin{equation}
  \bar\zeta_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell)
  \triangleq
  \zeta_{\ell,k}e^{-j\nu_{\ell,k}\delta_\ell},
\end{equation}
%
则模型可改写为
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec5_absorbed_model}
  \mathbf y_\ell(t)
  =
  \sum_{k=1}^{K}
  \bar\zeta_{\ell,k}
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
  s_k(t-\delta_\ell)
  e^{j\nu_{\ell,k}t}
  +
  \mathbf n_\ell(t).
\end{equation}
%
这一重写说明了两种作用的区别：
\begin{enumerate}
  \item \emph{恒定相位由复增益吸收}。给定主参数和 $\delta_\ell$，$\zeta_{\ell,k}$ 与 $\bar\zeta_{\ell,k}$ 一一对应，后者仍可作为自由复干扰参数。消去复增益后，恒定相位不再提供独立的时间戳信息，也不单独造成 Doppler 信息损失。
  \item \emph{包络时移决定剩余影响}。一般导频的 $s_k(t-\delta_\ell)$ 不能用一个复标量表示。其导数在复增益子空间之外的分量提供时间戳信息，并可能与 Doppler 等主参数的有效导数重叠。若导频为单音，时移仅改变复幅度，则时间戳不可辨识，但不会因此使 Doppler 不可辨识。
\end{enumerate}

\subsection{适用性边界：小误差 vs.\ 大误差}
\label{subsec:timestampApplicability}

记导频自相关的特征宽度为 $T_{\mathrm{ac}}$（以采样点数计）。它可用于判断零偏移附近的包络展开是否合适，实际误差还取决于导频的导数和观测窗口：

\begin{itemize}
  \item \textbf{小偏移近似}：当 $|\delta_\ell|\ll T_{\mathrm{ac}}$ 且高阶余项足够小时，采用 $s_k(t-\delta_\ell)\approx s_k(t)-\delta_\ell\dot s_k(t)$。由此得到零偏移附近的信息矩阵，见\appref{subsec:F2_schurDelta}。Schur 补需在可辨识的干扰参数子空间上计算。
  \item \textbf{完整时移模型}：偏移较大时，直接使用 $s_k(t-\delta_\ell)$ 及其导数计算局部 \gls{efim}，见\appref{subsec:F3_numericalEfim}。如果似然存在多个峰，还需分析全局搜索和跳峰误差；局部 \gls{crb} 本身不能预测这些误差。
\end{itemize}

小偏移展开与完整模型的选择取决于近似精度；局部界与全局误差分析的区别取决于估计是否落在正确峰附近。两者应分别判断。

\subsection{联合似然与 EFIM 结构概览}

把第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的主参数与干扰参数集合扩展为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta
  =
  \boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}
  \in\mathbb R^{3K},
  \qquad
  \boldsymbol\psi
  =
  \Big[
    \boldsymbol\delta^\Tran,
    \big\{\zeta_{\ell,k}\big\}_{\ell,k},
    \big\{\sigma_\ell\big\}_{\ell=0}^{L-1}
  \Big]^\Tran,
\end{equation}
%
需要强调：本节\emph{不}把 $\delta_\ell$ 升格为主参数——任务目标仍是估计 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$，$\delta_\ell$ 只是因星间时钟不可信而引入的干扰参数。各星条件独立的圆对称复高斯负对数似然
%
\begin{equation}
  \mathcal L(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi)
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \left[
    M_\ell T\log\sigma_\ell
    +
    \frac{1}{\sigma_\ell}
    \sum_{t=0}^{T-1}
    \left\|
      \mathbf y_\ell(t)
      -
      \sum_{k=1}^{K}\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)s_k(t-\delta_\ell)e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}
    \right\|_2^2
  \right]
\end{equation}
%
关于 $(\boldsymbol\zeta,\sigma_\ell)$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节平行，差别仅在 $\mathbf g_{\ell,k}$ 现在依赖 $\delta_\ell$。

记完整实参数向量
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\kappa
  =
  \big[
    \boldsymbol\eta^\Tran,\,
    \boldsymbol\delta^\Tran,\,
    \boldsymbol\psi_{\zeta}^\Tran
  \big]^\Tran,
\end{equation}
%
其中 $\boldsymbol\psi_\zeta$ 为各 $\zeta_{\ell,k}$ 的实部/虚部堆叠（噪声方差仅进入协方差、与均值参数解耦，下同\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}）。\gls{fim}按 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\delta,\boldsymbol\psi_\zeta)$ 分块为
%
\begin{equation}
  \mathcal I(\boldsymbol\kappa)
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathcal I_{\eta\eta} & \mathcal I_{\eta\delta} & \mathcal I_{\eta\psi}\\
    \mathcal I_{\delta\eta} & \mathcal I_{\delta\delta} & \mathcal I_{\delta\psi}\\
    \mathcal I_{\psi\eta} & \mathcal I_{\psi\delta} & \mathcal I_{\psi\psi}
  \end{bmatrix}.
\end{equation}
%
先消去复增益，再消去可辨识的时间戳参数，得到关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec5_efim}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
  =
  \mathcal I_{\eta\eta}'
  -
  \mathcal I_{\eta\delta}'\,
  (\mathcal I_{\delta\delta}')^{-1}\,
  \mathcal I_{\delta\eta}',
\end{equation}
%
其中 $\mathcal I'_{\cdot\cdot}$ 表示在复增益块消去后剩余的中间 Fisher 块。
\eqref{eq:sec5_efim} 的解析形式只在小误差区可写完整闭式；大误差区下右端各项需逐 $\delta_\ell$ 取值数值评估。详细分块表达、数值评估流程与 $K=1, L=2$ 最简情形的闭式结果见\appref{sec:timestampErrCrb}。

\subsection{时延通道下的时间戳混淆与多用户解}
\label{subsec:tauDeltaConfound}

方向模型中，时间戳通过导频包络时移进入观测，其对主参数的影响由消去复增益后的交叉信息决定。在第~\ref{sec:userPositioning}~节的位置模型中，导频包络还包含传播时延，因而时间戳与几何时延直接相加。
把 $\delta_\ell$ 叠加到含时延的位置模型，第 $\ell$ 星导频包络为 $s\big(t-\tau_\ell(\mathbf p)-\delta_\ell\big)$，观测到的总时延为
%
\begin{equation}
  \tau_\ell(\mathbf p)+\delta_\ell
  =\tau_{\mathrm{ref}}+\Delta\tau_\ell(\mathbf p)+\delta_\ell.
\end{equation}
%
对参考星作差可消去公共的 $\tau_{\mathrm{ref}}$，得到观测时延差 $\Delta\tau_\ell(\mathbf p)+\delta_\ell$。仅凭这一时延差，不能分别确定几何时延与时间戳误差；还需其他几何观测或参数约束。

在 Fisher 信息层面，群时延模型下（载波相位吸入 $\zeta_\ell$）$\delta_\ell$ 只经包络进入，其对均值向量的导数 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\delta_\ell=\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$ 与时延模板同形，与参考时延列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\tau_{\mathrm{ref}}$ 完全相同、与位置列的时延贡献共线。由此分两种情形：
\begin{itemize}
  \item \textbf{单用户}：每颗非参考星的自由 $\delta_\ell$ 可吸收该星的几何时延变化。进一步消去参考时延后，包络时移不再提供独立的位置信息。位置是否仍可辨识，取决于角度和差分 Doppler 的几何约束。
  \item \textbf{多用户}：每颗星的 $\delta_\ell$ 被各用户共享。在用户时延有效导数彼此独立时，消去这一实参数后，每星可保留 $K-1$ 个用户间相对时延方向。它们能否转化为独立的位置信息，还需结合参考时延参数、用户分离和卫星几何检验整体 Jacobian 的秩。
\end{itemize}
共享时间戳使不同用户的相对时延有可能保留信息，但用户数增加本身并不保证位置与时间戳均可辨识。单用户也可能依靠角度与差分 Doppler 确定位置，再由时延估计时间戳。相关投影关系见\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}。

\subsection{忽略时间戳误差时的 MCRB}
\label{subsec:mcrbIgnoreDelta}

\eqref{eq:sec5_efim} 的 \gls{efim} 对应``把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数一并估计''的情形，代价是主参数信息被 Schur 补扣减、\gls{crb} 抬高。与之互补的是另一种工程上常见的处理：估计器\emph{假设星间已同步}（令 $\delta_\ell\equiv 0$）、不把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型以省去这部分参数。此时真值含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$、估计器却以 $\delta=0$ 的似然拟合，构成\emph{模型误指定}，其性能由 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015} 而非 \gls{crb} 刻画。误指定最大似然（\gls{mml}）估计器不再收敛到真值 $\boldsymbol\eta^\star$，而是收敛到使 \gls{kl} 散度最小的\emph{伪真值} $\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$，其绕真值的均方误差由两部分组成
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec5_mcrb}
  \mathbb E\big[(\widehat{\boldsymbol\eta}-\boldsymbol\eta^\star)(\widehat{\boldsymbol\eta}-\boldsymbol\eta^\star)^\Tran\big]
  \succeq
  \underbrace{\mathbf A^{-1}\mathbf B\,\mathbf A^{-1}}_{\text{绕 }\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}\text{ 的方差}}
  +
  \underbrace{(\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}-\boldsymbol\eta^\star)(\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}-\boldsymbol\eta^\star)^\Tran}_{\text{忽略 }\boldsymbol\delta\text{ 引入的偏置}}.
\end{equation}
%
与 \gls{efim} 路线``估计 $\boldsymbol\delta$ 而损失方差''相对，\gls{mcrb} 路线是``忽略 $\boldsymbol\delta$ 而换来偏置''；两者孰优取决于 $\boldsymbol\delta^\star$ 的量级。sandwich（夹心型，指 $\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$ 形式）矩阵 $\mathbf A$、$\mathbf B$ 的 Slepian--Bangs 闭式、伪真值与偏置的一阶表达，以及 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf 0$ 退回 \gls{crb} 的一致性，见\appref{subsec:F5_mcrb}。

在位置模型中，偏置由时间戳有效导数与位置有效导数的交叉信息决定。传播时延是误差进入几何估计的一条途径，但经过联合求逆后，位置偏置通常不局限于某个径向方向。角度观测本身不含时间戳，也不意味着联合位置估计的横向分量必然无偏。

需要强调，上述 \gls{crb}、\gls{efim} 与 \gls{mcrb} 都是局部（小误差）刻画：少用户下``位置--时间戳''模糊带来的信息损失已由 \gls{efim} 的 $\delta$-边缘化惩罚承载（\appref{sec:timestampErrCrb}），无需另立界；门限以下的大误差则属失效区行为。作为主线之外的扩展，误指定 Barankin 与 Ziv--Zakai 门限界见\appref{sec:thresholdBounds}，主线不依赖它们。

本节给出了时间戳误差下的联合模型与局部信息分析。自由复增益吸收恒定相位，包络时移决定剩余信息损失；忽略可观测的包络时移时，还可能产生模型失配偏置。在位置模型中，自由逐星时间戳可吸收单用户的差分时延信息，多用户共享结构则可能保留用户间的相对时延约束。
至此，多星主线从单阵列 \gls{doa} 递进到含时延、Doppler 与时间戳的多用户协同定位模型；亚波长载波相位干涉与移动用户测速作为更强但要求更苛的通道，可正交叠加于此。