\section{多星静态模型 CRB}
\label{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}

本附录给出与正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节、第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节相对应的多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合估计 \gls{crb}。E.1 给出单用户多星基线（沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节的模型），E.2 给出多用户扩展（沿用第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的模型）。两者共享 ``联合堆叠 + 复增益 Schur 补'' 的推导框架，差别仅在均值向量参数化与 Jacobian 维度。

本文统一采用 $\mathcal I$ 表示 \gls{fim}，$\mathbf I$ 表示单位阵，$\mathcal P$ 表示投影矩阵。
正文中的静态干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 同时包含复增益和噪声方差。本附录在构造主参数 \gls{efim} 时，只显式保留影响均值向量的复增益干扰参数；噪声方差只进入协方差，并与均值参数 Fisher 块解耦，因此不改变下面关于复增益的 Schur 补形式。

\subsection{单用户多星 CRB}
\label{subsec:E1_singleUserMultiSatCrb}

本小节对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节，主参数仍记为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta
  =
  \begin{bmatrix}
    \alpha \\
    \beta \\
    \nu_{\mathrm{ref}}
  \end{bmatrix}
  \in \mathbb R^{3}.
\end{equation}
%
与\appref{sec:det_doa_doppler_crb} 的单阵列情形相比，这里需要先联合堆叠 $L$ 颗协作卫星的观测，再将各星复干扰系数视为干扰参数并通过 Schur 补得到 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim}。

\subsubsection{联合观测模型与 Fisher 信息矩阵通式}

沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节中的向量化观测模型，第 $\ell$ 颗卫星的均值向量可写为 $\zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta)$。为便于后续统一构造 \gls{fim}，本小节先将所有卫星观测按块联合堆叠。

对于第 $\ell$ 颗卫星，向量化后的观测模型为
%
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}_\ell
  =
  \zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta)
  +
  \tilde{\mathbf n}_\ell,
  \qquad
  \tilde{\mathbf n}_\ell \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell \mathbf I_{M_\ell T}),
  \quad \ell=0,1,\ldots,L-1,
\end{equation}
%
其中
%
\begin{equation}
  \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta)
  \triangleq
  \mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) \otimes \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  \in \mathbb C^{M_\ell T \times 1},
\end{equation}
%
$\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sigma_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星对应的噪声方差。

将所有卫星的观测联合堆叠，定义
%
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    \tilde{\mathbf y}_0 \\
    \vdots \\
    \tilde{\mathbf y}_{L-1}
  \end{bmatrix},
  \qquad
  \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    \zeta_0 \mathbf g_0(\boldsymbol\eta) \\
    \vdots \\
    \zeta_{L-1} \mathbf g_{L-1}(\boldsymbol\eta)
  \end{bmatrix},
  \qquad
  \tilde{\mathbf n}
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    \tilde{\mathbf n}_0 \\
    \vdots \\
    \tilde{\mathbf n}_{L-1}
  \end{bmatrix},
\end{equation}
%
则有
%
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y} = \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa) + \tilde{\mathbf n},
  \qquad
  \tilde{\mathbf n} \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\mathbf R_n),
\end{equation}
%
其中
%
\begin{equation}
  \mathbf R_n
  =
  \operatorname{blkdiag}
  \big(
    \sigma_0 \mathbf I_{M_0 T},
    \ldots,
    \sigma_{L-1} \mathbf I_{M_{L-1} T}
  \big).
\end{equation}

将各星复干扰系数按实部和虚部分解为
%
\begin{equation}
  \zeta_\ell = \zeta_\ell^{(r)} + j\zeta_\ell^{(i)},
\end{equation}
%
并定义实参数化后的均值干扰参数向量
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\psi_{\zeta}
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    \zeta_0^{(r)} & \zeta_0^{(i)} & \cdots & \zeta_{L-1}^{(r)} & \zeta_{L-1}^{(i)}
  \end{bmatrix}^{\Tran}
  \in \mathbb R^{2L}.
\end{equation}
%
于是总实参数向量可写为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\kappa
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    \boldsymbol\eta^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\zeta}^{\Tran}
  \end{bmatrix}^{\Tran}
  \in \mathbb R^{2L+3}.
\end{equation}

由于当前均值参数仅通过均值项 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)$ 进入，而协方差矩阵 $\mathbf R_n$ 与 $\boldsymbol\kappa$ 无关，由复 Gauss 模型的 Slepian--Bangs 公式~\cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993,vantreesOptimumArrayProcessing2002}，对任意两个实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，\gls{fim}元素满足
%
\begin{equation}
  [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij}
  =
  2\Re\left\{
    \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i}
    \mathbf R_n^{-1}
    \frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_j}
  \right\}.
  \label{eq:A6_fim_general}
\end{equation}

\subsubsection{\texorpdfstring{关于 $\boldsymbol\eta$ 的导数}{关于主参数 eta-stat 的导数}}

由第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节，单位方向向量为
%
\begin{equation}
  \mathbf u(\boldsymbol\xi)
  =
  \begin{bmatrix}
    \cos\beta\cos\alpha \\
    \cos\beta\sin\alpha \\
    \sin\beta
  \end{bmatrix},
\end{equation}
%
其关于全局角度参数的一阶导数为
%
\begin{equation}
  \mathbf u_{\alpha}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf u}{\partial \alpha}
  =
  \begin{bmatrix}
    -\cos\beta\sin\alpha \\
    \cos\beta\cos\alpha \\
    0
  \end{bmatrix},
  \qquad
  \mathbf u_{\beta}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf u}{\partial \beta}
  =
  \begin{bmatrix}
    -\sin\beta\cos\alpha \\
    -\sin\beta\sin\alpha \\
    \cos\beta
  \end{bmatrix}.
\end{equation}

根据第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化，静态模型中第 $\ell$ 颗卫星对应的归一化 Doppler 统一写成
%
\begin{equation}
  \nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  =
  f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  =
  \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
\end{equation}
%
其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知几何、速度与姿态关系确定，且对参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 有
%
\begin{equation}
  f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  =
  \nu_{\mathrm{ref}}.
\end{equation}
%
因此其一阶导数统一写为
%
\begin{equation}
  \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \alpha}
  =
  \frac{\partial \Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial \alpha},
  \qquad
  \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \beta}
  =
  \frac{\partial \Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial \beta},
  \qquad
  \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1.
  \label{eq:A6_domega}
\end{equation}
%
上式利用了正文中采用的
$\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$
这一参考星链路参数化形式。特别地，对参考星有
$\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)=0$，因而
$\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\alpha=0$、
$\partial\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial\beta=0$。若改用别的等价参数化，只需将上述三个 Doppler 链式导数替换为对应结果即可。

再定义第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的来向向量
%
\begin{equation}
  \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}
  =
  \boldsymbol{\Omega}_\ell^{\Tran}\mathbf u
  =
  \begin{bmatrix}
    u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}} & u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}} & u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}
  \end{bmatrix}^{\Tran}.
\end{equation}
%
相应的局部角度为
%
\begin{equation}
  \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}
  =
  \operatorname{atan2}\big(u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}},u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\big),
  \qquad
  \beta_\ell^{\mathrm{loc}}
  =
  \arcsin\big(u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}\big).
\end{equation}

对任意 $x\in\{\alpha,\beta\}$，有
%
\begin{equation}
  \frac{\partial \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x}
  =
  \boldsymbol{\Omega}_\ell^{\Tran}\mathbf u_x.
\end{equation}
%
进一步可得
%
\begin{equation}
  \frac{\partial \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x}
  =
  \frac{
    u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\,\dfrac{\partial u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}}{\partial x}
    -
    u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}\,\dfrac{\partial u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}}{\partial x}
  }{
    \big(u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\big)^2 + \big(u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}\big)^2
  },
  \qquad
  \frac{\partial \beta_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x}
  =
  \frac{\dfrac{\partial u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}}{\partial x}}{\sqrt{1-\big(u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}\big)^2}}.
  \label{eq:A6_local_angle_chain}
\end{equation}

记局部阵列导向矢量关于局部方位角和局部俯仰角的一阶导数分别为
%
\begin{equation}
  \dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}},
  \qquad
  \dot{\mathbf a}_{\ell,\beta}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \beta_\ell^{\mathrm{loc}}}.
\end{equation}
%
则对任意 $x\in\{\alpha,\beta\}$，根据链式法则有
%
\begin{equation}
  \mathbf a_{\ell,x}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial x}
  =
  \dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha}\frac{\partial \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x}
  +
  \dot{\mathbf a}_{\ell,\beta}\frac{\partial \beta_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial x}.
  \label{eq:A6_da_chain}
\end{equation}

由第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的离散时间模板定义，
%
\begin{equation}
  [\mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})]_t
  =
  s(t)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})t},
  \qquad t=0,1,\ldots,T-1.
\end{equation}
%
因此其关于 $\nu_\ell$ 的导数为
%
\begin{equation}
  \dot{\mathbf q}_\ell
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_\ell}
  =
  j\,\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)\,\mathbf q_\ell.
  \label{eq:A6_qdot}
\end{equation}
%
从而对任意 $x\in\{\alpha,\beta\}$，有
%
\begin{equation}
  \mathbf q_{\ell,x}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial x}
  =
  \dot{\mathbf q}_\ell\frac{\partial \nu_\ell}{\partial x},
  \qquad
  \mathbf q_{\ell,\nu}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}
  =
  \dot{\mathbf q}_\ell\frac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}
  =
  \dot{\mathbf q}_\ell.
  \label{eq:A6_dq}
\end{equation}
%
其中最后一步同样利用了
$\partial \nu_\ell/\partial \nu_{\mathrm{ref}}=1$。

对空时导向向量
$\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$
应用 Kronecker 积求导法则，可得
%
\begin{equation}
  \mathbf d_{\ell,\alpha}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf g_\ell}{\partial \alpha}
  =
  \mathbf q_\ell \otimes \mathbf a_{\ell,\alpha}
  +
  \mathbf q_{\ell,\alpha} \otimes \mathbf a_\ell,
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf d_{\ell,\beta}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf g_\ell}{\partial \beta}
  =
  \mathbf q_\ell \otimes \mathbf a_{\ell,\beta}
  +
  \mathbf q_{\ell,\beta} \otimes \mathbf a_\ell,
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf d_{\ell,\nu}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf g_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}
  =
  \mathbf q_{\ell,\nu} \otimes \mathbf a_\ell
  =
  \dot{\mathbf q}_\ell \otimes \mathbf a_\ell.
\end{equation}
%
进一步定义
%
\begin{equation}
  \mathbf D_\ell
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    \mathbf d_{\ell,\alpha} & \mathbf d_{\ell,\beta} & \mathbf d_{\ell,\nu}
  \end{bmatrix}
  \in \mathbb C^{M_\ell T \times 3}.
  \label{eq:A6_Dl}
\end{equation}

\subsubsection{Fisher 信息矩阵的分块构造}

对第 $\ell$ 颗卫星，其均值向量为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\kappa)
  =
  \zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta).
\end{equation}
%
因此，其关于主参数向量 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 为
%
\begin{equation}
  \mathbf J_{\eta,\ell}
  \triangleq
  \frac{\partial \boldsymbol\mu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta}
  =
  \zeta_\ell \mathbf D_\ell
  \in \mathbb C^{M_\ell T \times 3},
  \label{eq:A6_Jeta}
\end{equation}
%
而其关于本星复干扰系数实部与虚部的 Jacobian 为
%
\begin{equation}
  \mathbf J_{\psi,\ell}
  \triangleq
  \frac{\partial \boldsymbol\mu_\ell}{\partial
  \begin{bmatrix}
    \zeta_\ell^{(r)} & \zeta_\ell^{(i)}
  \end{bmatrix}^{\Tran}}
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell
  \end{bmatrix}
  \in \mathbb C^{M_\ell T \times 2}.
  \label{eq:A6_Jpsi}
\end{equation}

由于不同卫星噪声相互独立，总 \gls{fim}可按卫星求和。记总 \gls{fim}关于 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\zeta})$ 的分块形式为
%
\begin{equation}
  \mathcal I(\boldsymbol\kappa)
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathcal I_{\eta\eta} & \mathcal I_{\eta\psi} \\
    \mathcal I_{\psi\eta} & \mathcal I_{\psi\psi}
  \end{bmatrix},
\end{equation}
%
则根据 \eqref{eq:A6_fim_general} 有
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\eta\eta}
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \frac{2}{\sigma_\ell}
  \Re\left\{
    \mathbf J_{\eta,\ell}^{\Herm}\mathbf J_{\eta,\ell}
  \right\},
  \label{eq:A6_Itt}
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathcal I_{\eta\psi}
  =
  \begin{bmatrix}
    \dfrac{2}{\sigma_0}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\}
    & \cdots &
    \dfrac{2}{\sigma_{L-1}}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\}
  \end{bmatrix},
  \label{eq:A6_Itb}
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathcal I_{\psi\psi}
  =
  \operatorname{blkdiag}
  \left(
    \frac{2}{\sigma_0}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\},
    \ldots,
    \frac{2}{\sigma_{L-1}}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\}
  \right).
  \label{eq:A6_Ibb}
\end{equation}

\subsubsection{\texorpdfstring{消去复干扰系数后的 \gls{efim}}{消去复干扰系数后的 EFIM}}

由于 $\boldsymbol\psi_{\zeta}$ 是均值干扰参数，主参数向量 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim} 为
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
  =
  \mathcal I_{\eta\eta}
  -
  \mathcal I_{\eta\psi}
  \mathcal I_{\psi\psi}^{-1}
  \mathcal I_{\psi\eta}.
  \label{eq:A6_schur}
\end{equation}

对每颗卫星，复增益实部和虚部对应的 Jacobian 为
$\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个列向量对应的是实参数化下的二维实线性干扰子空间，但其等价于由 $\mathbf g_\ell$ 张成的复一维子空间；相应的 Schur 补可以写成对该复一维子空间的正交投影形式。定义投影矩阵及其正交补为
%
\begin{equation}
  \mathcal P_{\mathbf g_\ell}
  \triangleq
  \mathbf g_\ell(\mathbf g_\ell^{\Herm}\mathbf g_\ell)^{-1}\mathbf g_\ell^{\Herm},
  \qquad
  \mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}
  \triangleq
  \mathbf I_{M_\ell T} - \mathcal P_{\mathbf g_\ell}.
  \label{eq:A6_proj}
\end{equation}
%
将 \eqref{eq:A6_Jeta}--\eqref{eq:A6_proj} 代入 \eqref{eq:A6_schur} 并整理，可得
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
  =
  2\sum_{\ell=0}^{L-1}
  \frac{1}{\sigma_\ell}
  \Re\left\{
    \mathbf J_{\eta,\ell}^{\Herm}
    \mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}
    \mathbf J_{\eta,\ell}
  \right\}.
  \label{eq:A6_Ieff_proj}
\end{equation}
%
再利用 $\mathbf J_{\eta,\ell}=\zeta_\ell\mathbf D_\ell$，得到紧凑形式
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
  =
  2\sum_{\ell=0}^{L-1}
  \frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell}
  \Re\left\{
    \mathbf D_\ell^{\Herm}
    \mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}
    \mathbf D_\ell
  \right\}.
  \label{eq:A6_Ieff_final}
\end{equation}
%
式~\eqref{eq:A6_Ieff_final} 即为静态多阵列确定信号 \gls{doa}--Doppler 联合估计的 \gls{efim}。

\subsubsection{CRB 表达式}

因此，联合参数向量 $\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb} 为
%
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta)
  =
  \mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta).
  \label{eq:A6_crb_joint}
\end{equation}

若仅关心角度参数
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\xi
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    \alpha \\
    \beta
  \end{bmatrix},
\end{equation}
%
则将 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 按 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}} & \mathcal I_{\mathrm{ang},\nu} \\
    \mathcal I_{\nu,\mathrm{ang}} & \mathcal I_{\nu\nu}
  \end{bmatrix},
\end{equation}
%
其中 $\mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}}\in\mathbb R^{2\times 2}$，$\mathcal I_{\mathrm{ang},\nu}\in\mathbb R^{2\times 1}$，则 \gls{doa} 参数的等效 \gls{crb} 为
%
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}(\boldsymbol\xi)
  =
  \left(
    \mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}}
    -
    \mathcal I_{\mathrm{ang},\nu}\,\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\,\mathcal I_{\nu,\mathrm{ang}}
  \right)^{-1}.
  \label{eq:A6_crb_ang}
\end{equation}
%
类似地，仅参考归一化 Doppler 参数 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 \gls{crb} 为
%
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}(\nu_{\mathrm{ref}})
  =
  \left(
    \mathcal I_{\nu\nu}
    -
    \mathcal I_{\nu,\mathrm{ang}}\,\mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}}^{-1}\,\mathcal I_{\mathrm{ang},\nu}
  \right)^{-1}.
  \label{eq:A6_crb_omega}
\end{equation}

\subsubsection{备注}

\begin{enumerate}
  \item 若所有卫星噪声方差相同，即 $\sigma_\ell=\sigma$，则 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 退化为
  \begin{equation}
    \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
    =
    \frac{2}{\sigma}
    \sum_{\ell=0}^{L-1}
    |\zeta_\ell|^2
    \Re\left\{
      \mathbf D_\ell^{\Herm}\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}\mathbf D_\ell
    \right\}.
  \end{equation}

  \item 若进一步将噪声方差 $\{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}$ 也并入待估参数，则协方差项仅对这些方差参数自身有贡献，且与均值参数块解耦。具体而言，若把第 $\ell$ 条链路的方差参数取为 $\sigma_\ell$，则有
  \begin{equation}
    [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell}
    =
    \frac{M_\ell T}{\sigma_\ell^2},
    \qquad
    [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma_\ell,i}=0,
    \quad i\neq \sigma_\ell,
  \end{equation}
%
  因此不会改变 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 给出的 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim}。
\end{enumerate}

至此，单用户多星静态基线与正文静态模型一一对应：正文负责给出观测模型、参数分组和集中似然，本文附录负责给出 Jacobian、Fisher 信息分块与 Schur 补形式。

\subsection{多用户多星 CRB（扩展）}
\label{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}

本小节对应正文第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节，把 E.1 的复增益 Schur 补框架扩展到 $K\ge 1$ 个用户。主参数堆叠为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}
  =
  \big[
    \boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},
    \ldots,
    \boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}
  \big]^\Tran
  \in\mathbb R^{3K}.
\end{equation}
%
均值干扰参数为各星各用户的复增益
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{mu}}
  =
  \big[
    \zeta_{0,1}^{(r)},\zeta_{0,1}^{(i)},\ldots,
    \zeta_{L-1,K}^{(r)},\zeta_{L-1,K}^{(i)}
  \big]^\Tran
  \in\mathbb R^{2LK}.
\end{equation}
%
噪声方差参与协方差但与均值参数解耦，同 E.1 不显式出现在 Schur 补中。

\subsubsection{多用户 Jacobian}

第 $\ell$ 颗卫星均值向量
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\zeta_\ell)
  =
  \mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}})\boldsymbol\zeta_\ell
  =
  \sum_{k=1}^{K}\zeta_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k},
\end{equation}
%
其中 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$。

关于第 $k$ 个用户的主参数子向量 $\boldsymbol\eta_k\triangleq[\boldsymbol\xi_k^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},k}]^\Tran\in\mathbb R^3$，由于 $\mathbf g_{\ell,k'}$ 在 $k'\neq k$ 时与 $\boldsymbol\eta_k$ 无关，Jacobian 只通过本用户的 $\mathbf g_{\ell,k}$ 列出现：
%
\begin{equation}
  \mathbf J_{\eta_k,\ell}
  \triangleq
  \frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta_k}
  =
  \zeta_{\ell,k}\,
  \mathbf D_{\ell,k}
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times 3},
\end{equation}
%
其中 $\mathbf D_{\ell,k}\triangleq[\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\alpha_k,\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\beta_k,\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\nu_{\mathrm{ref},k}]$，三列的具体表达完全平行于 \eqref{eq:A6_Dl}，只需把 $\boldsymbol\xi$、$\nu_{\mathrm{ref}}$ 替换为 $\boldsymbol\xi_k$、$\nu_{\mathrm{ref},k}$。

将所有用户的 Jacobian 横向拼接为
%
\begin{equation}
  \mathbf J_{\eta,\ell}
  =
  \big[
    \mathbf J_{\eta_1,\ell},\ldots,\mathbf J_{\eta_K,\ell}
  \big]
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times 3K}.
\end{equation}
%
关于本星复增益 $[\zeta_{\ell,1}^{(r)},\zeta_{\ell,1}^{(i)},\ldots,\zeta_{\ell,K}^{(r)},\zeta_{\ell,K}^{(i)}]^\Tran$ 的 Jacobian 为
%
\begin{equation}
  \mathbf J_{\psi,\ell}
  =
  \big[
    \mathbf g_{\ell,1},j\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K},j\mathbf g_{\ell,K}
  \big]
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times 2K}.
\end{equation}
%
$\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G_\ell$ 的 $K$ 维复列空间等价。

\subsubsection{Fisher 信息矩阵分块与 Schur 补}

按各星条件独立性，\gls{fim}分块同 \eqref{eq:A6_Itt}--\eqref{eq:A6_Ibb}，只是块尺寸调整为 $\mathcal I_{\eta\eta}\in\mathbb R^{3K\times 3K}$、$\mathcal I_{\psi\psi}\in\mathbb R^{2LK\times 2LK}$（块对角，每星 $2K\times 2K$ 块）：
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\eta\eta}
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \frac{2}{\sigma_\ell}
  \Re\big\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathbf J_{\eta,\ell}\big\}.
\end{equation}
%
由于 $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实子空间等价于 $\mathbf G_\ell$ 的复列空间，关于复增益块的 Schur 补化为对 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补的投影。定义
%
\begin{equation}
  \mathcal P_{\mathbf G_\ell}
  \triangleq
  \mathbf G_\ell(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm,
  \qquad
  \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
  \triangleq
  \mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell},
\end{equation}
%
则消去复增益后的 \gls{efim} 为
%
\begin{equation}
  \label{eq:E2_Ieff_proj}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
  =
  2\sum_{\ell=0}^{L-1}
  \frac{1}{\sigma_\ell}
  \Re\big\{
    \mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
    \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
    \mathbf J_{\eta,\ell}
  \big\}
  \in\mathbb R^{3K\times 3K}.
\end{equation}
%
按用户分块写出，第 $(k,k')$ 个对角/非对角 $3\times 3$ 子块为
%
\begin{equation}
  \big[\mathcal I_{\mathrm e}\big]_{kk'}
  =
  2\sum_{\ell=0}^{L-1}
  \frac{1}{\sigma_\ell}
  \Re\Big\{
    \zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}\,
    \mathbf D_{\ell,k}^\Herm
    \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
    \mathbf D_{\ell,k'}
  \Big\}.
\end{equation}
%
复系数 $\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}$ 必须保留在 $\Re\{\cdot\}$ 内，因为它和右侧厄米积都是一般复值，不能逐因子取实部。$K=1$ 时 $\zeta_\ell^*\zeta_\ell=|\zeta_\ell|^2$ 退化为实数，可提到 $\Re\{\cdot\}$ 外，此时上式即回到 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户基线。

\subsubsection{用户分离的可辨识性条件}

\eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 \gls{efim} 非奇异性等价于多用户主参数 score 在复增益干扰参数 score 正交补上的投影列空间 ``在所有 $L$ 颗卫星上联合满秩''。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian''
%
\begin{equation}
  \bar{\mathbf J}_{\eta,\ell}
  \triangleq
  \frac{1}{\sqrt{\sigma_\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell},
\end{equation}
%
\gls{efim} 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化 score 之间不存在跨星全局共线性''。

正文第~\ref{subsec:userSeparability} 小节给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可由此式严格化：当某对 $(k,k')$ 满足
%
\begin{equation}
  \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k}
  \approx
  c_\ell\,
  \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k'},
  \qquad\forall\ell,
\end{equation}
%
对应 $\boldsymbol\eta_k$ 与 $\boldsymbol\eta_{k'}$ 方向上的 \gls{efim} 块趋于秩亏，集中似然在该方向退化为平坦脊（最优不再孤立）。多星几何提供的缓解机制——只要存在一颗星 $\ell$ 上述等式严重违反——也直接由这一秩条件读出。

\subsubsection{CRB 表达式}

多用户主参数 \gls{crb} 为
%
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
  =
  \mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
  \in\mathbb R^{3K\times 3K}.
\end{equation}
%
若只关心第 $k$ 个用户的 \gls{doa} $\boldsymbol\xi_k$，先把上式按 $(\boldsymbol\xi_k,\text{其余})$ 分块再取 Schur 补
%
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}(\boldsymbol\xi_k)
  =
  \mathbf C_{\xi,k}
  =
  \big[
    \mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
  \big]_{\boldsymbol\xi_k,\boldsymbol\xi_k}
  \in\mathbb R^{2\times 2},
\end{equation}
%
即 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$ 中对应 $\boldsymbol\xi_k$ 行/列的 $2\times 2$ 子块。$\mathbf C_{\xi,k}$ 同时被后续波束成形章节作为鲁棒设计的理论上界使用。

\medskip

附录 E 完成了多星静态模型从单用户到多用户的 \gls{crb} 推导。带时间戳误差的部分相干 \gls{efim} 在\appref{sec:timestampErrCrb} 中继续展开；动态多帧模型的 \gls{cp} 和 \gls{ip} \gls{crb} 在\appref{sec:multiFrameCrb} 中继续展开。