\section{多帧动态模型与连续相位结构}
\label{sec:dynamicDoaDopplerEst}

前面五节都在单帧（静态）框架内沿不同维度推进问题。第一篇论文的方向是另一个独立的维度扩展：将单观测块推广为\emph{多帧观测窗口}，由此带来跨帧绝对相位连续性这一新信息。
本节在第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节单用户多星静态模型的基础上引入多帧索引、Doppler rate 与跨帧连续相位结构，但\emph{不}叠加第 4、5 节的多用户与时间戳误差扩展，以保持 ``一节一维度'' 的推进风格。
主估计目标仍为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$（与静态主线式~\eqref{eq:eta_main} 相同），而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。
本节以连续相位 CP 作为多帧主模型，并以独立相位 IP 作为 phase-relaxed deterministic 基线进行对照——二者不是并列的两套物理模型，而是``主模型 vs.\ 放弃跨帧绝对相位约束的基线''——以此量化跨帧相位连续性携带的信息量；详细 \gls{fim}/\gls{crb} 推导见\ref{sec:multiFrameCrb}。

\subsection{时间索引与参考星 Doppler rate}

设观测窗口含 $P$ 帧，帧索引 $p=0,\ldots,P-1$，单帧采样点数为 $T$，帧内局部索引 $t=0,\ldots,T-1$，第 $p$ 帧起始点的离散偏移记为 $\tau_p$，约定 $\tau_0=0$，全局时间索引 $t_{p,t}\triangleq\tau_p+t$。沿用 \S\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 的全局/局部映射 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$，并将其视为在整个短观测窗口内保持不变。

参考链路上的归一化 Doppler 与 Doppler rate 分别定义为 $\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}$。其余卫星按
%
\begin{equation}
  \nu_\ell
  =
  \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
  \qquad
  \dot\nu_\ell
  =
  \dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
\end{equation}
%
由已知几何唯一诱导，沿用 \S\ref{subsec:refSatParameterization} 的参考星参数化。

\subsection{连续相位多帧信号模型（CP）}
\label{subsec:dynamicCpModel}

短观测窗口下，第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧第 $t$ 个采样点的归一化相位采用二次相位近似：
%
\begin{equation}
  \phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t)
  =
  \nu_\ell t_{p,t}
  +
  \frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2,
  \qquad
  t_{p,t}=\tau_p+t.
\end{equation}
%
若第 $p$ 帧训练序列为 $s_p(t)$，并定义结构化连续相位复增益
%
\begin{equation}
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}
  \triangleq
  \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell},
  \qquad
  \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\in\mathbb R_{\ge0},
\end{equation}
%
则 CP 模型接收向量为
%
\begin{equation}
  \mathbf y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t)
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  s_p(t)
  e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t)}
  +
  \mathbf n_{\ell,p}(t),
\end{equation}
%
其中 $\mathbf n_{\ell,p}(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell})$。
$\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由同一颗卫星的不同帧共享——这是 CP 模型相比静态模型的核心新结构：它把 $L\times P$ 个块复增益的自由度从 ``$LP$ 个独立复数'' 压回为 ``$L$ 个公共相位 + $LP$ 个非负实幅度''，从而显式利用跨帧绝对时间信息。

定义 CP 模板与空时模板
%
\begin{equation}
  \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    s_p(0)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(0)},
    \cdots,
    s_p(T-1)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(T-1)}
  \end{bmatrix}^\Tran,
  \qquad
  \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
  \triangleq
  \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
  \otimes
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi),
\end{equation}
%
则向量化模型为
%
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}
  \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  +
  \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}.
\end{equation}

\subsection{独立相位基线模型（IP）}
\label{subsec:independentPhaseModel}

为量化跨帧绝对相位连续性的收益，引入独立相位基线模型作为对照。将 CP 相位项分解：
%
\begin{equation}
  \nu_\ell t_{p,t}+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2
  =
  \underbrace{\nu_\ell\tau_p+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell\tau_p^2}_{\text{帧间常相位项}}
  +
  \underbrace{(\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau_p)t+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2}_{\text{帧内局部相位演化}}.
\end{equation}
%
若允许每一帧具有独立未知相位 $\vartheta_{\ell,p}$，则帧间常相位项可被块相位吸收。令第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复干扰系数记为
%
\begin{equation}
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}
  =
  \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}
  \in\mathbb C,
  \qquad
  \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb R_{\ge 0},
\end{equation}
%
对应的局部归一化 Doppler $\bar\nu_{\ell,p}\triangleq\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau_p$，则 IP 模型可写为
%
\begin{equation}
  \mathbf y^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(t)
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  s_p(t)
  \exp\left\{
    j\left[
      \bar\nu_{\ell,p}t+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2
    \right]
  \right\}
  +
  \mathbf n_{\ell,p}(t).
\end{equation}
%
相应的 IP 模板与空时模板 $\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$、$\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 按相同方式定义。
CP 与 IP 的差别集中在块复增益的自由度：CP 保留 $L$ 个跨帧公共相位 $\{\chi_\ell\}$，IP 则放弃跨帧绝对相位关系。后续 \gls{fim}/\gls{crb} 对比将量化保留公共相位 $\chi_\ell$ 带来的信息差异。

\subsection{联合似然与集中似然}

CP 模型的干扰参数向量为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}}
  =
  \Big[
    \dot\nu_{\mathrm{ref}},
    \{\chi_\ell\}_{\ell=0}^{L-1},
    \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}_{\ell,p},
    \{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}
  \Big]^\Tran.
\end{equation}
%
在 ``星间异方差、星内短窗同方差'' 假设下，联合负对数似然为
%
\begin{equation}
  \mathcal L_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp}})
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log\sigma_\ell
  +
  \sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{1}{\sigma_\ell}
  \sum_{p=0}^{P-1}
  \left\|
    \mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
    -
    \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell}
    \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
    \big(\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\big)^\Tran
  \right\|_{\mathrm{F}}^2.
\end{equation}

依次对 $\sigma_\ell$ 做轮廓化、对非负幅度 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 做正部最小二乘消元后，结构化 CP 集中似然估计准则可写为
%
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\eta}
  =
  \arg\min_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
  \min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{cp,str}}_\ell.
\end{equation}
%
其中 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str}}_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在结构化幅度消元后聚合而成的每星残差，详细矩阵代入与正部投影的闭式表达见附录~\ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb}。

\subsection{relaxed 连续相位与 IP 集中准则}
\label{subsec:dynamicRelaxedModel}

实际搜索时，可进一步把同星跨帧公共相位约束放松为每块自由复系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$（仅放松块复系数结构，相位模板仍为 CP），得到 \emph{relaxed} concentrated \gls{mle}：
%
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn,rel}}
  =
  \arg\min_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
  \min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{cp,rel}}_\ell.
\end{equation}
%
相应地，IP 基线的 concentrated \gls{mle} 直接对自由复增益 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 做闭式消元后得到
%
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn,ip}}
  =
  \arg\min_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
  \min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{ip}}_\ell.
\end{equation}
%
三种准则的差别在于复增益处理方式：CP-str 保留跨帧公共相位约束；CP-rel 放松为每块自由复系数（仍用 CP 相位模板）；IP 则放弃跨帧绝对相位、采用块独立相位模板。逐项闭式消元、匹配统计量 $z^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 与归一化因子 $d^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 的定义、各种残差 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str/rel/ip}}_\ell$ 的具体表达见\ref{sec:multiFrameCrb}。

\subsection{Doppler rate 处理：CP-K 与 CP-U}

按 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 是否已知，CP 模型派生两种设置：
\begin{itemize}
  \item \textbf{CP-K}（known rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，主参数仅 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，对应 \gls{efim} 见 \eqref{eq:A7_CP_K_EFIM}。
  \item \textbf{CP-U}（unknown rate）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 未知并作为干扰参数 Schur complement 消去，对应 \gls{efim} 见 \eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K}。
\end{itemize}

一个值得指出的结构性现象：在 single-satellite multi-frame 情形中，若该卫星即参考星，则参考链路上 $\Delta\nu(\boldsymbol\xi)\equiv\Delta\dot\nu(\boldsymbol\xi)\equiv 0$，几何映射不通过 $\boldsymbol\xi$ 引入额外时间相位导数。在标准窄带阵列模型下，\gls{doa} 导数与 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数在 Fisher 内积意义下正交，因此 single-satellite multi-frame 的 \gls{doa} bound 在 known-rate 与 unknown-rate 设置下完全一致；在 multi-satellite 情形中这一严格正交性一般不再成立。详细证明见附录~\ref{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality}。

\subsection{EFIM 投影解释与多星 Doppler 增益}
\label{subsec:multiSatGainFdIdentifiability}

多星协作带来的增益并不是对 $\boldsymbol\xi$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的等比例放大。
新增观测只增加主参数 score 在干扰参数 score 正交补上的投影长度。
若令 $\boldsymbol\psi_\mu$ 表示只影响均值向量的干扰参数（包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、相位与幅度），白化均值 Jacobian 分别记为 $\bar{\mathbf J}_\eta,\bar{\mathbf J}_\psi$，则消去干扰参数后的 \gls{efim} 写为投影 Gram 矩阵
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm{e}}
  =
  2\Re\left\{
    \bar{\mathbf J}_{\eta}^{\Herm}
    \mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}
    \bar{\mathbf J}_{\eta}
  \right\},
\end{equation}
%
其奇异性由投影后主参数 Jacobian 的秩决定，而非 $\bar{\mathbf J}_\eta$ 本身。详细的投影解释、最小投影角 $\sin^2\theta_{\min}$ 定义、以及 $\boldsymbol\xi$/$\nu_{\mathrm{ref}}$ Schur 分块下的 \gls{doa}--Doppler 耦合比例 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 见附录~\ref{subsec:A7_efimIllConditioning}。

将 \gls{efim} 按 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块后，$\boldsymbol\xi$ 未知条件下 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 \gls{crb} 满足
%
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}_{\nu}
  =
  \frac{1}{\mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2})},
  \qquad
  \frac{\sqrt{\operatorname{CRB}_{\nu}}}
       {1/\sqrt{\mathcal I_{\nu\nu}}}
  =
  \frac{1}{\sqrt{1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}}}.
\end{equation}
%
因此 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益受 \gls{doa}--Doppler 耦合比例约束：即使多星几何能放大 $\mathcal I_{\nu\nu}$，若 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 随 $L$ 增大而恶化，则边际 Doppler \gls{crb} 仍受限。
$\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性；$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的增益主要来自能量叠加与跨帧相干结构，并受到 Schur 损失限制。

\subsection{周期多帧观测下的 Doppler comb 与 tooth ambiguity}
\label{subsec:fdCombToothAmbiguity}

上一小节的 \gls{efim} 描述的是已落入正确局部 basin 后的 in-tooth 曲率；它不能解释 profile likelihood 在 Doppler 方向上的全局离散多峰结构——后者属于局部 \gls{crb} 失效的门限区现象~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。
若参与相干匹配的帧集合为 $\mathcal P$、第 $p$ 帧起始偏移为 $\tau_p$，则沿 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向的集中目标包含 frame-time spectral window
%
\begin{equation}
  W_{\mathcal P}(\Delta\nu)
  \triangleq
  \sum_{p\in\mathcal P} w_p\exp\{j\Delta\nu\tau_p\}.
\end{equation}
%
等间隔 $\tau_p=p\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 且 $w_p$ 近似一致时，$W_{\mathcal P}$ 退化为离散 Dirichlet 窗口，在
%
\begin{equation}
  \Delta\nu=k\Delta\nu_{\mathrm{tooth}},
  \qquad
  \Delta\nu_{\mathrm{tooth}}\triangleq\frac{2\pi}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}},
  \qquad k\in\mathbb Z
\end{equation}
%
处所有帧相位同时对齐，产生间隔为 $\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}$ 的 comb-like objective branches。
换算到物理 Hz 即 $\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}^{\mathrm{Hz}}=1/(\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s})$。
该 comb 是全局 profile likelihood 的周期窗口效应，与 \gls{efim} 局部曲率并不矛盾——\gls{efim} 只刻画某一个 tooth 内的二阶曲率，并不保证全局唯一 tooth。

相邻 tooth 是否容易区分由两层因素共同决定：单帧 pilot block 的长度 $T$（控制块内 Doppler 相干带宽）与非周期 subset 的窗口形状（控制 comb 旁瓣压制）。
当 $T\ll\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 时，相邻 tooth 的块内相干损失约为 $\frac{\pi^2}{3}(T/\Delta\tau_{\mathrm{f}})^2$，因此增大 $T$ 可增强相邻 tooth 的分离度。
非周期 subset 更适合用于 tooth acquisition；完整周期数据在 tooth 选对之后由于保留更多相干能量，更适合同 tooth 内 refine。
若定义 tooth 可分离性为不同 $k$ 下 profile optimum 之间的目标差
%
\begin{equation}
  D_{\mathrm{tooth}}
  \triangleq
  \min_{k\neq0}
  \mathcal L^{\mathrm{pro}}_{\mathrm{cp}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{k})
  -
  \mathcal L^{\mathrm{pro}}_{\mathrm{cp}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{0}),
\end{equation}
%
则 \gls{efim}/\gls{crb} 只有在 $D_{\mathrm{tooth}}$ 足够大、tooth 选对后才能作为同 tooth 内估计误差的局部描述。Dirichlet 窗口的完整推导、块内相干损失的 sinc 近似与 tooth 可分离性的数值刻画均见附录~\ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 末尾的补充分析。

本节完成了多帧动态主线：CP 模型通过同星公共相位 $\chi_\ell$ 显式利用跨帧绝对时间信息，IP 模型作为对照基线放弃跨帧绝对相位；二者的 \gls{efim} 差异量化了跨帧连续相位携带的信息量。