\section{单阵列确定信号 DoA--Doppler 估计的 CRB 推导} \label{sec:det_doa_doppler_crb} 本附录对应第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的单阵列确定信号 DoA--Doppler 模型，是从纯空间 CRB 过渡到空时 CRB 的中间层。由式~\eqref{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}，向量化观测满足 \begin{equation} \tilde{\mathbf y} = \mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)\boldsymbol\zeta + \tilde{\mathbf n}, \qquad \tilde{\mathbf n}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT}), \end{equation} 其中 $\sigma\triangleq\sigma_n^2$。因此 \begin{equation} \tilde{\mathbf y}\sim\mathcal{CN}\big(\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa),\sigma\mathbf I_{MT}\big), \qquad \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa) = \mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta. \end{equation} 本附录使用完整参数向量 \begin{equation} \boldsymbol\kappa = \begin{bmatrix} \sigma, (\boldsymbol\zeta^{(r)})^\Tran, (\boldsymbol\zeta^{(i)})^\Tran, \boldsymbol\nu^\Tran, \bm\theta^\Tran \end{bmatrix}^\Tran, \end{equation} 其中 $\boldsymbol\zeta^{(r)}=\Re\{\boldsymbol\zeta\}$、$\boldsymbol\zeta^{(i)}=\Im\{\boldsymbol\zeta\}$。这里的 $\bm\theta$ 表示单阵列一维 DoA 情形下的角度向量；若使用二维 DoA 参数，可将相应导数矩阵按同样方式扩展。 \subsection{FIM 元素的通式} 由于协方差 $\sigma\mathbf I_{MT}$ 只依赖噪声方差，而其他参数只通过均值向量进入，因此均值参数之间的 Fisher 信息为 \begin{equation} [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij} = \frac{2}{\sigma} \Re\left\{ \left(\frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\kappa_i}\right)^\Herm \left(\frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\kappa_j}\right) \right\}, \end{equation} 噪声方差自身的信息为 \begin{equation} [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma\sigma} = \frac{MT}{\sigma^2}, \end{equation} 且噪声方差与均值参数的 Fisher 交叉项为零。因此后续只需构造均值参数部分的 FIM。 \subsection{偏导数求取} 定义时间索引向量和对角矩阵 \begin{equation} \mathbf t \triangleq [0,1,\ldots,T-1]^\Tran, \qquad \mathbf T_d \triangleq \diag(0,1,\ldots,T-1). \end{equation} 由 $[\mathbf q_k(\nu_k)]_t=s_k(t)e^{j\nu_k t}$ 可得 \begin{equation} \dot{\mathbf q}_k \triangleq \frac{\partial\mathbf q_k(\nu_k)}{\partial\nu_k} = j\mathbf T_d\mathbf q_k(\nu_k). \end{equation} 再定义空间导向矢量和空时导向列向量的一阶导数为 \begin{equation} \dot{\mathbf a}_k \triangleq \frac{\partial\mathbf a(\theta_k)}{\partial\theta_k}, \end{equation} \begin{equation} \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_k} \triangleq \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},k}}{\partial\theta_k} = \mathbf q_k(\nu_k)\otimes\dot{\mathbf a}_k, \qquad \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_k} \triangleq \frac{\partial\mathbf b_{\mathrm{st},k}}{\partial\nu_k} = \dot{\mathbf q}_k\otimes\mathbf a(\theta_k). \end{equation} 进一步写成矩阵形式 \begin{equation} \mathbf B_{\mathrm{st},\theta} \triangleq \left[ \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_1},\ldots, \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\theta_K} \right] \in\mathbb C^{MT\times K}, \end{equation} \begin{equation} \mathbf B_{\mathrm{st},\nu} \triangleq \left[ \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_1},\ldots, \dot{\mathbf b}_{\mathrm{st},\nu_K} \right] \in\mathbb C^{MT\times K}. \end{equation} 由此，对复增益、Doppler 和角度的一阶偏导为 \begin{equation} \mathbf J_{\boldsymbol\zeta^{(r)}} = \mathbf B_{\mathrm{st}}, \qquad \mathbf J_{\boldsymbol\zeta^{(i)}} = j\mathbf B_{\mathrm{st}}, \end{equation} \begin{equation} \mathbf J_{\boldsymbol\nu} = \mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_{\zeta}, \qquad \mathbf J_{\bm\theta} = \mathbf B_{\mathrm{st},\theta}\mathbf D_{\zeta}, \end{equation} 其中 $\mathbf D_\zeta=\diag(\zeta_1,\ldots,\zeta_K)$。 \subsection{消去复增益后的 DoA--Doppler EFIM} 令 \begin{equation} \boldsymbol\eta_{\theta\nu} \triangleq \left[\bm\theta^\Tran,\boldsymbol\nu^\Tran\right]^\Tran, \qquad \mathbf J_{\boldsymbol\eta} \triangleq \left[ \mathbf J_{\bm\theta}, \mathbf J_{\boldsymbol\nu} \right]. \end{equation} 完整均值参数 Jacobian 可写为 \begin{equation} \mathbf J_{\mathrm{mean}} = \left[ \mathbf B_{\mathrm{st}}, j\mathbf B_{\mathrm{st}}, \mathbf J_{\boldsymbol\eta} \right], \qquad \mathcal I_{\mathrm{mean}} = \frac{2}{\sigma}\Re\{\mathbf J_{\mathrm{mean}}^\Herm\mathbf J_{\mathrm{mean}}\}. \end{equation} 由于 $\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 与 $j\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 对应未知复增益的实部和虚部，消去复增益后，$\boldsymbol\eta_{\theta\nu}$ 的 EFIM 为 \begin{equation} \label{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}) = \frac{2}{\sigma}\Re\left\{ \begin{bmatrix} \mathbf D_\zeta^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st},\theta}^\Herm \\ \mathbf D_\zeta^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}^\Herm \end{bmatrix} \mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}^\perp \begin{bmatrix} \mathbf B_{\mathrm{st},\theta}\mathbf D_\zeta & \mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta \end{bmatrix} \right\}, \end{equation} 其中 \begin{equation} \mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}^\perp = \mathbf I_{MT} - \mathbf B_{\mathrm{st}} (\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}})^{-1} \mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm. \end{equation} 将式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 分块写为 \begin{equation} \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}) = \begin{bmatrix} \mathcal I_{\theta\theta} & \mathcal I_{\theta\nu} \\ \mathcal I_{\nu\theta} & \mathcal I_{\nu\nu} \end{bmatrix}. \end{equation} \subsection{仅关心 DoA 或 Doppler 时的 CRB} 若同时估计 DoA 和 Doppler，则 \begin{equation} \operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}) = \mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\theta\nu}). \end{equation} 若只关心 DoA，并把 Doppler 视为实值干扰参数，则应在式~\eqref{eq:single_det_doa_doppler_efim_theta_nu} 的实值 EFIM 上对 $\boldsymbol\nu$ 做 Schur 补： \begin{equation} \operatorname{CRB}(\bm\theta) = \left( \mathcal I_{\theta\theta} - \mathcal I_{\theta\nu}\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\mathcal I_{\nu\theta} \right)^{-1}. \end{equation} 类似地，若只关心 Doppler，并把 DoA 视为实值干扰参数，则 \begin{equation} \operatorname{CRB}(\boldsymbol\nu) = \left( \mathcal I_{\nu\nu} - \mathcal I_{\nu\theta}\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}\mathcal I_{\theta\nu} \right)^{-1}. \end{equation} 需要注意，$\boldsymbol\nu$ 是实值干扰参数，因此不能把 $\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta$ 当作具有任意复系数的未知子空间并直接写成复投影 $\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta]}^\perp$。 正确做法是先消去复增益，再在实值参数 EFIM 中对 Doppler 做 Schur 补。 若 Doppler 已知，则 DoA 的 CRB 为 $\mathcal I_{\theta\theta}^{-1}$；若 Doppler 未知，则上式中的 Schur 补体现了 DoA--Doppler 耦合带来的信息损失。 当 $\boldsymbol\nu$ 已知且固定为 $\mathbf0$ 时，本模型退化为带已知时间导频权重的确定信号 DoA 模型；若 $\boldsymbol\nu$ 未知，即使在真实值 $\boldsymbol\nu=\mathbf0$ 处，Doppler 仍会通过导数 $\dot{\mathbf q}_k=j\mathbf T_d\mathbf q_k$ 作为干扰参数影响 DoA 的 CRB。 该单阵列空时 CRB 说明 DoA 与 Doppler 的耦合会通过 Schur 补造成信息损失。多星静态和动态 CRB 在结构上延续这一思想，但将独立的 $\nu_k$ 替换为参考星参数化下的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，并进一步处理多星复增益、连续相位和 Doppler rate 等干扰参数。