\section{静态多阵列确定信号 DoA--Doppler 估计问题模型}
\label{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}

\subsection{离散时间统一符号与参考星参数化}

本节在第~\ref{subsec:multiArrayCommonNotation} 小节统一几何与参考卫星参数化的基础上，考虑单观测块内的多星确定信号 DoA--Doppler 联合估计问题。与单阵列模型相比，本节的新增结构是：各卫星局部导向矢量均由同一个全局方向 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ 诱导，各链路归一化 Doppler 均由参考卫星链路参数 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 诱导。

设共有 $L$ 颗协作卫星，卫星索引为
\begin{equation}
  \ell=0,1,\ldots,L-1.
\end{equation}
静态模型仅考虑单个观测块（单帧、单个 \gls{cpi} 或单个处理块）内的估计问题。块内离散采样点索引为
\begin{equation}
  t=0,1,\ldots,T-1,
\end{equation}
其中 $T$ 为该观测块内的采样点数。本文不再额外引入连续时间变量；若需要与实际物理量建立联系，仅通过采样周期 $T_{\mathrm{s}}$ 进行一次性转换。

固定选择一颗卫星作为参考卫星，其索引记为 $\ell_{\mathrm{ref}}$，除特别说明外默认取 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$。参考卫星链路上的归一化 Doppler 为
\begin{equation}
  \nu_{\mathrm{ref}}\triangleq \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}.
\end{equation}
根据第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的约定，第 $\ell$ 条链路的归一化 Doppler 由
\begin{equation}
  \nu_\ell
  =
  f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
  \qquad
  \ell=0,1,\ldots,L-1,
\end{equation}
给出，并满足
\begin{equation}
  f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  =
  \nu_{\mathrm{ref}}.
\end{equation}
等价地，也可写成
\begin{equation}
  \nu_\ell
  =
  \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
\end{equation}
其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知卫星位置、速度、姿态和参考星选择确定。因此，静态多星 DoA--Doppler 主参数统一为
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}
  =
  \begin{bmatrix}
    \boldsymbol\xi\\
    \nu_{\mathrm{ref}}
  \end{bmatrix},
\end{equation}
而每颗卫星的 $\nu_\ell$ 只作为由 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 诱导的局部链路量出现。

\subsection{静态离散信号模型}
\label{subsec:staticBlockModel}

考虑单用户上行已知训练序列 $s(t)$。在单个观测块内，假设：
\begin{enumerate}
  \item DoA 在整个观测块内保持不变；
  \item 每条链路的 Doppler 在该观测块内近似为常数；
  \item 每颗卫星对应一个未知复干扰系数 $\zeta_\ell$；
  \item 不同卫星的噪声方差允许不同，但同一颗卫星在该观测块内噪声方差保持不变。
\end{enumerate}
于是，第 $\ell$ 颗卫星在第 $t$ 个采样点的阵列接收向量可写为
\begin{equation}
  \mathbf y_\ell(t)
  =
  \zeta_\ell
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  s(t)
  e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})t}
  +
  \mathbf n_\ell(t),
  \qquad t=0,1,\ldots,T-1,
\end{equation}
其中为书写紧凑记
\begin{equation}
  \nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}).
\end{equation}
这里 $\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，噪声满足
\begin{equation}
  \mathbf n_\ell(t)
  \sim
  \mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}),
  \qquad \ell=0,1,\ldots,L-1.
\end{equation}
这里采用\emph{星间异方差}假设，即不同卫星的噪声方差 $\sigma_{n,\ell}^2$ 可以不同。

将第 $\ell$ 颗卫星在整个观测块内的数据按时间堆叠，定义时间模板
\begin{equation}
  \mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    s(0)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\cdot 0} \\
    s(1)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\cdot 1} \\
    \vdots \\
    s(T-1)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})(T-1)}
  \end{bmatrix}
  \in\mathbb C^{T\times 1}.
\end{equation}
相应地，第 $\ell$ 颗卫星的矩阵观测可写为
\begin{equation}
  \mathbf Y_\ell
  =
  \zeta_\ell
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  \mathbf q_\ell^\Tran(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  +
  \mathbf N_\ell,
\end{equation}
其中 $\mathbf Y_\ell\in\mathbb C^{M_\ell\times T}$，$\mathbf N_\ell\in\mathbb C^{M_\ell\times T}$ 的各列独立满足 $\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell})$。

为便于后续似然函数构建和 \gls{crb} 推导，进一步向量化定义
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}_\ell
  \triangleq
  \vect(\mathbf Y_\ell),
  \qquad
  \tilde{\mathbf n}_\ell
  \triangleq
  \vect(\mathbf N_\ell),
\end{equation}
并定义空时导向向量
\begin{equation}
  \mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  \otimes
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}.
\end{equation}
则向量化观测模型可统一写为
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}_\ell
  =
  \zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  +
  \tilde{\mathbf n}_\ell.
\end{equation}
与第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节一致，本文把
\begin{equation}
  \boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}
  =
  \Big[
    \{\zeta_\ell\}_{\ell=0}^{L-1},
    \{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1}
  \Big]^\Tran
\end{equation}
作为静态模型的干扰参数。若在后续 \gls{crb} 推导中需要显式使用实参数化，则可进一步将 $\zeta_\ell$ 分解为其实部和虚部。

\subsection{联合似然函数与结构化最大似然估计}

本小节不再重新定义新的观测模型，而是直接沿用上一小节的向量化形式 $\tilde{\mathbf y}_\ell=\zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})+\tilde{\mathbf n}_\ell$。因此，下文中的 $\mathbf g_\ell$、$\zeta_\ell$、$\sigma_{n,\ell}^2$ 与模型小节完全一致；待估主参数为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$，干扰参数为 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}$。

由于不同卫星噪声相互独立，且每颗卫星内部噪声服从圆对称复高斯分布，因此多星联合似然函数可由各星观测块的概率密度相乘得到。去掉与参数无关的常数项后，对应的联合负对数似然函数为
\begin{equation}
  \mathcal L_{\mathrm{stat}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}})
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \left[
    M_\ell T\log\sigma_{n,\ell}^2
    +
    \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
    \left\|
      \tilde{\mathbf y}_\ell
      -
      \zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
    \right\|_2^2
  \right].
\end{equation}
因此，结构化最大似然估计问题可写为
\begin{equation}
  (\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}},\widehat{\boldsymbol\psi}_{\mathrm{stat}})
  =
  \arg\min_{\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}}
  \mathcal L_{\mathrm{stat}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{stat}}).
\end{equation}

\subsubsection{对复干扰系数参数的闭式消元}

对于固定的 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 和 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$，第 $\ell$ 条链路复干扰系数 $\zeta_\ell$ 的最小二乘解为
\begin{equation}
  \hat\zeta_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  =
  \frac{\mathbf g_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\tilde{\mathbf y}_\ell}
       {\|\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\|_2^2}.
\end{equation}
将其代回后，对应的每星残差可写为
\begin{equation}
  \mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2
  -
  \frac{
    \left|
      \mathbf g_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\tilde{\mathbf y}_\ell
    \right|^2
  }{\|\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\|_2^2}.
\end{equation}
于是对 $\{\zeta_\ell\}$ 集中后的负对数似然可写为
\begin{equation}
  \mathcal L_{\mathrm{stat,c}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\{\sigma_{n,\ell}^2\})
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \left[
    M_\ell T\log\sigma_{n,\ell}^2
    +
    \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
    \mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  \right].
\end{equation}

\subsubsection{对噪声方差的轮廓化处理}

若进一步把每颗卫星的噪声方差视为未知参数，则对固定的 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$，其极大似然估计为
\begin{equation}
  \hat\sigma_{n,\ell}^2(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  =
  \frac{1}{M_\ell T}
  \mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
  \qquad
  \ell=0,1,\ldots,L-1.
\end{equation}
代回后，可得到完全轮廓化的目标函数
\begin{equation}
  \mathcal L_{\mathrm{stat}}^{\mathrm{pro}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  M_\ell T
  \log \mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
\end{equation}
其中同样忽略了与参数无关的常数项。因此，在星间异方差假设下，静态多阵列 DoA--Doppler 问题的轮廓最大似然估计可写为
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}}
  =
  \arg\min_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  M_\ell T
  \log \mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}).
\end{equation}
若实际中各星噪声方差 $\sigma_{n,\ell}^2$ 已知或可由预处理阶段获得，则也可采用加权集中似然形式
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{stat}}
  =
  \arg\max_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
  \frac{
    \left|
      \mathbf g_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\tilde{\mathbf y}_\ell
    \right|^2
  }{\|\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\|_2^2}.
\end{equation}
该表达式表明：在多星协作条件下，联合估计的本质是在统一的全局方向参数 $\boldsymbol\xi$ 和参考归一化 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 下，对各卫星空时匹配输出进行加权融合；其中权重既受几何映射影响，也受不同卫星噪声水平影响。

\subsection{仿真结果说明}

图 \ref{fig:dualSatSingleSourceScene} 使用 STK 给出了双星单用户场景，用户位于两颗卫星的交叠覆盖区中，卫星视角为 $\pm 55^\circ$。

图 \ref{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} 给出了在存在 Doppler 的情况下，发送导频信号并采用上述 \gls{mle} 方法时，仅进行 DoA 估计与联合进行 DoA--Doppler 估计的二维地表坐标估计结果。结果表明，在经度和纬度两个维度上，DoA--Doppler 联合估计均优于仅 DoA 估计，但与 \gls{crb} 之间仍存在一定差距，这一差距可能与地面坐标到卫星局部角度的非线性映射有关。对于 Doppler 参数估计，其结果基本达到 \gls{crb}。

图 \ref{fig:multiSatSingleSourceScene} 使用 STK，按照用户仰角 $15^\circ$ 和卫星视角 $\pm 55^\circ$ 给出了多星单用户场景。在此基础上，可进一步针对不同卫星组合计算 \gls{crb}，从而实现基于 \gls{crb} 的选星。

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=0.9\textwidth]{fig/dualSatSingleSourceScene.bmp}
  \caption{静态多星 DoA--Doppler 主线基线：双星单源几何场景示意}
  \label{fig:dualSatSingleSourceScene}
\end{figure}

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=0.95\textwidth]{fig/doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap.pdf}
  \caption{静态多星 DoA--Doppler 主线基线：ECI 坐标系下双星 UPA、单信源场景中，单独估计 DoA 与联合估计 DoA--Doppler 的 MSE 对比}
  \label{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap}
\end{figure}

\begin{figure}[!h]
  \centering
  \includegraphics[width=0.85\textwidth]{fig/multiSatSingleSourceScene.bmp}
  \caption{静态多星 DoA--Doppler 主线基线：多星单源几何场景示意}
  \label{fig:multiSatSingleSourceScene}
\end{figure}

本节完成了多星主线中的静态基线：同一个全局方向 $\boldsymbol\xi$ 同时决定各星局部导向矢量，而参考星 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 通过几何映射决定各星链路 Doppler。下一节将在保持主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$ 不变的前提下，引入多帧索引、Doppler rate 和跨帧连续相位结构。