josh
a2713e80cf
在固定权重摘要模型中先消位置再解共享时间戳，保留时延与 Doppler 交互。 给出吸收及传播的条件、同构用户稀释规律与共识的条件性区分度和盲区。 补全符号索引与确定性自检，保持自由三维位置及地固运动导数。 NumPy 代数自检通过，几何 Jacobian 相对误差 1.03e-9。 SyncTeX 多遍编译通过，无断引用、新增缺字或溢出。 未运行捕获或定位 Monte Carlo，未验证实际污染池或非线性增益。
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43 KiB
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\section{时间戳误差下的 EFIM 分析}
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\label{sec:timestampErrCrb}
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\begin{mdquote}
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||
\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:timestampError}~节的时间戳误差模型。
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\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
|
||
\item \emph{主参数} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}\in\mathbb R^{3K}$（$K$ 个用户的 \gls{doa}--Doppler）；\emph{干扰参数} 每星时间戳偏移 $\delta_\ell$（参考星取 $\delta=0$）、复增益与噪声方差 $\boldsymbol\zeta_\ell$。
|
||
\item \emph{本附录给出} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim} 分块结构、Schur 补消去 $\boldsymbol\delta$ 的解析形式、数值评估框架、$K{=}1,\,L{=}2$ 最简情形的解析推导，以及忽略 $\boldsymbol\delta$ 的 \gls{mcrb}；位置模型还包括时延--时间戳秩分析和摘要融合的联合扰动传播。门限以下的大误差与模糊地板见\appref{sec:thresholdBounds}。
|
||
\item \emph{本附录局部符号} $\delta_\ell$：星 $\ell$ 的时间戳偏移（采样单位）；$\boldsymbol\zeta_\ell$：星 $\ell$ 的复增益与噪声方差；上标 $\mathrm{pt}$：伪真值。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。
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||
\end{itemize}
|
||
\end{mdquote}
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||
小误差区与大误差区的划分仍按正文第~\ref{subsec:timestampApplicability} 小节的定义；下文若无特别说明，默认在小误差区作 Taylor 展开。
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\subsection{Fisher 信息矩阵分块结构}
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\label{subsec:F1_fimBlockStruct}
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||
记第 $\ell$ 颗卫星观测均值向量为
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%
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\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell,\boldsymbol\zeta_\ell)
|
||
=
|
||
\sum_{k=1}^{K}
|
||
\zeta_{\ell,k}\,
|
||
\mathbf g_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell),
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf g_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell)
|
||
=
|
||
\mathbf q_{\ell,k}(\nu_{\mathrm{ref},k},\delta_\ell)
|
||
\otimes
|
||
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k),
|
||
\qquad
|
||
[\mathbf q_{\ell,k}]_t
|
||
=
|
||
s_k(t-\delta_\ell)\,
|
||
e^{j\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})(t-\delta_\ell)}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 有 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv 0$，仅 $L-1$ 个非参考星贡献 $\delta_\ell$ 自由度。
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||
按\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的 Slepian--Bangs 公式，各星条件独立的圆对称复高斯模型下 \gls{fim}元素为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)\big]_{ij}
|
||
=
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\frac{2}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\left\{
|
||
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell^\Herm}{\partial\kappa_i}
|
||
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\kappa_j}
|
||
\right\}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
按 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta,\boldsymbol\psi_\zeta)$ 三段分块为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:F1_three_block}
|
||
\mathcal I
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathcal I_{\eta\eta} & \mathcal I_{\eta\delta} & \mathcal I_{\eta\psi}\\
|
||
\mathcal I_{\delta\eta} & \mathcal I_{\delta\delta} & \mathcal I_{\delta\psi}\\
|
||
\mathcal I_{\psi\eta} & \mathcal I_{\psi\delta} & \mathcal I_{\psi\psi}
|
||
\end{bmatrix}.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
由于不同卫星之间噪声独立、$\delta_\ell$ 仅出现在第 $\ell$ 颗卫星的均值向量中，$\mathcal I_{\delta\delta}$ 是 $(L-1)\times(L-1)$ 的\emph{对角矩阵}（参考星对应行/列已去除）：
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\big[\mathcal I_{\delta\delta}\big]_{\ell\ell'}
|
||
=
|
||
\frac{2}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\left\{
|
||
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell^\Herm}{\partial\delta_\ell}
|
||
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\delta_\ell}
|
||
\right\}
|
||
\cdot
|
||
\mathbb 1\{\ell=\ell'\},
|
||
\qquad
|
||
\ell,\ell'\neq\ell_{\mathrm{ref}}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
$\mathcal I_{\delta\psi}$ 同样具有按 $\ell$ 的块对角结构：第 $\ell$ 个 $\delta$ 行只与本星复增益 $\{\zeta_{\ell,k}^{(r)},\zeta_{\ell,k}^{(i)}\}_{k=1}^K$ 列有非零分块。这两个性质使下文 Schur 消去可逐星独立完成。
|
||
|
||
\subsection{Schur complement 消去 \texorpdfstring{$\boldsymbol\delta$}{δ}}
|
||
\label{subsec:F2_schurDelta}
|
||
|
||
先消复增益。沿用\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的复增益投影做法，对每颗卫星定义对其 $K$ 列空时模板 $\mathbf G_\ell=[\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}]$ 的正交投影
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}
|
||
=
|
||
\mathbf G_\ell\big(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell\big)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm,
|
||
\qquad
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
|
||
=
|
||
\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
\eqref{eq:F1_three_block} 关于复增益块的 Schur 补可写为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:F2_after_psi}
|
||
\mathcal I^{(\psi)}
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}' & \mathcal I_{\eta\delta}'\\
|
||
\mathcal I_{\delta\eta}' & \mathcal I_{\delta\delta}'
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\qquad
|
||
\begin{aligned}
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}'
|
||
&=
|
||
2\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\left\{
|
||
\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
|
||
\big(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}\big)
|
||
\mathbf J_{\eta,\ell}
|
||
\right\}\big|_{\delta_\ell=0},\\
|
||
\mathcal I_{\delta\delta}'
|
||
&=
|
||
\operatorname{diag}\Big(
|
||
\tfrac{2}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\big\{\mathbf j_{\delta,\ell}^\Herm
|
||
(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell})
|
||
\mathbf j_{\delta,\ell}\big\}\big|_{\delta_\ell=0}
|
||
\Big)_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}},\\
|
||
\mathcal I_{\eta\delta}'
|
||
&=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\cdots\quad
|
||
\tfrac{2}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\big\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
|
||
(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf G_\ell})\mathbf j_{\delta,\ell}\big\}\big|_{\delta_\ell=0}
|
||
\quad\cdots
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathbf J_{\eta,\ell}=\dfrac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}}$、$\mathbf j_{\delta,\ell}=\dfrac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\delta_\ell}$ 均在小误差区于 $\delta_\ell=0$ 处展开。Jacobian $\mathbf J_{\eta,\ell}$ 的列结构与\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 完全一致；只需在 $\mathbf j_{\delta,\ell}$ 处显式展开 $\delta_\ell$ 进入的两条途径——相位偏移 $-\nu_{\ell,k}\delta_\ell$ 与导频时间偏移 $s_k(t-\delta_\ell)$：
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:F2_jdelta}
|
||
\frac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}\bigg|_{\delta_\ell=0}
|
||
=
|
||
\mathbf q_{\ell,k}^{\,\mathrm{te}}
|
||
\otimes
|
||
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k),
|
||
\qquad
|
||
\big[\mathbf q_{\ell,k}^{\,\mathrm{te}}\big]_t
|
||
=
|
||
\big[-\dot s_k(t)-j\nu_{\ell,k}s_k(t)\big]e^{j\nu_{\ell,k}t},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\dot s_k(t)$ 为导频对时间的导数，应按实际连续时间波形或其带限插值计算，$\mathbf j_{\delta,\ell}=\sum_k\zeta_{\ell,k}\,\dfrac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}$。相位项 $-j\nu_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k}$ 落在 $\mathbf G_\ell$ 的列空间中，投影后为零。因此
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}\mathbf j_{\delta,\ell}
|
||
=-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}
|
||
\sum_k\zeta_{\ell,k}
|
||
\left(\left[\dot s_k(t)e^{j\nu_{\ell,k}t}\right]_{t=0}^{T-1}
|
||
\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\right).
|
||
\label{eq:F2_projected_timestamp}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
时间戳的有效信息来自包络导数在增益子空间之外的分量。
|
||
|
||
由于 $\mathcal I_{\delta\delta}'$ 对角，对 $\boldsymbol\delta$ 的 Schur 消去逐星可写
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:F2_efim_final}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}'
|
||
-
|
||
\sum_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}
|
||
\frac{1}{[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}}
|
||
\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\,
|
||
\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'^{\,\Tran},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 为 $\mathcal I_{\eta\delta}'$ 的对应列，求和限于 $[\mathcal I_{\delta\delta}']_{\ell\ell}>0$ 的可辨识方向。若该对角元为零，相应有效导数及交叉列也为零，应删去冗余参数或作子空间投影，不作零除法。
|
||
|
||
参考星没有时间戳自由度。与在同一真值处将时间戳视为已知的模型相比，Schur 补的信息扣减来自非参考星。
|
||
|
||
\subsection{数值 EFIM 评估框架}
|
||
\label{subsec:F3_numericalEfim}
|
||
|
||
大误差区下 \eqref{eq:F2_efim_final} 的一阶展开失效。此时把 \gls{efim} 视为关于 $\boldsymbol\delta$ 真值的函数，按下列流程逐场景数值评估：
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item 给定真值 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\delta)$ 与各星 $\sigma_\ell$、$\{\zeta_{\ell,k}\}$；
|
||
\item 对每颗卫星 $\ell$，按 \eqref{eq:sec5_signal_model} 计算 $\mathbf g_{\ell,k}(\delta_\ell)$ 及其关于 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\delta_\ell)$ 的数值 Jacobian——其中 $\dfrac{\partial}{\partial\delta_\ell}$ 不再用 \eqref{eq:F2_jdelta} 一阶近似，而是用中心差分直接评估 $s_k(t-\delta_\ell)$ 与 $e^{j\nu_{\ell,k}(t-\delta_\ell)}$；
|
||
\item 组装 \eqref{eq:F1_three_block} 各分块，按\appref{subsec:F2_schurDelta} 的顺序先消复增益、再消 $\boldsymbol\delta$；
|
||
\item 输出 $\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}};\boldsymbol\delta)$ 并取逆得到 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{crb}。
|
||
\end{enumerate}
|
||
在本模型中，各星噪声独立，时间戳和复增益均为逐星参数。因此，先消去复增益后，$\mathcal I_{\delta\delta}'$ 在任意时间戳真值处都保持对角，逐星 Schur 形式仍成立。大偏移要求在实际真值处重新计算导数，而不会自行产生星间信息块。
|
||
|
||
% TODO: 实际数值评估的离散化精度（差分步长选取、导频上采样系数）与后续仿真结果对齐后补充
|
||
|
||
\subsection{特殊情形：\texorpdfstring{$K=1$, $L=2$}{K=1, L=2} 解析推导}
|
||
\label{subsec:F4_K1L2}
|
||
|
||
最简非平凡情形：单用户（$K=1$）、双星（$L=2$，参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$、非参考星 $\ell=1$、唯一时间戳误差 $\delta_1$）。主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^3$，干扰参数包含 $\delta_1$ 与两颗星的复增益、噪声方差。
|
||
|
||
\paragraph{投影简化}
|
||
单用户下每颗卫星 $\mathbf G_\ell$ 退化为单列 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes\mathbf a_\ell$，复增益投影 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 退化为 $\mathbf g_\ell\mathbf g_\ell^\Herm/\|\mathbf g_\ell\|^2$，与\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的单用户基线一致。\eqref{eq:F2_after_psi} 中
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}'
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}^{(\mathrm{stat})}(\boldsymbol\eta)
|
||
=
|
||
\frac{2|\zeta_0|^2}{\sigma_0}
|
||
\Re\big\{\mathbf D_0^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_0}^\perp\mathbf D_0\big\}
|
||
+
|
||
\frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_1}
|
||
\Re\big\{\mathbf D_1^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_1}^\perp\mathbf D_1\big\}\bigg|_{\delta_1=0},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathbf D_\ell$ 沿用 \eqref{eq:A6_Dl} 定义。这里 $\mathcal I_{\eta\eta}'$ 对应时间戳已知为零的同步基线；将未知时间戳的真值取零，仍需进一步扣除相应的 Schur 项。
|
||
|
||
\paragraph{$\delta_1$ 块}
|
||
$\boldsymbol\delta=[\delta_1]$ 退化为标量，\eqref{eq:F2_jdelta} 中
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\big[\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}\big]_t
|
||
=
|
||
\big[-\dot s(t)-j\nu_1 s(t)\big]e^{j\nu_1 t},
|
||
\qquad
|
||
\mathbf j_{\delta,1}
|
||
=
|
||
\zeta_1\,\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}\otimes\mathbf a_1(\boldsymbol\xi).
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
对应的标量 Fisher 信息为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\delta\delta}'
|
||
=
|
||
\frac{2|\zeta_1|^2}{\sigma_1}
|
||
\big\|\mathbf a_1(\boldsymbol\xi)\big\|_2^2
|
||
\cdot
|
||
\Re\big\{(\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf q_1}^\perp\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}\big\},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathcal P_{\mathbf q_1}^\perp=\mathbf I_T-\mathbf q_1\mathbf q_1^\Herm/\|\mathbf q_1\|^2$。化简利用了 Kronecker 内积关系 $(\mathbf u_1\otimes\mathbf v_1)^\Herm(\mathbf u_2\otimes\mathbf v_2)=(\mathbf u_1^\Herm\mathbf u_2)(\mathbf v_1^\Herm\mathbf v_2)$，并把空间部分因式 $\|\mathbf a_1\|^2$ 提出。
|
||
|
||
\paragraph{交叉项与 EFIM 闭式}
|
||
对 $(\boldsymbol\eta,\delta_1)$ 的交叉项类似可写为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf v'_{\eta\delta,1}
|
||
=
|
||
\frac{2}{\sigma_1}
|
||
\Re\Big\{
|
||
\zeta_1^*\mathbf D_1^\Herm
|
||
\big(\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf g_1}\big)
|
||
\big[\zeta_1\,\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}\otimes\mathbf a_1\big]
|
||
\Big\}\in\mathbb R^3.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
代入 \eqref{eq:F2_efim_final} 得到 $K=1, L=2$ 情形下的闭式 \gls{efim}
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:F4_efim_K1L2}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)\bigg|_{K=1,L=2}
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}'
|
||
-
|
||
\frac{\mathbf v'_{\eta\delta,1}\,\mathbf v'^{\Tran}_{\eta\delta,1}}{\mathcal I_{\delta\delta}'},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
即在双星基线的 \gls{efim} 上扣除一个秩一信息损失项，损失大小由非参考星上 $\delta_1$ 与主参数的得分重叠决定。
|
||
|
||
\paragraph{特例：导频为单音常包络}
|
||
若 $s(t)\equiv1$，则 $\mathbf q_1^{\,\mathrm{te}}=-j\nu_1\mathbf q_1$，时间戳导数完全落在复增益子空间中。消去增益后，$\mathcal I_{\delta\delta}'=0$ 且 $\mathbf v'_{\eta\delta,1}=\mathbf0$。此时不可辨识的是时间戳与增益相位的分解；删除这一冗余时间戳参数即可。Doppler 导数含随采样时刻变化的因子 $t$，只要保留的采样时刻具有非零时间方差，仍可提供局部频率信息。
|
||
|
||
% TODO: $K=1, L\ge 3$ 与 $K\ge 2, L=2$ 的解析中间结果——前者需引入 $L-1$ 个 δ_ℓ 联合处理（仍对角，但 v'_{ηδ} 维度变为 3×(L-1)）；后者多用户耦合让 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$ 不再因式化，闭式较繁。本附录暂留为数值评估。
|
||
|
||
\subsection{忽略时间戳误差的 MCRB}
|
||
\label{subsec:F5_mcrb}
|
||
|
||
\appref{subsec:F2_schurDelta} 给出了把 $\boldsymbol\delta$ 当未知干扰参数\emph{估计}时主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}。本小节处理互补情形：估计器假设星间已同步、令 $\delta_\ell\equiv 0$ 而\emph{不}把 $\boldsymbol\delta$ 纳入模型，真值却含 $\boldsymbol\delta^\star\neq\mathbf 0$。这是一类均值模型误指定，其下界为 \gls{mcrb}~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。沿用\appref{subsec:F1_fimBlockStruct} 的记号，记 $\boldsymbol\eta^\star$、$\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$ 分别为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的真值与伪真值（pseudo-truth）；下文把噪声方差 $\{\sigma_\ell\}$ 视为已知，且在真实与假设模型中使用相同的协方差，固定 $\mathbf R=\operatorname{blkdiag}(\sigma_\ell\mathbf I)$ 只分析均值参数。若在失配模型中同时估计噪声方差，伪真值方差可能吸收均值残差，须重新计算完整的 sandwich 分块。
|
||
|
||
\paragraph{误指定模型与伪真值}
|
||
真实观测均值记为 $\boldsymbol\mu_\ell^\star\triangleq\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta^\star,\delta_\ell^\star,\boldsymbol\zeta_\ell^\star)$；假设模型族把均值限制在 $\delta_\ell=0$ 流形上，$\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},0,\boldsymbol\zeta_\ell)=\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})\boldsymbol\zeta_\ell$（$\mathbf G_\ell$ 在 $\delta=0$ 处求值）。两模型协方差相同，\gls{kl} 散度退化为白化均值失配
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:F5_kl}
|
||
D_{\mathrm{KL}}
|
||
=
|
||
\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||
\big\|
|
||
\boldsymbol\mu_\ell^\star-\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})\boldsymbol\zeta_\ell
|
||
\big\|_2^2
|
||
+\mathrm{const}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
\gls{mml} 估计器收敛到使 \eqref{eq:F5_kl} 最小的伪真值 $(\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}},\boldsymbol\zeta^{\mathrm{pt}})$。对每颗星按 $\boldsymbol\zeta_\ell$ 闭式消元得 $\boldsymbol\zeta_\ell^{\mathrm{pt}}=(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm\boldsymbol\mu_\ell^\star$，代回得\emph{误指定集中准则}
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:F5_pseudotrue}
|
||
\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}
|
||
=
|
||
\argmin_{\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}}
|
||
\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||
\big\|\mathcal P_{\mathbf G_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})}^\perp\boldsymbol\mu_\ell^\star\big\|_2^2.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
它与正文集中似然 \eqref{eq:sec4_concentrated} 同形，只是以确定的真实均值 $\boldsymbol\mu_\ell^\star$ 取代了随机观测 $\tilde{\mathbf y}_\ell$；$\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}\neq\boldsymbol\eta^\star$ 之差完全由 $\boldsymbol\delta^\star$ 经 $\boldsymbol\mu_\ell^\star$ 注入。
|
||
|
||
\paragraph{偏置的一阶表达}
|
||
小误差区把真实均值在 $\delta=0$ 处展开
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:F5_mean_expand}
|
||
\boldsymbol\mu_\ell^\star
|
||
=
|
||
\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta^\star,0,\boldsymbol\zeta_\ell^\star)
|
||
+
|
||
\delta_\ell^\star\,\mathbf j_{\delta,\ell}
|
||
+
|
||
O((\delta_\ell^\star)^2),
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathbf j_{\delta,\ell}=\sum_k\zeta_{\ell,k}^\star\,\dfrac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}$ 同 \eqref{eq:F2_jdelta}。零阶项在 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=\boldsymbol\eta^\star$ 处被 \eqref{eq:F5_pseudotrue} 精确拟合（残差为零），故偏置 $\mathbf b\triangleq\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}-\boldsymbol\eta^\star$ 由 $\delta_\ell^\star\mathbf j_{\delta,\ell}$ 驱动。对 \eqref{eq:F5_pseudotrue} 取一阶最优性条件（法方程）得
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:F5_bias}
|
||
\mathbf b
|
||
=
|
||
(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}
|
||
\sum_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}
|
||
\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'\,\delta_\ell^\star
|
||
+O(\|\boldsymbol\delta^\star\|^2),
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathcal I_{\eta\eta}'$ 与 $\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 即 \eqref{eq:F2_after_psi} 中的同步基线 \gls{efim} 与 $\boldsymbol\eta$--$\delta$ 交叉信息列。即偏置复用了 \gls{efim} 推导里的同一批分块：它沿 $(\mathcal I_{\eta\eta}')^{-1}\mathbf v_{\eta\delta,\ell}'$ 方向、正比于真值时间戳 $\delta_\ell^\star$。
|
||
|
||
\paragraph{MCRB 的 sandwich 矩阵}
|
||
将均值参数堆叠为 $\boldsymbol\theta\triangleq[\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}^\Tran,\boldsymbol\psi_\zeta^\Tran]^\Tran$、其堆叠均值为 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta)$。圆对称复高斯下误指定对数似然的两个 sandwich 矩阵在伪真值 $\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}$ 处为
|
||
%
|
||
\begin{align}
|
||
\label{eq:F5_B}
|
||
\mathbf B
|
||
&=
|
||
2\,\Re\big\{
|
||
(\partial_{\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu)^\Herm
|
||
\mathbf R^{-1}
|
||
(\partial_{\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu)
|
||
\big\}\big|_{\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}}
|
||
=
|
||
\mathcal I(\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}),\\
|
||
\label{eq:F5_A}
|
||
\mathbf A
|
||
&=
|
||
\mathbf B
|
||
-
|
||
2\,\Re\big\{
|
||
(\partial^2_{\boldsymbol\theta\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu)^\Herm
|
||
\mathbf R^{-1}\,
|
||
\mathbf r^{\mathrm{pt}}
|
||
\big\}\big|_{\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}},
|
||
\qquad
|
||
\mathbf r^{\mathrm{pt}}
|
||
\triangleq
|
||
\boldsymbol\mu^\star-\boldsymbol\mu(\boldsymbol\theta^{\mathrm{pt}}).
|
||
\end{align}
|
||
%
|
||
$\mathbf B$ 即模型 \gls{fim}（\eqref{eq:A6_fim_general} 的 Slepian--Bangs 形式）在伪真值处求值——伪真值处的法方程使得分的确定性部分为零，故 $\mathbf B$ 仅由随机部分贡献；$\mathbf A$ 在 $\mathbf B$ 上减去``曲率 $\times$ 残差''修正，残差 $\mathbf r^{\mathrm{pt}}$ 是误指定流形拟合不到的那部分 $\boldsymbol\delta^\star$ 扰动；其中二阶模型导数 $\partial^2_{\boldsymbol\theta\boldsymbol\theta}\boldsymbol\mu$ 含导频对时延的二阶导数 $\ddot s$，须按\appref{sec:userPositionCrb} 的带限约定评估、同样不用循环/块周期约定，否则该曲率项会被观测窗边界的导数奇异主导而失去物理意义。在误指定界所要求的正则性与模型族上的无偏约束下，估计器满足 $\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\theta})\succeq\mathbf A^{-1}\mathbf B\mathbf A^{-1}$，$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{mcrb} 取该矩阵对应 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的子块；叠加偏置外积即得正文绕真值的总误差界 \eqref{eq:sec5_mcrb}；采用 \eqref{eq:F5_bias} 时，偏置只取一阶近似。仅在单个分布下令估计均值等于伪真值，不足以保证这一界。正则大样本条件下，\gls{mml} 的渐近协方差由同一 sandwich 矩阵给出；有限样本时不能直接把它当作实际误差协方差。
|
||
|
||
\paragraph{一致性与稳健性}
|
||
当 $\boldsymbol\delta^\star\to\mathbf0$ 时，残差和伪真值偏置趋于零，误指定界退回时间戳已知为零的同步基线。它一般不同于将时间戳作为未知干扰参数时的界，即使后者也在零偏移处求值。小偏移下，方差变化与偏置外积应分别评估，不能仅由偏置是二阶均方误差项就断定它占主导。
|
||
|
||
当导频为单音且时移仅改变复增益时，时间戳导数经投影为零，假设同步的模型仍可用等效复增益表示真实均值，因此不会由这一时移产生主参数失配偏置。一般包络下，一阶偏置由 \eqref{eq:F5_bias} 给出，量级通常为 $O(\|\boldsymbol\delta^\star\|)$，偏置外积才是二阶量；其大小取决于投影后交叉信息与主参数信息矩阵的条件数。
|
||
|
||
\subsection{位置模型下的时延--时间戳同轴混淆}
|
||
\label{subsec:F6_tauDeltaConfound}
|
||
|
||
\appref{subsec:F1_fimBlockStruct}--\appref{subsec:F5_mcrb} 把 $\delta_\ell$ 加在多用户 \gls{doa} 基线、主参数取 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$。本小节把同一套 Schur 机器搬到第~\ref{sec:userPositioning} 节含传播时延的位置模型、主参数取 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu\text{-}pos}}$，量化正文第~\ref{subsec:tauDeltaConfound} 小节的混淆结论。
|
||
|
||
\paragraph{均值导数共线}
|
||
群时延位置模型下载波相位吸入 $\zeta_\ell$，$\delta_\ell$ 只经导频包络 $s_k(t-\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)-\delta_\ell)$ 进入，其对均值的导数退化为单一时延模板
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:F6_jdelta}
|
||
\frac{\partial\mathbf g_{\ell,k}}{\partial\delta_\ell}\bigg|_{\delta_\ell=0}
|
||
=\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k),
|
||
\qquad
|
||
\big[\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\big]_t=-\dot s_k\big(t-\tau_{\ell,k}\big)e^{j\nu_{\ell,k}t},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
在零时间戳处，\eqref{eq:F6_jdelta} 与参考时延导数同形，并与位置导数的时延分量共线。方向模型与位置模型中，恒定相位都可由自由复增益吸收；位置模型的新增混淆来自包络中传播时延与时间戳的相加。
|
||
|
||
\paragraph{单用户退化}
|
||
单用户下，每颗非参考星的时间戳导数可吸收该星位置导数中的包络时移分量。参考星的包络位移由自由参考时延吸收。因此，在同时消去复增益、参考时延和时间戳后，位置有效导数只保留角度与 Doppler 导数经同一干扰参数投影后的分量，可记为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:F6_singleuser}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\mathbf p)\big|_{\tau_{\mathrm{ref}},\boldsymbol\delta\text{ marg.}}
|
||
=\mathcal I_{\mathrm e}^{\,\mathrm{ang+dop,proj}}(\mathbf p),
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
这里右端仍包含未知时延的投影损失，不等同于已知时延的角度--Doppler 基线。位置的时延导数被消去，并不意味着总位置矩阵必然奇异；剩余角度与 Doppler 信息是否满秩由卫星几何决定。
|
||
|
||
\paragraph{多用户恢复}
|
||
多用户下 $\delta_\ell$ 是逐星参数、被该星 $K$ 个用户共享，其对均值的导数为单一合成方向
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\delta_\ell}
|
||
=\sum_{k=1}^{K}\zeta_{\ell,k}\,\mathbf q_{\ell,k}^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k);
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
若消去复增益后，$K$ 个用户的时延导数在实参数意义下独立，则消去一个共享时间戳可保留 $K-1$ 个相对时延方向。导数相关时，保留的维数可能更少。对相对于参考星的观测时延再作用户间差分，有
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\big[\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)+\delta_\ell\big]
|
||
-\big[\Delta\tau_{\ell,k'}(\mathbf p_{k'})+\delta_\ell\big]
|
||
=\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)-\Delta\tau_{\ell,k'}(\mathbf p_{k'})
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
这样可消去共享时间戳，但不自动得到位置或时间戳的唯一解。还需消去各用户的参考时延，并检查剩余位置 Jacobian 的实秩；角度与 Doppler 的几何信息也参与这一判断。
|
||
|
||
\paragraph{时延通道的维数与局部秩}
|
||
为单独考察包络时延，设全部 $LK$ 条链路均可提供独立的局部时延观测，记其无噪声值为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:F6_delay_design}
|
||
z_{\ell,k}=\tau_{\mathrm{ref},k}
|
||
+\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)+\delta_\ell,
|
||
\qquad
|
||
\Delta\tau_{\ell_{\mathrm{ref}},k}=0,\quad
|
||
\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
参考时延与星钟偏移的设计矩阵秩为 $K+L-1$：参考星的 $K$ 行先确定各用户参考时延，其余各星再各引入一个独立的公共偏移。消去这些参数后，时延观测至多保留 $(L-1)(K-1)$ 个独立方向。任选一个参考用户 $k_0$，可用双重差分表示这些方向：
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:F6_double_difference}
|
||
z_{\ell,k}-z_{\ell_{\mathrm{ref}},k}
|
||
-z_{\ell,k_0}+z_{\ell_{\mathrm{ref}},k_0}
|
||
=\Delta\tau_{\ell,k}(\mathbf p_k)
|
||
-\Delta\tau_{\ell,k_0}(\mathbf p_{k_0}).
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
因此，仅依靠时延联合估计 $K$ 个三维位置，必要的维数条件为 $(L-1)(K-1)\geq 3K$；若每个位置受已知高度约束，右端改为 $2K$。满足计数条件后，还须检查 \eqref{eq:F6_double_difference} 对位置参数的 Jacobian 是否满列秩。差分噪声通常相关，计算信息量时须使用完整协方差。加入角度或 Doppler 后，应检查完整观测模型，不能继续把这一时延通道的计数条件当作必要条件。
|
||
|
||
\paragraph{完整模型的投影判据}
|
||
将所有实值目标参数记为 $\boldsymbol\eta$，其余均值参数记为 $\boldsymbol\psi$。例如，只考察位置时，$\boldsymbol\psi$ 包括参考时延、参考 Doppler、时间戳及复增益的实部和虚部。对白化复均值导数取实部与虚部，构造实矩阵
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:F6_real_jacobian}
|
||
\mathbf W_x=\sqrt{2}
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\Re\{\mathbf R^{-1/2}\mathbf J_x\}\\
|
||
\Im\{\mathbf R^{-1/2}\mathbf J_x\}
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\qquad x\in\{\eta,\psi\}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathbf R$ 是堆叠噪声协方差，$\mathbf J_x$ 是相应均值 Jacobian。独立未知噪声方差与均值参数信息正交，不改变这里的投影。用 $\dagger$ 表示 Moore--Penrose 逆，有
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:F6_rank_test}
|
||
\begin{aligned}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
|
||
&=\mathbf W_\eta^\Tran
|
||
(\mathbf I-\mathbf W_\psi\mathbf W_\psi^\dagger)\mathbf W_\eta,\\
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)\succ0
|
||
&\ \Longleftrightarrow\
|
||
\operatorname{rank}[\mathbf W_\psi,\mathbf W_\eta]
|
||
-\operatorname{rank}(\mathbf W_\psi)=\dim\boldsymbol\eta .
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
该等价关系来自投影矩阵的对称幂等性：有效信息的零空间正是目标导数被干扰导数张成空间吸收的方向。\eqref{eq:F6_rank_test} 判断正则模型的一阶局部可辨识性；奇异点的高阶可辨识性及相距较远的参数模糊需要另行分析。由此，用户数的作用须结合卫星数、几何与可用观测通道判断，不能给出统一的用户数阈值。
|
||
|
||
\paragraph{一般情形}
|
||
一般 $L$ 和任意时间戳真值可按\appref{subsec:F3_numericalEfim} 评估。先消复增益、再消逐星时间戳时，时间戳信息块仍为对角；若先消去跨星共享的参考时延或其他主参数，则剩余时间戳块可能耦合。计算形式由消元顺序决定，与偏移是否超过导频自相关宽度无关。
|
||
|
||
\subsection{摘要融合中的联合扰动吸收与跨用户传播}
|
||
\label{subsec:H_summary_poisoning}
|
||
|
||
前一小节讨论完整波形模型的局部信息。本小节改用逐链路角度、时延差和 Doppler 差的实值摘要，
|
||
分析捕获异常怎样改变联合位置--时间戳解。摘要的固定通道尺度定义工作归一化；
|
||
它不自动等于实际误差协方差的白化，也不把本小节的最小二乘矩阵变成完整波形模型的 Fisher 信息。
|
||
用户位置 $\mathbf p_k\in\mathbb R^3$ 自由，地固用户的惯性系速度为
|
||
$\boldsymbol\omega_{\mathrm E}\times\mathbf p_k$，几何及其位置导数在同一参考时刻计算。
|
||
每星 offset 被全部用户共享，参考星的 offset 固定为零，跨星载波相位不作为摘要观测。
|
||
|
||
\paragraph{固定权重的稀疏联合扰动}
|
||
将用户 $k$ 的摘要按固定行序堆叠为 $\mathbf z_k$，其模型为
|
||
$\mathbf m_k(\mathbf p_k,\boldsymbol\delta)$。
|
||
非参考链路提供时延差、Doppler 差及两角，参考链路只提供两角。
|
||
令 $\mathbf C_k$ 为固定通道尺度的对角矩阵，$\mathbf V_k$ 为固定非负行权矩阵，
|
||
$\mathbf R_k=\mathbf V_k^{1/2}\mathbf C_k^{-1}$。
|
||
零权行直接删除。对真值附近的确定性输入变化 $\Delta\mathbf z_k$，定义
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:H_summary_design}
|
||
\begin{aligned}
|
||
\mathbf e_k&=\mathbf R_k\Delta\mathbf z_k,\qquad
|
||
\mathbf A_k=\mathbf R_k\frac{\partial\mathbf m_k}{\partial\mathbf p_k^\Tran},\qquad
|
||
\mathbf B_k=\mathbf R_k\frac{\partial\mathbf m_k}{\partial\boldsymbol\delta^\Tran},\\
|
||
\mathbf A&=\operatorname{blkdiag}(\mathbf A_1,\ldots,\mathbf A_K),\qquad
|
||
\mathbf B=\begin{bmatrix}\mathbf B_1\\\vdots\\\mathbf B_K\end{bmatrix},\qquad
|
||
\mathbf e=\begin{bmatrix}\mathbf e_1\\\vdots\\\mathbf e_K\end{bmatrix},\\
|
||
Q(\Delta\boldsymbol\eta,\Delta\boldsymbol\delta)
|
||
&=\|\mathbf e-\mathbf A\Delta\boldsymbol\eta-\mathbf B\Delta\boldsymbol\delta\|_2^2,
|
||
\qquad \Delta\boldsymbol\eta=[\Delta\mathbf p_1^\Tran,\ldots,\Delta\mathbf p_K^\Tran]^\Tran.
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
所有导数在同一工作点求值，$\mathbf B_k$ 只在时延差行非零。
|
||
具体地，记星到用户方向为 $\mathbf u_\ell=\dfrac{\mathbf p-\mathbf s_\ell}{r_\ell}$，
|
||
$r_\ell=\|\mathbf p-\mathbf s_\ell\|_2$，
|
||
$\mathbf U_\ell=\dfrac{\mathbf I-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran}{r_\ell}$，
|
||
$\mathbf O_{\mathrm E}\mathbf p=\boldsymbol\omega_{\mathrm E}\times\mathbf p$。
|
||
以 $\ell_0$ 为参考星，采用正时间相位 $e^{j\nu t}$ 的摘要约定，原始几何行导数为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:H_summary_geometry_derivatives}
|
||
\begin{aligned}
|
||
\frac{\partial\Delta\tau_\ell}{\partial\mathbf p^\Tran}
|
||
&=\frac{(\mathbf u_\ell-\mathbf u_{\ell_0})^\Tran}{c_0T_{\mathrm s}},\\
|
||
\frac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial\mathbf p^\Tran}
|
||
&=\frac{2\pi T_{\mathrm s}}{\lambda_{\mathrm c}}
|
||
\left[(\mathbf v_\ell-\mathbf O_{\mathrm E}\mathbf p)^\Tran\mathbf U_\ell
|
||
-\mathbf u_\ell^\Tran\mathbf O_{\mathrm E}
|
||
-(\mathbf v_{\ell_0}-\mathbf O_{\mathrm E}\mathbf p)^\Tran\mathbf U_{\ell_0}
|
||
+\mathbf u_{\ell_0}^\Tran\mathbf O_{\mathrm E}\right].
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
角行采用同一星到用户方向在已知阵列坐标系中的两角导数。
|
||
每个非参考星的列在该用户对应的时延差行取该行的归一化系数。
|
||
若时延用样本计，offset 也用样本计；若改为秒，须同时换算两者及其列尺度。
|
||
对指定用户 $a$ 的若干非参考链路，以固定选择矩阵表示联合污染：
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:H_joint_sparse_error}
|
||
\mathbf e_a=\mathbf S_{\tau,a}\mathbf u_\tau+\mathbf S_{\nu,a}\mathbf u_\nu
|
||
=\mathbf E_a\mathbf u,
|
||
\qquad \mathbf u=\begin{bmatrix}\mathbf u_\tau\\\mathbf u_\nu\end{bmatrix},
|
||
\qquad \mathbf e_k=\mathbf0\quad(k\ne a).
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
这里 $\mathbf u_\tau,\mathbf u_\nu$ 是经固定尺度及权重变换后的实际扰动，
|
||
不要求它们来自独立抽样。参考链路被污染时，应先形成实际差分误差向量；
|
||
同一个参考误差会进入多条差分行，不能继续用只污染非参考链路的选择方式。
|
||
|
||
\paragraph{先消位置，再解共享时间戳}
|
||
假设各 $\mathbf A_k$ 满列秩。令
|
||
$\mathbf P_k=\mathbf I-\mathbf A_k\mathbf A_k^\dagger$，
|
||
$\mathbf P=\operatorname{blkdiag}(\mathbf P_1,\ldots,\mathbf P_K)$，并定义
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:H_offset_residual_design}
|
||
\mathbf Z=\mathbf P\mathbf B,\qquad
|
||
\mathbf b=\mathbf P\mathbf e,\qquad
|
||
\mathbf S=\mathbf Z^\Tran\mathbf Z
|
||
=\sum_k\mathbf B_k^\Tran\mathbf P_k\mathbf B_k,\qquad
|
||
\boldsymbol\gamma=\mathbf Z^\Tran\mathbf b.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
对给定 $\Delta\boldsymbol\delta$，位置最小二乘解为
|
||
$\mathbf A_k^\dagger(\mathbf e_k-\mathbf B_k\Delta\boldsymbol\delta)$。
|
||
代回 \eqref{eq:H_summary_design} 得到
|
||
$\|\mathbf b-\mathbf Z\Delta\boldsymbol\delta\|_2^2$。
|
||
若 $\mathbf S\succ0$，共享时间戳、用户位置及拟合残差的唯一局部解为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:H_poison_block_maps}
|
||
\begin{aligned}
|
||
\widehat{\Delta\boldsymbol\delta}&=\mathbf S^{-1}\boldsymbol\gamma,\\
|
||
\widehat{\Delta\mathbf p_a}
|
||
&=\mathbf A_a^\dagger\mathbf e_a
|
||
-\mathbf A_a^\dagger\mathbf B_a\mathbf S^{-1}\boldsymbol\gamma,\\
|
||
\widehat{\Delta\mathbf p_k}
|
||
&=-\mathbf A_k^\dagger\mathbf B_k\mathbf S^{-1}\boldsymbol\gamma
|
||
\quad(k\ne a),\\
|
||
\widehat{\mathbf r}_k
|
||
&=\mathbf P_k(\mathbf e_k-\mathbf B_k\mathbf S^{-1}\boldsymbol\gamma).
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
式~\eqref{eq:H_poison_block_maps} 将污染用户的直接位置变化与经共享 offset 的变化分开。
|
||
在本摘要模型的块对角工作权重下，未污染用户的跨用户位置变化只经共享 offset 传播。
|
||
实际共享参考误差的完整协方差若混合用户块，须重新构造全局归一化矩阵，不能直接沿用这一分解。
|
||
若 $\mathbf S$ 奇异，可用 $\mathbf Z^\dagger\mathbf b$ 给出一个最小范数解；
|
||
零空间方向会改变部分位置或 offset 时，应报告解的不唯一性，不能把该解称为唯一扰动预测。
|
||
|
||
\paragraph{已知与未知 offset 的吸收差别}
|
||
固定真实 offset 时，位置扰动为 $\mathbf A_k^\dagger\mathbf e_k$，残差为 $\mathbf b$。
|
||
将 offset 放开后，新增可吸收空间为 $\operatorname{range}(\mathbf Z)$，且
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:H_extra_absorption}
|
||
\begin{aligned}
|
||
\operatorname{range}[\mathbf A,\mathbf B]
|
||
&=\operatorname{range}(\mathbf A)\mathbin{\oplus}\operatorname{range}(\mathbf Z),\\
|
||
Q_{\mathrm{known}}-Q_{\mathrm{unknown}}
|
||
&=\boldsymbol\gamma^\Tran\mathbf S^{-1}\boldsymbol\gamma\ge0.
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
两个空间正交，因为 $\mathbf A^\Tran\mathbf Z=\mathbf0$。
|
||
投影 $\mathbf b$ 到第二个空间即可证明成本差式。
|
||
对特定污染，新增吸收严格为正当且仅当 $\boldsymbol\gamma\ne\mathbf0$。
|
||
未污染用户 $k$ 的位置变化非零还要求
|
||
$\mathbf A_k^\dagger\mathbf B_k\mathbf S^{-1}\boldsymbol\gamma\ne\mathbf0$。
|
||
因此，存在 offset 自由度既不保证吸收任意污染，也不保证污染传到每个用户。
|
||
若 $\boldsymbol\gamma=\mathbf0$，放开 offset 不改变该污染的解；
|
||
若 $\mathbf A_k^\Tran\mathbf B_k=\mathbf0$，用户 $k$ 的位置不接受这条传播路径，
|
||
即使其他用户推动了 offset 变化。
|
||
|
||
\paragraph{Doppler 经位置耦合推动 offset}
|
||
对 \eqref{eq:H_joint_sparse_error} 定义
|
||
$\mathbf L_\tau=\mathbf B_a^\Tran\mathbf P_a\mathbf S_{\tau,a}$、
|
||
$\mathbf L_\nu=\mathbf B_a^\Tran\mathbf P_a\mathbf S_{\nu,a}$。
|
||
由于 $\mathbf B_a^\Tran\mathbf S_{\nu,a}=\mathbf0$，有
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:H_delay_doppler_interaction}
|
||
\begin{aligned}
|
||
\boldsymbol\gamma&=\mathbf L_\tau\mathbf u_\tau+\mathbf L_\nu\mathbf u_\nu,\\
|
||
\mathbf L_\nu
|
||
&=-\mathbf B_a^\Tran\mathbf A_a
|
||
(\mathbf A_a^\Tran\mathbf A_a)^{-1}\mathbf A_a^\Tran\mathbf S_{\nu,a},\\
|
||
Q_{\mathrm{known}}-Q_{\mathrm{unknown}}
|
||
&=\mathbf u_\tau^\Tran\mathbf L_\tau^\Tran\mathbf S^{-1}\mathbf L_\tau\mathbf u_\tau
|
||
+2\mathbf u_\tau^\Tran\mathbf L_\tau^\Tran\mathbf S^{-1}\mathbf L_\nu\mathbf u_\nu
|
||
+\mathbf u_\nu^\Tran\mathbf L_\nu^\Tran\mathbf S^{-1}\mathbf L_\nu\mathbf u_\nu.
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
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Doppler 对 timestamp 的直接导数为零，但 Doppler 异常推动的位置变化可改变时延拟合，进而改变共享 offset。
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交叉项可以增强或抵消两类异常的作用，实际联合向量须一起代入。
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若仅在期望中令两类扰动独立且零均值，交叉项的期望为零；单次实现仍保留该项。
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\paragraph{同构用户的定量规律}
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设 $K$ 个用户具有相同的工作归一化、位置 Jacobian 和 offset 列，
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$\mathbf A_k=\mathbf A_0$、$\mathbf B_k=\mathbf B_0$，
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$\mathbf S_0=\mathbf B_0^\Tran\mathbf P_0\mathbf B_0\succ0$。
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只有用户 $a$ 受污染时，令
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$\mathbf d_0=\mathbf S_0^{-1}\mathbf B_0^\Tran\mathbf P_0\mathbf e_a$，则
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\begin{equation}
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\label{eq:H_identical_user_dilution}
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\widehat{\Delta\boldsymbol\delta}=\frac{\mathbf d_0}{K},\qquad
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\widehat{\Delta\mathbf p_k}=-\frac{\mathbf A_0^\dagger\mathbf B_0\mathbf d_0}{K} (k\ne a),
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\qquad
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Q_{\mathrm{known}}-Q_{\mathrm{unknown}}
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=\frac{\mathbf d_0^\Tran\mathbf S_0\mathbf d_0}{K}.
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\end{equation}
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这给出固定单用户异常下的 $1/K$ 稀释规律，是共享结构的一个条件性结论。
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如果全部用户受到相同的时延异常 $\mathbf e_k=\mathbf B_0\mathbf d$，则
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offset 可以整体变化 $\mathbf d$，位置不变且残差为零，增加用户数不会解除这种共模混淆。
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不同用户的几何、权重或污染数改变后，应使用 \eqref{eq:H_poison_block_maps}，不外推 $1/K$。
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\paragraph{单行特例与删除污染行的秩}
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记完整摘要 Jacobian $\mathbf J=[\mathbf A,\mathbf B]$ 满列秩，
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$\mathbf H=\mathbf J(\mathbf J^\Tran\mathbf J)^{-1}\mathbf J^\Tran$。
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对任意污染行集合 $\mathcal S$，以 $\mathbf E_{\mathcal S}$ 为坐标选择矩阵，
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$\mathbf H_{\mathcal S\mathcal S}=\mathbf E_{\mathcal S}^\Tran\mathbf H\mathbf E_{\mathcal S}$。
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若 $\mathbf e=\mathbf E_{\mathcal S}\mathbf u$，则
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\begin{equation}
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\label{eq:H_sparse_leverage}
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\widehat{\mathbf r}=(\mathbf I-\mathbf H)\mathbf E_{\mathcal S}\mathbf u,\qquad
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Q_{\mathrm{unknown}}
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=\mathbf u^\Tran(\mathbf I-\mathbf H_{\mathcal S\mathcal S})\mathbf u.
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\end{equation}
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取单行幅度 $s$ 和 leverage $h$，恢复污染行残差 $(1-h)s$、成本 $s^2(1-h)$，
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以及其余行残差能量 $s^2h(1-h)$。
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存在非零、支撑在 $\mathcal S$ 上且被完全吸收的扰动，当且仅当删除这些行后
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$\mathbf J_{-\mathcal S}$ 失去满列秩：
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非零零空间向量 $\mathbf v$ 给出 $\mathbf J\mathbf v$，它只在污染行非零；反向也成立。
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秩亏只保证存在这种扰动，不保证每个联合 delay--Doppler 向量都会被吸收。
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对 $K=1$，每颗非参考星的 offset 只进入一条时延差行，
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任意仅含时延差的扰动都可由 offset 吸收；加入 Doppler 污染后仍须检查完整向量。
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\paragraph{跨用户共识的可用信息与盲区}
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在同一星的时延行，令 $\mathbf c_\ell$ 表示观测时延差减去候选几何时延差的用户向量，
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尚未扣除共享 offset。对 $\mathbf T\mathbf1_K=\mathbf0$ 的用户对比矩阵，
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未归一化残差 $\mathbf r_\ell^\tau$ 满足
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\begin{equation}
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\label{eq:H_consensus_limit}
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\mathbf T\mathbf c_\ell=\mathbf T\mathbf r_\ell^\tau,\qquad
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c_{\ell,k}-\operatorname{med}_{k'}c_{\ell,k'}
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=r_{\ell,k}^\tau-\operatorname{med}_{k'}r_{\ell,k'}^\tau.
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\end{equation}
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median 的平移等变性给出第二式；MAD 也不随公共平移改变。
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对同星同通道的共同归一化尺度，这些等式保持成立。
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因此，当前拟合残差的用户共识是残差向量的统计量，不是新增独立观测。
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非零残差仍可能包含用户分布差异，例如少数用户偏离多数用户；
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标准化的 median/MAD 特征可以放大相对差别，但其分母和噪声也必须一起评估。
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若该通道所有残差绝对值均不超过 $\epsilon$，用户间残差差值不超过 $2\epsilon$；
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若所有通道残差精确为零，任何仅由这些残差构成的共识特征都不能识别污染。
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相同输入、不同真实参数与污染解释之间的区分还需要未被拟合吸收的观测或先验约束。
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一个保留区分信息的条件是残差中的多数用户仍形成紧簇。
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对同星同通道的归一化残差，设严格多数用户满足 $|r_k-r_0|\le\epsilon_0$，
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待检用户满足 $r_a=r_0+\Delta$、$|\Delta|>\epsilon_0$。
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以 $\epsilon_{\mathrm{reg}}>0$ 为固定分母下限，则
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\begin{equation}
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\label{eq:H_consensus_separation}
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d_a=\frac{|r_a-\operatorname{med}_kr_k|}
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{1.4826\operatorname{MAD}_kr_k+\epsilon_{\mathrm{reg}}}
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\ge\frac{|\Delta|-\epsilon_0}{2(1.4826)\epsilon_0+\epsilon_{\mathrm{reg}}}.
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\end{equation}
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证明是 median 位于 $[r_0-\epsilon_0,r_0+\epsilon_0]$，
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多数用户到 median 的距离至多为 $2\epsilon_0$，从而 MAD 也至多为 $2\epsilon_0$。
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当 $\epsilon_0\ll|\Delta|$ 时，即使绝对残差都较小，共识特征仍可保留显著的相对差别。
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这个条件须由拟合后的实际残差核对，不能仅凭输入污染稀疏就假设成立；
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共模残差、无严格多数或完全吸收的情形不提供该保证。
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一种可计算的留出核对是排除用户 $a$，只用其余用户估计 offset。
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若 $\mathbf S_{-a}=\sum_{k\ne a}\mathbf B_k^\Tran\mathbf P_k\mathbf B_k\succ0$，则
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\begin{equation}
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\label{eq:H_leave_user_out}
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\widehat{\Delta\boldsymbol\delta}_{-a}
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=\mathbf S_{-a}^{-1}\sum_{k\ne a}\mathbf B_k^\Tran\mathbf P_k\mathbf e_k,
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\qquad
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\mathbf r_a^{\mathrm{out}}
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=\mathbf P_a(\mathbf e_a-\mathbf B_a\widehat{\Delta\boldsymbol\delta}_{-a}).
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\end{equation}
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在本节仅单用户受扰、无新增噪声的局部比较中，训练用户给出零 offset 增量，
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故 $\mathbf r_a^{\mathrm{out}}=\mathbf P_a\mathbf e_a$。
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留出残差避免该用户参与 offset 拟合，但如果 $\mathbf P_a\mathbf e_a=\mathbf0$，
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污染已被该用户的位置自由度吸收，仍不能区分；若 $\mathbf S_{-a}$ 奇异，其他用户也不能唯一锚定 offset。
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这支持检验共享结构的诊断，不直接保证逐残差 Huber 权重或学习门控的成功。
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\paragraph{局部预测的计算范围}
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给定固定行序、污染 mask、通道尺度、权重和位置工作点，
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可由 \eqref{eq:H_poison_block_maps} 输出 offset、污染用户及其他用户位置增量，
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并由 \eqref{eq:H_extra_absorption} 输出新增吸收能量。
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计算时使用 QR 或 SVD 检查 $\mathbf A_k$、$\mathbf Z$、$\mathbf J_{-\mathcal S}$ 的秩，
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在声明的列尺度下报告最弱奇异方向，而不是仅用正规方程求逆。
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用扰动乘以小系数再缩小系数，可检查非线性观测变化的一阶收敛；
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大误捕获、迭代权重更新及候选分支转换需要非线性验证。
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若只核对一轮带阻尼的更新，线性映射改为
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$\widehat{\Delta\boldsymbol\kappa}=(\mathbf J^\Tran\mathbf J+\lambda\boldsymbol\Lambda)^{-1}\mathbf J^\Tran\mathbf e$，
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其中 $\boldsymbol\kappa=[\boldsymbol\eta^\Tran,\boldsymbol\delta^\Tran]^\Tran$，$\boldsymbol\Lambda$ 为固定阻尼矩阵。
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该映射的拟合矩阵一般不幂等，不能套用无阻尼投影的 leverage 恒等式。
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\medskip
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至此，\appref{sec:timestampErrCrb} 给出了时间戳误差的四类结果：作为干扰参数估计时关于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 的 \gls{efim}（见前述各小节），被估计器忽略时的 \gls{mcrb}（\appref{subsec:F5_mcrb}），位置模型下时延--时间戳混淆的秩分析（\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}），以及固定权重摘要融合中的联合扰动吸收与跨用户传播（\appref{subsec:H_summary_poisoning}）。多用户情形与一般 $L$ 的 \gls{efim} 由\appref{subsec:F3_numericalEfim} 的数值流程评估，作为后续数据驱动方法与界对比的基础。
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