josh
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原句把"ℓ/ν_ℓ 记号定义"夹在主句与"维度膨胀"结论之间，语序绕；且"这里 ℓ"在 ℓ 尚未出场时即指代它。拆成三句：①L 星几何多样性给出新信息维度； ②以 ℓ 索引卫星/链路、ν_ℓ 为该链路 Doppler（对照 sec2 的 ν_k）；③若视 L 个 ν_ℓ 为独立参数则主参数维度膨胀。ℓ 在第②句正式引入后再使用。
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\section{多星协作——单用户全局参数化}
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\label{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}
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第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节的根本限制在于：单阵列只有单一孔径，\gls{doa} 估计精度的尺度由该孔径决定（孔径越大、\gls{doa} 的 \gls{crb} 越低；超分辨算法可突破经典瑞利分辨极限，但其精度仍受该 \gls{crb} 约束），单链路 Doppler 只提供一个标量约束。
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当 $L$ 颗卫星从不同轨道位置同时观测同一用户时，几何多样性给出了新的信息维度。以 $\ell$ 索引卫星/链路，同一用户信号在第 $\ell$ 条链路上的 Doppler 记为 $\nu_\ell$（不同于第~\ref{sec:det_doa_doppler_est} 节按信源索引、各自独立的 $\nu_k$）。但若把这 $L$ 个 $\nu_\ell$ 都视为独立参数，主参数维度会从 $2$ 膨胀到 $2+L$，无谓地放大搜索空间。
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本节的关键观察是：这 $L$ 个链路 Doppler 受卫星轨道几何约束（\gls{leo} 链路的 Doppler 由轨道相对运动决定，参见~\cite{aliDopplerCharacterizationLEO1998}），并\emph{不}独立——一旦给定全局方向 $\boldsymbol\xi$ 和任意一条参考链路上的 $\nu_{\mathrm{ref}}$，其余链路的 $\nu_\ell$ 由已知几何唯一诱导。
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\emph{参考星参数化}正是利用这一约束把主参数维度压回 $3$ 维的工具。下面先建立全局/局部几何映射与参考星参数化（\S\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\S\ref{subsec:refSatParameterization}），再给出多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合似然与集中似然准则；详细 \gls{crb} 与 \gls{fim} 推导见\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。
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\subsection{全局/局部 DoA 映射}
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\label{subsec:globalLocalDoaMap}
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后文统一采用全局方向参数
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\begin{equation}
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\boldsymbol\xi
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\triangleq
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\begin{bmatrix}
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||
\alpha\\
|
||
\beta
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\qquad
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||
\mathbf u(\boldsymbol\xi)
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\cos\beta\cos\alpha\\
|
||
\cos\beta\sin\alpha\\
|
||
\sin\beta
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\qquad
|
||
\|\mathbf u(\boldsymbol\xi)\|_2=1.
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||
\end{equation}
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%
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其中 $\alpha$ 为全局方位角，$\beta$ 为全局俯仰角；多用户场景下可写为 $\boldsymbol\xi_k$，本节单用户主线中省略下标。
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设第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的位置与速度分别为 $\mathbf s_\ell$ 和 $\mathbf v_\ell$。其本地阵列坐标基为
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%
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\begin{equation}
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||
\mathbf e_{3,\ell}=-\frac{\mathbf s_\ell}{\|\mathbf s_\ell\|_2},
|
||
\qquad
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||
\mathbf e_{2,\ell}=\frac{\mathbf s_\ell\times\mathbf v_\ell}{\|\mathbf s_\ell\times\mathbf v_\ell\|_2},
|
||
\qquad
|
||
\mathbf e_{1,\ell}=\mathbf e_{2,\ell}\times\mathbf e_{3,\ell}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
从本地坐标系到全局坐标系的旋转矩阵记为
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%
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\begin{equation}
|
||
\boldsymbol{\Omega}_\ell
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathbf e_{1,\ell},\mathbf e_{2,\ell},\mathbf e_{3,\ell}
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in\mathbb R^{3\times 3}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
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||
第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的来向向量为
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||
%
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\begin{equation}
|
||
\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}
|
||
=
|
||
\boldsymbol{\Omega}_\ell^\Tran\mathbf u(\boldsymbol\xi)
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
u^{\mathrm{loc}}_{\ell,1},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,2},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,3}
|
||
\end{bmatrix}^\Tran,
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
对应的局部方位角与俯仰角统一记为
|
||
%
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||
\begin{equation}
|
||
\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}
|
||
=
|
||
\operatorname{atan2}\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,2},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,1}\big),
|
||
\qquad
|
||
\beta_\ell^{\mathrm{loc}}
|
||
=
|
||
\arcsin\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,3}\big).
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
第 $\ell$ 颗卫星的阵列导向矢量统一定义为
|
||
%
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\begin{equation}
|
||
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf a_\ell\big(\alpha_\ell^{\mathrm{loc}},\beta_\ell^{\mathrm{loc}}\big)
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell\times 1},
|
||
\end{equation}
|
||
%
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||
其中 $\mathbf a_\ell(\cdot)$ 的具体形式按第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节的 \gls{ula}/\gls{upa} 模板代入即可。后续静态与多帧模型均统一使用该记号；$\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$ 始终只表示\emph{阵列导向矢量}，不再用于轨道动力学中的加速度量。
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\subsection{参考卫星参数化}
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\label{subsec:refSatParameterization}
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固定选择一颗卫星作为\emph{参考卫星}，其索引记为 $\ell_{\mathrm{ref}}$，除特别说明外默认取 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$。后文中涉及 ``ref'' 的 Doppler 参数，均指\emph{参考卫星链路}上的参数，而不再使用星群质心或星群平均速度定义参考 Doppler。
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||
静态 \gls{doa}--Doppler 主参数统一写为
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%
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\begin{equation}
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||
\label{eq:eta_main}
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||
\boldsymbol\eta
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\boldsymbol\xi\\
|
||
\nu_{\mathrm{ref}}
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in\mathbb R^{3},
|
||
\end{equation}
|
||
%
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||
其中 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为参考时刻、参考卫星链路上的归一化 Doppler。多帧动态模型中主估计目标默认仍是同一个 $\boldsymbol\eta$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧。
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||
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||
给定 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 后，其余卫星的链路参数统一通过几何映射表示为
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||
%
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\begin{equation}
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||
\nu_\ell
|
||
=
|
||
\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
|
||
\qquad
|
||
\dot\nu_\ell
|
||
=
|
||
\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
|
||
\qquad
|
||
\ell=0,1,\ldots,L-1,
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 与 $\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知卫星位置、速度、姿态确定，且 $\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv\Delta\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}\equiv0$。这一组几何映射正是把 $L$ 个原本 ``独立'' 的链路 Doppler 压回到一个标量 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的结构来源。
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||
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\subsection{静态多星信号模型}
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\label{subsec:staticBlockModel}
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||
考虑单用户上行已知训练序列 $s(t)$，在单个观测块内做如下假设：
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\begin{enumerate}
|
||
\item \gls{doa} 在整个观测块内保持不变；
|
||
\item 每条链路的归一化 Doppler 在该观测块内近似为常数；
|
||
\item 每颗卫星对应一个未知复干扰系数 $\zeta_\ell\in\mathbb C$；
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||
\item 不同卫星的噪声方差允许不同（\emph{星间异方差}），但同一颗卫星在该观测块内保持不变。
|
||
\end{enumerate}
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||
第 $\ell$ 颗卫星在第 $t$ 个采样点的接收向量为
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||
%
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\begin{equation}
|
||
\mathbf y_\ell(t)
|
||
=
|
||
\zeta_\ell
|
||
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
|
||
s(t)
|
||
e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})t}
|
||
+
|
||
\mathbf n_\ell(t),
|
||
\qquad
|
||
\mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell}),
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})\triangleq \nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$。
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||
|
||
定义时间模板
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||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
s(0)e^{j\nu_\ell\cdot 0},
|
||
s(1)e^{j\nu_\ell\cdot 1},
|
||
\cdots,
|
||
s(T-1)e^{j\nu_\ell(T-1)}
|
||
\end{bmatrix}^\Tran
|
||
\in\mathbb C^{T\times 1},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
与空时导向向量
|
||
%
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||
\begin{equation}
|
||
\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
\otimes
|
||
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
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||
将第 $\ell$ 颗卫星的观测堆叠并向量化为 $\tilde{\mathbf y}_\ell\triangleq\vect(\mathbf Y_\ell)$，则有
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||
%
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\begin{equation}
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||
=
|
||
\zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
+
|
||
\tilde{\mathbf n}_\ell,
|
||
\qquad
|
||
\tilde{\mathbf n}_\ell\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell T}).
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
本节的干扰参数为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\psi
|
||
=
|
||
\Big[
|
||
\{\zeta_\ell\}_{\ell=0}^{L-1},
|
||
\{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\Big]^\Tran.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\subsection{联合似然与集中似然}
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各星观测条件独立，圆对称复高斯，联合负对数似然为
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||
%
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\begin{equation}
|
||
\mathcal L(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi)
|
||
=
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\left[
|
||
M_\ell T\log\sigma_\ell
|
||
+
|
||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||
\left\|
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||
-
|
||
\zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
\right\|_2^2
|
||
\right].
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
对干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 的逐项闭式消元——先消 $\zeta_\ell$、再消 $\sigma_\ell$——与第~\ref{sec:det_doa_est} 节单阵列情形完全平行；详细矩阵代入见\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}。集中后的轮廓似然估计准则为
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||
%
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\begin{equation}
|
||
\widehat{\boldsymbol\eta}
|
||
=
|
||
\argmin_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
M_\ell T
|
||
\log \mathcal E_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
|
||
\qquad
|
||
\mathcal E_\ell
|
||
\triangleq
|
||
\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2
|
||
-
|
||
\frac{\left|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\right|^2}
|
||
{\|\mathbf g_\ell\|_2^2}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
若实际中 $\sigma_\ell$ 已知或由预处理获得，可退化为加权集中似然形式
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||
%
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||
\begin{equation}
|
||
\widehat{\boldsymbol\eta}
|
||
=
|
||
\argmax_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||
\frac{\left|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\right|^2}
|
||
{\|\mathbf g_\ell\|_2^2}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
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该表达式说明：在多星协作条件下，联合估计等价于在统一的 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 下，对各卫星空时匹配输出按几何与噪声水平进行加权融合。
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\subsection{仿真结果说明}
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图~\ref{fig:dualSatSingleSourceScene} 使用 STK 给出了双星单用户场景，用户位于两颗卫星的交叠覆盖区中，卫星视角为 $\pm 55^\circ$。
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图~\ref{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap} 给出了在存在 Doppler 的情况下，发送导频信号并采用上述 \gls{mle} 方法时，仅进行 \gls{doa} 估计与联合进行 \gls{doa}--Doppler 估计的二维地表坐标估计结果。结果表明，在经度和纬度两个维度上，\gls{doa}--Doppler 联合估计均优于仅 \gls{doa} 估计，但与 \gls{crb} 之间仍存在一定差距，这一差距可能与地面坐标到卫星局部角度的非线性映射有关。对于 Doppler 参数估计，其结果基本达到 \gls{crb}。
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图~\ref{fig:multiSatSingleSourceScene} 使用 STK，按照用户仰角 $15^\circ$ 和卫星视角 $\pm 55^\circ$ 给出了多星单用户场景。在此基础上，可进一步针对不同卫星组合计算 \gls{crb}，从而实现基于 \gls{crb} 的选星。
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\begin{figure}[!h]
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\centering
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\includegraphics[width=0.9\textwidth]{fig/dualSatSingleSourceScene.bmp}
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\caption{静态多星 \gls{doa}--Doppler 主线基线：双星单源几何场景示意}
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\label{fig:dualSatSingleSourceScene}
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\end{figure}
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\begin{figure}[!h]
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\centering
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\includegraphics[width=0.95\textwidth]{fig/doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap.pdf}
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\caption{静态多星 \gls{doa}--Doppler 主线基线：ECI 坐标系下双星 UPA、单信源场景中，单独估计 \gls{doa} 与联合估计 \gls{doa}--Doppler 的 MSE 对比}
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\label{fig:doaDopplerEciDualSatSingleSourceUpa2048Snap}
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\end{figure}
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\begin{figure}[!h]
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\centering
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\includegraphics[width=0.85\textwidth]{fig/multiSatSingleSourceScene.bmp}
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\caption{静态多星 \gls{doa}--Doppler 主线基线：多星单源几何场景示意}
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\label{fig:multiSatSingleSourceScene}
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\end{figure}
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本节完成了多星主线中的静态基线：同一个全局方向 $\boldsymbol\xi$ 同时决定各星局部导向矢量，而参考星 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 通过几何映射决定各星链路 Doppler。
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