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\section{加入 Doppler——单阵列确定信号 DoA--Doppler 估计\texorpdfstring{~\cite{waxSpatioTemporalSpectralAnalysis1984}}{}}
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\label{sec:det_doa_doppler_est}
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第~\ref{sec:det_doa_est}~节把各快拍的信源波形作为未知量。在该模型中，Doppler 相位可被未知波形吸收，因而不能单独辨识。为估计 Doppler，本节将波形限定为已知导频与未知复增益的乘积，使随时间变化的相位具有可辨识的结构。
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阵列和观测窗口的设置保持不变，仍允许 $K$ 个信源。每个信源增加归一化角 Doppler $\nu_k$，并以复增益 $\zeta_k$ 表示未知幅相，由此得到空时导向向量 $\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构。
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详细 \gls{crb} 推导见\appref{sec:det_doa_doppler_crb}。
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\subsection{信号模型}
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\label{subsec:single_arr_doa_doppler_est}
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本节默认 $\nu_k$ 表示第 $k$ 个信源的\emph{归一化角 Doppler}，单位为 rad/sample。Doppler 向量记为
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\begin{equation}
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\boldsymbol\nu
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\triangleq
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[\nu_1,\ldots,\nu_K]^\Tran.
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\end{equation}
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将每个信源的导频 $s_k(t)$ 视为已知，复增益 $\zeta_k\in\mathbb C$ 与归一化 Doppler $\nu_k$ 视为待估。第 $k$ 个信源的导频加权时间模板为
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\begin{equation}
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\mathbf q_k(\nu_k)
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\triangleq
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\begin{bmatrix}
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s_k(0)e^{j\nu_k\cdot0},
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s_k(1)e^{j\nu_k\cdot1},
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\cdots,
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s_k(T-1)e^{j\nu_k(T-1)}
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\end{bmatrix}^\Tran
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\in\mathbb C^{T\times1}.
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\end{equation}
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所有快拍写成矩阵形式
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\begin{equation}
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\mathbf Y
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=
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\sum_{k=1}^{K}\zeta_k\mathbf a(\bm\theta_k)\mathbf q_k^\Tran(\nu_k)
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+
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\mathbf N.
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\end{equation}
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进一步定义第 $k$ 个信源的空时导向向量与整体空时字典
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\begin{equation}
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\mathbf b_{\mathrm{st},k}(\bm\theta_k,\nu_k)
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\triangleq
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\mathbf q_k(\nu_k)\otimes\mathbf a(\bm\theta_k)
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\in\mathbb C^{MT\times1},
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\qquad
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\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)
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\triangleq
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\left[
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\mathbf b_{\mathrm{st},1},\ldots,\mathbf b_{\mathrm{st},K}
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\right]
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\in\mathbb C^{MT\times K},
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\end{equation}
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并记复增益向量 $\boldsymbol\zeta=[\zeta_1,\ldots,\zeta_K]^\Tran$。则向量化观测模型为
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\begin{equation}
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\label{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig}
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\tilde{\mathbf y}
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\triangleq
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\vect(\mathbf Y)
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=
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\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)\boldsymbol\zeta
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+
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\tilde{\mathbf n},
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\qquad
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\tilde{\mathbf n}\triangleq\vect(\mathbf N)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT}).
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\end{equation}
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$\mathbf b_{\mathrm{st},k}$ 的 Kronecker 结构把空间维度的 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 与时间维度的 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 解耦在两个因子上，是本节相比于第~\ref{sec:det_doa_est} 节的核心新结构。
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\subsection{对数似然}
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由 $\tilde{\mathbf n}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_{MT})$ 及 $\boldsymbol\zeta$ 的确定性假设，模型~\eqref{eq:vec_det_doa_doppler_recv_sig} 把 $\tilde{\mathbf y}$ 写成确定均值 $\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta$ 与高斯噪声之和，故 $\tilde{\mathbf y}\sim\mathcal{CN}(\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta,\sigma\mathbf I_{MT})$，对数似然为
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\begin{equation}
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\label{eq:singlelog_likelihood}
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\ln\mathcal L(\sigma,\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta)
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=
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\mathrm{Const}
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-MT\ln\sigma
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-\frac{1}{\sigma}
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\left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2.
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\end{equation}
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对应的 \gls{dml}/\gls{cml} 优化问题为（确定信号叠加模型的精确 \gls{mle} 处理可参见~\cite{breslerExactMaximumLikelihood1986}）
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\begin{equation}
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\label{eq:det_ml_doa_doppler_opt}
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\minimize_{\boldsymbol\zeta,\boldsymbol\nu,\bm\Theta,\sigma}
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\;\;
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MT\ln\sigma
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||
+
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\frac{1}{\sigma}\left\|\tilde{\mathbf y}-\mathbf B_{\mathrm{st}}\boldsymbol\zeta\right\|_2^2.
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\end{equation}
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\subsection{集中似然与联合 DoA--Doppler 准则}
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待估主参数为 $(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$，干扰参数为 $(\boldsymbol\zeta,\sigma)$。在 $\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ 列满秩的假设下，沿用与第~\ref{sec:det_doa_est} 节相同的投影模板消元，可得集中似然准则
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\begin{equation}
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\label{eq:con_det_ml_doa_doppler_opt}
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\big(\widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}},\widehat{\boldsymbol\nu}_{\mathrm{CDML}}\big)
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=
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\argmin_{\bm\Theta,\boldsymbol\nu}
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\tilde{\mathbf y}^\Herm
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\left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)}\right)
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\tilde{\mathbf y},
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\end{equation}
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其中 $\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\triangleq\mathbf B_{\mathrm{st}}\left(\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm\mathbf B_{\mathrm{st}}\right)^{-1}\mathbf B_{\mathrm{st}}^\Herm$ 为空时字典列空间的投影算子。
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对 $\boldsymbol\zeta$ 与 $\sigma$ 的闭式消元过程与第~\ref{sec:det_doa_est} 节的单阵列 \gls{doa} 完全平行，详细矩阵代入见\appref{sec:det_doa_doppler_crb}。
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若 Doppler 本身并非估计目标、仅作为干扰参数，可先对其做轮廓化（profile）处理：
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\begin{equation}
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\widehat{\bm\Theta}_{\mathrm{CDML}}
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=
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\argmin_{\bm\Theta}
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\min_{\boldsymbol\nu}
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\tilde{\mathbf y}^\Herm
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\left(\mathbf I_{MT}-\mathcal P_{\mathbf B_{\mathrm{st}}}\right)
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\tilde{\mathbf y}.
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\end{equation}
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时间模板 $\mathbf q_k(\nu_k)$ 与空间导向矢量 $\mathbf a(\bm\theta_k)$ 共同构成空时子空间，因此联合似然可同时估计方向与 Doppler。两类参数是否存在有效信息耦合，要在消去复增益后判断；在单用户可分离模型中，两类有效导数可以正交。多星几何使链路 Doppler 随全局方向变化时，时间观测还可提供额外的方向信息。
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