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\section{多帧动态模型与连续相位结构}
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\label{sec:dynamicDoaDopplerEst}
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前面的模型采用单观测块。延长观测窗口后，需要描述 Doppler 随时间的变化，并明确不同帧之间的相位关系。
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本节以第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节的单用户多星模型为基础，增加帧索引与 Doppler rate。各星共享的空间方向和阵列姿态在短窗口内冻结，采样时间基保持对齐；多用户和时间戳误差分别在第~\ref{sec:multiSatMultiUser}、\ref{sec:timestampError}~节讨论。
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主估计目标仍为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$（与静态主线式~\eqref{eq:eta_main} 相同），而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。
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本节以 \gls{cp} 描述同星跨帧相位连续的情形，并以各帧相位独立未知的 \gls{ip} 模型作对照，分析相位连续性提供的信息。详细 \gls{fim}/\gls{crb} 推导见\appref{sec:multiFrameCrb}。
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\subsection{时间索引与参考星 Doppler rate}
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设观测窗口含 $P$ 帧，帧索引 $p=0,\ldots,P-1$，单帧采样点数为 $T$，帧内局部索引 $t=0,\ldots,T-1$，第 $p$ 帧起始点的离散偏移记为 $\tau_p$，约定 $\tau_0=0$，全局时间索引 $t_{p,t}\triangleq\tau_p+t$。沿用第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 小节的全局/局部映射 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$，并将其视为在整个短观测窗口内保持不变。
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参考链路上的归一化 Doppler 与 Doppler rate 分别定义为 $\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq\dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}$。其余卫星按
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%
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\begin{equation}
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\nu_\ell
|
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=
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||
\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
|
||
\qquad
|
||
\dot\nu_\ell
|
||
=
|
||
\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
|
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\end{equation}
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%
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由已知几何唯一诱导，沿用第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化。
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物理参考时刻 $t_{\mathrm{ref}}$ 取首帧首采样点，物理时间为 $t_{\mathrm{phys}}=t_{\mathrm{ref}}+T_{\mathrm s}t_{p,t}$；姿态在该时刻冻结。Doppler 的 affine（仿射）时间模型由截距 $f_\ell$（Hz）与斜率 $\dot f_\ell$（Hz/s）确定，系数可由参考时刻的 Taylor 展开或整个窗口的拟合构造。两种构造均采用归一化关系
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%
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\begin{equation}
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\nu_\ell=2\pi T_{\mathrm s}f_\ell,
|
||
\qquad
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||
\dot\nu_\ell=2\pi T_{\mathrm s}^{2}\dot f_\ell.
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\label{eq:sec5_physical_normalized_rates}
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\end{equation}
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%
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这里 $\dot\nu_\ell$ 是相对于采样点索引的 Doppler rate。令 $\Delta\mathbf v_\ell=\mathbf v_\ell-\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}$、$\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}=\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}-\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}^{\mathrm{orb}}$，其中 $\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}$ 为轨道加速度向量。对相对速度投影按物理时间求导，有
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%
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\begin{equation}
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||
\frac{\mathrm d}{\mathrm d t_{\mathrm{phys}}}\Delta f_\ell
|
||
=\frac{\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
|
||
\left[
|
||
(\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}})^\Tran\mathbf u
|
||
+\Delta\mathbf v_\ell^\Tran
|
||
\frac{\mathrm d\mathbf u}{\mathrm d t_{\mathrm{phys}}}
|
||
\right].
|
||
\label{eq:sec5_relative_rate_general}
|
||
\end{equation}
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%
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||
固定全局方向时，$\mathrm d\mathbf u/\mathrm d t_{\mathrm{phys}}=\mathbf0$；在参考时刻取瞬时速度和加速度构造 Taylor 系数，得到
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||
%
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\begin{equation}
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||
\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)
|
||
=\frac{2\pi T_{\mathrm s}^{2}\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
|
||
(\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}})^\Tran\mathbf u(\boldsymbol\xi),
|
||
\qquad \epsilon_D=-1.
|
||
\label{eq:sec5_relative_rate_fixed_direction}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
若实际方向随时间变化，被省略的项须另行评估；空间导向变化可忽略本身并不保证该项的相位贡献可忽略。其在局部二次相位中的误差量级为
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||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\pi}{\lambda_{\mathrm c}}
|
||
\max_\ell\left|
|
||
\Delta\mathbf v_\ell^\Tran
|
||
\frac{\mathrm d\mathbf u}{\mathrm d t_{\mathrm{phys}}}
|
||
\right|
|
||
\left(T_{\mathrm s}\max_{p,t}|t_{p,t}|\right)^2.
|
||
\label{eq:sec5_direction_rate_phase_error}
|
||
\end{equation}
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||
%
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||
采用固定方向近似时，应使 \eqref{eq:sec5_direction_rate_phase_error} 远小于 $1$ rad；各导数量在参考时刻评估，该局部条件与后述高阶时间截断条件分别检查。
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\paragraph{窗口拟合的 affine 系数}
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||
另一种构造利用各帧时刻的已知速度，在固定公共方向下拟合整个窗口。令 $s_p=T_{\mathrm s}\tau_p$ 为相对于 $t_{\mathrm{ref}}$ 的物理秒数，$\mathbf X$ 的第 $p$ 行为 $[1,s_p]$，$\mathbf V_\ell$ 的第 $p$ 行为 $[\mathbf v_\ell(t_{\mathrm{ref}}+s_p)-\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}(t_{\mathrm{ref}}+s_p)]^\Tran$。对完整、有限的帧序列采用无权最小二乘，要求至少两个不同的拟合时刻。相对系数及总系数为
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||
%
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||
\begin{equation}
|
||
\begin{aligned}
|
||
\mathbf c_\ell(\boldsymbol\xi)
|
||
&\triangleq\begin{bmatrix}\Delta f_\ell\\\Delta\dot f_\ell\end{bmatrix}
|
||
=\frac{\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}\mathbf X^\dagger\mathbf V_\ell\mathbf u(\boldsymbol\xi),\\
|
||
\begin{bmatrix}f_\ell\\\dot f_\ell\end{bmatrix}
|
||
&=\begin{bmatrix}f_{\mathrm{ref}}\\\dot f_{\mathrm{ref}}\end{bmatrix}+\mathbf c_\ell(\boldsymbol\xi),
|
||
\qquad \epsilon_D=-1.
|
||
\end{aligned}
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||
\label{eq:sec5_affine_window_coefficients}
|
||
\end{equation}
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||
%
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||
参考星的 $\mathbf V_{\ell_{\mathrm{ref}}}=\mathbf0$，故相对截距与斜率均为零。拟合截距表示直线在参考时刻的值，斜率表示窗口内的等效 rate；轨道 Doppler 存在曲率时，它们一般不同于该时刻的瞬时值与瞬时导数。两种系数构造在精确 affine 轨迹上相同；选定一种构造后，观测均值、候选模板和信息矩阵使用同一映射。窗口拟合保持空间方向与姿态冻结，仅沿时间使用已知速度序列；角导数、参考参数的加性关系及原点变换见\appref{subsec:A7_affine_window_derivatives}。
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\subsection{连续相位多帧信号模型（CP）}
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\label{subsec:dynamicCpModel}
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短窗口模型将 Doppler 表示为时间的 affine 函数，其系数可由 Taylor 展开或 \eqref{eq:sec5_affine_window_coefficients} 构造。以参考时刻为 $t_{p,t}=0$，对所选频率直线积分，得到
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%
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\begin{equation}
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||
\nu_\ell(\tau)\approx\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau,
|
||
\qquad
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||
\phi_\ell(t_{p,t})
|
||
\approx
|
||
\int_0^{t_{p,t}}\nu_\ell(\tau)\,\diff\tau
|
||
=\nu_\ell t_{p,t}+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2.
|
||
\label{eq:sec5_first_order_doppler}
|
||
\end{equation}
|
||
%
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||
对于 Taylor 构造，短窗口的适用条件是被省略的三阶相位项在整个观测窗口内远小于 $1$ rad，例如
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%
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\begin{equation}
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||
\frac{1}{6}\max_\ell|\ddot\nu_\ell|
|
||
\big(\max_{p,t}|t_{p,t}|\big)^3
|
||
\ll 1,
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||
\label{eq:sec5_third_order_error}
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||
\end{equation}
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||
%
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||
对于窗口拟合，令 $e_\ell(s)$ 为实际 Doppler 与所选拟合直线之差，时间近似应检查
|
||
%
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||
\begin{equation}
|
||
\max_{\ell,p,t}\left|2\pi\int_0^{T_{\mathrm s}t_{p,t}}e_\ell(s)\,\diff s\right|\ll1.
|
||
\label{eq:sec5_affine_phase_residual}
|
||
\end{equation}
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||
%
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||
仅拟合帧节点上的小残差不能代替 \eqref{eq:sec5_affine_phase_residual} 的相位误差检查。以 affine 模型本身生成观测时，二次相位是该模型的精确定义。两种构造都要求阵列姿态与来向变化对空间导向矢量的影响可忽略。若进一步采用静态模型中的常 Doppler 近似，还需满足
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||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{1}{2}\max_\ell|\dot\nu_\ell|
|
||
\big(\max_{p,t}|t_{p,t}|\big)^2
|
||
\ll 1;
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\label{eq:sec5_constant_doppler_condition}
|
||
\end{equation}
|
||
%
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||
否则应保留本节的 Doppler rate。
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||
|
||
据此，第 $\ell$ 颗卫星在第 $p$ 帧第 $t$ 个采样点的归一化相位采用二次相位近似：
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||
%
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||
\begin{equation}
|
||
\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t)
|
||
=
|
||
\nu_\ell t_{p,t}
|
||
+
|
||
\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2,
|
||
\qquad
|
||
t_{p,t}=\tau_p+t.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
若第 $p$ 帧训练序列为 $s_p(t)$，并定义结构化连续相位复增益
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}
|
||
\triangleq
|
||
\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell},
|
||
\qquad
|
||
\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\in\mathbb R_{\ge0},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
则 \gls{cp} 模型接收向量为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t)
|
||
=
|
||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}
|
||
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
|
||
s_p(t)
|
||
e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t)}
|
||
+
|
||
\mathbf n_{\ell,p}(t),
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathbf n_{\ell,p}(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell})$。
|
||
$\chi_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的\emph{公共相位}，由同一颗卫星的不同帧共享——这是 \gls{cp} 模型相比静态模型的核心新结构：它把 $L\times P$ 个块复增益的自由度从 ``$LP$ 个独立复数'' 压回为 ``$L$ 个公共相位 + $LP$ 个非负实幅度''，从而显式利用跨帧绝对时间信息。
|
||
|
||
定义 \gls{cp} 模板与空时模板
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%
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\begin{equation}
|
||
\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
s_p(0)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(0)},
|
||
\cdots,
|
||
s_p(T-1)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(T-1)}
|
||
\end{bmatrix}^\Tran,
|
||
\qquad
|
||
\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||
\otimes
|
||
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi),
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
则向量化模型为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||
=
|
||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}
|
||
\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
+
|
||
\tilde{\mathbf n}_{\ell,p}.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\subsection{独立相位基线模型（IP）}
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\label{subsec:independentPhaseModel}
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|
||
为量化跨帧绝对相位连续性的收益，引入\gls{ip} 基线模型作为对照。将 \gls{cp} 相位项分解：
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%
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||
\begin{equation}
|
||
\nu_\ell t_{p,t}+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2
|
||
=
|
||
\underbrace{\nu_\ell\tau_p+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell\tau_p^2}_{\text{帧间常相位项}}
|
||
+
|
||
\underbrace{(\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau_p)t+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2}_{\text{帧内局部相位演化}}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
若允许每一帧具有独立未知相位 $\vartheta_{\ell,p}$，则帧间常相位项可被块相位吸收。令第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复干扰系数记为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}
|
||
=
|
||
\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}
|
||
\in\mathbb C,
|
||
\qquad
|
||
\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb R_{\ge 0},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
对应的局部归一化 Doppler $\bar\nu_{\ell,p}\triangleq\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau_p$，则 \gls{ip} 模型可写为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf y^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(t)
|
||
=
|
||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}
|
||
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
|
||
s_p(t)
|
||
\exp\left\{
|
||
j\left[
|
||
\bar\nu_{\ell,p}t+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2
|
||
\right]
|
||
\right\}
|
||
+
|
||
\mathbf n_{\ell,p}(t).
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
相应的 \gls{ip} 模板与空时模板 $\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$、$\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 按相同方式定义。
|
||
\gls{cp} 与 \gls{ip} 的差别集中在块复增益的自由度：\gls{cp} 保留 $L$ 个跨帧公共相位 $\{\chi_\ell\}$，\gls{ip} 则放弃跨帧绝对相位关系。后续 \gls{fim}/\gls{crb} 对比将量化保留公共相位 $\chi_\ell$ 带来的信息差异。
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||
|
||
\subsection{联合似然与集中似然}
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||
\gls{cp} 模型的干扰参数向量为
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||
%
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\begin{equation}
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||
\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}
|
||
=
|
||
\Big[
|
||
\dot\nu_{\mathrm{ref}},
|
||
\{\chi_\ell\}_{\ell=0}^{L-1},
|
||
\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}_{\ell,p},
|
||
\{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\Big]^\Tran.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
在 ``星间异方差、星内短窗同方差'' 假设下，联合负对数似然为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal L^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}})
|
||
=
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log\sigma_\ell
|
||
+
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||
\sum_{p=0}^{P-1}
|
||
\left\|
|
||
\mathbf Y^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||
-
|
||
\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell}
|
||
\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
|
||
\big(\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\big)^\Tran
|
||
\right\|_{\mathrm{F}}^2.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
依次对 $\sigma_\ell$ 做轮廓化、对非负幅度 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 做正部最小二乘消元后，结构化 \gls{cp} 集中似然估计准则可写为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\widehat{\boldsymbol\eta}
|
||
=
|
||
\argmin_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
\min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\}}
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{cp,str}}_\ell.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str}}_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星在结构化幅度消元后聚合而成的每星残差，详细矩阵代入与正部投影的闭式表达见\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb}。
|
||
|
||
\subsection{放松连续相位与 IP 集中准则}
|
||
\label{subsec:dynamicRelaxedModel}
|
||
|
||
实际搜索时，可进一步把同星跨帧公共相位约束放松为每块自由复系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$（仅放松块复系数结构，相位模板仍为 \gls{cp}），得到\emph{放松}连续相位集中 \gls{mle}：
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn,rel}}
|
||
=
|
||
\argmin_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
\min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{cp,rel}}_\ell.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
相应地，\gls{ip} 基线的集中 \gls{mle} 直接对自由复增益 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 做闭式消元后得到
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{dyn,ip}}
|
||
=
|
||
\argmin_{\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
\min_{\dot\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell PT\log \mathcal R^{\mathrm{ip}}_\ell.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
结构化 \gls{cp}（CP-str）保留跨帧公共相位约束；放松 \gls{cp}（CP-rel）与 \gls{ip} 均允许每块自由复增益。在相同 Doppler/rate 映射与观测配置下，后两者的时间模板仅相差可被块增益吸收的常相位，集中准则和主参数 \gls{efim} 相同，参数对应见 \eqref{eq:A8_rel_ip_equivalence}。逐项闭式消元、匹配统计量 $z^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 与归一化因子 $d^{\mathrm{cp/ip}}_{\ell,p}$ 的定义、各种残差 $\mathcal R^{\mathrm{cp,str/rel/ip}}_\ell$ 的具体表达见\appref{sec:multiFrameCrb}。
|
||
|
||
\subsection{Doppler rate 处理：CP-K 与 CP-U}
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||
|
||
按 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 是否已知，\gls{cp} 模型派生两种设置：
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item \textbf{CP-K}（Doppler rate 已知）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，主参数仅 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，对应 \gls{efim} 见 \eqref{eq:A7_CP_K_EFIM}。
|
||
\item \textbf{CP-U}（Doppler rate 未知）：$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 未知并作为干扰参数经 Schur 补消去，对应 \gls{efim} 见 \eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K}。
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
一个值得指出的结构性现象：在\emph{单星多帧}情形中，若该卫星即参考星，则参考链路上 $\Delta\nu(\boldsymbol\xi)\equiv\Delta\dot\nu(\boldsymbol\xi)\equiv 0$，几何映射不通过 $\boldsymbol\xi$ 引入额外时间相位导数。在标准窄带阵列模型下，\gls{doa} 导数与 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数在 Fisher 内积意义下正交，因此单星多帧的 \gls{doa} \gls{crb} 在 Doppler rate 已知与未知两种设置下完全一致；在多星情形中这一严格正交性一般不再成立。详细证明见\appref{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality}。
|
||
|
||
\subsection{EFIM 投影解释与多星 Doppler 增益}
|
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\label{subsec:multiSatGainFdIdentifiability}
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||
|
||
多星协作带来的增益并不是对 $\boldsymbol\xi$ 与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的等比例放大。
|
||
记参数的\emph{得分}为对数似然对该参数的梯度；新增观测只增加主参数得分向量在干扰参数得分所张子空间的正交补上的投影长度。
|
||
若令 $\boldsymbol\psi_\mu$ 表示只影响均值向量的干扰参数（包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、相位与幅度），白化均值 Jacobian 分别记为 $\bar{\mathbf J}_\eta,\bar{\mathbf J}_\psi$，则消去干扰参数后的 \gls{efim} 写为投影 Gram 矩阵
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm{e}}
|
||
=
|
||
2\Re\left\{
|
||
\bar{\mathbf J}_{\eta}^{\Herm}
|
||
\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}
|
||
\bar{\mathbf J}_{\eta}
|
||
\right\},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其奇异性由投影后主参数 Jacobian 的秩决定，而非 $\bar{\mathbf J}_\eta$ 本身。详细的投影解释、最小投影角 $\sin^2\theta_{\min}$ 定义、以及 $\boldsymbol\xi$/$\nu_{\mathrm{ref}}$ Schur 分块下的 \gls{doa}--Doppler 耦合比例 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 见\appref{subsec:A7_efimIllConditioning}。
|
||
|
||
将 \gls{efim} 按 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块后，$\boldsymbol\xi$ 未知条件下 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 \gls{crb} 满足
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\operatorname{CRB}_{\nu}
|
||
=
|
||
\frac{1}{\mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2})},
|
||
\qquad
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\frac{\sqrt{\operatorname{CRB}_{\nu}}}
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{1/\sqrt{\mathcal I_{\nu\nu}}}
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=
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\frac{1}{\sqrt{1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}}}.
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\end{equation}
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因此 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益受 \gls{doa}--Doppler 耦合比例约束：即使多星几何能放大 $\mathcal I_{\nu\nu}$，若 $\gamma_{\xi,\nu}^2$ 随 $L$ 增大而恶化，则边际 Doppler \gls{crb} 仍受限。
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$\boldsymbol\xi$ 的增益主要来自空间视线与阵列流形几何多样性；$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的增益主要来自能量叠加与跨帧相干结构，并受到 Schur 损失限制。需要区分两种增益来源：静态多星模型在各星复增益独立、噪声独立时只产生逐星投影后的 Fisher 信息相加，并不自动产生跨星相干合并增益；多帧 \gls{cp} 的相干收益来自同一颗卫星跨帧共享公共相位。只有在跨星相位/增益关系已知或被明确建模时，才可另外讨论跨星相干增益。
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\subsection{周期多帧观测下的 Doppler 梳状多峰与齿间模糊}
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\label{subsec:fdCombToothAmbiguity}
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上一小节的 \gls{efim} 描述的是估计已落入正确局部吸引域之后的\emph{单峰内}曲率，刻画不了周期多帧\emph{轮廓似然}（profile likelihood，即对其余参数取最优后只保留 Doppler 维的目标函数）沿 Doppler 方向的\emph{全局离散多峰}结构——该多峰形如一排等距排列的尖峰，下文称之为\emph{梳状}（comb）结构，其谱窗口与峰间隔的完整推导见\appref{subsec:A7_frameTimeCombTooth}；它属于局部 \gls{crb} 失效的门限区现象~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。
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周期帧定时使跨帧相位匹配呈现梳状结构。帧起始偏移为 $\tau_p=p\Delta\tau_{\mathrm f}$ 时，相差 $2\pi/\Delta\tau_{\mathrm f}$ 的两个 Doppler 值在各帧起始点上具有相同相位。帧内采样仍包含不同的相位变化，通常能够区分这些候选值；当帧长远小于帧间隔时，这种差异较小，噪声容易使估计落入相邻峰。这里的齿间模糊指这种全局多峰造成的选择困难，选错相邻峰会产生约一个齿间隔的 Doppler 大误差。
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若参与相干匹配的帧集合为 $\mathcal P$、第 $p$ 帧起始偏移为 $\tau_p$，则沿 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 方向的集中目标包含如下帧时谱窗
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\begin{equation}
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W_{\mathcal P}(\Delta\nu)
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\triangleq
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\sum_{p\in\mathcal P} w_p\exp\{j\Delta\nu\tau_p\}.
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\end{equation}
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其中 $w_p$ 为第 $p$ 帧经局部线性化与幅度消元后对 Doppler 匹配统计量的等效（非负）权重。等间隔 $\tau_p=p\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 且 $w_p$ 近似一致时，$W_{\mathcal P}$ 退化为离散 Dirichlet 窗口，在
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\begin{equation}
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\Delta\nu=k\Delta\nu_{\mathrm{tooth}},
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\qquad
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\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}\triangleq\frac{2\pi}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}},
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\qquad k\in\mathbb Z
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\end{equation}
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处每帧相位增量 $\Delta\nu\,\tau_p=2\pi kp$ 恰为 $2\pi$ 的整数倍、所有帧同相叠加，产生间隔为 $\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}$ 的梳状目标分支。
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换算到物理 Hz 即 $\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}^{\mathrm{Hz}}=1/(\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s})$。
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该梳状结构是全局轮廓似然的周期窗口效应，与 \gls{efim} 局部曲率并不矛盾——\gls{efim} 只刻画某一个梳齿内的二阶曲率，并不保证全局只有唯一梳齿。
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相邻梳齿是否容易区分由两层因素共同决定：单帧导频块的长度 $T$（控制块内 Doppler 相干带宽）与非周期帧子集的窗口形状（控制梳状旁瓣的压制）。
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当 $T\ll\Delta\tau_{\mathrm{f}}$ 时，相邻梳齿的块内相干损失约为 $\dfrac{\pi^2}{3}(T/\Delta\tau_{\mathrm{f}})^2$，因此增大 $T$ 可增强相邻梳齿的分离度。
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在保持观测能量可比的条件下，非等间隔的帧起始时刻可以减弱帧时谱窗的周期旁瓣。仅从等间隔帧中删去部分帧，仍保留原采样格点上的同相条件，不能自动消除原有梳齿。具体帧集合的捕获能力应结合帧时谱窗、帧内相关和可用能量共同判断。
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若定义梳齿可分离性为不同 $k$ 下轮廓最优之间的目标差
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\begin{equation}
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D_{\mathrm{tooth}}
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\triangleq
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\min_{k\neq0}
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\mathcal L^{\mathrm{cp,pro}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{k})
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-
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\mathcal L^{\mathrm{cp,pro}}(\widehat{\boldsymbol\eta}_{0}),
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\end{equation}
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%
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则 \gls{efim}/\gls{crb} 只有在 $D_{\mathrm{tooth}}$ 足够大、梳齿选对后才能作为同一梳齿内估计误差的局部描述。Dirichlet 窗口的完整推导、块内相干损失的 sinc 近似与梳齿可分离性的数值刻画均见\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 末尾的补充分析。
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本节通过 \gls{cp} 与 \gls{ip} 的比较分析跨帧相位信息，估计目标仍为公共方向与参考 Doppler。下一节回到单观测块，将公共方向模型改为有限距离的位置模型。
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