josh
5e4cd193f3
E318 链式 ∂q/∂ξ=(∂q/∂ν)(∂ν/∂ξ) 用 \left(\dfrac\right)\left(\dfrac\right)；G54 Kronecker 装配式、E159 记号定义、A528/H177 算子 ∂/∂δ→\dfrac{∂}{∂δ}。斜杠现仅留 D_ℓ 行向量条目（E630/E338/G50/G98-99）。
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\section{多星静态模型 CRB}
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||
\label{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}
|
||
|
||
本附录给出与正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节、第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节相对应的多星静态 \gls{doa}--Doppler 联合估计 \gls{crb}。E.1 给出单用户多星基线（沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节的模型），E.2 给出多用户扩展（沿用第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节的模型）。两者共享 ``联合堆叠 + 复增益 Schur 补'' 的推导框架，差别仅在均值向量参数化与 Jacobian 维度。
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||
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||
本文统一采用 $\mathcal I$ 表示 \gls{fim}，$\mathbf I$ 表示单位阵，$\mathcal P$ 表示投影矩阵。
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||
正文中的静态干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 同时包含复增益和噪声方差。本附录在构造主参数 \gls{efim} 时，只显式保留影响均值向量的复增益干扰参数；噪声方差只进入协方差，并与均值参数 Fisher 块解耦，因此不改变下面关于复增益的 Schur 补形式。
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\subsection{单用户多星 CRB}
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\label{subsec:E1_singleUserMultiSatCrb}
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本小节对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节，主参数仍记为
|
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%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\eta
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\alpha \\
|
||
\beta \\
|
||
\nu_{\mathrm{ref}}
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in \mathbb R^{3}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
与\appref{sec:det_doa_doppler_crb} 的单阵列情形相比，这里需要先联合堆叠 $L$ 颗协作卫星的观测，再将各星复干扰系数视为干扰参数并通过 Schur 补得到 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim}。
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\subsubsection{联合观测模型与 Fisher 信息矩阵通式}
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沿用第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节中的向量化观测模型，第 $\ell$ 颗卫星的均值向量可写为 $\zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta)$。为便于后续统一构造 \gls{fim}，本小节先将所有卫星观测按块联合堆叠。
|
||
|
||
对于第 $\ell$ 颗卫星，向量化后的观测模型为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\tilde{\mathbf y}_\ell
|
||
=
|
||
\zeta_\ell \mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta)
|
||
+
|
||
\tilde{\mathbf n}_\ell,
|
||
\qquad
|
||
\tilde{\mathbf n}_\ell \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell \mathbf I_{M_\ell T}),
|
||
\quad \ell=0,1,\ldots,L-1,
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta)
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}) \otimes \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
|
||
\in \mathbb C^{M_\ell T \times 1},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
$\zeta_\ell\in\mathbb C$ 为第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数，$\sigma_\ell$ 为第 $\ell$ 颗卫星对应的噪声方差。
|
||
|
||
将所有卫星的观测联合堆叠，定义
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\tilde{\mathbf y}
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\tilde{\mathbf y}_0 \\
|
||
\vdots \\
|
||
\tilde{\mathbf y}_{L-1}
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\qquad
|
||
\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\zeta_0 \mathbf g_0(\boldsymbol\eta) \\
|
||
\vdots \\
|
||
\zeta_{L-1} \mathbf g_{L-1}(\boldsymbol\eta)
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\qquad
|
||
\tilde{\mathbf n}
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\tilde{\mathbf n}_0 \\
|
||
\vdots \\
|
||
\tilde{\mathbf n}_{L-1}
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
则有
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\tilde{\mathbf y} = \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa) + \tilde{\mathbf n},
|
||
\qquad
|
||
\tilde{\mathbf n} \sim \mathcal{CN}(\mathbf 0,\mathbf R_n),
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf R_n
|
||
=
|
||
\operatorname{blkdiag}
|
||
\big(
|
||
\sigma_0 \mathbf I_{M_0 T},
|
||
\ldots,
|
||
\sigma_{L-1} \mathbf I_{M_{L-1} T}
|
||
\big).
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
将各星复干扰系数按实部和虚部分解为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\zeta_\ell = \zeta_\ell^{(r)} + j\zeta_\ell^{(i)},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
并定义实参数化后的均值干扰参数向量
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\psi_{\zeta}
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\zeta_0^{(r)} & \zeta_0^{(i)} & \cdots & \zeta_{L-1}^{(r)} & \zeta_{L-1}^{(i)}
|
||
\end{bmatrix}^{\Tran}
|
||
\in \mathbb R^{2L}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
于是总实参数向量可写为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\kappa
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\boldsymbol\eta^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\zeta}^{\Tran}
|
||
\end{bmatrix}^{\Tran}
|
||
\in \mathbb R^{2L+3}.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
由于当前均值参数仅通过均值项 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)$ 进入，而协方差矩阵 $\mathbf R_n$ 与 $\boldsymbol\kappa$ 无关，由复 Gauss 模型的 Slepian--Bangs 公式~\cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993,vantreesOptimumArrayProcessing2002}，对任意两个实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，\gls{fim}元素满足
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij}
|
||
=
|
||
2\Re\left\{
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i}
|
||
\mathbf R_n^{-1}
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_j}
|
||
\right\}.
|
||
\label{eq:A6_fim_general}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\subsubsection{\texorpdfstring{关于 $\boldsymbol\eta$ 的导数}{关于主参数 eta-stat 的导数}}
|
||
|
||
由第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节，单位方向向量为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf u(\boldsymbol\xi)
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\cos\beta\cos\alpha \\
|
||
\cos\beta\sin\alpha \\
|
||
\sin\beta
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
本小节采用分子布局的 Jacobian 记号：对向量值函数 $\mathbf f$ 与参数向量 $\mathbf x$，$\dfrac{\partial\mathbf f}{\partial\mathbf x^\Tran}$ 的行随 $\mathbf f$ 分量、列随 $\mathbf x$ 分量，链式法则即对应 Jacobian 的矩阵相乘；角度部分记 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$。其关于全局角度的 Jacobian 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \mathbf u}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
-\cos\beta\sin\alpha & -\sin\beta\cos\alpha \\
|
||
\cos\beta\cos\alpha & -\sin\beta\sin\alpha \\
|
||
0 & \cos\beta
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in\mathbb R^{3\times2}.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
根据第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化，静态模型中第 $\ell$ 颗卫星对应的归一化 Doppler 统一写成
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
=
|
||
f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
=
|
||
\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 由已知几何、速度与姿态关系确定，且对参考星 $\ell_{\mathrm{ref}}$ 有
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
=
|
||
\nu_{\mathrm{ref}}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
因此其关于主参数 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的 Jacobian（行向量）为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \nu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\frac{\partial \Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
& 1
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in\mathbb R^{1\times3},
|
||
\label{eq:A6_domega}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中末元 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1$ 来自参考星链路参数化 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$。特别地，对参考星 $\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)=0$，故其角度部分 $\dfrac{\partial\Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}=\mathbf 0$。若改用别的等价参数化，只需替换该 Doppler Jacobian 即可。
|
||
|
||
再定义第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的来向向量
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}
|
||
=
|
||
\boldsymbol{\Omega}_\ell^{\Tran}\mathbf u
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}} & u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}} & u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}
|
||
\end{bmatrix}^{\Tran}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
相应的局部角度为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}
|
||
=
|
||
\operatorname{atan2}\big(u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}},u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\big),
|
||
\qquad
|
||
\beta_\ell^{\mathrm{loc}}
|
||
=
|
||
\arcsin\big(u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}\big).
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
记本地角向量 $\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}=[\alpha_\ell^{\mathrm{loc}},\beta_\ell^{\mathrm{loc}}]^\Tran$。本地来向对全局角的 Jacobian 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
=
|
||
\boldsymbol{\Omega}_\ell^{\Tran}\frac{\partial \mathbf u}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
\in\mathbb R^{3\times2}.
|
||
\label{eq:A6_uloc_jac}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
对其第 $i$ 行 $\dfrac{\partial u_{\ell,i}^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}$ 应用 atan2/arcsin 链式法则，得本地角对全局角的 Jacobian
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\frac{
|
||
u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\,\frac{\partial u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
-
|
||
u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}\,\frac{\partial u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
}{
|
||
\big(u_{\ell,1}^{\mathrm{loc}}\big)^2 + \big(u_{\ell,2}^{\mathrm{loc}}\big)^2
|
||
}
|
||
\\[1.2em]
|
||
\frac{\partial u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}/\partial \boldsymbol\xi^\Tran}{\sqrt{1-\big(u_{\ell,3}^{\mathrm{loc}}\big)^2}}
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in\mathbb R^{2\times2},
|
||
\label{eq:A6_local_angle_chain}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\dfrac{\partial u_{\ell,i}^{\mathrm{loc}}}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}$ 为 \eqref{eq:A6_uloc_jac} 的第 $i$ 行。
|
||
|
||
阵列导向矢量 $\mathbf a_\ell$ 仅通过本地角 $\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}$ 进入，其关于本地角的 Jacobian（阵列流形 Jacobian）为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial (\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}
|
||
&
|
||
\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \beta_\ell^{\mathrm{loc}}}
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell\times2}.
|
||
\label{eq:A6_a_local_jac}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
由链式法则，$\mathbf a_\ell$ 关于全局角的 Jacobian 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
=
|
||
\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial (\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran}
|
||
\,
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell\times2}.
|
||
\label{eq:A6_da_chain}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
由第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的离散时间模板定义，
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
[\mathbf q_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})]_t
|
||
=
|
||
s(t)e^{j\nu_\ell(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})t},
|
||
\qquad t=0,1,\ldots,T-1.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
因此其关于链路 Doppler $\nu_\ell$ 的导数为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_\ell}
|
||
=
|
||
j\,\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)\,\mathbf q_\ell
|
||
\in\mathbb C^{T\times1}.
|
||
\label{eq:A6_qdot}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
由 Doppler 链 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$，$\mathbf q_\ell$ 关于主参数的 Jacobian 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran}
|
||
=
|
||
\frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_\ell}
|
||
\,
|
||
\frac{\partial \nu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran}
|
||
\in\mathbb C^{T\times3},
|
||
\label{eq:A6_dq}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta^\Tran}$ 取 \eqref{eq:A6_domega}；其角度部分记 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}=\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\,\left(\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}\right)\in\mathbb C^{T\times2}$，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列因 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1$ 即 $\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}$。
|
||
|
||
对空时导向向量 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes \mathbf a_\ell$ 应用 Kronecker 积求导法则。注意 $\mathbf a_\ell$ 不依赖 $\nu_{\mathrm{ref}}$、$\mathbf q_\ell$ 不依赖角度，其关于主参数 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 按角度块与 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 列分块为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf D_\ell
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial \mathbf g_\ell}{\partial \boldsymbol\eta^\Tran}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathbf q_\ell\otimes\frac{\partial \mathbf a_\ell}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
+
|
||
\frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \boldsymbol\xi^\Tran}\otimes\mathbf a_\ell
|
||
&
|
||
\frac{\partial \mathbf q_\ell}{\partial \nu_\ell}\otimes\mathbf a_\ell
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in \mathbb C^{M_\ell T \times 3},
|
||
\label{eq:A6_Dl}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中角度块（前两列）由 \eqref{eq:A6_da_chain} 与 \eqref{eq:A6_dq} 的角度部分给出，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 列（第三列）因 $\partial\mathbf a_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\mathbf 0$ 简化为 $(\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_\ell)\otimes\mathbf a_\ell$。此处用到 Kronecker 混合积：$\mathbf q_\ell\otimes(\partial\mathbf a_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran)$ 的第 $k$ 列为 $\mathbf q_\ell\otimes[\partial\mathbf a_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran]_{:,k}$，$(\partial\mathbf q_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran)\otimes\mathbf a_\ell$ 同理。
|
||
|
||
\subsubsection{Fisher 信息矩阵的分块构造}
|
||
|
||
对第 $\ell$ 颗卫星，其均值向量为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\kappa)
|
||
=
|
||
\zeta_\ell\mathbf g_\ell(\boldsymbol\eta).
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
因此，其关于主参数向量 $\boldsymbol\eta$ 的 Jacobian 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf J_{\eta,\ell}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu_\ell}{\partial \boldsymbol\eta}
|
||
=
|
||
\zeta_\ell \mathbf D_\ell
|
||
\in \mathbb C^{M_\ell T \times 3},
|
||
\label{eq:A6_Jeta}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
而其关于本星复干扰系数实部与虚部的 Jacobian 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf J_{\psi,\ell}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu_\ell}{\partial
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\zeta_\ell^{(r)} & \zeta_\ell^{(i)}
|
||
\end{bmatrix}^{\Tran}}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in \mathbb C^{M_\ell T \times 2}.
|
||
\label{eq:A6_Jpsi}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
由于不同卫星噪声相互独立，总 \gls{fim}可按卫星求和。记总 \gls{fim}关于 $(\boldsymbol\eta,\boldsymbol\psi_{\zeta})$ 的分块形式为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I(\boldsymbol\kappa)
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathcal I_{\eta\eta} & \mathcal I_{\eta\psi} \\
|
||
\mathcal I_{\psi\eta} & \mathcal I_{\psi\psi}
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
则根据 \eqref{eq:A6_fim_general} 有
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}
|
||
=
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\frac{2}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\left\{
|
||
\mathbf J_{\eta,\ell}^{\Herm}\mathbf J_{\eta,\ell}
|
||
\right\},
|
||
\label{eq:A6_Itt}
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\eta\psi}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\frac{2}{\sigma_0}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\}
|
||
& \cdots &
|
||
\frac{2}{\sigma_{L-1}}\Re\left\{\mathbf J_{\eta,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\}
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\label{eq:A6_Itb}
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\psi\psi}
|
||
=
|
||
\operatorname{blkdiag}
|
||
\left(
|
||
\frac{2}{\sigma_0}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,0}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,0}\right\},
|
||
\ldots,
|
||
\frac{2}{\sigma_{L-1}}\Re\left\{\mathbf J_{\psi,L-1}^{\Herm}\mathbf J_{\psi,L-1}\right\}
|
||
\right).
|
||
\label{eq:A6_Ibb}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\subsubsection{\texorpdfstring{消去复干扰系数后的 \gls{efim}}{消去复干扰系数后的 EFIM}}
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||
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||
由于 $\boldsymbol\psi_{\zeta}$ 是均值干扰参数，主参数向量 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim} 为
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||
%
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||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}
|
||
-
|
||
\mathcal I_{\eta\psi}
|
||
\mathcal I_{\psi\psi}^{-1}
|
||
\mathcal I_{\psi\eta}.
|
||
\label{eq:A6_schur}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
对每颗卫星，复增益实部和虚部对应的 Jacobian 为
|
||
$\begin{bmatrix}\mathbf g_\ell & j\mathbf g_\ell\end{bmatrix}$。虽然这两个列向量对应的是实参数化下的二维实线性干扰子空间，但其等价于由 $\mathbf g_\ell$ 张成的复一维子空间；相应的 Schur 补可以写成对该复一维子空间的正交投影形式。定义投影矩阵及其正交补为
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||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal P_{\mathbf g_\ell}
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf g_\ell(\mathbf g_\ell^{\Herm}\mathbf g_\ell)^{-1}\mathbf g_\ell^{\Herm},
|
||
\qquad
|
||
\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf I_{M_\ell T} - \mathcal P_{\mathbf g_\ell}.
|
||
\label{eq:A6_proj}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
将 \eqref{eq:A6_Jeta}--\eqref{eq:A6_proj} 代入 \eqref{eq:A6_schur} 并整理，可得
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
|
||
=
|
||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\left\{
|
||
\mathbf J_{\eta,\ell}^{\Herm}
|
||
\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}
|
||
\mathbf J_{\eta,\ell}
|
||
\right\}.
|
||
\label{eq:A6_Ieff_proj}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
再利用 $\mathbf J_{\eta,\ell}=\zeta_\ell\mathbf D_\ell$，得到紧凑形式
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
|
||
=
|
||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\left\{
|
||
\mathbf D_\ell^{\Herm}
|
||
\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}
|
||
\mathbf D_\ell
|
||
\right\}.
|
||
\label{eq:A6_Ieff_final}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
式~\eqref{eq:A6_Ieff_final} 即为静态多阵列确定信号 \gls{doa}--Doppler 联合估计的 \gls{efim}。
|
||
|
||
\subsubsection{CRB 表达式}
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||
|
||
因此，联合参数向量 $\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 \gls{crb} 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta)
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta).
|
||
\label{eq:A6_crb_joint}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
若仅关心角度参数
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\xi
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\alpha \\
|
||
\beta
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
则将 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 按 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}} & \mathcal I_{\mathrm{ang},\nu} \\
|
||
\mathcal I_{\nu,\mathrm{ang}} & \mathcal I_{\nu\nu}
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}}\in\mathbb R^{2\times 2}$，$\mathcal I_{\mathrm{ang},\nu}\in\mathbb R^{2\times 1}$，则 \gls{doa} 参数的等效 \gls{crb} 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\xi)
|
||
=
|
||
\left(
|
||
\mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}}
|
||
-
|
||
\mathcal I_{\mathrm{ang},\nu}\,\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\,\mathcal I_{\nu,\mathrm{ang}}
|
||
\right)^{-1}.
|
||
\label{eq:A6_crb_ang}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
类似地，仅参考归一化 Doppler 参数 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 \gls{crb} 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\operatorname{CRB}(\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
=
|
||
\left(
|
||
\mathcal I_{\nu\nu}
|
||
-
|
||
\mathcal I_{\nu,\mathrm{ang}}\,\mathcal I_{\mathrm{ang},\mathrm{ang}}^{-1}\,\mathcal I_{\mathrm{ang},\nu}
|
||
\right)^{-1}.
|
||
\label{eq:A6_crb_omega}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\subsubsection{备注}
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||
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item 若所有卫星噪声方差相同，即 $\sigma_\ell=\sigma$，则 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 退化为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta)
|
||
=
|
||
\frac{2}{\sigma}
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
|\zeta_\ell|^2
|
||
\Re\left\{
|
||
\mathbf D_\ell^{\Herm}\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^{\perp}\mathbf D_\ell
|
||
\right\}.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\item 若进一步将噪声方差 $\{\sigma_\ell\}_{\ell=0}^{L-1}$ 也并入待估参数，则协方差项仅对这些方差参数自身有贡献，且与均值参数块解耦。具体而言，若把第 $\ell$ 条链路的方差参数取为 $\sigma_\ell$，则有
|
||
\begin{equation}
|
||
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma_\ell,\sigma_\ell}
|
||
=
|
||
\frac{M_\ell T}{\sigma_\ell^2},
|
||
\qquad
|
||
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{\sigma_\ell,i}=0,
|
||
\quad i\neq \sigma_\ell,
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
因此不会改变 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 给出的 $\boldsymbol\eta$ 的 \gls{efim}。
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
至此，单用户多星静态基线与正文静态模型一一对应：正文负责给出观测模型、参数分组和集中似然，本文附录负责给出 Jacobian、Fisher 信息分块与 Schur 补形式。
|
||
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||
\subsection{多用户多星 CRB（扩展）}
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||
\label{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}
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||
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||
本小节对应正文第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节，把 E.1 的复增益 Schur 补框架扩展到 $K\ge 1$ 个用户。主参数堆叠为
|
||
%
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||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}
|
||
=
|
||
\big[
|
||
\boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},
|
||
\ldots,
|
||
\boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}
|
||
\big]^\Tran
|
||
\in\mathbb R^{3K}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
均值干扰参数为各星各用户的复增益
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\psi_{\zeta,\mathrm{mu}}
|
||
=
|
||
\big[
|
||
\zeta_{0,1}^{(r)},\zeta_{0,1}^{(i)},\ldots,
|
||
\zeta_{L-1,K}^{(r)},\zeta_{L-1,K}^{(i)}
|
||
\big]^\Tran
|
||
\in\mathbb R^{2LK}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
噪声方差参与协方差但与均值参数解耦，同 E.1 不显式出现在 Schur 补中。
|
||
|
||
\subsubsection{多用户 Jacobian}
|
||
|
||
第 $\ell$ 颗卫星均值向量
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\mu_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\zeta_\ell)
|
||
=
|
||
\mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}})\boldsymbol\zeta_\ell
|
||
=
|
||
\sum_{k=1}^{K}\zeta_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$。
|
||
|
||
关于第 $k$ 个用户的主参数子向量 $\boldsymbol\eta_k\triangleq[\boldsymbol\xi_k^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},k}]^\Tran\in\mathbb R^3$，由于 $\mathbf g_{\ell,k'}$ 在 $k'\neq k$ 时与 $\boldsymbol\eta_k$ 无关，Jacobian 只通过本用户的 $\mathbf g_{\ell,k}$ 列出现：
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf J_{\eta_k,\ell}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial\boldsymbol\mu_\ell}{\partial\boldsymbol\eta_k}
|
||
=
|
||
\zeta_{\ell,k}\,
|
||
\mathbf D_{\ell,k}
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 3},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathbf D_{\ell,k}\triangleq[\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\alpha_k,\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\beta_k,\,\partial\mathbf g_{\ell,k}/\partial\nu_{\mathrm{ref},k}]$，三列的具体表达完全平行于 \eqref{eq:A6_Dl}，只需把 $\boldsymbol\xi$、$\nu_{\mathrm{ref}}$ 替换为 $\boldsymbol\xi_k$、$\nu_{\mathrm{ref},k}$。
|
||
|
||
将所有用户的 Jacobian 横向拼接为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf J_{\eta,\ell}
|
||
=
|
||
\big[
|
||
\mathbf J_{\eta_1,\ell},\ldots,\mathbf J_{\eta_K,\ell}
|
||
\big]
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 3K}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
关于本星复增益 $[\zeta_{\ell,1}^{(r)},\zeta_{\ell,1}^{(i)},\ldots,\zeta_{\ell,K}^{(r)},\zeta_{\ell,K}^{(i)}]^\Tran$ 的 Jacobian 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf J_{\psi,\ell}
|
||
=
|
||
\big[
|
||
\mathbf g_{\ell,1},j\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K},j\mathbf g_{\ell,K}
|
||
\big]
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 2K}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
$\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实参数化二维实子空间与复矩阵 $\mathbf G_\ell$ 的 $K$ 维复列空间等价。
|
||
|
||
\subsubsection{Fisher 信息矩阵分块与 Schur 补}
|
||
|
||
按各星条件独立性，\gls{fim}分块同 \eqref{eq:A6_Itt}--\eqref{eq:A6_Ibb}，只是块尺寸调整为 $\mathcal I_{\eta\eta}\in\mathbb R^{3K\times 3K}$、$\mathcal I_{\psi\psi}\in\mathbb R^{2LK\times 2LK}$（块对角，每星 $2K\times 2K$ 块）：
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}
|
||
=
|
||
\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\frac{2}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\big\{\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm\mathbf J_{\eta,\ell}\big\}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
由于 $\mathbf J_{\psi,\ell}$ 的实子空间等价于 $\mathbf G_\ell$ 的复列空间，关于复增益块的 Schur 补化为对 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补的投影。定义
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf G_\ell(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm,
|
||
\qquad
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
则消去复增益后的 \gls{efim} 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:E2_Ieff_proj}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||
=
|
||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\big\{
|
||
\mathbf J_{\eta,\ell}^\Herm
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
|
||
\mathbf J_{\eta,\ell}
|
||
\big\}
|
||
\in\mathbb R^{3K\times 3K}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
按用户分块写出，第 $(k,k')$ 个对角/非对角 $3\times 3$ 子块为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\big[\mathcal I_{\mathrm e}\big]_{kk'}
|
||
=
|
||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}
|
||
\frac{1}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\Big\{
|
||
\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}\,
|
||
\mathbf D_{\ell,k}^\Herm
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp
|
||
\mathbf D_{\ell,k'}
|
||
\Big\}.
|
||
\label{eq:E2_Ieff_block}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
复系数 $\zeta_{\ell,k}^*\zeta_{\ell,k'}$ 必须保留在 $\Re\{\cdot\}$ 内，因为它和右侧厄米积都是一般复值，不能逐因子取实部。$K=1$ 时 $\zeta_\ell^*\zeta_\ell=|\zeta_\ell|^2$ 退化为实数，可提到 $\Re\{\cdot\}$ 外，此时 \eqref{eq:E2_Ieff_block} 即回到 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 的单用户基线。
|
||
|
||
\subsubsection{用户分离的可辨识性条件}
|
||
|
||
\eqref{eq:E2_Ieff_proj} 给出的 \gls{efim} 非奇异性等价于多用户主参数 score 在复增益干扰参数 score 正交补上的投影列空间 ``在所有 $L$ 颗卫星上联合满秩''。具体地，记每颗卫星上的``白化主参数 Jacobian''
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\bar{\mathbf J}_{\eta,\ell}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{1}{\sqrt{\sigma_\ell}}\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf J_{\eta,\ell},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
\gls{efim} 非奇异 $\Leftrightarrow$ 联合矩阵 $[\bar{\mathbf J}_{\eta,0}^\Tran,\ldots,\bar{\mathbf J}_{\eta,L-1}^\Tran]^\Tran$ 列满秩，即 ``$3K\le \sum_\ell M_\ell T$ 且不同用户的白化 score 之间不存在跨星全局共线性''。
|
||
|
||
正文第~\ref{subsec:userSeparability} 小节给出的几何陈述——``两个用户在所有 $L$ 颗星上相干度 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时分离失效''——可严格化为：当某对 $(k,k')$ 满足
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k}
|
||
\approx
|
||
c_\ell\,
|
||
\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^\perp\mathbf g_{\ell,k'},
|
||
\qquad\forall\ell,
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
对应 $\boldsymbol\eta_k$ 与 $\boldsymbol\eta_{k'}$ 方向上的 \gls{efim} 块趋于秩亏，集中似然在该方向退化为平坦脊（最优不再孤立）。多星几何提供的缓解机制——只要存在一颗星 $\ell$ 上述等式严重违反——也直接由这一秩条件读出。
|
||
|
||
\subsubsection{CRB 表达式}
|
||
|
||
多用户主参数 \gls{crb} 为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||
\in\mathbb R^{3K\times 3K}.
|
||
\label{eq:E2_crb_mu}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
若只关心第 $k$ 个用户的 \gls{doa} $\boldsymbol\xi_k$，先把 \eqref{eq:E2_crb_mu} 按 $(\boldsymbol\xi_k,\text{其余})$ 分块再取 Schur 补
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\operatorname{CRB}(\boldsymbol\xi_k)
|
||
=
|
||
\mathbf C_{\xi,k}
|
||
=
|
||
\big[
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
|
||
\big]_{\boldsymbol\xi_k,\boldsymbol\xi_k}
|
||
\in\mathbb R^{2\times 2},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
即 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$ 中对应 $\boldsymbol\xi_k$ 行/列的 $2\times 2$ 子块。$\mathbf C_{\xi,k}$ 同时被后续波束成形章节作为鲁棒设计的理论上界使用。
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||
|
||
\medskip
|
||
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||
附录 E 完成了多星静态模型从单用户到多用户的 \gls{crb} 推导。带时间戳误差的部分相干 \gls{efim} 在\appref{sec:timestampErrCrb} 中继续展开；动态多帧模型的 \gls{cp} 和 \gls{ip} \gls{crb} 在\appref{sec:multiFrameCrb} 中继续展开。
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