doa_doppler_est/parts/G-userPositionCrb.tex

\section{用户位置 CRB}
\label{sec:userPositionCrb}

本附录给出第~\ref{sec:userPositioning} 节位置参数化模型的 \gls{crb}。整套构造——联合堆叠、复增益 Schur 补、\gls{efim} 投影--Gram——与\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 完全一致，唯一需要重写的是主参数 Jacobian：把对全局角 $(\alpha,\beta)$ 的导数换成对位置 $\mathbf p$ 的导数。下面只给出这一差异部分，其余直接引用附录 E 的结果。

\subsection{位置对视线与本地角的链式导数}

单位视线 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)=\mathbf r_\ell/\|\mathbf r_\ell\|_2$（$\mathbf r_\ell=\mathbf p-\mathbf s_\ell$）对位置的 Jacobian 为
%
\begin{equation}
  \frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}
  =\frac{1}{\|\mathbf r_\ell\|_2}\big(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran\big)\in\mathbb R^{3\times3}.
  \label{eq:H_dudp}
\end{equation}
%
两点结构性读法：因子 $1/\|\mathbf r_\ell\|_2$ 表明角灵敏度随距离衰减——这正是远场极限下位置不可由角度观测的根源；投影 $\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran$（秩 $2$）表明沿视线方向（径向）平移不改变该星方向，只有横向平移可观测，故单星无法定距，必须靠多星视差把各秩 $2$ 投影补成满秩 $3$。
本地视线 $\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell$ 给出 $\dfrac{\partial\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\,\dfrac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}$，再按与 \eqref{eq:A6_local_angle_chain} 同样的 atan2/arcsin 链式法则得到本地角对位置的 Jacobian $\dfrac{\partial\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}\in\mathbb R^{2\times3}$，从而阵列导向矢量对位置的 Jacobian 为
%
\begin{equation}
  \frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}
  =\frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial(\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran}
   \,\frac{\partial\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}
  \in\mathbb C^{M_\ell\times3},
  \label{eq:H_dadp}
\end{equation}
%
其中阵列流形 Jacobian $\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial(\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran}$ 取 \eqref{eq:A6_a_local_jac}。
Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与位置诱导差分 \eqref{eq:sec7_dnu_pos}，有
%
\begin{equation}
  \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\mathbf p}
  =\frac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial\mathbf p}
  =\frac{2\pi T_{\mathrm s}}{\lambda_{\mathrm c}}
  \left[\mathbf v_\ell^\Tran\frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}
  -\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran\frac{\partial\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial\mathbf p}\right]\in\mathbb R^{1\times3},
  \qquad
  \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1,
  \label{eq:H_dnudp}
\end{equation}
%
其中 $\dfrac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}$ 正是 \eqref{eq:H_dudp}。可见\emph{差分 Doppler 与本地角对位置的灵敏度共用同一个有限距离投影} $(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran)/\|\mathbf r_\ell\|_2$——\gls{aoa} 视差与差分 Doppler 这两条定位信息在 Jacobian 层面同源，且同样随距离增大而衰减。传播时延通道同理：由 $\tau_\ell=\tau_{\mathrm{ref}}+\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 与 \eqref{eq:sec7_tau_pos}，
%
\begin{equation}
  \frac{\partial\tau_\ell}{\partial\mathbf p}
  =\frac{\partial\Delta\tau_\ell}{\partial\mathbf p}
  =\frac{1}{c\,T_{\mathrm s}}\big(\mathbf u_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}\big)^\Tran\in\mathbb R^{1\times3},
  \qquad
  \frac{\partial\tau_\ell}{\partial\tau_{\mathrm{ref}}}=1,
  \label{eq:H_dtaudp}
\end{equation}
%
即差分时延对位置的灵敏度是两条视线\emph{单位向量之差}，远场 $\mathbf u_\ell\to\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}$ 时同样趋零，与角度、Doppler 共享同一径向退化。导频包络对时延的导数记为时延模板 $[\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}]_t\triangleq\dfrac{\partial[\mathbf q_\ell]_t}{\partial\tau_\ell}=-\dot s(t-\tau_\ell)\,e^{j\nu_\ell t}$（$\dot s$ 为导频时间导数，与\appref{subsec:F2_schurDelta} 的 $\mathbf q^{\mathrm{te}}$ 共用同一包络导数）。时间模板现同时依赖时延与 Doppler，链式导数为
%
\begin{equation}
  \frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i}
  =\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\,\frac{\partial\tau_\ell}{\partial p_i}
  +\left(\frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\frac{\partial\nu_\ell}{\partial p_i},
  \qquad
  \frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\tau_{\mathrm{ref}}}=\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}},
  \qquad
  \frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=\frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}.
\end{equation}

\subsection{位置 EFIM 与 CRB}

按 Kronecker 求导法则（同 \eqref{eq:A6_Dl}）组装空时模板对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的 Jacobian
%
\begin{equation}
  \mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}
  =\left[\,
    \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_x},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_y},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_z},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\tau_{\mathrm{ref}}},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}
  \,\right]\in\mathbb C^{M_\ell T\times5},
\end{equation}
%
其中位置列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_i}=\mathbf q_\ell\otimes\left(\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial p_i}\right)+\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i}\right)\otimes\mathbf a_\ell$ 现含角度、时延、Doppler 三项贡献（$\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i}$ 见上式）、时延列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\tau_{\mathrm{ref}}}=\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\otimes\mathbf a_\ell$，$\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial p_i}$ 取 \eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 \gls{efim} 与 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形：
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
  =2\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell}
  \Re\big\{(\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^\perp\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}\big\}\in\mathbb R^{5\times5}.
  \label{eq:H_efim}
\end{equation}
%
将 \eqref{eq:H_efim} 按 $(\mathbf p,\boldsymbol\phi)$ 分块（$\boldsymbol\phi=[\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 为吸收绝对发射时刻与绝对 Doppler 的两个自由标量）
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
  =\begin{bmatrix}
    \mathcal I_{\mathrm{pp}} & \mathcal I_{\mathrm p\phi}\\
    \mathcal I_{\phi\mathrm p} & \mathcal I_{\phi\phi}
  \end{bmatrix},
\end{equation}
%
则把 $\boldsymbol\phi$ 视为干扰参数、对其取 Schur 补，得位置 \gls{crb}
%
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}(\mathbf p)
  =\big(\mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\phi}\,\mathcal I_{\phi\phi}^{-1}\,\mathcal I_{\phi\mathrm p}\big)^{-1}\in\mathbb R^{3\times3}.
\end{equation}
%
几何精度因子（GDOP）即 $\sqrt{\operatorname{tr}\operatorname{CRB}(\mathbf p)}$ 随星座几何的变化。

\begin{mdquote}
\textbf{远场退化（Fisher 信息层）。} 由 \eqref{eq:H_dudp} 与 \eqref{eq:H_dtaudp}，当所有 $\|\mathbf r_\ell\|_2\to\infty$ 时 $\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$ 且 $\dfrac{\partial\tau_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$（$\mathbf u_\ell\to\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}$），角度、Doppler 与时延三条通道对位置的灵敏度同时径向退化，$\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的三列位置导数趋于线性相关，$\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})$ 在距离方向奇异——位置 \gls{crb} 在距离维发散，退化为\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的二维方向 \gls{crb}（两个自由标量 $\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}$ 仍作绝对量被 Schur 消去）。这与第~\ref{subsec:positionLosMap} 小节的远场退化命题在 Fisher 信息层面一致。
\end{mdquote}

\subsection{DoA-融合基线的位置 CRB}
\label{subsec:H4_doaFusion}

正文第~\ref{subsec:doaFusionBaseline} 小节的 DoA-融合基线不做跨星数据级联合，而是各星本地估角、融合中心几何相交。其位置 \gls{crb} 由两块拼成：每颗星本地 \gls{doa} 的单阵列 \gls{crb}，与本地角对位置的 Jacobian。

每颗星 $\ell$ 仅用本星观测估计本地来向 $\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}=[\alpha_\ell^{\mathrm{loc}},\beta_\ell^{\mathrm{loc}}]^\Tran$，本星复增益、链路 Doppler 与噪声方差作本地干扰参数；该单阵列 \gls{doa}--Doppler 估计的角度块 \gls{crb} 即\appref{sec:singleArrayCrb} 的结果，记为 $\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}\in\mathbb R^{2\times2}$。本地角对位置的 Jacobian 由本附录前文（\eqref{eq:H_dudp}--\eqref{eq:H_dadp} 所用的 atan2/arcsin 链式行向量）给出
%
\begin{equation}
  \label{eq:H4_Hl}
  \mathbf H_\ell
  =\frac{\partial\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}
  =\begin{bmatrix}
    \frac{\partial\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}\\
    \frac{\partial\beta_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}
  \end{bmatrix}\in\mathbb R^{2\times3},
\end{equation}
%
其有限距离投影 $(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran)/\|\mathbf r_\ell\|_2$（\eqref{eq:H_dudp}）使单星 $\mathbf H_\ell$ 秩 $2$、沿视线方向不可观，须多星相交补成秩 $3$。

把各星本地角估计视为独立测量 $\widehat{\boldsymbol\xi}_\ell^{\mathrm{loc}}\sim\mathcal N(\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p),\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell})$、星间独立，则位置的融合 Fisher 信息与 \gls{crb} 为
%
\begin{equation}
  \label{eq:H4_crb}
  \mathcal I_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)
  =\sum_{\ell=0}^{L-1}\mathbf H_\ell^\Tran\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}^{-1}\mathbf H_\ell,
  \qquad
  \operatorname{CRB}_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)=\mathcal I_{\mathrm{DoA}}^{-1}(\mathbf p)\in\mathbb R^{3\times3},
\end{equation}
%
即正文 \eqref{eq:sec7_doafusion}。

\paragraph{与集中式的序关系}
DoA-融合只保留各星本地角这一压缩统计量、丢弃差分时延与差分 Doppler 等跨星联合约束；由数据处理不等式，其位置 Fisher 信息不超过集中式 \eqref{eq:H_efim} 消去 $\boldsymbol\phi=(\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})$ 后的位置块，故
%
\begin{equation}
  \label{eq:H4_ordering}
  \mathcal I_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)
  \preceq
  \mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\phi}\mathcal I_{\phi\phi}^{-1}\mathcal I_{\phi\mathrm p},
  \qquad
  \operatorname{CRB}_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)\succeq\operatorname{CRB}(\mathbf p).
\end{equation}
%
两者之差即跨星采样级信息（差分时延与差分 Doppler）的价值：差分 Doppler 一项在 Doppler 近常数时很小，但差分时延（\gls{tdoa}）携带的距离约束被一并舍弃，故 DoA-融合在角度维接近集中式、在距离维退回纯视差几何，回传量则大幅降低。多用户情形把各星本地角与 $\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}$ 按用户分别给出、逐用户相交即可，结构不变。

\subsection{多用户}

多用户位置 \gls{crb} 把 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 按用户横向拼接为 $\mathbf D_{\ell,k}^{\mathrm{pos}}$、对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补投影，结构与\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 完全一致（把 $\boldsymbol\xi_k$、$\mathbf D_{\ell,k}$ 换成 $\mathbf p_k$、$\mathbf D_{\ell,k}^{\mathrm{pos}}$）；第 $k$ 个用户的位置 \gls{crb} 为 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu\text{-}pos}})$ 中对应 $\mathbf p_k$ 的 $3\times3$ 子块，可作为定位精度与（预留）波束成形鲁棒设计的统一上界。