doa_doppler_est/parts/sec4_multiSatMultiUser.tex

\section{多用户扩展}
\label{sec:multiSatMultiUser}

第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节假设单用户：所有 $L$ 颗卫星看到的来向与 Doppler 都由同一个 $(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})$ 决定。本节沿\emph{参数空间}维度推进一步：把用户数从 $K=1$ 推广到一般 $K\ge1$，其余维度（单帧静态、各星完全相干、已知导频）保持最简。
数学上这只是把每个用户的参数 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ 独立堆叠；但物理上引入了第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节不存在的新问题——\emph{用户分离的可辨识性}。当两个用户的 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})$ 在所有 $L$ 条链路上同时接近时，集中似然曲面会出现伪极值，这一退化结构也是后续数据驱动 nuisance 补偿方法的自然接入位置。本节用几何直觉指出这一现象，不展开严格证明；详细 \gls{crb} 与多用户 \gls{fim} 分块推导见附录~\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}。

\subsection{多用户信号模型}
\label{subsec:multiUserSignalModel}

设 $K$ 个单天线用户与 $L$ 颗卫星在同一观测块内并发上行已知导频，第 $k$ 个用户的全局 \gls{doa} 为 $\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$，对应的参考星归一化 Doppler 记为 $\nu_{\mathrm{ref},k}$。沿用 \S\ref{subsec:globalLocalDoaMap}--\S\ref{subsec:refSatParameterization} 的全局/局部映射与参考星参数化，第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的本地导向矢量记为 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$，其链路 Doppler 由几何映射给出
%
\begin{equation}
  \nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})
  \triangleq
  \nu_{\mathrm{ref},k}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi_k),
  \qquad
  \Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi_k)\equiv 0.
\end{equation}
%
注意 $\Delta\nu_\ell(\cdot)$ 由卫星几何决定，不依赖用户索引 $k$；$k$ 只通过 $\boldsymbol\xi_k$ 与 $\nu_{\mathrm{ref},k}$ 进入。

每个用户对每颗卫星都有一个未知复干扰系数 $\zeta_{\ell,k}\in\mathbb C$。第 $\ell$ 颗卫星在采样点 $t$ 的接收向量为各用户贡献的叠加：
%
\begin{equation}
  \mathbf y_\ell(t)
  =
  \sum_{k=1}^{K}
  \zeta_{\ell,k}
  \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
  s_k(t)
  e^{j\nu_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})t}
  +
  \mathbf n_\ell(t),
  \qquad
  \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}).
\end{equation}
%
其中 $s_k(t)$ 为第 $k$ 个用户的已知导频，可逐用户彼此不同；噪声仍假设星间异方差、星内同方差。

定义第 $(\ell,k)$ 对的时间模板与空时导向向量
%
\begin{equation}
  \mathbf q_{\ell,k}(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    s_k(0)e^{j\nu_{\ell,k}\cdot 0},
    \cdots,
    s_k(T-1)e^{j\nu_{\ell,k}(T-1)}
  \end{bmatrix}^\Tran
  \in\mathbb C^{T\times 1},
  \qquad
  \mathbf g_{\ell,k}
  \triangleq
  \mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}.
\end{equation}
%
将第 $\ell$ 颗卫星观测按列向量化为 $\tilde{\mathbf y}_\ell=\vect(\mathbf Y_\ell)$，则
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec4_vec_model}
  \tilde{\mathbf y}_\ell
  =
  \sum_{k=1}^{K}
  \zeta_{\ell,k}\mathbf g_{\ell,k}
  +
  \tilde{\mathbf n}_\ell
  =
  \mathbf G_\ell\boldsymbol\zeta_\ell
  +
  \tilde{\mathbf n}_\ell,
\end{equation}
%
其中
%
\begin{equation}
  \mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}})
  \triangleq
  \big[
    \mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}
  \big]
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times K},
  \qquad
  \boldsymbol\zeta_\ell
  \triangleq
  \big[\zeta_{\ell,1},\ldots,\zeta_{\ell,K}\big]^\Tran,
\end{equation}
%
$\boldsymbol\Xi\triangleq[\boldsymbol\xi_1,\ldots,\boldsymbol\xi_K]$，$\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}\triangleq[\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran$。

\subsection{多用户主参数与干扰参数}

主参数堆叠为
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}
  \triangleq
  \big[
    \boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},
    \ldots,
    \boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}
  \big]^\Tran
  \in\mathbb R^{3K}.
\end{equation}
%
干扰参数为各星各用户的复增益与噪声方差
%
\begin{equation}
  \boldsymbol\psi_{\mathrm{mu}}
  =
  \Big[
    \{\zeta_{\ell,k}\}_{\ell,k},
    \{\sigma_{n,\ell}^2\}_{\ell=0}^{L-1}
  \Big]^\Tran.
\end{equation}
%
当 $K=1$ 时 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ 退化为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}$，对应正文第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节。

\subsection{联合似然与集中似然}

各星条件独立，圆对称复高斯，多用户联合负对数似然为
%
\begin{equation}
  \mathcal L_{\mathrm{mu}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{mu}})
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \left[
    M_\ell T\log\sigma_{n,\ell}^2
    +
    \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
    \left\|
      \tilde{\mathbf y}_\ell
      -
      \mathbf G_\ell(\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}})\boldsymbol\zeta_\ell
    \right\|_2^2
  \right].
\end{equation}
%
在 $\mathbf G_\ell$ 列满秩的假设下（要求 $K\le M_\ell T$ 且各列方向充分分离），对 $\boldsymbol\zeta_\ell$ 的闭式消元给出
%
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\zeta}_\ell(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}})
  =
  \big(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell\big)^{-1}
  \mathbf G_\ell^\Herm
  \tilde{\mathbf y}_\ell.
\end{equation}
%
代回并再对 $\sigma_{n,\ell}^2$ 轮廓化（与第~\ref{sec:det_doa_est} 节完全平行），得到多用户集中似然准则
%
\begin{equation}
  \label{eq:sec4_concentrated}
  \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{mu}}
  =
  \arg\min_{\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  M_\ell T
  \log
  \left[
    \tilde{\mathbf y}_\ell^\Herm
    \mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}
    \tilde{\mathbf y}_\ell
  \right],
\end{equation}
%
其中 $\mathcal P_{\mathbf G_\ell}\triangleq\mathbf G_\ell(\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell)^{-1}\mathbf G_\ell^\Herm$，$\mathcal P_{\mathbf G_\ell}^{\perp}=\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf G_\ell}$。详细矩阵代入见附录~\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb}。

若噪声方差已知，可退化为加权空时匹配形式
%
\begin{equation}
  \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{mu}}
  =
  \arg\max_{\boldsymbol\Xi,\boldsymbol\nu_{\mathrm{ref}}}
  \sum_{\ell=0}^{L-1}
  \frac{1}{\sigma_{n,\ell}^2}
  \tilde{\mathbf y}_\ell^\Herm
  \mathcal P_{\mathbf G_\ell}
  \tilde{\mathbf y}_\ell.
\end{equation}
%
与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的单用户加权融合相比，差别在于每颗卫星的匹配子空间从一维 $\mathbf g_\ell$ 升级为 $K$ 维 $\mathbf G_\ell$ 列空间；多用户的耦合\emph{在每颗卫星内部}通过 $\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 的非对角元体现。

\subsection{用户分离的可辨识性}
\label{subsec:userSeparability}

\eqref{eq:sec4_concentrated} 的目标函数依赖于矩阵 $\mathbf G_\ell$ 是否列满秩。考虑两个用户 $(k,k')$，其空时导向向量在第 $\ell$ 颗卫星上的内积
%
\begin{equation}
  \rho_{\ell,kk'}
  \triangleq
  \frac{\big|\mathbf g_{\ell,k}^\Herm\mathbf g_{\ell,k'}\big|}
       {\|\mathbf g_{\ell,k}\|_2\,\|\mathbf g_{\ell,k'}\|_2}
\end{equation}
%
描述了二者在该卫星空时维度上的相干度。$\rho_{\ell,kk'}$ 由三个因素共同决定：
\begin{enumerate}
  \item 局部导向矢量相干 $|\mathbf a_\ell^\Herm(\boldsymbol\xi_k)\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})|/(\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)\|\|\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_{k'})\|)$，反映两个用户在该星本地角度域的分离；
  \item 时间模板相干 $|\mathbf q_{\ell,k}^\Herm\mathbf q_{\ell,k'}|/(\|\mathbf q_{\ell,k}\|\|\mathbf q_{\ell,k'}\|)$，由 Doppler 差 $\nu_{\ell,k}-\nu_{\ell,k'}$ 与导频互相关共同决定；
  \item 二者通过 Kronecker 积联立后的乘积形式。
\end{enumerate}
当所有 $L$ 颗星上 $\rho_{\ell,kk'}\to 1$ 时，$\mathbf G_\ell$ 趋于秩亏，\eqref{eq:sec4_concentrated} 的 Hessian 在 $(\boldsymbol\xi_k,\nu_{\mathrm{ref},k})\leftrightarrow(\boldsymbol\xi_{k'},\nu_{\mathrm{ref},k'})$ 方向变得平坦，集中似然曲面在该方向出现伪极值，用户分离的可辨识性丧失。

多星几何对这一可辨识性提供了关键缓解：即便某颗卫星上 $\rho_{\ell,kk'}\approx 1$（例如两个用户在该星本地角域内距离小于一个 beamwidth），只要存在另一颗卫星 $\ell'$ 使 $\rho_{\ell',kk'}$ 显著小于 1，多星联合的 $\sum_\ell\mathbf G_\ell^\Herm\mathbf G_\ell$ 块仍可保持非奇异。这是多星扩展相对单星多用户最直接的几何收益。

严格可辨识性可写成对所有用户对 $(k,k')$ 的多星联合分离条件，其与 \gls{efim} 非奇异性的等价关系由附录~\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 中多用户 \gls{fim} 分块给出。本节只用上述几何直觉刻画用户分离失效的结构来源，为后续数据驱动 nuisance 补偿方法留出接口；具体方法、输入输出与训练设置不在本笔记范围内。

本节完成了多用户主线静态基线：用户索引 $k$ 进入 $\boldsymbol\xi_k$、$\nu_{\mathrm{ref},k}$、$\zeta_{\ell,k}$、$s_k(t)$，集中似然仍可写为对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影的加权和，但矩阵 $\mathbf G_\ell$ 的良态性约束了用户分离的可辨识性。
下一节将进一步沿\emph{同步条件}维度推进，把星间完全相干放宽为带未知时间戳误差 $\delta_\ell$ 的部分相干观测。