josh
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承 A.2-5(B5):把 sec4 的 G_ℓ 投影联合 ML(O(K^3))改写为对 延时-Doppler 网格字典的行稀疏(MMV)恢复 Y_ℓ^T=Q_ℓX_ℓ+N, 活跃用户=非零行、行值=空间信道 ĥ、行网格点=(τ̂,ν̂),与 sec4 充分统计量口径一致。附录 I 三节:I.1 字典化测量模型 (网格+行稀疏+离格细化)、I.2 AMP 不动点(线性+Onsager+行 去噪/软阈值)、I.3 SBL 不动点(后验+证据最大化超参更新); 末注 state-evolution 挂界+互相干条件为后续(B5 c)。sec4 加 "低复杂度路径"过渡小节指向附录 I。口径=网格粗+细化(Josh 定)。paper-agnostic:只述经典 AMP/SBL 方法,不提 AI/展开/ 学参数(留 §2B 给 AI 仓)。主文件 input 接入附录 I。
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\section{字典化多用户分离与消息传递}
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\label{sec:dictSeparationAmp}
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本附录给出第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节多用户分离的一条低复杂度等价路径。正文把各用户的延时、Doppler、来向作为连续参数联合估计，集中似然对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影；其每次目标评估的复杂度随用户数 $K$ 三次增长，且依赖良好初始化。这里把延时--Doppler 平面离散为网格，将分离化为对一个\emph{已知}字典的行稀疏恢复，再用消息传递求解。它与正文分离给出同一逐用户输出，但把每星每次迭代的代价降到近线性于问题规模。
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\subsection{延时--多普勒字典与稀疏测量模型}
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\label{subsec:I1_dictModel}
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把第 $\ell$ 颗卫星观测的延时--Doppler 平面离散为 $C$ 个网格点 $\{(\tau_c,\nu_c)\}_{c=1}^{C}$（先取粗网格，离格误差由后文的局部细化补偿）。第 $k$ 个用户码在第 $c$ 个网格点上的\emph{已知}时间模板原子为
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\begin{equation}
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[\mathbf q_{\ell,k,c}]_t = s_k(t-\tau_c)\,e^{j\nu_c t},
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\qquad
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\mathbf q_{\ell,k,c}\in\mathbb C^{T},
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\end{equation}
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按 $(k,c)$ 排列得字典 $\mathbf Q_\ell=[\mathbf q_{\ell,1,1},\ldots,\mathbf q_{\ell,K,C}]\in\mathbb C^{T\times KC}$。第 $m$ 根阵元的时间序列 $\mathbf y_{\ell,m}\in\mathbb C^{T}$（即 $\mathbf Y_\ell$ 第 $m$ 行的转置）满足 $\mathbf y_{\ell,m}=\mathbf Q_\ell\mathbf x_{\ell,m}+\mathbf n_{\ell,m}$。把各阵元并列为多测量向量（multiple-measurement-vector，MMV）形式
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\begin{equation}
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\label{eq:I_mmv}
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\mathbf Y_\ell^\Tran
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=\mathbf Q_\ell\,\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran,
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\qquad
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\mathbf X_\ell=[\mathbf x_{\ell,1},\ldots,\mathbf x_{\ell,M_\ell}]\in\mathbb C^{KC\times M_\ell}.
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\end{equation}
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关键结构是\emph{行稀疏}：每个活跃用户只占据其真实延时--Doppler 网格点对应的那一行，故 $\mathbf X_\ell$ 仅有少数非零行，且非零行在所有阵元上\emph{共享同一支撑}。若第 $(k,c)$ 行非零，则它\emph{就是}该用户的空间信道
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\begin{equation}
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\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}=\big(\mathbf X_\ell[(k,c),:]\big)^\Herm\in\mathbb C^{M_\ell},
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\qquad
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(\hat\tau_{\ell,k},\hat\nu_{\ell,k})=(\tau_c,\nu_c).
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\end{equation}
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这与第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节回传的逐用户三元组 $\{\hat\tau_{\ell,k},\hat\nu_{\ell,k},\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$ 完全一致：稀疏恢复同时给出网格级延时--Doppler（支撑）与空间信道（行值）。
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用户间干扰体现为字典列的非正交：$\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf Q_\ell$ 的非对角元由不同 $(k,c)$ 原子时间模板的互相关给出（码互相关与延时--Doppler 偏移共同决定）。该\emph{互相干}受控时，下文的消息传递可在每星每迭代 $O(M_\ell T\cdot KC)$ 内恢复支撑与信道，替代 $\mathbf G_\ell$ 投影联合最大似然的 $O(K^3)$ 反复求逆。网格离散的离格误差由\emph{粗网格定位 + 局部细化}补偿：先在粗网格上定支撑，再在峰邻域对 $(\tau,\nu)$ 作牛顿步或细网格细化。
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\subsection{近似消息传递不动点}
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\label{subsec:I2_amp}
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对 \eqref{eq:I_mmv} 的行稀疏恢复，近似消息传递（approximate message passing，AMP）以矩阵形式迭代。设字典列已作能量归一化，自 $\mathbf X^0=\mathbf 0$、$\mathbf Z^0=\mathbf Y_\ell^\Tran$ 起，第 $t$ 步为
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\begin{align}
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\label{eq:I_amp}
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\mathbf R^t
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&=\widehat{\mathbf X}^t+\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf Z^t,\\
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\widehat{\mathbf X}^{t+1}
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&=\boldsymbol\eta_t\big(\mathbf R^t\big),\\
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\mathbf Z^{t+1}
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&=\mathbf Y_\ell^\Tran-\mathbf Q_\ell\widehat{\mathbf X}^{t+1}
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+\frac{KC}{T}\,\big\langle\boldsymbol\eta_t'\big\rangle\,\mathbf Z^t.
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\end{align}
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其中 $\mathbf R^t$ 是去相关后的等效观测（匹配残差叠加当前估计），$\boldsymbol\eta_t(\cdot)$ 是\emph{逐行}作用的去噪算子——把每一行的 $M_\ell$ 维向量整体收缩以促行稀疏；$\langle\boldsymbol\eta_t'\rangle$ 是其平均散度，构成 Onsager 修正项，抵消迭代间的统计依赖、使 $\mathbf R^t$ 的等效噪声近似为白。去噪算子可取\emph{行软阈值}
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\begin{equation}
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\big[\boldsymbol\eta_t(\mathbf R)\big]_{r,:}
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=\mathbf R_{r,:}\,\max\!\Big(0,\,1-\frac{\lambda_t}{\|\mathbf R_{r,:}\|_2}\Big),
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\end{equation}
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（$\lambda_t$ 为阈值，$r=(k,c)$ 为行索引），或在每行 Bernoulli--复高斯先验下取行后验均值（最小均方误差去噪）。迭代收敛后，存活行即活跃用户的延时--Doppler 网格点与空间信道。
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\subsection{稀疏贝叶斯学习不动点}
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\label{subsec:I3_sbl}
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另一条路径是稀疏贝叶斯学习（sparse Bayesian learning，SBL）。对每行赋零均值复高斯先验、行内（跨阵元）共享方差超参 $\gamma_r$（$r=(k,c)$）：$\mathbf X_\ell[r,:]\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\gamma_r\mathbf I_{M_\ell})$。给定 $\{\gamma_r\}$ 与噪声方差 $\sigma_\ell$，各行值的后验为高斯，均值与协方差对角为
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\begin{equation}
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\widehat{\mathbf X}_\ell
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=\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm
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\big(\sigma_\ell\mathbf I_T+\mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm\big)^{-1}
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\mathbf Y_\ell^\Tran,
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\qquad
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\boldsymbol\Gamma=\diag(\gamma_1,\ldots,\gamma_{KC}),
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\end{equation}
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\begin{equation}
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\Sigma_{rr}
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=\gamma_r-\gamma_r^2\,\mathbf q_{\ell,r}^\Herm
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\big(\sigma_\ell\mathbf I_T+\mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm\big)^{-1}\mathbf q_{\ell,r},
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\end{equation}
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其中 $\mathbf q_{\ell,r}$ 为字典第 $r$ 列。超参由证据最大化（EM）逐行更新
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\begin{equation}
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\label{eq:I_sbl_update}
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\gamma_r\leftarrow
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\frac{1}{M_\ell}\big\|\widehat{\mathbf X}_\ell[r,:]\big\|_2^2+\Sigma_{rr},
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\end{equation}
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交替``后验求值--超参更新''直至收敛。多数 $\gamma_r\to0$、支撑自动稀疏，存活行同样给出活跃用户的延时--Doppler 与信道。SBL 不需预设阈值，对字典互相干的鲁棒性通常优于贪婪逐级消除，代价是每次后验求值含一个 $T\times T$ 求逆。
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\medskip
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本附录给出的字典化模型与 AMP/SBL 不动点，是 $\mathbf G_\ell$ 投影联合最大似然之外的低复杂度求解路径，与第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户充分统计量口径一致。其逐层均方误差与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节 \gls{crb}/\gls{efim} 的挂钩（state-evolution 递推）以及达界所需的字典互相干条件，是自然的后续分析方向。
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