doa_doppler_est/parts/I-dictSeparationAmp.tex

\section{字典化多用户分离与消息传递}
\label{sec:dictSeparationAmp}

\begin{mdquote}
\noindent\textbf{本附录设定}：将已知用户码的延时--Doppler 模板离散化，逐星估计网格支撑与空间信道。
\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
  \item \emph{观测模型} 多测量向量模型 $\mathbf Y_\ell^\Tran=\mathbf Q_\ell\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran$。
  \item \emph{结构条件} 单路径、参数在网格上且所有链路增益非零时，每个活跃用户对应一个非零行。
  \item \emph{求解方法} 说明向量近似消息传递的修正项，并给出复高斯稀疏贝叶斯学习的后验与超参数更新。
\end{itemize}
\end{mdquote}

第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节保留连续方向参数与跨星几何约束。本附录先把各星空间信道作为自由向量估计，得到可供后续阵列拟合使用的中间结果。网格离散及空间结构的放松改变了估计问题，因此这种分步方法与连续联合最大似然一般不等价。

\subsection{延时--多普勒字典与稀疏测量模型}
\label{subsec:I1_dictModel}

取 $C$ 个网格点 $\{(\tau_c,\nu_c)\}_{c=1}^{C}$，定义已知时间模板
%
\begin{equation}
  [\mathbf q_{\ell,k,c}]_t=s_k(t-\tau_c)e^{j\nu_c t},
  \qquad
  \mathbf Q_\ell=[\mathbf q_{\ell,1,1},\ldots,\mathbf q_{\ell,K,C}]
  \in\mathbb C^{T\times KC}.
\end{equation}
%
其中 $t$ 表示实际采样时刻，时延插值沿用第~\ref{sec:userPositioning}~节的带限模板约定。对于第~\ref{sec:multiSatMultiUser}~节不含未知传播时延的模型，固定 $\tau_c=0$，只对 Doppler 建立网格。按阵元并列观测，得到
%
\begin{equation}
  \label{eq:I_mmv}
  \mathbf Y_\ell^\Tran=\mathbf Q_\ell\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran,
  \qquad \mathbf X_\ell\in\mathbb C^{KC\times M_\ell}.
\end{equation}
%
在单路径、参数落在网格上且增益非零的条件下，每个活跃用户在自己的 $C$ 行中恰占一行，所有阵元共享这一行支撑。若第 $(k,c)$ 行被选中，未经列归一化的字典对应
%
\begin{equation}
  \widehat{\mathbf h}_{\ell,k}
   =\big(\widehat{\mathbf X}_\ell[(k,c),:]\big)^\Tran,
  \qquad
  (\hat\tau_{\ell,k},\hat\nu_{\ell,k})=(\tau_c,\nu_c).
\end{equation}
%
这里使用转置而非共轭转置，因为观测模型为 $\mathbf h_{\ell,k}\mathbf q_{\ell,k}^\Tran$。若把字典列除以其范数，则恢复的相应系数行须再除以同一范数，才能还原物理信道。

这些输出与第~\ref{subsec:perSatSufficientStat}~小节的局部参数具有相同含义，但网格支撑及估计信道并不自动构成原始观测的充分统计量。离格时，真实模板通常需要多个相邻原子近似；选定支撑后的连续参数细化可以减小离散误差，其效果取决于初始化与目标函数。

\subsection{向量近似消息传递的修正项}
\label{subsec:I2_amp}

近似消息传递（approximate message passing，AMP）交替进行残差匹配与去噪。为了明确向量修正项，先考虑实值模型 $\mathbf V=\mathbf A\mathbf X+\mathbf N$，其中 $\mathbf A\in\mathbb R^{n\times d}$、$\mathbf X\in\mathbb R^{d\times b}$。标准随机矩阵设定取 $A_{ij}$ 独立、均值为零、方差为 $1/n$，并在固定维数比的大系统条件下分析。令去噪器 $\mathbf f_t:\mathbb R^b\to\mathbb R^b$ 逐行作用，其 Jacobian 为 $\mathbf J_{t,r}$。从 $\widehat{\mathbf X}^0=\mathbf0$、$\mathbf Z^0=\mathbf V$ 出发，迭代为~\cite{hannakPerformanceAnalysisAMP2018}
%
\begin{equation}
  \label{eq:I_amp}
  \begin{aligned}
  \mathbf R^t&=\widehat{\mathbf X}^t+\mathbf A^\Tran\mathbf Z^t,\\
  [\widehat{\mathbf X}^{t+1}]_{r,:}^\Tran
      &=\mathbf f_t([\mathbf R^t]_{r,:}^\Tran),\\
  \mathbf Z^{t+1}&=\mathbf V-\mathbf A\widehat{\mathbf X}^{t+1}
        +\frac{1}{n}\mathbf Z^t
           \left(\sum_{r=1}^{d}\mathbf J_{t,r}\right)^\Tran .
  \end{aligned}
\end{equation}
%
最后一项是 Onsager 修正。其维数为 $n\times b$，由完整的 $b\times b$ Jacobian 构成；只有标量情形或额外的各向同性条件下，才能简化为一个平均导数乘残差。有效噪声的高斯近似依赖随机矩阵与去噪器的适用条件，不由列归一化单独保证。

例如，行软阈值去噪器取 $\mathbf f(\mathbf r)=(1-\lambda/\|\mathbf r\|_2)_+\mathbf r$，在 $\|\mathbf r\|_2>\lambda$ 时，
%
\begin{equation}
  \label{eq:I_amp_jacobian}
  \mathbf J(\mathbf r)
   =\left(1-\frac{\lambda}{\|\mathbf r\|_2}\right)\mathbf I_b
       +\frac{\lambda}{\|\mathbf r\|_2^3}\mathbf r\mathbf r^\Tran.
\end{equation}
%
在阈值内部 Jacobian 为零，阈值边界可按几乎处处导数处理。\eqref{eq:I_amp_jacobian} 的非对角项说明，向量去噪一般不能用标量散度替代。

复值字典模型可等价写为实值块系统
%
\begin{equation}
  \label{eq:I_real_system}
  \begin{bmatrix}\Re\{\mathbf Y_\ell^\Tran\}\\\Im\{\mathbf Y_\ell^\Tran\}\end{bmatrix}
  =
  \begin{bmatrix}
    \Re\{\mathbf Q_\ell\}&-\Im\{\mathbf Q_\ell\}\\
    \Im\{\mathbf Q_\ell\}& \Re\{\mathbf Q_\ell\}
  \end{bmatrix}
  \begin{bmatrix}\Re\{\mathbf X_\ell\}\\\Im\{\mathbf X_\ell\}\end{bmatrix}
  +\begin{bmatrix}\Re\{\mathbf N_\ell^\Tran\}\\\Im\{\mathbf N_\ell^\Tran\}\end{bmatrix}.
\end{equation}
%
该变换保留了模型，却产生重复的矩阵块；同一复系数的实部与虚部还需成组去噪。因此，\eqref{eq:I_amp} 的独立实随机矩阵分析不能直接套用。对于确定性的延时--Doppler 字典，须采用与复值结构、分组先验相匹配的消息传递公式，并另外检查收敛性。这里的实值递推用于说明修正项的结构，下一小节则直接在复值观测模型上给出可计算的后验更新。

\subsection{稀疏贝叶斯学习的后验与更新}
\label{subsec:I3_sbl}

稀疏贝叶斯学习（sparse Bayesian learning，SBL）对每个阵元的系数列赋独立先验 $\mathbf X_\ell[:,m]\sim\mathcal{CN}(\mathbf0,\boldsymbol\Gamma)$，其中 $\boldsymbol\Gamma=\diag(\gamma_1,\ldots,\gamma_{KC})$，各阵元共享行方差。以下固定噪声方差 $\sigma_\ell>0$。令
%
\begin{equation}
  \label{eq:I_sbl_posterior}
  \begin{aligned}
  \mathbf C&=\sigma_\ell\mathbf I_T+
                    \mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm,\\
  \widehat{\mathbf X}_\ell
     &=\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf C^{-1}\mathbf Y_\ell^\Tran,\\
  \boldsymbol\Sigma
     &=\boldsymbol\Gamma-\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm
                     \mathbf C^{-1}\mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma.
  \end{aligned}
\end{equation}
%
由高斯条件分布公式，每个系数列的后验均值是 $\widehat{\mathbf X}_\ell$ 的对应列，协方差均为 $\boldsymbol\Sigma$。对系数积分得到边缘负对数似然，去掉与超参数无关的项后为
%
\begin{equation}
  \label{eq:I_sbl_evidence}
  \mathcal L(\boldsymbol\gamma)
    =M_\ell\log\det\mathbf C+
       \operatorname{tr}\!\left[
         (\mathbf Y_\ell^\Tran)^\Herm\mathbf C^{-1}\mathbf Y_\ell^\Tran
       \right].
\end{equation}
%
采用期望最大化，先在当前超参数处计算 \eqref{eq:I_sbl_posterior}，再对完整数据对数先验取后验期望。每行的有关项为 $M_\ell\log\gamma_r+
\mathbb E[\|\mathbf X_\ell[r,:]\|_2^2\mid\mathbf Y_\ell]/\gamma_r$。对 $\gamma_r$ 求导，得到
%
\begin{equation}
  \label{eq:I_sbl_update}
  \gamma_r^{\mathrm{new}}
    =\frac{\|\widehat{\mathbf X}_\ell[r,:]\|_2^2}{M_\ell}+\Sigma_{rr}.
\end{equation}
%
迭代可趋于边缘似然的驻点；目标一般非凸，支撑恢复和全局最优性仍取决于数据与初始化。小方差行可用于筛选候选网格，但上述独立高斯先验没有施加每个用户恰选一行的约束。若需要严格的一选一结构，应另引入每个用户的离散网格索引及条件信道先验，并重新推导后验更新；对行能量作最大值选择只是后处理。

直接矩阵乘法的字典匹配代价为 $O(M_\ell T KC)$。SBL 还需构造并分解 $\mathbf C$，朴素实现分别需要 $O(T^2KC)$ 与 $O(T^3)$ 运算。总计算量须结合网格规模、迭代次数及后续连续细化评估，不能把一次字典迭代与联合似然的一次小矩阵求逆直接比较。

得到逐星信道后，可按阵列流形拟合本地来向，再通过全局方向或位置模型融合。与原始观测的 \gls{crb} 比较时，应分别记录网格误差、支撑选择错误和分步处理的信息损失。