doa_doppler_est/parts/I-dictSeparationAmp.tex

\section{字典化多用户分离与消息传递}
\label{sec:dictSeparationAmp}

本附录给出第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节多用户分离的一条低复杂度等价路径。正文把各用户的延时、Doppler、来向作为连续参数联合估计，集中似然对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间投影；其每次目标评估的复杂度随用户数 $K$ 三次增长，且依赖良好初始化。这里把延时--Doppler 平面离散为网格，将分离化为对一个\emph{已知}字典的行稀疏恢复，再用消息传递求解。它与正文分离给出同一逐用户输出，但把每星每次迭代的代价降到近线性于问题规模。

\subsection{延时--多普勒字典与稀疏测量模型}
\label{subsec:I1_dictModel}

把第 $\ell$ 颗卫星观测的延时--Doppler 平面离散为 $C$ 个网格点 $\{(\tau_c,\nu_c)\}_{c=1}^{C}$（先取粗网格，离格误差由后文的局部细化补偿）。第 $k$ 个用户码在第 $c$ 个网格点上的\emph{已知}时间模板原子为
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\begin{equation}
  [\mathbf q_{\ell,k,c}]_t = s_k(t-\tau_c)\,e^{j\nu_c t},
  \qquad
  \mathbf q_{\ell,k,c}\in\mathbb C^{T},
\end{equation}
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按 $(k,c)$ 排列得字典 $\mathbf Q_\ell=[\mathbf q_{\ell,1,1},\ldots,\mathbf q_{\ell,K,C}]\in\mathbb C^{T\times KC}$。第 $m$ 根阵元的时间序列 $\mathbf y_{\ell,m}\in\mathbb C^{T}$（即 $\mathbf Y_\ell$ 第 $m$ 行的转置）满足 $\mathbf y_{\ell,m}=\mathbf Q_\ell\mathbf x_{\ell,m}+\mathbf n_{\ell,m}$。把各阵元并列为多测量向量（multiple-measurement-vector，MMV）形式
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\begin{equation}
  \label{eq:I_mmv}
  \mathbf Y_\ell^\Tran
  =\mathbf Q_\ell\,\mathbf X_\ell+\mathbf N_\ell^\Tran,
  \qquad
  \mathbf X_\ell=[\mathbf x_{\ell,1},\ldots,\mathbf x_{\ell,M_\ell}]\in\mathbb C^{KC\times M_\ell}.
\end{equation}
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关键结构是\emph{行稀疏}：每个活跃用户只占据其真实延时--Doppler 网格点对应的那一行，故 $\mathbf X_\ell$ 仅有少数非零行，且非零行在所有阵元上\emph{共享同一支撑}。进一步地，码分用户的码\emph{已知}、且在多用户硬交集场景下 $K$ 个用户全部活跃，故这一稀疏并非``哪些用户活跃''的未知稀疏，而是\emph{组结构}的：把字典列按用户码分为 $K$ 组（第 $k$ 组为码-$k$ 在所有网格点上的原子），每个已知用户码恰在其组内占据一个延时--Doppler 网格点——即\emph{组内一选一}（one-hot per group）。于是 $\mathbf X_\ell$ 恰有 $K$ 个非零行、每个用户码组各一；这一结构比泛行稀疏更强，应被下文的去噪算子与先验显式利用。若第 $(k,c)$ 行非零，则它\emph{就是}该用户的空间信道
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\begin{equation}
  \widehat{\mathbf h}_{\ell,k}=\big(\mathbf X_\ell[(k,c),:]\big)^\Herm\in\mathbb C^{M_\ell},
  \qquad
  (\hat\tau_{\ell,k},\hat\nu_{\ell,k})=(\tau_c,\nu_c).
\end{equation}
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这与第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节回传的逐用户三元组 $\{\hat\tau_{\ell,k},\hat\nu_{\ell,k},\widehat{\mathbf h}_{\ell,k}\}$ 完全一致：稀疏恢复同时给出网格级延时--Doppler（支撑）与空间信道（行值）。

用户间干扰体现为字典列的非正交：$\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf Q_\ell$ 的非对角元由不同 $(k,c)$ 原子时间模板的互相关给出（码互相关与延时--Doppler 偏移共同决定）。该\emph{互相干}受控时，下文的消息传递可在每星每迭代 $O(M_\ell T\cdot KC)$ 内恢复支撑与信道，替代 $\mathbf G_\ell$ 投影联合最大似然的 $O(K^3)$ 反复求逆。网格离散的离格误差由\emph{粗网格定位 + 局部细化}补偿：先在粗网格上定支撑，再在峰邻域对 $(\tau,\nu)$ 作牛顿步或细网格细化。

\subsection{近似消息传递不动点}
\label{subsec:I2_amp}

对 \eqref{eq:I_mmv} 的行稀疏恢复，近似消息传递（approximate message passing，AMP）以矩阵形式迭代。设字典列已作能量归一化，自 $\mathbf X^0=\mathbf 0$、$\mathbf Z^0=\mathbf Y_\ell^\Tran$ 起，第 $t$ 步为
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\begin{align}
  \label{eq:I_amp}
  \mathbf R^t
  &=\widehat{\mathbf X}^t+\mathbf Q_\ell^\Herm\mathbf Z^t,\\
  \widehat{\mathbf X}^{t+1}
  &=\boldsymbol\eta_t\big(\mathbf R^t\big),\\
  \mathbf Z^{t+1}
  &=\mathbf Y_\ell^\Tran-\mathbf Q_\ell\widehat{\mathbf X}^{t+1}
   +\frac{KC}{T}\,\big\langle\boldsymbol\eta_t'\big\rangle\,\mathbf Z^t.
\end{align}
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其中 $\mathbf R^t$ 是去相关后的等效观测（匹配残差叠加当前估计），$\boldsymbol\eta_t(\cdot)$ 是\emph{逐行}作用的去噪算子——把每一行的 $M_\ell$ 维向量整体收缩以促行稀疏；$\langle\boldsymbol\eta_t'\rangle$ 是其平均散度，构成 Onsager 修正项，抵消迭代间的统计依赖、使 $\mathbf R^t$ 的等效噪声近似为白。去噪算子可取\emph{行软阈值}
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\begin{equation}
  \big[\boldsymbol\eta_t(\mathbf R)\big]_{r,:}
  =\mathbf R_{r,:}\,\max\!\Big(0,\,1-\frac{\lambda_t}{\|\mathbf R_{r,:}\|_2}\Big),
\end{equation}
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（$\lambda_t$ 为阈值，$r=(k,c)$ 为行索引），或在每行 Bernoulli--复高斯先验下取行后验均值（最小均方误差去噪）。利用第~\ref{subsec:I1_dictModel} 小节的组结构可得更紧的去噪：在\emph{每个用户码组内}做``一选一''——以组内各网格点的行能量 $\|\mathbf R_{(k,c),:}\|_2$ 为权、经 softmax（或取最大）把该组的估计集中到主导网格点，对应每个已知用户在其延时--Doppler 网格内的软/硬选择，从而把先验由``全局少数非零行''收紧为``每组恰一行''。迭代收敛后，各组存活的网格点即对应用户的延时--Doppler，行值即其空间信道。

\subsection{稀疏贝叶斯学习不动点}
\label{subsec:I3_sbl}

另一条路径是稀疏贝叶斯学习（sparse Bayesian learning，SBL）。对每行赋零均值复高斯先验、行内（跨阵元）共享方差超参 $\gamma_r$（$r=(k,c)$）：$\mathbf X_\ell[r,:]\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\gamma_r\mathbf I_{M_\ell})$。给定 $\{\gamma_r\}$ 与噪声方差 $\sigma_\ell$，各行值的后验为高斯，均值与协方差对角为
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\begin{equation}
  \widehat{\mathbf X}_\ell
  =\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm
   \big(\sigma_\ell\mathbf I_T+\mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm\big)^{-1}
   \mathbf Y_\ell^\Tran,
  \qquad
  \boldsymbol\Gamma=\diag(\gamma_1,\ldots,\gamma_{KC}),
\end{equation}
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%
\begin{equation}
  \Sigma_{rr}
  =\gamma_r-\gamma_r^2\,\mathbf q_{\ell,r}^\Herm
   \big(\sigma_\ell\mathbf I_T+\mathbf Q_\ell\boldsymbol\Gamma\mathbf Q_\ell^\Herm\big)^{-1}\mathbf q_{\ell,r},
\end{equation}
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其中 $\mathbf q_{\ell,r}$ 为字典第 $r$ 列。超参由证据最大化（EM）逐行更新
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\begin{equation}
  \label{eq:I_sbl_update}
  \gamma_r\leftarrow
  \frac{1}{M_\ell}\big\|\widehat{\mathbf X}_\ell[r,:]\big\|_2^2+\Sigma_{rr},
\end{equation}
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交替``后验求值--超参更新''直至收敛。多数 $\gamma_r\to0$、支撑自动稀疏，存活行同样给出活跃用户的延时--Doppler 与信道。同样可注入第~\ref{subsec:I1_dictModel} 小节的组结构——对每个用户码组施加``组内一选一''先验（组内仅允许一个 $\gamma_r$ 显著），使超参更新 \eqref{eq:I_sbl_update} 在每组内竞争出主导网格点，与已知码、全活跃的设定一致。SBL 不需预设阈值，对字典互相干的鲁棒性通常优于贪婪逐级消除，代价是每次后验求值含一个 $T\times T$ 求逆。

\medskip

本附录给出的字典化模型与 AMP/SBL 不动点，是 $\mathbf G_\ell$ 投影联合最大似然之外的低复杂度求解路径，与第~\ref{subsec:perSatSufficientStat} 小节的逐用户充分统计量口径一致。其逐层均方误差与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节 \gls{crb}/\gls{efim} 的挂钩（state-evolution 递推）以及达界所需的字典互相干条件，是自然的后续分析方向。