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补界谱系门限档(计划 §7.3 阈值/§7.4 ZZB):新附录 J。 J.1 误指定 Barankin:检验点 + 似然比 Gram 捕获大误差,远 模糊检验点(错延时-Doppler 格/几何近简并)使界跳起=阈值; 误指定化承 F5(数据含真 δ、似然比用假设同步、参考=伪真 值)。J.2 ZZB(Bellini-Tartara+填谷):P_min=Q(½√D²)、D²= 去相关度跨星可加;高 SNR 退 CRB,模糊方向 P_min→½ 留地板。 ★少用户基本极限:最危模糊=位置-时间戳同轴(承 F6),D² 对 用户求和、共享 δ 须解释全用户 → K≤3 欠定、地板不随 SNR 降(几何/可辨识基本极限,非估计器);多用户超定抬 D²。 sec7 加指针;主文件 input 接入。paper-agnostic(不提 失效边界/route/figure 等 paper 框架)。
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\section{门限区界：误指定 Barankin 与 Ziv--Zakai}
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\label{sec:thresholdBounds}
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\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}--\appref{sec:timestampErrCrb} 的 \gls{crb}、\gls{efim} 与 \gls{mcrb} 都是\emph{局部}（小误差）界：它们刻画估计落入正确盆地后的方差，默认似然在真值（或伪真值）邻域内单峰。当信噪比降到门限以下、或参数空间存在模糊（如周期多帧的 Doppler 梳齿、或少用户下``位置--时间戳''混淆方向上的近简并）时，估计会跳到错误盆地、产生局部界无法预测的\emph{大误差}~\cite{athleyThresholdRegionPerformance2005}。本附录补两条刻画门限区的界：\emph{误指定 Barankin 界}（把\appref{subsec:F5_mcrb} 的 \gls{mcrb} 延伸到门限）与 \emph{Ziv--Zakai 界}（一条捕获模糊地板的贝叶斯界）。二者与前三档合成界谱系 $\gls{crb}\preceq\gls{efim}\to\gls{mcrb}\to\{\text{Barankin},\ \text{ZZB}\}$。
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\subsection{误指定 Barankin 界与阈值}
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\label{subsec:J1_barankin}
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Barankin 界用\emph{检验点}捕获大误差。取参数空间中偏离参考点的 $q$ 个检验点 $\{\boldsymbol\eta_i\}_{i=1}^{q}$，定义似然比 $L_i(\mathbf y)=p(\mathbf y;\boldsymbol\eta_i)/p(\mathbf y;\boldsymbol\eta_{\mathrm r})$（$\boldsymbol\eta_{\mathrm r}$ 为参考点），则任意无偏估计满足
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\begin{equation}
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\label{eq:J_barankin}
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\operatorname{Cov}(\widehat{\boldsymbol\eta})
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\succeq
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\boldsymbol\Delta\,
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\big(\mathbf M-\mathbf 1\mathbf 1^\Tran\big)^{-1}
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\boldsymbol\Delta^\Tran,
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\qquad
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\boldsymbol\Delta=[\boldsymbol\eta_1-\boldsymbol\eta_{\mathrm r},\ldots,\boldsymbol\eta_q-\boldsymbol\eta_{\mathrm r}],
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\quad
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[\mathbf M]_{ij}=\mathbb E_{\boldsymbol\eta_{\mathrm r}}\{L_iL_j\},
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\end{equation}
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其中 $\mathbf 1$ 为全一向量。检验点趋近 $\boldsymbol\eta_{\mathrm r}$ 时 \eqref{eq:J_barankin} 退回 \gls{crb}；远检验点则捕获门限区——当某个远检验点 $\boldsymbol\eta_{i^\star}$（对应一个\emph{模糊}的参数值，如错误的延时--Doppler 网格点或几何近简并位置）的似然比二阶矩 $\mathbb E\{L_{i^\star}^2\}$ 仍可观时，\eqref{eq:J_barankin} 较 \gls{crb} 显著抬升，预示该模糊方向上的大误差。
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\emph{阈值}即由此定出：圆对称复高斯下 $\mathbb E\{L_iL_j\}=\exp\!\big\{\tfrac{1}{2}(\boldsymbol\mu_i-\boldsymbol\mu_{\mathrm r})^\Herm\mathbf R^{-1}(\boldsymbol\mu_j-\boldsymbol\mu_{\mathrm r})\big\}$ 之类的均值相关项（$\boldsymbol\mu_i$ 为检验点处的均值）；门限信噪比是``主导模糊检验点的去相关度 $\|\boldsymbol\mu_{i^\star}-\boldsymbol\mu_{\mathrm r}\|^2_{\mathbf R^{-1}}$ 降到 $O(1)$''之处——高于它各模糊点被压住、界贴 \gls{crb}，低于它模糊点竞争、界跳起。
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把上述\emph{误指定}化（承\appref{subsec:F5_mcrb}）：数据由真模型（含 $\boldsymbol\delta^\star$）生成，而似然比 $L_i$ 取\emph{假设同步}（$\delta=0$）模型、参考点取伪真值 $\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$~\cite{richmondParameterBoundsEstimation2015}。于是 \gls{mcrb} 是其检验点趋近 $\boldsymbol\eta^{\mathrm{pt}}$ 的局部极限，而误指定 Barankin 在此之上预测门限以下的大误差——\gls{mml} 估计器不仅有\appref{subsec:F5_mcrb} 的偏置，门限以下还叠加模糊跳变。
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\subsection{Ziv--Zakai 界与模糊地板}
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\label{subsec:J2_zzb}
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Ziv--Zakai 界（ZZB，Bellini--Tartara 扩展形式）把估计误差与一族\emph{二元假设检验}的错误概率联系起来，从而内禀地捕获模糊。对位置的任一标量投影 $a=\mathbf c^\Tran\mathbf p$，
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\begin{equation}
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\label{eq:J_zzb}
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\mathbb E\big[(\widehat a-a)^2\big]
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\ge
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\frac{1}{2}\int_0^\infty h\,
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\mathcal V\!\Big\{
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\int \big[w(\mathbf p)+w(\mathbf p+h\,\mathbf c)\big]\,
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P_{\min}(\mathbf p,\mathbf p+h\,\mathbf c)\,\diff\mathbf p
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\Big\}\,\diff h,
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\end{equation}
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其中 $w(\cdot)$ 为位置先验，$\mathcal V\{\cdot\}$ 是\emph{填谷}（valley-filling）算子（取非增上包络，处理模糊旁瓣），$P_{\min}(\mathbf p,\mathbf p')$ 为等先验二元检验 $\mathrm H_0\!:\mathbf p$ 与 $\mathrm H_1\!:\mathbf p'$ 的最小错误概率。圆对称复高斯下
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\begin{equation}
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\label{eq:J_pmin}
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P_{\min}(\mathbf p,\mathbf p')
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=Q\!\Big(\tfrac{1}{2}\sqrt{D^2(\mathbf p,\mathbf p')}\Big),
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\qquad
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D^2(\mathbf p,\mathbf p')
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=\big\|\boldsymbol\mu(\mathbf p')-\boldsymbol\mu(\mathbf p)\big\|^2_{\mathbf R^{-1}}
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=\sum_{\ell}\frac{1}{\sigma_\ell}\big\|\boldsymbol\mu_\ell(\mathbf p')-\boldsymbol\mu_\ell(\mathbf p)\big\|_2^2,
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\end{equation}
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即\emph{去相关度}（白化均值分离），跨星可加（与 C6 的信息可加同源）。两端行为清晰：
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\begin{itemize}
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\item \textbf{高信噪比}：对 $h\neq 0$ 有 $D^2$ 大、$P_{\min}$ 迅速衰减，\eqref{eq:J_zzb} 退回投影 \gls{crb}；
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\item \textbf{门限区 / 模糊}：若存在位移 $h^\star\mathbf c$ 使两位置的均值近乎不可分（$\boldsymbol\mu(\mathbf p+h^\star\mathbf c)\approx\boldsymbol\mu(\mathbf p)$，即模糊方向），则该处 $D^2$ 不随信噪比增长、$P_{\min}\!\to\!\tfrac12$，填谷后在 \eqref{eq:J_zzb} 留下一个 $\sim (h^\star)^2$ 量级的\emph{地板}，\gls{crb} 无法预测。
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\end{itemize}
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\paragraph{少用户的基本极限}
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在含时间戳的位置模型里，最危险的模糊方向正是\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound} 的``位置--时间戳同轴''方向：位移 $\Delta\mathbf p$ 配上一组星钟偏移 $\Delta\boldsymbol\delta$ 可使各星到达时间几乎不变。其去相关度按 \eqref{eq:J_pmin} 是\emph{对用户求和}的——每个用户在该方向贡献一份均值分离，而共享的 $\delta_\ell$ 须同时解释该星上\emph{所有}用户。于是用户数 $K$ 越大，混淆方向上的 $D^2$ 越大、$P_{\min}$ 越早衰减、ZZB 地板越低；反之当 $K$ 太小（典型 $K\le 3$），共享 $\delta_\ell$ 与位置的混淆\emph{欠定}（承\appref{subsec:F6_tauDeltaConfound}：单用户被吃光、双用户仅部分救回），$D^2$ 在该方向始终偏小、$P_{\min}\!\approx\!\tfrac12$，ZZB 地板不随信噪比下降——这是\emph{几何/可辨识层面的基本极限}，非估计器之过，无论何种估计器都受其约束。多用户超定（$K$ 足够大）把混淆方向的 $D^2$ 抬起，才使地板随信噪比下沉。
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\medskip
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至此界谱系闭环：\gls{crb}/\gls{efim}（局部、信息级）给可达精度的标尺，\gls{mcrb}（\appref{subsec:F5_mcrb}）给忽略时间戳的失配代价，本附录的误指定 Barankin 与 Ziv--Zakai 界给门限以下的大误差与模糊地板。少用户下 ZZB 地板由未被超定的``位置--时间戳''模糊设定，刻画了用户数对可达定位精度的基本约束。
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