josh
936c1d9f62
复用实切空间投影，说明有限距离模型中的幅相及未知 rate 消元。给出单有效采样和双采样单帧退化，保留 IP 块内斜率与不同帧时刻的恢复条件。 扩展现有 NumPy 确定性检查；SyncTeX 编译通过，无断引用。例子不替代实际配置验收，不增加 MC。
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\section{用户位置 CRB}
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\label{sec:userPositionCrb}
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\begin{mdquote}
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\noindent\textbf{本附录设定}：对应正文第~\ref{sec:userPositioning}~节的有限距离位置模型。联合观测与复增益消元沿用\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的方法，主参数 Jacobian 按位置诱导的角度、Doppler 和传播时延重新构造。
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\begin{itemize}[leftmargin=1.5em,itemindent=0pt]
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\item \emph{主参数} $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^5$（用户位置、参考时延与参考 Doppler）；\emph{干扰参数} 同\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}（各星复增益与噪声方差）。
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\item \emph{本附录给出} 位置对视线与本地角、含地固用户速度的差分 Doppler、传播时延的链式 Jacobian，及由此的位置 \gls{crb}；其余直接引用\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的结果。
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\item \emph{本附录局部符号} $\mathbf u_\ell$：星 $\ell$ 单位视线；$\mathbf r_\ell=\mathbf p-\mathbf s_\ell$：星--用户位移；$\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}$：时延模板。完整索引见\appref{sec:assumptionsAndNotation}。
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\end{itemize}
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\end{mdquote}
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\subsection{位置对视线与本地角的链式导数}
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单位视线 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)=\mathbf r_\ell/\|\mathbf r_\ell\|_2$（$\mathbf r_\ell=\mathbf p-\mathbf s_\ell$）对位置的 Jacobian 为
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%
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\begin{equation}
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\frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}
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=\frac{1}{\|\mathbf r_\ell\|_2}\big(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran\big)\in\mathbb R^{3\times3}.
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\label{eq:H_dudp}
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\end{equation}
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两点结构性读法：因子 $1/\|\mathbf r_\ell\|_2$ 表明角灵敏度随距离衰减——这正是远场极限下位置不可由角度观测的根源；投影 $\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran$（秩 $2$）表明沿视线方向（径向）平移不改变该星方向，只有横向平移可观测，故单星无法定距，必须靠多星视差把各秩 $2$ 投影补成满秩 $3$。
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||
本地传播方向为 $\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}=-\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell$，因此 $\dfrac{\partial\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}=-\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\,\dfrac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}$。在该传播方向处应用 \eqref{eq:A6_local_angle_chain} 的 atan2/arcsin 链式法则，得到本地角对位置的 Jacobian，从而阵列导向矢量对位置的 Jacobian 为
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\begin{equation}
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\frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}
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=\frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial(\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran}
|
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\,\frac{\partial\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}
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\in\mathbb C^{M_\ell\times3},
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\label{eq:H_dadp}
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\end{equation}
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其中阵列流形 Jacobian $\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial(\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}})^\Tran}$ 取 \eqref{eq:A6_a_local_jac}。
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Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与位置诱导差分 \eqref{eq:sec7_dnu_pos}，并令 $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}=\partial\mathbf v_u/\partial\mathbf p$，有
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%
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\begin{equation}
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\frac{\partial\nu_\ell}{\partial\mathbf p}
|
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=\frac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial\mathbf p}
|
||
=\frac{2\pi T_{\mathrm s}}{\lambda_{\mathrm c}}
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||
\left[(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u(\mathbf p))^\Tran\frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}
|
||
-\mathbf u_\ell^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}
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||
-(\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}-\mathbf v_u(\mathbf p))^\Tran\frac{\partial\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial\mathbf p}
|
||
+\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\right]\in\mathbb R^{1\times3},
|
||
\qquad
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\frac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1,
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\label{eq:H_dnudp}
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\end{equation}
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%
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||
其中 $\dfrac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}$ 正是 \eqref{eq:H_dudp}，而 $\partial\mathbf v_u/\partial\mathbf p=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}$ 来自地固用户的 ECI 速度映射。第一、第三项由卫星--用户相对速度加权，因而同时包含视线随位置变化时用户速度投影的导数；显式的地固用户速度映射项则贡献 $-(\mathbf u_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}})^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}$。当两条视线趋于共同方向且有限距离投影退化时，这两类项分别退化或抵消。传播时延通道由 $\tau_\ell=\tau_{\mathrm{ref}}+\Delta\tau_\ell(\mathbf p)$ 与 \eqref{eq:sec7_tau_pos} 给出，
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%
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\begin{equation}
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||
\frac{\partial\tau_\ell}{\partial\mathbf p}
|
||
=\frac{\partial\Delta\tau_\ell}{\partial\mathbf p}
|
||
=\frac{1}{c\,T_{\mathrm s}}\big(\mathbf u_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}\big)^\Tran\in\mathbb R^{1\times3},
|
||
\qquad
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||
\frac{\partial\tau_\ell}{\partial\tau_{\mathrm{ref}}}=1,
|
||
\label{eq:H_dtaudp}
|
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\end{equation}
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%
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||
即差分时延对位置的灵敏度是两条视线\emph{单位向量之差}，远场 $\mathbf u_\ell\to\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}$ 时同样趋零，与角度、Doppler 共享同一径向退化。导频包络对时延的导数记为时延模板 $[\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}]_t\triangleq\dfrac{\partial[\mathbf q_\ell]_t}{\partial\tau_\ell}=-\dot s(t-\tau_\ell)\,e^{j\nu_\ell t}$（$\dot s$ 为导频时间导数，与\appref{subsec:F2_schurDelta} 的 $\mathbf q^{\mathrm{te}}$ 共用同一包络导数）。这里 $\dot s$ 取导频的\emph{带限}时间导数：时延与 \gls{tdoa} 信息正源于导频导数能量 $\sum_t|\dot s(t)|^2$（即 RMS/Gabor 带宽的平方），故 $\dot s$（以及 \gls{mcrb} 曲率所需的二阶导数 $\ddot s$）须按导频真实带限谱评估，而不可把有限观测窗强当成一个周期、改用循环导数约定——后者会在窗边界注入非物理的导数奇异、虚增时延信息。时间模板现同时依赖时延与 Doppler，链式导数为
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%
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\begin{equation}
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||
\frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i}
|
||
=\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\,\frac{\partial\tau_\ell}{\partial p_i}
|
||
+\left(\frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\frac{\partial\nu_\ell}{\partial p_i},
|
||
\qquad
|
||
\frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\tau_{\mathrm{ref}}}=\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}},
|
||
\qquad
|
||
\frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=\frac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}.
|
||
\end{equation}
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\subsection{位置 EFIM 与 CRB}
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按 Kronecker 求导法则（同 \eqref{eq:A6_Dl}）组装空时模板对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的 Jacobian
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%
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\begin{equation}
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||
\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}
|
||
=\left[\,
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||
\frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_x},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_y},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_z},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\tau_{\mathrm{ref}}},\ \frac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
\,\right]\in\mathbb C^{M_\ell T\times5},
|
||
\end{equation}
|
||
%
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||
其中位置列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial p_i}=\mathbf q_\ell\otimes\left(\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial p_i}\right)+\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i}\right)\otimes\mathbf a_\ell$ 现含角度、时延、Doppler 三项贡献（$\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial p_i}$ 见上式）、时延列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\tau_{\mathrm{ref}}}=\mathbf q_\ell^{\mathrm{del}}\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\dfrac{\partial\mathbf g_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=\left(\dfrac{\partial\mathbf q_\ell}{\partial\nu_\ell}\right)\otimes\mathbf a_\ell$，$\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial p_i}$ 取 \eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 \gls{efim} 与 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形：
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\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
|
||
=2\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell}
|
||
\Re\big\{(\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^\perp\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}\big\}\in\mathbb R^{5\times5}.
|
||
\label{eq:H_efim}
|
||
\end{equation}
|
||
%
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||
将 \eqref{eq:H_efim} 按 $(\mathbf p,\boldsymbol\phi)$ 分块（$\boldsymbol\phi=[\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 为吸收绝对发射时刻与绝对 Doppler 的两个自由标量）
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%
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||
\begin{equation}
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||
\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
|
||
=\begin{bmatrix}
|
||
\mathcal I_{\mathrm{pp}} & \mathcal I_{\mathrm p\phi}\\
|
||
\mathcal I_{\phi\mathrm p} & \mathcal I_{\phi\phi}
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
则把 $\boldsymbol\phi$ 视为干扰参数、对其取 Schur 补，得位置 \gls{crb}
|
||
%
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\begin{equation}
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||
\operatorname{CRB}(\mathbf p)
|
||
=\big(\mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\phi}\,\mathcal I_{\phi\phi}^{-1}\,\mathcal I_{\phi\mathrm p}\big)^{-1}\in\mathbb R^{3\times3}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
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||
几何精度因子（GDOP）即 $\sqrt{\operatorname{tr}\operatorname{CRB}(\mathbf p)}$ 随星座几何的变化。
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\begin{mdquote}
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||
\textbf{远场退化（Fisher 信息层）。} 由 \eqref{eq:H_dudp} 与 \eqref{eq:H_dtaudp}，在各星视线趋于共同方向的远场极限中，$\dfrac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$ 且 $\dfrac{\partial\tau_\ell}{\partial\mathbf p}\to\mathbf0$；FDOA 的用户速度项因 $\mathbf u_\ell-\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}\to\mathbf0$ 而抵消，卫星相对运动项的有限距离投影也随之退化。于是角度、Doppler 与时延三条通道对位置的灵敏度同时径向退化，$\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的位置导数失去距离方向上的独立性，$\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})$ 在距离方向奇异——位置 \gls{crb} 在距离维发散，退化为\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的二维方向 \gls{crb}（两个自由标量 $\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}$ 仍作绝对量被 Schur 消去）。这与第~\ref{subsec:positionLosMap} 小节的远场退化命题在 Fisher 信息层面一致。
|
||
\end{mdquote}
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\subsection{已知高度下的经纬度参数化与方向 CRB}
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\label{subsec:A6_latlon_crb}
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已知高度时，地表位置可用经纬度两个参数表示。本小节讨论这一约束下的位置模型，并与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst}~节的公共方向模型比较。采用单用户、单观测块、已对齐导频和各星独立未知复增益，几何信息仅通过阵列方向与差分 Doppler 进入；前面位置模型中的传播时延通道在本小节不参与估计。
|
||
|
||
记经纬度为 $\boldsymbol\vartheta=[\lambda_{\mathrm g},\varphi_{\mathrm g}]^\Tran$，依次为经度和纬度，均以弧度计。给定高度 $h_0$、地表模型及参考时刻的地固系到惯性系旋转 $\mathbf R_0$，定义
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||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf p(\boldsymbol\vartheta)=\mathbf R_0\mathbf p_{\mathrm E}(\boldsymbol\vartheta,h_0),
|
||
\qquad
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||
\mathbf P=\frac{\partial\mathbf p}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}\in\mathbb R^{3\times2}.
|
||
\label{eq:A6_latlon_surface}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
这里 $\mathbf p_{\mathrm E}$ 是选定地表的地固坐标映射；椭球模型采用大地纬度及相应高度定义。作为球面特例，令地球半径为 $R_{\mathrm E}$，则
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||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf p_{\mathrm E}=(R_{\mathrm E}+h_0)
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\cos\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g}\\
|
||
\cos\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g}\\
|
||
\sin\varphi_{\mathrm g}
|
||
\end{bmatrix},\qquad
|
||
\mathbf P=\mathbf R_0(R_{\mathrm E}+h_0)
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
-\cos\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g} & -\sin\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g}\\
|
||
\cos\varphi_{\mathrm g}\cos\lambda_{\mathrm g} & -\sin\varphi_{\mathrm g}\sin\lambda_{\mathrm g}\\
|
||
0 & \cos\varphi_{\mathrm g}
|
||
\end{bmatrix}.
|
||
\label{eq:A6_latlon_sphere}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
为沿用公共方向模型的传播约定，定义源到接收星的单位方向 $\mathbf w_\ell=(\mathbf s_\ell-\mathbf p)/r_\ell$，其中 $r_\ell=\|\mathbf s_\ell-\mathbf p\|_2$。它与 \eqref{eq:H_dudp} 使用的星到用户视线 $\mathbf u_\ell$ 互为相反数。由单位向量求导得到
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf W_\ell\triangleq\frac{\partial\mathbf w_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
|
||
=-\frac{1}{r_\ell}(\mathbf I_3-\mathbf w_\ell\mathbf w_\ell^\Tran)\mathbf P,
|
||
\qquad
|
||
\frac{\partial\mathbf w_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
|
||
=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf W_\ell.
|
||
\label{eq:A6_latlon_los_jac}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
采用 \eqref{eq:sec3_propagation_steering} 的负空间指数时，第 $m$ 个阵元的角度链式导数为
|
||
%
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\begin{equation}
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||
\frac{\partial[\mathbf a_\ell]_m}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
|
||
=-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}}[\mathbf a_\ell]_m
|
||
(\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}})^\Tran\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf W_\ell.
|
||
\label{eq:A6_latlon_steering_jac}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
对地固静止用户，参考时刻的惯性速度为 $\mathbf v_u=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf p$，其中 $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}$ 表示地球自转角速度的叉乘矩阵。定义几何链路频移 $b_\ell=-(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u)^\Tran\mathbf w_\ell/\lambda_{\mathrm c}$，其导数与参考星差分为
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%
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\begin{equation}
|
||
\begin{aligned}
|
||
\mathbf b_{\ell,\vartheta}
|
||
&\triangleq\frac{\partial b_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
|
||
=\frac{1}{\lambda_{\mathrm c}}\left[
|
||
-(\mathbf v_\ell-\mathbf v_u)^\Tran\mathbf W_\ell
|
||
+\mathbf w_\ell^\Tran\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf P\right],\\
|
||
\nu_\ell&=\nu_{\mathrm{ref}}+2\pi T_{\mathrm s}(b_\ell-b_{\ell_{\mathrm{ref}}}),\qquad
|
||
\frac{\partial\nu_\ell}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
|
||
=2\pi T_{\mathrm s}(\mathbf b_{\ell,\vartheta}-\mathbf b_{\ell_{\mathrm{ref}},\vartheta}).
|
||
\end{aligned}
|
||
\label{eq:A6_latlon_doppler_jac}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
参考 Doppler 仍为自由参数；地固用户速度的跨链路差分由几何保留。令本小节主参数为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\vartheta^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，按 \eqref{eq:A6_Dl} 的 Kronecker 链式法则组装 $\mathbf D_\ell=\partial\mathbf g_\ell/\partial\boldsymbol\eta^\Tran$，代入 \eqref{eq:A6_Ieff_final} 即得经纬度与参考 Doppler 的联合 \gls{efim}。其满秩时取逆，角度子块即经纬度 \gls{crb}；若仅保留经纬度为目标，则先对参考 Doppler 取 Schur 补。已知高度通过 \eqref{eq:A6_latlon_surface} 限制参数切空间，高度未知时须增加高度列并按目标选择保留或消元。
|
||
|
||
\paragraph{同一模型的坐标不变性}
|
||
若同一个均值、噪声及干扰参数模型同时以 $\boldsymbol\xi$ 和 $\boldsymbol\vartheta$ 表示，且 $\boldsymbol\xi=h(\boldsymbol\vartheta)$ 在工作点局部可逆，记 $\mathbf H=\partial\boldsymbol\xi/\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran$、$\mathbf T=\operatorname{diag}(\mathbf H,1)$。由得分的链式法则及相同干扰切空间消元，有
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||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e,\vartheta}=\mathbf T^\Tran\mathcal I_{\mathrm e,\xi}\mathbf T,
|
||
\qquad
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||
\mathbf C_\xi=\mathbf T\mathbf C_\vartheta\mathbf T^\Tran,
|
||
\qquad \mathbf C=\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}.
|
||
\label{eq:A6_latlon_reparameterization}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
此处下标仅区分两套坐标中的联合矩阵。相同物理量的局部无偏界在变换后相同。另一种等价比较是：在有限距离模型中，用参考星视线与已知地表的局部唯一、横截交点来定义方向坐标，再由该交点生成所有卫星的视线；此时仍满足 \eqref{eq:A6_latlon_reparameterization}。地平线切点、多交点分支及角坐标极点需要另选局部参数图。
|
||
|
||
\paragraph{公共方向近似与比较指标}
|
||
公共方向模型令各星共享 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；有限距离模型则使用 \eqref{eq:A6_latlon_los_jac} 中逐星不同的 $\mathbf w_\ell$ 和 $\mathbf W_\ell$。二者一般不是 \eqref{eq:A6_latlon_reparameterization} 所描述的同一模型换坐标。比较时须统一观测通道、已知高度条件、参考时刻、噪声、干扰参数与输出物理量。若经纬度协方差界的角度块为 $\mathbf C_{\vartheta\vartheta}$，则局部位置均方误差界与参考星方向夹角均方误差界分别为
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||
%
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\begin{equation}
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||
B_{\mathrm p}=\operatorname{tr}(\mathbf P\mathbf C_{\vartheta\vartheta}\mathbf P^\Tran),
|
||
\qquad
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||
B_{\mathrm{dir,ref}}=\operatorname{tr}(\mathbf W_{\ell_{\mathrm{ref}}}\mathbf C_{\vartheta\vartheta}\mathbf W_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran).
|
||
\label{eq:A6_latlon_metrics}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
两者单位分别为长度平方与弧度平方，开方后才是均方根界。球面例子中
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
B_{\mathrm p}=(R_{\mathrm E}+h_0)^2
|
||
\left(\cos^2\varphi_{\mathrm g}[\mathbf C_{\vartheta\vartheta}]_{11}+[\mathbf C_{\vartheta\vartheta}]_{22}\right).
|
||
\label{eq:A6_latlon_sphere_metric}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
公共方向的夹角界为 $\cos^2\beta[\mathbf C_{\xi\xi}]_{11}+[\mathbf C_{\xi\xi}]_{22}$。小视差使两类模型接近还需相应的投影后 Jacobian 接近；当最弱信息方向接近零时，小的信息扰动也可导致较大的逆矩阵差异。因此，公共方向与地表模型的界没有普遍的大小排序，接近程度须在统一指标及可辨识工作点上检验。
|
||
|
||
\subsection{已知高度曲面上的参考视线与多帧 Doppler}
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||
\label{subsec:G_reference_bearing}
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||
|
||
前一小节用经纬度描述已知高度曲面。同一有限距离模型也可用参考星在参考时刻的来向描述曲面交点。本小节保留逐星不同的视线，仅利用阵列方向和 Doppler；导频已对齐，传播时延不参与估计。位置由两个角和已知曲面决定，是几何映射的中间量。每个阵列仍采用单星平面波近似，各星接收端的绝对载波相位独立未知。
|
||
|
||
\paragraph{参考射线与曲面交点}
|
||
记物理参考时刻为 $t_0$，参考星编号为 $r$，惯性系位置为 $\mathbf s_r(t_0)$。定义参考来向角 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ 为卫星指向源的 \gls{eci} 方位角与俯仰角，均以弧度计，其单位向量与角导数为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_direction}
|
||
\begin{aligned}
|
||
\mathbf e(\boldsymbol\xi)
|
||
&=\begin{bmatrix}\cos\beta\cos\alpha\\\cos\beta\sin\alpha\\\sin\beta\end{bmatrix},\\
|
||
\mathbf E=\frac{\partial\mathbf e}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
&=\begin{bmatrix}
|
||
-\cos\beta\sin\alpha&-\sin\beta\cos\alpha\\
|
||
\cos\beta\cos\alpha&-\sin\beta\sin\alpha\\
|
||
0&\cos\beta
|
||
\end{bmatrix}.
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
这一来向与源到卫星的传播方向相反。令已知高度曲面在 $t_0$ 的惯性系表示为 $F_0(\mathbf p)=0$，在指定可见分支上求正距离 $d$：
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_intersection}
|
||
\mathbf p_0=\mathbf s_r(t_0)+d(\boldsymbol\xi)\mathbf e(\boldsymbol\xi),
|
||
\qquad F_0(\mathbf p_0)=0,\qquad d>0.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
例如，球面半径 $R=R_{\mathrm E}+h_0$ 时，外部卫星的近交点为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_sphere_root}
|
||
d=-\mathbf s_r^\Tran\mathbf e-
|
||
\sqrt{(\mathbf s_r^\Tran\mathbf e)^2-(\|\mathbf s_r\|_2^2-R^2)}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
需检查根号内严格为正、$d>0$ 及无遮挡。远交点通常位于地球遮挡侧，应由可见性规则排除。一般椭球的大地高度曲面采用实际高度函数定义；除高度为零等特例外，把椭球两条半轴都加上 $h_0$ 并不等同于恒定大地高度曲面。
|
||
|
||
令 $\mathbf n=\nabla F_0(\mathbf p_0)$。在 $\mathbf n^\Tran\mathbf e\ne0$ 的横截交点处，对 \eqref{eq:G_bearing_intersection} 隐式求导得到
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_intersection_jac}
|
||
\begin{aligned}
|
||
\frac{\partial d}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
&=-d\,\frac{\mathbf n^\Tran\mathbf E}{\mathbf n^\Tran\mathbf e},\\
|
||
\mathbf P_\xi\triangleq\frac{\partial\mathbf p_0}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
&=d\left(\mathbf I_3-
|
||
\frac{\mathbf e\mathbf n^\Tran}{\mathbf n^\Tran\mathbf e}\right)\mathbf E,
|
||
\qquad \mathbf n^\Tran\mathbf P_\xi=\mathbf0 .
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
交点分支局部唯一、$\cos\beta\ne0$ 且横截条件成立时，$\mathbf P_\xi$ 秩为 $2$，两角与曲面位置局部一一对应。切线处该表达式奇异；多交点分支、遮挡边界及方位角极点需单独处理。对搜索域的可见性判断使用地面法向与源到卫星方向的夹角，它不同于 \gls{eci} 俯仰角和阵列离轴角。
|
||
|
||
\paragraph{已知源运动与逐星视线}
|
||
地固静止源的惯性轨迹由已知地球姿态决定，写为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_source_motion}
|
||
\begin{aligned}
|
||
\mathbf p(t)&=\mathbf B(t)\mathbf p_0,\qquad
|
||
\mathbf B(t)=\mathbf R(t)\mathbf R(t_0)^\Tran,\\
|
||
\mathbf v_u(t)&=\dot{\mathbf B}(t)\mathbf p_0,\qquad
|
||
\mathbf a_u(t)=\ddot{\mathbf B}(t)\mathbf p_0,\\
|
||
\mathbf P(t)&=\mathbf B(t)\mathbf P_\xi,\qquad
|
||
\mathbf V_\xi(t)=-\dot{\mathbf B}(t)\mathbf P_\xi,\qquad
|
||
\mathbf A_\xi(t)=-\ddot{\mathbf B}(t)\mathbf P_\xi .
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
这里 $\mathbf R(t)$ 为地固系到惯性系的已知旋转；导数按物理秒计算。$\mathbf V_\xi$、$\mathbf A_\xi$ 分别是卫星--源相对速度与相对加速度对两角的 Jacobian，卫星星历不随候选角变化。匀速自转近似下 $\dot{\mathbf B}=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf B$、$\ddot{\mathbf B}=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}^2\mathbf B$。若选用惯性静止源特例，则令 $\mathbf B=\mathbf I_3$ 且两阶导数为零；两种源运动约定须在生成与估计中一致。
|
||
|
||
\paragraph{位置映射与速度近似分别给定时}
|
||
部分实现采用逐历元坐标旋转给出位置，同时另用简化自转速度给出 Doppler。可将这一确定性协议写为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_mixed_motion}
|
||
\begin{aligned}
|
||
\mathbf p(t)&=\mathbf B(t)\mathbf p_0,\qquad
|
||
\widetilde{\mathbf v}_u(t)=\mathbf C(t)\mathbf p_0,\\
|
||
\frac{\partial\mathbf p}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
&=\mathbf B(t)\mathbf P_\xi,\qquad
|
||
\frac{\partial\widetilde{\mathbf v}_u}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
=\mathbf C(t)\mathbf P_\xi,\\
|
||
\boldsymbol\epsilon_v(t)
|
||
&=\widetilde{\mathbf v}_u(t)-\dot{\mathbf p}(t)
|
||
=(\mathbf C(t)-\dot{\mathbf B}(t))\mathbf p_0 .
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
这里 $\mathbf B(t)$ 与 $\mathbf C(t)$ 为已知且不随候选角变化的矩阵。例如，$\widetilde{\mathbf v}_u=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf p$ 对应 $\mathbf C=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf B$。只有当 $\dot{\mathbf B}=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf B$ 时，它才是该位置轨迹的精确速度；包含其他时间变化旋转的坐标转换须使用其实际导数检查这一等式。候选角导数与时间导数是不同操作：即使 $\mathbf C\ne\dot{\mathbf B}$，\eqref{eq:G_bearing_mixed_motion} 的两个角 Jacobian 仍分别成立。
|
||
|
||
令 $\mathbf v_\ell^{\,g}=\mathbf v_\ell-\dot{\mathbf B}\mathbf p_0$ 为位置轨迹的实际相对速度，$\widetilde{\mathbf v}_\ell^{\mathrm{rel}}=\mathbf v_\ell-\mathbf C\mathbf p_0$ 为 Doppler 近似中采用的相对速度。沿用逐历元位置计算的 LOS，有
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_mixed_time_derivatives}
|
||
\begin{aligned}
|
||
\dot{\mathbf w}_\ell
|
||
&=\frac{\mathbf S_\ell\mathbf v_\ell^{\,g}}{r_\ell},\\
|
||
\widetilde b_\ell
|
||
&=-\frac{(\widetilde{\mathbf v}_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\mathbf w_\ell}
|
||
{\lambda_{\mathrm c}},\\
|
||
\frac{\mathrm d\widetilde b_\ell}{\mathrm dt}
|
||
&=-\frac{
|
||
(\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}-\dot{\mathbf C}\mathbf p_0)^\Tran\mathbf w_\ell
|
||
+(\widetilde{\mathbf v}_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\dot{\mathbf w}_\ell}
|
||
{\lambda_{\mathrm c}},\\
|
||
\frac{\partial\widetilde b_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
&=-\frac{-\mathbf w_\ell^\Tran\mathbf C\mathbf P_\xi+
|
||
(\widetilde{\mathbf v}_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\mathbf W_\ell}
|
||
{\lambda_{\mathrm c}}.
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
其中 $\mathbf S_\ell$、$\mathbf W_\ell$ 的定义见 \eqref{eq:G_bearing_los_derivatives}。若 $\mathbf C=\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\mathbf B$，则 $\dot{\mathbf C}=\dot{\boldsymbol\Omega}_{\mathrm E}\mathbf B+\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}\dot{\mathbf B}$，一般不能换成 $\boldsymbol\Omega_{\mathrm E}^2\mathbf B$。时间导数第一行使用实际位置轨迹的速度；将 $\widetilde{\mathbf v}_\ell^{\mathrm{rel}}$ 代入所得量只是代理 LOS rate，与真实导数的差为 $-\mathbf S_\ell\boldsymbol\epsilon_v/r_\ell$。角度相关的时间导数可直接对 \eqref{eq:G_bearing_mixed_time_derivatives} 求导，使用 $\mathbf B\mathbf P_\xi$、$\dot{\mathbf B}\mathbf P_\xi$、$\mathbf C\mathbf P_\xi$ 和 $\dot{\mathbf C}\mathbf P_\xi$，不混用两种速度。
|
||
|
||
保留该近似时，\eqref{eq:G_bearing_window_ols} 的节点向量改用 $\widetilde b_\ell-\widetilde b_r$，节点 Jacobian 改用 \eqref{eq:G_bearing_mixed_time_derivatives} 的最后一行，再乘固定的 $\mathbf X^\dagger$。这不要求 $\mathbf C=\dot{\mathbf B}$，也不要求计算瞬时 rate；OLS rate 是所选节点频率直线的斜率。由同一节点协议生成、拟合和求导的均值模型可在数学上自洽，其参考 bearing 与经纬度的坐标变换、实信息矩阵和干扰消元仍成立。物理上，该频移近似偏离位置轨迹的距离变化率，须另行量化：
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_motion_discrepancy}
|
||
\widetilde b_\ell-b_\ell^{\,g}
|
||
=\frac{\boldsymbol\epsilon_v^\Tran\mathbf w_\ell}{\lambda_{\mathrm c}},
|
||
\qquad
|
||
(\widetilde b_\ell-\widetilde b_r)-(b_\ell^{\,g}-b_r^{\,g})
|
||
=\frac{\boldsymbol\epsilon_v^\Tran(\mathbf w_\ell-\mathbf w_r)}
|
||
{\lambda_{\mathrm c}}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
有限距离的不同视线使该误差通常不能全部吸收到公共参考频移。数值检查应分别差分位置轨迹、近似速度和节点 Doppler：前者用于检验 LOS 时间导数，后两者用于检验近似 Doppler 的角导数及瞬时导数。微分步长采用物理秒或弧度，须检查步长收敛，并区分解析旋转、历元插值与时间转换在工作点的可微性。
|
||
|
||
若要求同一个可微物理源轨迹，可选择原有 $\mathbf B(t)$ 并令 $\mathbf C=\dot{\mathbf B}$，或明确采用匀速自转近似 $\mathbf B(t)=\exp((t-t_0)\boldsymbol\Omega_{\mathrm E})$。前者更新源速度和加速度，后者同时更新逐历元源位置；两者均不增加未知源运动参数。生成、候选、OLS 节点与 Jacobian、瞬时 rate、信息矩阵及高保真积分相位须使用同一选择，重建受影响的参考系数与目标真值。仅改 CRB 侧速度导数会破坏同模关系；这种物理协议更新也不再是旧样本的纯坐标转换。是否更新生产协议由场景与近似误差的证据决定，局部自洽性检查本身不要求静默更换协议。
|
||
|
||
以下 LOS 与 Doppler rate 公式采用 \eqref{eq:G_bearing_source_motion} 的一致轨迹；保留分别给定的位置和速度时，使用 \eqref{eq:G_bearing_mixed_time_derivatives}。令 $\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}}=\mathbf v_\ell-\mathbf v_u$、$\mathbf a_\ell^{\mathrm{rel}}=\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}}-\mathbf a_u$。各星传播方向、时间导数与候选角导数分别为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_los_derivatives}
|
||
\begin{aligned}
|
||
r_\ell&=\|\mathbf s_\ell-\mathbf p\|_2,\qquad
|
||
\mathbf w_\ell=\frac{\mathbf s_\ell-\mathbf p}{r_\ell},\qquad
|
||
\mathbf S_\ell=\mathbf I_3-\mathbf w_\ell\mathbf w_\ell^\Tran,\\
|
||
\dot{\mathbf w}_\ell&=\frac{\mathbf S_\ell\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}}}{r_\ell},
|
||
\qquad
|
||
\mathbf W_\ell=\frac{\partial\mathbf w_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
=-\frac{\mathbf S_\ell\mathbf P(t)}{r_\ell},\\
|
||
r_{\ell,x}&=\frac{\partial r_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
=-\mathbf w_\ell^\Tran\mathbf P(t),\\
|
||
\frac{\partial\dot{\mathbf w}_\ell}{\partial x}
|
||
&=-\frac{(\mathbf W_{\ell,x}\mathbf w_\ell^\Tran+
|
||
\mathbf w_\ell\mathbf W_{\ell,x}^\Tran)\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}}}{r_\ell}
|
||
+\frac{\mathbf S_\ell\mathbf V_{\xi,x}}{r_\ell}
|
||
-\frac{\dot{\mathbf w}_\ell r_{\ell,x}}{r_\ell},
|
||
\qquad x\in\{\alpha,\beta\}.
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
最后一行中的 $\mathbf W_{\ell,x}$、$\mathbf V_{\xi,x}$ 为相应矩阵的 $x$ 列，$r_{\ell,x}$ 在该行取标量 $x$ 导数。各星使用自己的 $\mathbf w_\ell$；阵列姿态旋转仅把这条视线写入本地坐标系，不能代替有限距离视差。
|
||
|
||
空间短窗近似只冻结 $\mathbf w_\ell(t_0)$ 与阵列姿态 $\boldsymbol\Omega_\ell(t_0)$。在负空间指数约定下，阵元的角导数为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_steering_jac}
|
||
\frac{\partial[\mathbf a_\ell]_m}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
=-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}}[\mathbf a_\ell]_m
|
||
(\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}})^\Tran
|
||
\boldsymbol\Omega_\ell(t_0)^\Tran\mathbf W_\ell(t_0).
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
几何 Doppler 的时间计算仍保留实际 LOS 变化。空间导向变化很小并不足以证明 Doppler rate 中的 LOS 导数项可忽略。
|
||
|
||
\paragraph{来向、传播方向与空间相位符号}
|
||
在第 $\ell$ 颗卫星定义星到源的来向 $\mathbf e_\ell=-\mathbf w_\ell$，本地方向由同一姿态旋转给出 $\mathbf e_\ell^{\mathrm{loc}}=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf e_\ell$、$\mathbf w_\ell^{\mathrm{loc}}=-\mathbf e_\ell^{\mathrm{loc}}$。沿用时间相位 $e^{j2\pi f t}$ 的约定，本小节模板满足
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_orientation_signs}
|
||
\begin{aligned}
|
||
{}[\mathbf a_\ell]_m
|
||
&=\exp\!\left(-j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}}
|
||
(\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}})^\Tran\mathbf w_\ell^{\mathrm{loc}}\right)
|
||
=\exp\!\left(+j\frac{2\pi}{\lambda_{\mathrm c}}
|
||
(\mathbf r_{\ell,m}^{\mathrm{loc}})^\Tran\mathbf e_\ell^{\mathrm{loc}}\right),\\
|
||
b_\ell
|
||
&=-\frac{(\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\mathbf w_\ell}{\lambda_{\mathrm c}}
|
||
=+\frac{(\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\mathbf e_\ell}{\lambda_{\mathrm c}} .
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
同样的方向替换适用于 \eqref{eq:G_bearing_mixed_time_derivatives} 的近似相对速度。对应角坐标可写为 $\alpha_w=\operatorname{wrap}(\alpha_e+\pi)$、$\beta_w=-\beta_e$；空间方向 Jacobian 同时满足 $\partial\mathbf w_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran=-\partial\mathbf e_\ell/\partial\boldsymbol\xi^\Tran$。因此，改用相反方向作为模板输入时，空间指数符号和 Doppler 投影符号须配套变换。两种输入约定表示同一个模板，而不是改变接收信号。
|
||
|
||
实际阵列实现可能采用不同的阵元位移定义、基带共轭约定或角输入约定，应从其模板定义确定对应关系。在真值及有效域内候选点，分别比较由 $\mathbf w_\ell$ 和 $-\mathbf w_\ell$ 两种写法得到的 steering 与均值，并在固定增益／相位后检查一致性；还应核对角导数和随时间变化的 Doppler 相位。单独翻转方向或单独翻转 Doppler 不能据此判定等价，实际空间指数也不能仅由函数名或 bearing 朝向猜测。
|
||
|
||
\paragraph{有限距离 Doppler、rate 与窗口拟合}
|
||
沿用 \eqref{eq:A6_latlon_doppler_jac} 的传播方向与 Doppler 符号，几何频移 $b_\ell$（Hz）及其瞬时 rate（Hz/s）为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_doppler_rate}
|
||
\begin{aligned}
|
||
b_\ell(t)&=-\frac{(\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\mathbf w_\ell}{\lambda_{\mathrm c}},\\
|
||
\dot b_\ell(t)&=-\frac{
|
||
(\mathbf a_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\mathbf w_\ell+
|
||
(\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\dot{\mathbf w}_\ell}{\lambda_{\mathrm c}},\\
|
||
b_{\ell,x}&=-\frac{\mathbf w_\ell^\Tran\mathbf V_\xi+
|
||
(\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\mathbf W_\ell}
|
||
{\lambda_{\mathrm c}},\\
|
||
\dot b_{\ell,x}&=-\frac{1}{\lambda_{\mathrm c}}\left[
|
||
\mathbf w_\ell^\Tran\mathbf A_\xi+
|
||
(\mathbf a_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran\mathbf W_\ell+
|
||
\dot{\mathbf w}_\ell^\Tran\mathbf V_\xi+
|
||
(\mathbf v_\ell^{\mathrm{rel}})^\Tran
|
||
\frac{\partial\dot{\mathbf w}_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
\right].
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
最后两行都是 $1\times2$ 行向量。瞬时 Taylor 构造取 $t_0$ 处的 $b_\ell-b_r$ 与 $\dot b_\ell-\dot b_r$。对于窗口拟合，采用第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst}~节固定的帧时刻 $s_p$ 与满列秩设计矩阵 $\mathbf X$；改用逐星有限距离的相对频移向量
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_window_ols}
|
||
\begin{aligned}
|
||
{}[\mathbf d_\ell]_p&=b_\ell(t_0+s_p)-b_r(t_0+s_p),\\
|
||
\mathbf c_\ell&=\begin{bmatrix}\Delta f_\ell\\\Delta\dot f_\ell\end{bmatrix}
|
||
=\mathbf X^\dagger\mathbf d_\ell,\\
|
||
\frac{\partial\mathbf c_\ell}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}
|
||
&=\mathbf X^\dagger\mathbf D_\ell^{\,b},\qquad
|
||
[\mathbf D_\ell^{\,b}]_{p,:}=b_{\ell,x}(t_0+s_p)-b_{r,x}(t_0+s_p).
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
固定时刻时 $\mathbf X^\dagger$ 不求角导数。系数斜率的导数由全部帧节点的 $b_{\ell,x}$ 拟合得到，一般不是 $\dot b_{\ell,x}(t_0)-\dot b_{r,x}(t_0)$。候选依赖选星、时间节点或拟合权重时，不满足这里的固定设计假设；搜索域应先固定观测星集，观测缺失及边界另行处理。
|
||
|
||
总系数仍保留两个独立参考标量：
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_reference_coefficients}
|
||
\begin{bmatrix}f_\ell\\\dot f_\ell\end{bmatrix}
|
||
=\begin{bmatrix}f_{\mathrm{ref}}\\\dot f_{\mathrm{ref}}\end{bmatrix}
|
||
+\mathbf c_\ell(\boldsymbol\xi),
|
||
\qquad
|
||
\begin{bmatrix}\nu_\ell\\\dot\nu_\ell\end{bmatrix}
|
||
=\operatorname{diag}(2\pi T_{\mathrm s},2\pi T_{\mathrm s}^2)
|
||
\begin{bmatrix}f_\ell\\\dot f_\ell\end{bmatrix}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
这一参数化允许公共发射频偏或其一阶漂移叠加在各星几何频移上；接收机专属频偏需已校准或另建干扰模型。已知高度只约束几何，不把参考频移或 rate 变成已知量。CP-K 固定参考 rate 的实际值，但 \eqref{eq:G_bearing_window_ols} 的相对 rate 角导数仍保留；CP-U 和 IP-U 则消去未知参考 rate。所有相位系数与空间映射须同时用于观测生成、候选计算及信息矩阵。
|
||
|
||
\paragraph{似然与有效信息接口}
|
||
在上述 phase-only 模型中，导频不含随候选角变化的时延；相对距离没有提供新增的包络或绝对载波相位观测。若幅度是自由干扰参数，也不对传播损耗另加角导数。将 \eqref{eq:G_bearing_reference_coefficients} 与 \eqref{eq:G_bearing_steering_jac} 代入 \eqref{eq:A7_qx_cp} 及空时模板的 Kronecker 导数即可。参考频移、参考 rate、幅度及相位列保持原有形式。
|
||
|
||
因此，\appref{sec:multiFrameCrb} 的 CP/IP 幅相结构、非负幅度的集中似然、实参数 \gls{fim} 与 Schur 补、实化投影以及 \eqref{eq:A7_real_rank_condition} 的秩判据继续适用；改变的是均值及两角导数的几何映射。结构化 CP 的同星公共相位不能按每块自由复增益消去。SS/MS 比较须保持参考星、源状态、采样与噪声协议相同；单星参考链路的相对系数恒为零，既有 K/U 正交性在相同窄带与幅相假设下仍成立，多星数值损失须重算。
|
||
|
||
\paragraph{局部一阶可辨识与时间退化}
|
||
在可见交点横截、角坐标非奇异、有效块幅度为正且噪声协方差正定的工作点，令
|
||
$\boldsymbol\eta=[\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。
|
||
将有限距离均值的目标导数和全部幅相、未知参考 rate 导数按
|
||
\eqref{eq:A7_realified_jacobians} 白化并实化为 $\mathbf A,\mathbf B$，则
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_local_identifiability}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}\succ0
|
||
\quad\Longleftrightarrow\quad
|
||
\operatorname{rank}(\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A)=3
|
||
\quad\Longleftrightarrow\quad
|
||
\nexists\ \delta\boldsymbol\eta\ne\mathbf0,\ \delta\boldsymbol\psi\in\mathbb R^{\dim\boldsymbol\psi_\mu}:
|
||
\mathbf A\delta\boldsymbol\eta=\mathbf B\delta\boldsymbol\psi.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
因此，要检验的是消元后三列的实线性独立性，而非原始角导数或阵列流形是否独立。
|
||
CP-U 的幅度列、同星共享相位列和实值 rate 列须保持原有约束；
|
||
IP-U 可先按逐块复增益投影，再对实值 rate 消元。
|
||
此判据只涉及局部一阶均值变化，不排除相位周期造成的远处分支，也不保证有限样本估计器达到界。
|
||
|
||
具体看 IP 的时间导数。设块内有效采样索引为 $n$，帧起点为 $\tau_p$，
|
||
阵列响应在该块冻结，导频已知且不随候选变化。用 $|s_p(n)|^2$ 加权的块内平均记为
|
||
$\langle\cdot\rangle_p$，均值的阵元分量记为 $\mu_{\ell,p,m,n}$。
|
||
消去逐块自由幅相后，参考频移和参考 rate 的导数分量为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_ip_centered_scores}
|
||
\begin{aligned}
|
||
{}[\widetilde{\mathbf J}_{\nu}]_{\ell,p,m,n}
|
||
&=j\big(n-\langle n\rangle_p\big)\mu_{\ell,p,m,n},\\
|
||
[\widetilde{\mathbf J}_{\dot\nu}]_{\ell,p,m,n}
|
||
&=j\left[\tau_p\big(n-\langle n\rangle_p\big)
|
||
+\frac{1}{2}\big(n^2-\langle n^2\rangle_p\big)\right]\mu_{\ell,p,m,n}.
|
||
\end{aligned}
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
这里采用块内白噪声和 phase-only 模板，逐星有限距离的相对系数及其角导数仍按
|
||
\eqref{eq:G_bearing_window_ols} 计算。块相位消去的是常相位项，不是一般的块内频率斜率。
|
||
空间阵元之间的相位差也不会被一个块相位全部消去。
|
||
|
||
一个精确退化例子是每块仅有一个有效时间样本，例如各帧导频只在 $n=0$ 非零。
|
||
取任意互异帧时刻、任意固定星集、可见非切向交点和任意阵列，包括能提供两个角信息的平面阵列。
|
||
IP-U 逐块相位自由且参考 rate 未知，此时 \eqref{eq:G_bearing_ip_centered_scores} 的两列都为零，
|
||
参考频移方向 $\delta\boldsymbol\eta=[0,0,1]^\Tran$ 的有效信息为零。
|
||
即使增加星数或帧数也不能在这一采样协议中恢复参考频移信息。
|
||
对 CP-U，跨帧相位并非自由，不能照搬这一结论。
|
||
|
||
另一个例子保留块内时间差：各块只有 $n=0,h$ 两个有效样本，$h>0$，两处导频均非零。
|
||
此时 $n^2=hn$，故逐块有
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_two_sample_degeneracy}
|
||
\widetilde{\mathbf J}_{\dot\nu,\ell,p}
|
||
=c_p\widetilde{\mathbf J}_{\nu,\ell,p},
|
||
\qquad c_p=\tau_p+\frac{h}{2}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
若只观测 $\tau_0=0$ 的一帧，则 $c_0=h/2\ne0$。
|
||
取 $\delta\nu_{\mathrm{ref}}=1$、$\delta\dot\nu_{\mathrm{ref}}=-2/h$，保持两角不变，
|
||
两个采样点的时间相位变化均为零。CP-U 和 IP-U 在单帧具有相同的幅相自由度，
|
||
因此两者三维目标 \gls{efim} 都秩亏，无论阵列或多星几何是否能提供角信息。
|
||
这里可辨识的是该帧中点频移的组合，而不是同时未知 rate 时在帧起点定义的参考频移。
|
||
相对频移系数的拟合仍使用预先固定、满列秩的几何节点设计，不将单帧观测误作单节点斜率拟合。
|
||
|
||
若 IP 的有效帧有不同起点，式~\eqref{eq:G_bearing_two_sample_degeneracy} 的比例也不同。
|
||
为单独检验时间机制，暂时固定两角，令
|
||
$w_{\ell,p}=\dfrac{2\|\widetilde{\mathbf J}_{\nu,\ell,p}\|_2^2}{\sigma_\ell}>0$，
|
||
其中 $\sigma_\ell$ 为该星噪声复方差。消去块幅相后的频移--rate 信息为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\label{eq:G_bearing_two_sample_temporal_info}
|
||
\mathbf I_{\nu,\dot\nu}
|
||
=\sum_{\ell,p}w_{\ell,p}
|
||
\begin{bmatrix}1&c_p\\c_p&c_p^2\end{bmatrix},
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||
\qquad
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||
I_{\nu,\mathrm e}
|
||
=\sum_{\ell,p}w_{\ell,p}
|
||
-\frac{\left(\sum_{\ell,p}w_{\ell,p}c_p\right)^2}
|
||
{\sum_{\ell,p}w_{\ell,p}c_p^2}.
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||
\end{equation}
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%
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第二式要求分母非零；若 rate 列为零，直接用实投影判据。
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至少两个正权重块的 $c_p$ 不同即可解除这一时间列的精确比例关系，
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但两角未知时仍须对完整三列执行 \eqref{eq:G_bearing_local_identifiability}，不能据此保证整体满秩。
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||
在固定单位和参数尺度下，帧起点集中在同一个非零 $c_p$ 附近时，参考频移的信息接近零；
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||
这是病态而非必然秩亏。统一增加噪声复方差只缩放信息，不改变精确秩。
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阵列基线、逐星视线和相对 Doppler 导数决定剩余角信息，不能只凭星数或帧数判定可辨识。
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\paragraph{经纬度误差与完整协方差变换}
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对同一已知高度、分支和 $t_0$，令 $\boldsymbol\xi=h(\boldsymbol\vartheta)$。将星到源单位向量记为 $\mathbf e_r=(\mathbf p_0-\mathbf s_r)/r_r=-\mathbf w_r$，有
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\begin{equation}
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\label{eq:G_bearing_latlon_jac}
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\begin{aligned}
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\mathbf H=\frac{\partial\boldsymbol\xi}{\partial\boldsymbol\vartheta^\Tran}
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&=\mathbf K(\mathbf e_r)\frac{\mathbf I_3-\mathbf e_r\mathbf e_r^\Tran}{r_r}\mathbf P,\\
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||
\mathbf K(\mathbf e_r)
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||
&=\begin{bmatrix}
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||
-e_{r,2}/(e_{r,1}^2+e_{r,2}^2)&e_{r,1}/(e_{r,1}^2+e_{r,2}^2)&0\\
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||
0&0&1/\sqrt{1-e_{r,3}^2}
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||
\end{bmatrix},
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\qquad \mathbf P_\xi\mathbf H=\mathbf P.
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||
\end{aligned}
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\end{equation}
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%
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分母非零、$\mathbf P$ 满列秩且交点横截时，$\mathbf H$ 可逆。令完整结构参数为 $\boldsymbol z=[\boldsymbol\vartheta^\Tran,f_{\mathrm{ref}},\dot f_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，变换 Jacobian 为 $\mathbf T=\operatorname{diag}(\mathbf H,\mathbf I_2)$。消去相同幅相参数后，同一观测模型满足
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\begin{equation}
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\label{eq:G_bearing_covariance_transform}
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\mathbf J_z=\mathbf J_{z'}\mathbf T,\qquad
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||
\mathcal I_{\mathrm e,z}=\mathbf T^\Tran\mathcal I_{\mathrm e,z'}\mathbf T,
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\qquad
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||
\mathbf C_{z'}=\mathbf T\mathbf C_z\mathbf T^\Tran .
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||
\end{equation}
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%
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这里 $\boldsymbol z'=[\boldsymbol\xi^\Tran,f_{\mathrm{ref}},\dot f_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，协方差须包含交叉项；两项角标准差不足以完成变换。三维 K 配置可删去固定 rate 对应行列后作同样变换。直接 bearing Jacobian、经纬度 Jacobian 的链式结果与变换后的有效信息，是可分别实现并核对的三个接口。
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已有估计样本应先把每个估计经纬度非线性映射为参考星视线，再计算夹角
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\begin{equation}
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\label{eq:G_bearing_error_metric}
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\epsilon_{\mathrm{dir}}=
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\operatorname{atan2}(\|\widehat{\mathbf e}_r\times\mathbf e_r^\star\|_2,
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||
\widehat{\mathbf e}_r^\Tran\mathbf e_r^\star),
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||
\qquad
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||
B_{\mathrm{dir},r}=\operatorname{tr}\!\left[
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||
\operatorname{diag}(\cos^2\beta,1)\mathbf C_{\xi\xi}\right].
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\end{equation}
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%
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||
前者可用于重统计有限误差与失败样本，后者是小误差局部界；二者不能以同一次线性化替代。若仅存旧 RMSE 或标准差，通常无法恢复新指标。坐标缩放会改变条件数和角度--频率分量相关性；比较信息耦合时须说明单位和参数尺度，必要时在统一的物理切空间中比较。
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\paragraph{参考星、时间原点与几何比较}
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换参考星为 $r'$ 时，同一源位置对应新的来向角 $\boldsymbol\xi'=h_{r'}(\mathbf p_0)$，参考系数随之变为
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\begin{equation}
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\label{eq:G_bearing_reference_change}
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\begin{aligned}
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||
\mathbf c'_\ell&=\mathbf c_\ell-\mathbf c_{r'},\\
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||
\begin{bmatrix}f'_{\mathrm{ref}}\\\dot f'_{\mathrm{ref}}\end{bmatrix}
|
||
&=\begin{bmatrix}f_{\mathrm{ref}}\\\dot f_{\mathrm{ref}}\end{bmatrix}
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||
+\mathbf c_{r'}(\boldsymbol\xi),\\
|
||
\mathbf T_{r\to r'}&=
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||
\begin{bmatrix}
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||
\frac{\partial\boldsymbol\xi'}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}&\mathbf0\\
|
||
\frac{\partial\mathbf c_{r'}}{\partial\boldsymbol\xi^\Tran}&\mathbf I_2
|
||
\end{bmatrix}.
|
||
\end{aligned}
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||
\end{equation}
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||
下两行构成完整四维变换，参考系数的角导数不能省略。换星后的方向夹角指标描述另一条物理视线；比较 A/B 星集可固定一个共同参考星，或把全部估计与界投影到同一报告视线。不同参考星的参考 Doppler 也不是同一物理量。CP-K 固定原参考 rate 后，换星通常得到随角度变化的已知约束，并不等价于把新参考 rate 固定为常数的另一个 K 实验。
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在保持 $\boldsymbol\xi$ 定义于原 $t_0$ 时，内部时间居中仍使用 \eqref{eq:A7_affine_epoch_transform} 和完整四维协方差变换。若同时把 bearing 定义时刻改到新时刻，则须由 \eqref{eq:G_bearing_source_motion} 传播源位置，再重新计算新参考视线及其角 Jacobian。重新选择拟合窗口则重新定义 OLS 系数，一般不是单纯的时间原点变换。报告中的参考频移是拟合直线在指定原点的截距，未必等于该时刻的瞬时物理频移。
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\paragraph{时间近似与高保真残差}
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窗口诊断在各星真实有限距离 LOS 上评估阵列导向变化与几何频移曲率。定义参考几何系数 $\mathbf k_r=\mathbf X^\dagger[b_r(t_0+s_p)]_p$，则各星拟合几何频移为 $[1,s](\mathbf k_r+\mathbf c_\ell)$。物理相位与 affine 相位的差为
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\begin{equation}
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\label{eq:G_bearing_fidelity_residual}
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\epsilon_{\phi,\ell}(s)=2\pi\int_0^s
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\left\{b_\ell(t_0+v)-[1,v](\mathbf k_r+\mathbf c_\ell)\right\}\diff v .
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\end{equation}
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即使相对频移残差很小，参考链路的非 affine 公共残差也可能存在；只报告相对残差不足以证明完整相位近似。若另加公共发射频偏轨迹，应同时计入其线性拟合以外的残差。高保真生成可保留实际 LOS、姿态、路径幅度与积分相位，估计模板保持短窗冻结空间与二次相位；模型差异应按这些分量记录，同星常相位及允许的幅度变化可被干扰参数吸收。对固定星集与已声明幅相模型，可进一步检查白化均值残差在干扰切空间外的分量，但该诊断本身不证明有限样本效率。
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窗口、K/U、SS/MS、CP/IP 和星集敏感性分析均使用 \eqref{eq:G_bearing_window_ols} 的相同几何映射；前者另需相位及空间残差检查，后几类需重新生成候选导数与界。若旧样本确由同一有限距离模型产生，可先转换保存的估计与完整局部协方差；新 bearing 搜索域、捕获成功率、时间近似和高保真适用性仍须分别核查。
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\subsection{DoA-融合基线的位置 CRB}
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\label{subsec:H4_doaFusion}
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正文第~\ref{subsec:doaFusionBaseline} 小节的 DoA-融合基线不做跨星数据级联合，而是各星本地估角、融合中心几何相交。其位置 \gls{crb} 由两块拼成：每颗星本地 \gls{doa} 的单阵列 \gls{crb}，与本地角对位置的 Jacobian。
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每颗星 $\ell$ 仅用本星观测估计本地来向 $\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}=[\alpha_\ell^{\mathrm{loc}},\beta_\ell^{\mathrm{loc}}]^\Tran$，本星复增益、链路 Doppler 与噪声方差作本地干扰参数；该单阵列 \gls{doa}--Doppler 估计的角度块 \gls{crb} 即\appref{sec:singleArrayCrb} 的结果，记为 $\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}\in\mathbb R^{2\times2}$。本地角对位置的 Jacobian 由本附录前文（\eqref{eq:H_dudp}--\eqref{eq:H_dadp} 所用的 atan2/arcsin 链式行向量）给出
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\begin{equation}
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\label{eq:H4_Hl}
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\mathbf H_\ell
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=\frac{\partial\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}
|
||
=\begin{bmatrix}
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||
\frac{\partial\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}\\
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||
\frac{\partial\beta_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}
|
||
\end{bmatrix}\in\mathbb R^{2\times3},
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||
\end{equation}
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%
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||
其有限距离投影 $(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran)/\|\mathbf r_\ell\|_2$（\eqref{eq:H_dudp}）使单星 $\mathbf H_\ell$ 秩 $2$、沿视线方向不可观，须多星相交补成秩 $3$。
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把各星本地角估计视为独立测量 $\widehat{\boldsymbol\xi}_\ell^{\mathrm{loc}}\sim\mathcal N(\boldsymbol\xi_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p),\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell})$、星间独立，则位置的融合 Fisher 信息与 \gls{crb} 为
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\begin{equation}
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\label{eq:H4_crb}
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||
\mathcal I_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)
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=\sum_{\ell=0}^{L-1}\mathbf H_\ell^\Tran\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}^{-1}\mathbf H_\ell,
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||
\qquad
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||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)=\mathcal I_{\mathrm{DoA}}^{-1}(\mathbf p)\in\mathbb R^{3\times3},
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\end{equation}
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||
即正文 \eqref{eq:sec7_doafusion}。
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\paragraph{与集中式的序关系}
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DoA-融合只保留各星本地角这一压缩统计量、丢弃差分时延与差分 Doppler 等跨星联合约束；由数据处理不等式，其位置 Fisher 信息不超过集中式 \eqref{eq:H_efim} 消去 $\boldsymbol\phi=(\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}})$ 后的位置块，故
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\begin{equation}
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\label{eq:H4_ordering}
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||
\mathcal I_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)
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\preceq
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\mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\phi}\mathcal I_{\phi\phi}^{-1}\mathcal I_{\phi\mathrm p},
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||
\qquad
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||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{DoA}}(\mathbf p)\succeq\operatorname{CRB}(\mathbf p).
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\end{equation}
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两者之差即跨星采样级信息（差分时延与差分 Doppler）的价值：差分 Doppler 一项在 Doppler 近常数时很小，但差分时延（\gls{tdoa}）携带的距离约束被一并舍弃，故 DoA-融合在角度维接近集中式、在距离维退回纯视差几何，回传量则大幅降低。多用户情形把各星本地角与 $\mathbf C_{\boldsymbol\xi,\ell}$ 按用户分别给出、逐用户相交即可，结构不变。
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\subsection{多用户}
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多用户位置 \gls{crb} 把 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 按用户横向拼接为 $\mathbf D_{\ell,k}^{\mathrm{pos}}$、对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补投影，结构与\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 完全一致（把 $\boldsymbol\xi_k$、$\mathbf D_{\ell,k}$ 换成 $\mathbf p_k$、$\mathbf D_{\ell,k}^{\mathrm{pos}}$）；第 $k$ 个用户的位置 \gls{crb} 为 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu\text{-}pos}})$ 中对应 $\mathbf p_k$ 的 $3\times3$ 子块，可作为定位精度与（预留）波束成形鲁棒设计的统一上界。
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