doa_doppler_est/parts/H-userPositionCrb.tex

\section{用户位置 CRB}
\label{sec:userPositionCrb}

本附录给出第~\ref{sec:userPositioning} 节位置参数化模型的 \gls{crb}。整套构造——联合堆叠、复增益 Schur 补、\gls{efim} 投影--Gram——与\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 完全一致，唯一需要重写的是主参数 Jacobian：把对全局角 $(\alpha,\beta)$ 的导数换成对位置 $\mathbf p$ 的导数。下面只给出这一差异部分，其余直接引用附录 E 的结果。

\subsection{位置对视线与本地角的链式导数}

单位视线 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)=\mathbf r_\ell/\|\mathbf r_\ell\|_2$（$\mathbf r_\ell=\mathbf p-\mathbf s_\ell$）对位置的 Jacobian 为
%
\begin{equation}
  \frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}
  =\frac{1}{\|\mathbf r_\ell\|_2}\big(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran\big)\in\mathbb R^{3\times3}.
  \label{eq:H_dudp}
\end{equation}
%
两点结构性读法：因子 $1/\|\mathbf r_\ell\|_2$ 表明角灵敏度随距离衰减——这正是远场极限下位置不可由角度观测的根源；投影 $\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran$（秩 $2$）表明沿视线方向（径向）平移不改变该星方向，只有横向平移可观测，故单星无法定距，必须靠多星视差把各秩 $2$ 投影补成满秩 $3$。
本地视线 $\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell$ 给出 $\partial\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\,\partial\mathbf u_\ell/\partial\mathbf p$，再按与\eqref{eq:A6_local_angle_chain} 同样的 atan2/arcsin 链式法则得到行向量 $\partial\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p$、$\partial\beta_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p\in\mathbb R^{1\times3}$，从而
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\begin{equation}
  \frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}
  =\dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha}\frac{\partial\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}
  +\dot{\mathbf a}_{\ell,\beta}\frac{\partial\beta_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}
  \in\mathbb C^{M_\ell\times3},
  \label{eq:H_dadp}
\end{equation}
%
其中 $\dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha},\dot{\mathbf a}_{\ell,\beta}$ 同\eqref{eq:A6_da_chain}。
Doppler 部分，由 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 与位置诱导差分\eqref{eq:sec7_dnu_pos}，有
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\begin{equation}
  \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\mathbf p}
  =\frac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial\mathbf p}
  =\frac{2\pi T_{\mathrm s}}{\lambda_{\mathrm c}}
  \Big[\mathbf v_\ell^\Tran\frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}
  -\mathbf v_{\ell_{\mathrm{ref}}}^\Tran\frac{\partial\mathbf u_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial\mathbf p}\Big]\in\mathbb R^{1\times3},
  \qquad
  \frac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}=1,
  \label{eq:H_dnudp}
\end{equation}
%
其中 $\partial\mathbf u_\ell/\partial\mathbf p$ 正是\eqref{eq:H_dudp}。可见\emph{差分 Doppler 与本地角对位置的灵敏度共用同一个有限距离投影} $(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran)/\|\mathbf r_\ell\|_2$——AoA 视差与差分 Doppler 这两条定位信息在 Jacobian 层面同源，且同样随距离增大而衰减。时间模板导数沿用\eqref{eq:A6_qdot}，即 $\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i=\dot{\mathbf q}_\ell\,(\partial\nu_\ell/\partial p_i)$、$\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\dot{\mathbf q}_\ell$。

\subsection{位置 EFIM 与 CRB}

按 Kronecker 求导法则（同\eqref{eq:A6_Dl}）组装空时模板对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的 Jacobian
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\begin{equation}
  \mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}
  =\big[\,
    \partial\mathbf g_\ell/\partial p_x,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial p_y,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial p_z,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}
  \,\big]\in\mathbb C^{M_\ell T\times4},
\end{equation}
%
其中位置列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial p_i=\mathbf q_\ell\otimes(\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i)+(\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i)\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\dot{\mathbf q}_\ell\otimes\mathbf a_\ell$，$\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i$ 取\eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 \gls{efim} 与\eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形：
%
\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
  =2\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_\ell}
  \Re\big\{(\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^\perp\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}\big\}\in\mathbb R^{4\times4}.
  \label{eq:H_efim}
\end{equation}
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将\eqref{eq:H_efim} 按 $(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
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\begin{equation}
  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
  =\begin{bmatrix}
    \mathcal I_{\mathrm{pp}} & \mathcal I_{\mathrm p\nu}\\
    \mathcal I_{\nu\mathrm p} & \mathcal I_{\nu\nu}
  \end{bmatrix},
\end{equation}
%
则把参考 Doppler 视为干扰参数、对其取 Schur 补，得位置 \gls{crb}
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\begin{equation}
  \operatorname{CRB}(\mathbf p)
  =\big(\mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\nu}\,\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\,\mathcal I_{\nu\mathrm p}\big)^{-1}\in\mathbb R^{3\times3}.
\end{equation}
%
几何精度因子（GDOP）即 $\sqrt{\operatorname{tr}\operatorname{CRB}(\mathbf p)}$ 随星座几何的变化。

\begin{mdquote}
\textbf{远场退化（Fisher 信息层）。} 由\eqref{eq:H_dudp}，当所有 $\|\mathbf r_\ell\|_2\to\infty$ 时 $\partial\mathbf a_\ell/\partial\mathbf p\to\mathbf0$，$\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的三列位置导数趋于线性相关（径向列退化），$\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})$ 在距离方向奇异——位置 \gls{crb} 在距离维发散，退化为\appref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的二维方向 \gls{crb}。这与第~\ref{subsec:positionLosMap} 小节的远场退化命题在 Fisher 信息层面一致。
\end{mdquote}

\subsection{多用户}

多用户位置 \gls{crb} 把 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 按用户横向拼接为 $\mathbf D_{\ell,k}^{\mathrm{pos}}$、对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补投影，结构与\appref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 完全一致（把 $\boldsymbol\xi_k$、$\mathbf D_{\ell,k}$ 换成 $\mathbf p_k$、$\mathbf D_{\ell,k}^{\mathrm{pos}}$）；第 $k$ 个用户的位置 \gls{crb} 为 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu\text{-}pos}})$ 中对应 $\mathbf p_k$ 的 $3\times3$ 子块，可作为定位精度与（预留）波束成形鲁棒设计的统一上界。