josh
df18eb2cc7
a035602 给 \appref/\secref 加的 \unskip 会误删前一字符的胶：当宏紧跟在
全角标点后（如"框架''。\appref"），\unskip 把 xeCJK 的标点间距胶一并删掉，
"。附录"被压缩约 7pt。撤回 \unskip，宏恢复为 附录~\ref / 第~\ref~节。
实测真正会漏空格的只有"汉字+空格+宏"（xeCJK 看不穿宏、不知它展开为中文，
漏约 3.65pt）；"标点+空格+宏"不漏（xeCJK 标点处理已吸收该空格）。故仅把
14 处"汉字 \appref"的源码空格删去、紧贴前字，标点后及行首的空格保留。
正则 [一-鿿] +\appref 精确命中汉字前导，不误伤标点。
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39 KiB
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\section{基本假设与符号约定}
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\label{sec:assumptionsAndNotation}
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本节汇总本文正文和附录中反复使用的基本假设、符号、上下标和模型标记。
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各节若需要引入局部临时符号，应说明其与本节符号的对应关系，避免同一物理量在不同估计方法中发生语义漂移。
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\subsection{基本物理与统计假设}
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除特别说明外，后续单阵列、多阵列、静态 \gls{doa}--Doppler、多帧动态 \gls{doa}--Doppler 以及相应 \gls{crb} 推导均默认采用如下基本假设。
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\begin{enumerate}
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\item \textbf{信号源假设}
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\begin{enumerate}
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\item 信号源满足远场平面波假设，因此阵列响应可用方向相关导向矢量描述。
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\item 信号源满足窄带阵列假设，即信号扫过阵列孔径时包络近似不变，阵元间差异主要体现为相位差。
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\item 不同信号源在空间上可分，且信号源数量 $K$ 已知。
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\item 在确定信号模型，即 \gls{dml} 或 \gls{cml} 模型中，信源波形视为未知但确定的非随机量。
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\item 在随机信号模型，即 \gls{sml} 或 \gls{uml} 模型中，信源波形视为随机过程，其二阶统计量满足相应模型要求。
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\item 在 \gls{music} 类子空间方法中，默认信源协方差矩阵非奇异；若进一步要求信源互不相关，应在具体方法处单独说明。
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\end{enumerate}
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\item \textbf{噪声假设}
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\begin{enumerate}
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\item 噪声为加性噪声，并与信源相互独立。
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\item 单阵列基础模型中，噪声通常取为空间白、时间白、零均值圆对称复高斯噪声。
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\item 噪声方差统一记为 $\sigma$；多阵列或多卫星模型写为 $\sigma_\ell$。
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\item 多阵列或多卫星模型中，允许不同阵列或不同卫星具有不同噪声方差 $\sigma_\ell$，但同一阵列或同一卫星在一个短观测块或短观测窗口内保持不变。
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\item 典型噪声向量写为 $\mathbf n_t\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma\mathbf I_M)$、$\mathbf n_{\ell,t}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell})$ 或 $\mathbf n_{\ell,p}(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_\ell\mathbf I_{M_\ell})$。
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\end{enumerate}
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\item \textbf{阵列假设}
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\begin{enumerate}
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\item 阵元数应大于待分辨信号源数，以保证基本空间分辨能力。
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\item 基于样本协方差矩阵的随机信号估计方法通常要求快拍数足够大；若需要样本协方差矩阵满秩，常见条件为快拍数不小于阵元数或信源数相关维度。
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\item 阵列几何在一个观测块或短多帧窗口内视为已知；多星模型中卫星位置、速度和姿态在参考时刻由星历或几何模型给定。
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\end{enumerate}
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\end{enumerate}
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\subsection{数学记号约定}
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全文默认采用表~\ref{tab:mathNotation} 中的数学记号约定。
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该表使用 \texttt{longtable} 环境，可以在符号项较多时自动跨页。
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带有文字含义的上下标统一使用直立体，例如 $T_{\mathrm{s}}$、$\lambda_{\mathrm{c}}$、$\ell_{\mathrm{ref}}$ 和 $\|\cdot\|_{\mathrm{F}}$。
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普通变量下标保持斜体，例如第 $k$ 个信源或第 $p$ 帧。
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\small
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\setlength{\LTpre}{4pt}
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\setlength{\LTpost}{4pt}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
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\begin{longtable}{>{\raggedright\arraybackslash}p{0.30\textwidth}>{\raggedright\arraybackslash}p{0.60\textwidth}}
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\caption{数学记号约定}
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\label{tab:mathNotation}\\
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\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
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\endfirsthead
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\multicolumn{2}{l}{\small\tablename~\thetable{} 数学记号约定（续）}\\
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\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
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\endhead
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\hline
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\multicolumn{2}{r}{\small 续下页}\\
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\endfoot
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\hline
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\endlastfoot
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$a$ & 标量，除特别说明外用斜体小写或希腊字母表示。\\
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$\mathbf a\in\mathbb C^{m}$ & 向量，通常为列向量；英文字母向量用小写粗体，希腊字母向量用粗体希腊字母，例如 $\boldsymbol\mu$。\\
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$\mathbf A\in\mathbb C^{m\times n}$ & 矩阵，用大写粗体字母表示；协方差、旋转矩阵和选择矩阵也遵循该规则。\\
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$\mathcal A$ & 集合、函数族、算子或上下文相关对象；不要用它表示普通矩阵。\\
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$(\cdot)^\Tran$ & 转置。\\
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$(\cdot)^\Herm$ & 共轭转置。\\
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$(\cdot)^*$ & 复共轭。\\
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$\Re\{\cdot\}$ 和 $\Im\{\cdot\}$ & 取实部和取虚部。\\
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$\|\cdot\|_2$ & 向量二范数。\\
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$\|\cdot\|_{\mathrm{F}}$ & 矩阵 Frobenius 范数；下标 $\mathrm{F}$ 使用直立体。\\
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$\vect(\cdot)$ & 按列向量化算子。 本文推荐使用自定义 operator $\vect$；它在渲染上等价于 $\vect$，但便于全文统一。\\
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$\diag(\cdot)$ & 由输入构造对角矩阵。\\
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$\tr(\cdot)$ & 矩阵迹。 \\
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$\otimes$ & Kronecker 积。\\
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$\mathbf I_M$ & $M\times M$ 单位矩阵。\\
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$\mathbf 0$ & 与上下文维度匹配的零向量或零矩阵。\\
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$\mathbb R$ 和 $\mathbb C$ & 实数域与复数域。\\
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$\mathcal{CN}(\boldsymbol\mu,\mathbf R)$ & 均值向量为 $\boldsymbol\mu$、协方差矩阵为 $\mathbf R$ 的圆对称复高斯分布。\\
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$\argmax$ 和 $\argmin$ & 极大化与极小化解集；若上下文默认唯一解，则直接作为估计量使用。\\
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\end{longtable}
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\endgroup
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\subsection{索引、维度与数据堆叠}
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全文中最常用的索引、维度和数据矩阵汇总于表~\ref{tab:indexDimensionNotation}。
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可以合并说明的总数与索引放在同一栏中，以减少符号表重复。
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\begingroup
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\small
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\setlength{\LTpre}{4pt}
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\setlength{\LTpost}{4pt}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
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\begin{longtable}{>{\raggedright\arraybackslash}p{0.30\textwidth}>{\raggedright\arraybackslash}p{0.60\textwidth}}
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\caption{索引、维度与数据堆叠符号约定}
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\label{tab:indexDimensionNotation}\\
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\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
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\endfirsthead
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\multicolumn{2}{l}{\small\tablename~\thetable{} 索引、维度与数据堆叠符号约定（续）}\\
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\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
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\endhead
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\hline
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\multicolumn{2}{r}{\small 续下页}\\
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\endfoot
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\hline
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\endlastfoot
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$K$ / $k$ & $K$ 为信号源或用户总数；$k$ 为信号源或用户索引，通常取 $k=1,\ldots,K$。\\
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$M$ / $m$ & $M$ 为单阵列阵元总数；$m$ 为阵元索引。 若未显式使用 $m$，则阵元索引由向量或矩阵维度隐含。\\
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$M_x,M_y$ & \gls{upa} 在 $x$ 轴和 $y$ 轴上的阵元数，常有 $M=M_xM_y$。\\
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$L$ / $\ell$ & $L$ 为多阵列或多卫星系统中的接收阵列数或协作卫星数；$\ell$ 为阵列、卫星或链路索引，通常取 $\ell=0,1,\ldots,L-1$。\\
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$M_\ell$ & 第 $\ell$ 个阵列或第 $\ell$ 颗卫星的阵元数。\\
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$T$ / $t$ & $T$ 为快拍数、单个观测块内采样点数或单帧保留样本数；$t$ 为快拍索引、块内采样索引或帧内采样索引，通常取 $t=0,1,\ldots,T-1$。\\
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$P$ / $p$ & $P$ 为多帧动态模型中的联合帧数；$p$ 为帧索引，通常取 $p=0,1,\ldots,P-1$。\\
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$\tau_p$ & 第 $p$ 帧起始点相对于参考时刻的离散采样偏移，默认 $\tau_0=0$。\\
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$t_{p,t}$ & 第 $p$ 帧第 $t$ 个采样点对应的全局离散时间索引，定义为 $t_{p,t}\triangleq\tau_p+t$。\\
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$T_{\mathrm{s}}$ & 采样周期；文字下标 $\mathrm{s}$ 使用直立体。\\
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$\mathbf y_t\in\mathbb C^{M}$ & 单阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量。\\
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$\mathbf y_{\ell,t}\in\mathbb C^{M_\ell}$ & 第 $\ell$ 个阵列在第 $t$ 个快拍的接收向量。\\
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$\mathbf y_\ell(t)\in\mathbb C^{M_\ell}$ & 静态多星模型中第 $\ell$ 颗卫星在采样点 $t$ 的接收向量。\\
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$\mathbf y_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}(t)$ 和 $\mathbf y_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}(t)$ & 动态多帧模型中第 $\ell$ 颗卫星、第 $p$ 帧、第 $t$ 个采样点的连续相位和独立相位接收向量，维度通常为 $M_\ell\times1$。\\
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$\mathbf Y\in\mathbb C^{M\times T}$ & 单阵列所有快拍按列堆叠得到的观测矩阵。\\
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$\mathbf Y_\ell$ & 第 $\ell$ 个阵列或第 $\ell$ 颗卫星的观测矩阵，维度由具体模型确定。\\
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$\mathbf Y_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和 $\mathbf Y_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ & 第 $\ell$ 颗卫星第 $p$ 帧在连续相位或独立相位模型下的矩阵观测，典型维度为 $M_\ell\times T$。\\
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$\tilde{\mathbf y}_\ell$ 和 $\tilde{\mathbf y}_{\ell,p}$ & 对相应观测矩阵按列向量化后的观测向量。\\
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$\mathbf N$、$\mathbf N_\ell$、$\mathbf N_{\ell,p}$ & 与相应观测矩阵维度匹配的噪声矩阵。\\
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$\tilde{\mathbf n}_\ell$ 和 $\tilde{\mathbf n}_{\ell,p}$ & 对相应噪声矩阵按列向量化后的噪声向量，例如 $\tilde{\mathbf n}_\ell\triangleq\vect(\mathbf N_\ell)$、$\tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\triangleq\vect(\mathbf N_{\ell,p})$。\\
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$N_e$ / $e$ & $N_e$ 为窃听者总数；$e$ 为窃听者索引，$e=1,\ldots,N_e$。单窃听者场景中可省略下标。该符号为后续波束成形与安全通信章节预留，估计正文不使用。\\
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\end{longtable}
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\endgroup
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\subsection{DoA、阵列响应与几何符号}
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单阵列基础模型和多星主线模型均使用方向参数，但二者的参数层级不同。
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本文采用表~\ref{tab:doaGeometryNotation} 中的约定，并统一使用 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ 表示参考时刻全局 \gls{doa}。
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\small
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\setlength{\LTpre}{4pt}
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\setlength{\LTpost}{4pt}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
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\begin{longtable}{>{\raggedright\arraybackslash}p{0.30\textwidth}>{\raggedright\arraybackslash}p{0.60\textwidth}}
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\caption{\gls{doa}、阵列响应与几何符号约定}
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\label{tab:doaGeometryNotation}\\
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\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
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\endfirsthead
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\multicolumn{2}{l}{\small\tablename~\thetable{} \gls{doa}、阵列响应与几何符号约定（续）}\\
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\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
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\endhead
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\multicolumn{2}{r}{\small 续下页}\\
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\endfoot
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\endlastfoot
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$\bm\theta_k$ & 第 $k$ 个信源的一般方向参数。 对于 \gls{ula}，它可退化为一维角度 $\theta_k$；对于 \gls{upa} 或三维场景，它可表示二维角度向量。\\
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$\bm\Theta$ & 所有信源方向参数的集合，定义为 $\bm\Theta\triangleq[\bm\theta_1,\ldots,\bm\theta_K]$。\\
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$\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ & 单用户多星主线中的参考时刻全局 \gls{doa}，其中 $\alpha$ 为全局方位角，$\beta$ 为全局俯仰角。\\
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$\boldsymbol\xi_k=[\alpha_k,\beta_k]^\Tran$ & 第 $k$ 个用户或信源的全局 \gls{doa}；单用户主线中通常省略下标 $k$。\\
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$\mathbf u(\boldsymbol\xi)\in\mathbb R^{3}$ & 全局坐标系下由 $\boldsymbol\xi$ 确定的单位方向向量。\\
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$\mathbf s_\ell\in\mathbb R^{3}$ 和 $\mathbf v_\ell\in\mathbb R^{3}$ & 第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的全局位置向量和速度向量。\\
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$\mathbf e_{1,\ell}$、$\mathbf e_{2,\ell}$、$\mathbf e_{3,\ell}$ & 第 $\ell$ 颗卫星的本地阵列坐标基。\\
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$\boldsymbol{\Omega}_\ell\in\mathbb R^{3\times3}$ & 第 $\ell$ 颗卫星从本地坐标系到全局坐标系的旋转矩阵。因此 $\boldsymbol{\Omega}_\ell^\Tran\mathbf u(\boldsymbol\xi)$ 给出全局方向在该卫星本地坐标系下的表达。（注：原符号 $\mathbf{Q}_\ell$ 已改为 $\boldsymbol{\Omega}_\ell$，$\mathbf{Q}$ 保留给波束成形章节的人工噪声协方差矩阵。）\\
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$\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}\in\mathbb R^{3}$ & 第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的单位来向向量。\\
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$\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}$ 和 $\beta_\ell^{\mathrm{loc}}$ & 第 $\ell$ 颗卫星本地坐标系下的方位角与俯仰角。\\
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$\mathbf a(\bm\theta_k)\in\mathbb C^{M}$ & 单阵列中第 $k$ 个信源方向对应的导向矢量。\\
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$\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)\in\mathbb C^{M_\ell}$ & 多星主线中第 $\ell$ 颗卫星的本地阵列导向矢量。 该符号只表示阵列响应，不表示动力学加速度。\\
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$\mathbf A(\bm\Theta)\in\mathbb C^{M\times K}$ & 单阵列导向矩阵，通常由 $[\mathbf a(\bm\theta_1),\ldots,\mathbf a(\bm\theta_K)]$ 构成。\\
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$\mathbf A_\ell(\bm\Theta)$ & 第 $\ell$ 个阵列或卫星对应的局部导向矩阵。\\
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$d$、$d_x$、$d_y$ & 阵元间距；$d$ 用于 \gls{ula}，$d_x,d_y$ 用于 \gls{upa}。\\
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$\lambda_{\mathrm{c}}$ & 载波波长，专门用于阵列相位项。\\
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$u_{x,k}$ 和 $u_{y,k}$ & \gls{upa} 平面内的方向余弦分量。\\
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$\mathbf B_{\mathrm{st}}(\bm\Theta,\boldsymbol\nu)$ & 空时导向矩阵或空时 steering/dictionary matrix，由各信源的空时导向列向量组成；该符号避免与 \gls{crb} 协方差矩阵 $\mathbf C$ 冲突。\\
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$\mathbf b_{\mathrm{st},k}(\bm\theta_k,\nu_k)$ & 第 $k$ 个信源的空时导向列向量，通常由空间导向矢量与 Doppler 时间导向矢量 Kronecker 组合得到。此处下标 $\mathrm{st}$ 表示 space--time。\\
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$\mathbf h_{\ell,k}\in\mathbb C^{M_\ell}$ & 第 $k$ 个用户（单天线）到第 $\ell$ 颗卫星的上行等效信道向量；远场窄带假设下 $\mathbf h_{\ell,k}=\zeta_{\ell,k}\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi_k)$。参数估计侧使用 $\mathbf a_\ell$ 与 $\zeta_{\ell,k}$；波束成形侧合并为 $\mathbf h_{\ell,k}$。\\
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$\mathbf H_\ell\in\mathbb C^{M_\ell\times K}$ & 第 $\ell$ 颗卫星的上行信道矩阵，第 $k$ 列为 $\mathbf h_{\ell,k}$。\\
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\end{longtable}
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\endgroup
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\subsection{信号、Doppler 与时延符号}
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本文统一使用 $\nu$ 表示 Doppler 参数；理论推导和似然函数中的 $\nu$ 默认表示离散归一化角 Doppler，单位为 rad/sample。
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若必须给出物理 Hz 单位，应显式写为 $\nu^{\mathrm{Hz}}$，避免与归一化模型参数混淆。
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下标区分两类 Doppler：$\nu_k$ 为单阵列多信源场景中第 $k$ 个信源的独立 Doppler（$K$ 个自由待估量）；$\nu_\ell$ 为多星单用户场景中第 $\ell$ 条链路的 Doppler，由参考链路 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 经几何映射 $\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 诱导，仅 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 为自由标量。
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相关符号汇总于表~\ref{tab:signalDopplerDelayNotation}。
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其中带时延下标 $\tau$ 的符号（$\tau_\ell$、$\tau_{\mathrm{ref}}$、$f_{\tau,\ell}$、$\boldsymbol\eta_\tau$、$\mathcal E_{\tau,\ell}$）为 \gls{doa}--Doppler--delay 扩展预留，本版本正文不展开，与\appref{subsec:beamformingSymbols} 的波束成形符号同属预留命名空间。
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\begingroup
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\small
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\setlength{\LTpre}{4pt}
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\setlength{\LTpost}{4pt}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
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\begin{longtable}{>{\raggedright\arraybackslash}p{0.30\textwidth}>{\raggedright\arraybackslash}p{0.60\textwidth}}
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\caption{信号、Doppler 与时延符号约定}
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\label{tab:signalDopplerDelayNotation}\\
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\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
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\endfirsthead
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\multicolumn{2}{l}{\small\tablename~\thetable{} 信号、Doppler 与时延符号约定（续）}\\
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||
\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
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\hline
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\endhead
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\hline
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\multicolumn{2}{r}{\small 续下页}\\
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\endfoot
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\hline
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\endlastfoot
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$x_k(t)$ & 第 $k$ 个信号源在第 $t$ 个快拍或采样点的复包络。\\
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$\mathbf x_t\in\mathbb C^K$ & 所有信源在第 $t$ 个快拍的信源向量。\\
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$\mathbf X$ & 所有快拍的信源矩阵。\\
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$s(t)$ & 单个观测块内的已知训练序列。\\
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$s_k(t)$ & 单阵列 \gls{doa}--Doppler 模型中第 $k$ 个源的已知训练序列；若采用常包络单音模型，则 $s_k(t)\equiv 1$。\\
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||
$s_p(t)$ & 多帧模型中第 $p$ 帧使用的已知训练序列。\\
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||
$\nu_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路的归一化角 Doppler，单位为 rad/sample。\\
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$\dot\nu_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路的归一化 Doppler rate，单位为 rad/sample$^2$。\\
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$\nu_\ell^{\mathrm{Hz}}$ & 第 $\ell$ 条链路的物理 Doppler，单位为 Hz；仅在需要物理单位解释时使用。\\
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$\boldsymbol\nu=[\nu_1,\ldots,\nu_K]^\Tran$ & 单阵列 \gls{doa}--Doppler 模型中所有信源归一化角 Doppler 的集合。\\
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||
$\tau_\ell$ & 第 $\ell$ 条链路上的离散时延。 若它由参考星时延诱导得到，应在参考星参数化中说明其映射。\\
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||
$\delta_\ell$ & 第 $\ell$ 颗卫星相对参考星的时间戳误差，单位为采样点数；参考星 $\delta_{\ell_{\mathrm{ref}}}=0$，其余作为部分相干观测模型中的干扰参数。\\
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$\delta\tau_\ell$ & 与 $\delta_\ell$ 对应的物理时间误差（秒），$\delta_\ell=\delta\tau_\ell/T_{\mathrm{s}}$。\\
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\end{longtable}
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\endgroup
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物理 Doppler 与归一化角 Doppler 的关系统一写为
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\begin{equation}
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\nu = 2\pi\nu^{\mathrm{Hz}} T_{\mathrm{s}}.
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\end{equation}
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%
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因此，正文估计参数默认使用 $(\nu,\dot\nu)$，而 $\nu^{\mathrm{Hz}}$ 仅用于物理单位解释。
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\subsection{参考星参数化与参数分组}
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\label{subsec:assumptionRefSatParam}
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多星 \gls{doa}--Doppler 主线采用参考星链路参数化，而不是星群质心或星群平均速度参数化。
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该约定用于保证单星基线、多星静态模型、多星多帧动态模型以及 \gls{crb} 推导均在同一参数域下比较。
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||
相关符号汇总于表~\ref{tab:refSatParamNotation}。
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\begingroup
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\small
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\setlength{\LTpre}{4pt}
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\setlength{\LTpost}{4pt}
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\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
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\begin{longtable}{>{\raggedright\arraybackslash}p{0.30\textwidth}>{\raggedright\arraybackslash}p{0.60\textwidth}}
|
||
\caption{参考星参数化与参数分组符号约定}
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\label{tab:refSatParamNotation}\\
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\hline
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||
\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
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\hline
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\endfirsthead
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||
\multicolumn{2}{l}{\small\tablename~\thetable{} 参考星参数化与参数分组符号约定（续）}\\
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\hline
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\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
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\hline
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\endhead
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\hline
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\multicolumn{2}{r}{\small 续下页}\\
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\endfoot
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\hline
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\endlastfoot
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$\ell_{\mathrm{ref}}$ & 参考星索引，除特别说明外默认 $\ell_{\mathrm{ref}}=0$。\\
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$\nu_{\mathrm{ref}}$ & 参考星链路上的归一化角 Doppler。\\
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$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ & 参考星链路上的归一化 Doppler rate。\\
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$\tau_{\mathrm{ref}}$ & 参考星链路上的离散时延，用于 \gls{doa}--Doppler--delay 扩展模型。\\
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$f_{\nu,\ell}(\cdot)$ & 由全局 \gls{doa} 与参考星归一化 Doppler 诱导得到第 $\ell$ 条链路归一化 Doppler 的几何映射。\\
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$f_{\dot\nu,\ell}(\cdot)$ & 由全局 \gls{doa} 与参考星归一化 Doppler rate 诱导得到第 $\ell$ 条链路归一化 Doppler rate 的几何映射。\\
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$f_{\tau,\ell}(\cdot)$ & 由全局 \gls{doa} 与参考星链路时延诱导得到第 $\ell$ 条链路时延的几何映射。 该符号属于参考星参数化，而不是一般信号符号。\\
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$\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ & 第 $\ell$ 条链路相对于参考星链路的归一化 Doppler 偏差。\\
|
||
$\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ & 第 $\ell$ 条链路相对于参考星链路的归一化 Doppler-rate 偏差。\\
|
||
$\boldsymbol\eta$ & 将一个模型中的所有待估计主参数堆叠得到的通用参数向量，避免与一般 \gls{doa} 参数 $\bm\theta_k$ 混淆。多星静态与动态多帧主线统一写为 $\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran\in\mathbb R^3$（动态多帧情形 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 放入干扰参数侧）。\\
|
||
$\boldsymbol\eta_{\tau}$ & \gls{doa}--Doppler--delay 扩展模型主参数，可写为 $\boldsymbol\eta_{\tau}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\tau_{\mathrm{ref}},\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$。\\
|
||
$\nu_{\mathrm{ref},k}$ & 多用户场景中第 $k$ 个用户的参考星归一化 Doppler；$K=1$ 时退化为 $\nu_{\mathrm{ref}}$。\\
|
||
$\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}$ & 多用户多星静态主参数，定义为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu}}=[\boldsymbol\xi_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\boldsymbol\xi_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran\in\mathbb R^{3K}$；$K=1$ 时退化为 $\boldsymbol\eta$。下标 $\mathrm{mu}$ 表示 multi-user。\\
|
||
$\boldsymbol\delta$ & 部分相干观测模型中非参考星的时间戳误差堆叠向量，$\boldsymbol\delta=[\delta_\ell]_{\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}}\in\mathbb R^{L-1}$；作为干扰参数处理。\\
|
||
$\boldsymbol\kappa$ & 完整实参数向量，专用于把主参数 $\boldsymbol\eta$ 与干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 一起堆叠的场合，例如 $\boldsymbol\kappa=[\boldsymbol\eta^\Tran,\boldsymbol\psi^\Tran]^\Tran$。全文不再用 $\boldsymbol\eta$ 表示完整参数向量。\\
|
||
\end{longtable}
|
||
\endgroup
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||
|
||
对应映射统一写为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\nu_\ell
|
||
=
|
||
f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
|
||
\qquad
|
||
\dot\nu_\ell
|
||
=
|
||
f_{\dot\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}).
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
等价地，在仅需强调相对偏差时，可写为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\nu_\ell
|
||
=
|
||
\nu_{\mathrm{ref}}+
|
||
\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
|
||
\qquad
|
||
\dot\nu_\ell
|
||
=
|
||
\dot\nu_{\mathrm{ref}}+
|
||
\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi).
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
动态多帧模型中，$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 默认作为干扰参数，而不是主估计目标。
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||
|
||
\subsection{连续相位、独立相位与增益参数}
|
||
|
||
多帧动态模型中存在三类容易混淆的相位和增益符号，需按表~\ref{tab:phaseGainNotation} 统一区分。
|
||
由于 $\alpha$ 已用于方位角，链路复系数不使用 $\alpha_\ell$ 表示；同时，$h$ 仅在明确讨论信道响应时使用。未知复标量增益统一使用 $\zeta$。当需要显式刻画幅度与相位结构时，将复增益分解为 $\zeta=\rho e^{j\vartheta}$，其中 $\rho\in\mathbb R_{\ge0}$ 为非负实幅度，$\vartheta$ 为相位。本文不再使用 $b$ 表示复幅度，以避免与时间模板或空时导向列混淆。
|
||
|
||
\begingroup
|
||
\small
|
||
\setlength{\LTpre}{4pt}
|
||
\setlength{\LTpost}{4pt}
|
||
\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
|
||
\begin{longtable}{>{\raggedright\arraybackslash}p{0.30\textwidth}>{\raggedright\arraybackslash}p{0.60\textwidth}}
|
||
\caption{连续相位、独立相位与增益符号约定}
|
||
\label{tab:phaseGainNotation}\\
|
||
\hline
|
||
\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
|
||
\hline
|
||
\endfirsthead
|
||
\multicolumn{2}{l}{\small\tablename~\thetable{} 连续相位、独立相位与增益符号约定（续）}\\
|
||
\hline
|
||
\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
|
||
\hline
|
||
\endhead
|
||
\hline
|
||
\multicolumn{2}{r}{\small 续下页}\\
|
||
\endfoot
|
||
\hline
|
||
\endlastfoot
|
||
$\phi_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}(t)$ & 连续相位模型中第 $\ell$ 颗卫星、第 $p$ 帧、第 $t$ 个采样点的归一化相位模板，采用全局时间索引 $t_{p,t}$。该符号专用于相位模板，避免与干扰参数向量 $\boldsymbol\psi$ 混淆。\\
|
||
$\phi_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}(t)$ & 独立相位模型中第 $\ell$ 颗卫星、第 $p$ 帧、第 $t$ 个采样点的帧内局部相位模板，采用帧内索引 $t$。\\
|
||
$\bar\nu_{\ell,p}$ & 独立相位模型中第 $\ell$ 颗卫星第 $p$ 帧的等效局部归一化 Doppler，定义为 $\bar\nu_{\ell,p}\triangleq\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau_p$。 此处保留横线，以强调它不是独立的帧级待估参数。\\
|
||
$\chi_\ell$ & 连续相位结构化模型中第 $\ell$ 颗卫星在参考时刻的公共相位。 该相位在同一颗卫星的不同帧之间共享。\\
|
||
$\vartheta_{\ell,p}$ & 独立相位模型中第 $\ell$ 颗卫星第 $p$ 帧的独立未知相位。 它是确定性未知参数，而不是 Bayesian 随机相位先验。\\
|
||
$\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ & CP 与 IP 模型中第 $(\ell,p)$ 个复增益极坐标分解下的非负实幅度；它们分别属于不同模型，不表示额外的自由复参数。\\
|
||
$\rho$ & 通用极坐标分解下的非负实幅度符号；在具体 CP/IP 模型中分别写为 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 与 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$，不再单独使用无上标的 $\rho_{\ell,p}$ 表示模型参数。\\
|
||
$\zeta_\ell$ & 静态单块单用户模型中第 $\ell$ 条链路的未知复干扰系数；新写内容不使用 $h_\ell$，以避免与信道响应混淆。\\
|
||
$\zeta_{\ell,k}$ & 多用户场景中第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的未知复干扰系数；$K=1$ 时退化为 $\zeta_\ell$。\\
|
||
$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ & structured continuous-phase 模型中第 $(\ell,p)$ 个观测块的结构化复增益简写，定义为 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell}$；它不作为自由复参数估计，其相位部分在同一颗卫星的不同帧之间共享。\\
|
||
$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ & relaxed continuous-phase 模型中第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复增益。 relaxed 版本应显式保留上标 $\mathrm{cp,rel}$，以区别于结构化 CP 和 IP 模型。\\
|
||
$\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ & 独立相位模型中第 $(\ell,p)$ 个观测块的自由复增益。\gls{crb} 推导中可写为极坐标分解 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}$。\\
|
||
\end{longtable}
|
||
\endgroup
|
||
|
||
连续相位与独立相位模板分别统一写为
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\phi_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}(t)
|
||
=
|
||
\nu_\ell t_{p,t}+
|
||
\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2,
|
||
\qquad
|
||
t_{p,t}=\tau_p+t,
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
以及
|
||
%
|
||
\begin{equation}
|
||
\phi_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}(t)
|
||
=
|
||
\bar\nu_{\ell,p}t+
|
||
\frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2,
|
||
\qquad
|
||
\bar\nu_{\ell,p}=\nu_\ell+\dot\nu_\ell\tau_p.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\subsection{模板向量、匹配统计量与残差符号}
|
||
|
||
后续 \gls{mle}、concentrated likelihood 和 \gls{crb} 推导中反复使用的模板、统计量和残差符号汇总于表~\ref{tab:templateResidualNotation}。
|
||
|
||
\begingroup
|
||
\small
|
||
\setlength{\LTpre}{4pt}
|
||
\setlength{\LTpost}{4pt}
|
||
\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
|
||
\begin{longtable}{>{\raggedright\arraybackslash}p{0.30\textwidth}>{\raggedright\arraybackslash}p{0.60\textwidth}}
|
||
\caption{模板向量、匹配统计量与残差符号约定}
|
||
\label{tab:templateResidualNotation}\\
|
||
\hline
|
||
\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
|
||
\hline
|
||
\endfirsthead
|
||
\multicolumn{2}{l}{\small\tablename~\thetable{} 模板向量、匹配统计量与残差符号约定（续）}\\
|
||
\hline
|
||
\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
|
||
\hline
|
||
\endhead
|
||
\hline
|
||
\multicolumn{2}{r}{\small 续下页}\\
|
||
\endfoot
|
||
\hline
|
||
\endlastfoot
|
||
$\mathbf q_\ell$ & 单块静态或 delay 扩展模型中第 $\ell$ 条链路的时间模板向量，维度通常为 $T\times1$。\\
|
||
$\mathbf q_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ & 连续相位多帧模型中第 $\ell$ 颗卫星第 $p$ 帧的时间模板向量。\\
|
||
$\mathbf q_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ & 独立相位多帧模型中第 $\ell$ 颗卫星第 $p$ 帧的时间模板向量。\\
|
||
$\mathbf g_\ell$ & 单块模型中由时间模板与阵列导向矢量 Kronecker 组合得到的向量化模板。\\
|
||
$\mathbf g_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ & 连续相位模型中由 $\mathbf q_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\otimes\mathbf a_\ell$ 构造的向量化模板。\\
|
||
$\mathbf g_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ & 独立相位模型中由 $\mathbf q_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\otimes\mathbf a_\ell$ 构造的向量化模板。\\
|
||
$z_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和 $z_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ & 连续相位和独立相位模型中的匹配统计量。\\
|
||
$d_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和 $d_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ & 连续相位和独立相位模型中由导向矢量范数与时间模板范数相乘得到的归一化因子。\\
|
||
$\mathcal L(\cdot)$ & 负对数似然函数或省略常数后的优化目标；具体参数由所在模型决定。\\
|
||
$\mathcal L^{\mathrm{cp}}$ & 连续相位结构化模型的负对数似然函数。\\
|
||
$\mathcal L^{\mathrm{cp,pro}}$ & 对噪声方差等参数轮廓化后的连续相位负对数似然。\\
|
||
$\mathcal E_\ell$ & 静态单块多星模型中，消去复增益 $\zeta_\ell$ 后的第 $\ell$ 颗卫星残差能量。\\
|
||
$\mathcal E_{\tau,\ell}$ & \gls{doa}--Doppler--delay 扩展模型中，消去复增益 $\zeta_\ell$ 后的第 $\ell$ 颗卫星残差能量。\\
|
||
$\mathcal R_\ell$ & 第 $\ell$ 颗卫星的聚合残差。\\
|
||
$\mathcal R_\ell^{\mathrm{cp}}$ & 连续相位模型中第 $\ell$ 颗卫星的聚合残差。\\
|
||
$\mathcal R_\ell^{\mathrm{cp,str}}$ & 连续相位结构化模型在消去幅度后的每星聚合残差。\\
|
||
$\mathcal R_\ell^{\mathrm{cp,rel}}$ & relaxed 连续相位模型的每星聚合残差。\\
|
||
$\mathcal R_\ell^{\mathrm{ip}}$ & 独立相位模型的每星聚合残差。\\
|
||
$\mathcal E_{\ell,p}^{\mathrm{cp,str}}$、$\mathcal E_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 和 $\mathcal E_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ & 第 $(\ell,p)$ 个观测块在相应集中模型下的块残差。\\
|
||
\end{longtable}
|
||
\endgroup
|
||
|
||
\subsection{CRB、FIM 与有效信息符号}
|
||
|
||
附录中的确定信号、随机信号、静态 \gls{doa}--Doppler 与动态 \gls{doa}--Doppler \gls{crb} 推导使用表~\ref{tab:crbFimNotation} 中的统一统计符号。
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||
本文约定 Fisher 信息矩阵使用 $\mathcal I$，Jacobian 矩阵保留 $\mathbf J$。
|
||
|
||
\begingroup
|
||
\small
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||
\setlength{\LTpre}{4pt}
|
||
\setlength{\LTpost}{4pt}
|
||
\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
|
||
\begin{longtable}{>{\raggedright\arraybackslash}p{0.30\textwidth}>{\raggedright\arraybackslash}p{0.60\textwidth}}
|
||
\caption{CRB、FIM 与有效信息符号约定}
|
||
\label{tab:crbFimNotation}\\
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||
\hline
|
||
\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
|
||
\hline
|
||
\endfirsthead
|
||
\multicolumn{2}{l}{\small\tablename~\thetable{} \gls{crb}、\gls{fim} 与有效信息符号约定（续）}\\
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||
\hline
|
||
\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
|
||
\hline
|
||
\endhead
|
||
\hline
|
||
\multicolumn{2}{r}{\small 续下页}\\
|
||
\endfoot
|
||
\hline
|
||
\endlastfoot
|
||
$\mathcal I$ & Fisher 信息矩阵。\\
|
||
$\mathcal I_{\eta\eta}$、$\mathcal I_{\eta\psi}$、$\mathcal I_{\psi\psi}$ & 按主参数与干扰参数分块后的 Fisher 信息矩阵子块。块标签直接作为下标书写。\\
|
||
$\mathcal I_{\mathrm{e}}$ & 消去干扰参数后的 \gls{efim}。\\
|
||
$\mathbf C$ & \gls{crb} 协方差矩阵，通常为 Fisher 信息矩阵或 \gls{efim} 的逆。\\
|
||
$\mathbf J$ & Jacobian 矩阵或导数矩阵，不再用于表示 Fisher 信息矩阵。\\
|
||
$\boldsymbol\psi$ & 通用干扰参数向量。 在不同上下文中，它可包含信源复包络、复干扰系数、相位、Doppler rate 或噪声方差。\\
|
||
$\boldsymbol\psi_\mu$ & 只影响均值向量的干扰参数子集。\gls{crb} 附录中若噪声方差与均值参数 Fisher 块解耦，则 Schur 补通常只显式保留 $\boldsymbol\psi_\mu$。\\
|
||
$\boldsymbol\psi^{\mathrm{cp}}$ & 连续相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、$\{\chi_\ell\}$、$\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 与 $\{\sigma_\ell\}$。\\
|
||
$\boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}$ & 独立相位模型的干扰参数集合，通常包含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$、自由复增益 $\{\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\}$ 或其等价极坐标参数 $\{\vartheta_{\ell,p},\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\}$，以及 $\{\sigma_\ell\}$。\\
|
||
$\mathcal P_{\mathbf B}$ 和 $\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}$ & 到矩阵 $\mathbf B$ 列空间及其正交补的投影算子，定义为 $\mathcal P_{\mathbf B}=\mathbf B(\mathbf B^\Herm\mathbf B)^{-1}\mathbf B^\Herm$ 和 $\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}=\mathbf I-\mathcal P_{\mathbf B}$。当 $\mathbf B=\mathbf A$ 时得到空间导向矩阵投影；当 $\mathbf B=\mathbf B_{\mathrm{st}}$ 时得到空时导向矩阵投影。\\
|
||
$\mathbf R$ 或 $\mathbf R_y$ & 随机信号模型中的观测协方差矩阵。\\
|
||
$\mathbf R_x$ & 随机信号模型中的信源协方差矩阵。\\
|
||
$\boldsymbol\epsilon_{\xi,k}=\hat{\boldsymbol\xi}_k-\boldsymbol\xi_k$ & 第 $k$ 个用户的 \gls{doa} 估计误差向量。\\
|
||
$\mathbf C_{\xi,k}$ & 第 $k$ 个用户 \gls{doa} 估计的 \gls{crb} 协方差矩阵，即 \gls{efim} 对 $\boldsymbol\xi_k$ 块的逆。该量作为波束成形鲁棒设计的理论上界。\\
|
||
\end{longtable}
|
||
\endgroup
|
||
|
||
若将完整参数分为主参数 $\boldsymbol\eta$ 与干扰参数 $\boldsymbol\psi$，则 \gls{efim} 通常可写为 Schur complement 形式
|
||
%
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||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm{e}}
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}
|
||
-
|
||
\mathcal I_{\eta\psi}
|
||
\mathcal I_{\psi\psi}^{-1}
|
||
\mathcal I_{\psi\eta}.
|
||
\end{equation}
|
||
%
|
||
在动态连续相位模型中，若专门分析未知 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 带来的主参数信息损失，则 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 应放在干扰参数侧，而不是重新并入主参数向量。
|
||
|
||
\subsection{上下标、模型标记与阅读规则}
|
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|
||
为避免同一主符号因上下标不同而产生误读，全文采用表~\ref{tab:modelMarkerNotation} 中的阅读规则。
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||
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||
\begingroup
|
||
\small
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||
\setlength{\LTpre}{4pt}
|
||
\setlength{\LTpost}{4pt}
|
||
\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
|
||
\begin{longtable}{>{\raggedright\arraybackslash}p{0.30\textwidth}>{\raggedright\arraybackslash}p{0.60\textwidth}}
|
||
\caption{上下标与模型标记约定}
|
||
\label{tab:modelMarkerNotation}\\
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||
\hline
|
||
\textbf{标记} & \textbf{含义}\\
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||
\hline
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||
\endfirsthead
|
||
\multicolumn{2}{l}{\small\tablename~\thetable{} 上下标与模型标记约定（续）}\\
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||
\hline
|
||
\textbf{标记} & \textbf{含义}\\
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||
\hline
|
||
\endhead
|
||
\hline
|
||
\multicolumn{2}{r}{\small 续下页}\\
|
||
\endfoot
|
||
\hline
|
||
\endlastfoot
|
||
下标 $k$ & 信号源或用户索引。\\
|
||
下标 $\ell$ & 阵列、卫星或链路索引。\\
|
||
下标 $p$ & 帧索引。\\
|
||
下标 $t$ & 快拍或采样索引；在 $t_{p,t}$ 中第二个 $t$ 表示帧内采样索引。\\
|
||
下标 $\mathrm{ref}$ & 参考星链路相关参数，而不是参考时刻。\\
|
||
上标 $\mathrm{loc}$ & 卫星本地坐标系中的量。\\
|
||
上标 $\mathrm{cp}$ & continuous-phase，即连续相位模型。\\
|
||
上标 $\mathrm{ip}$ & independent-phase，即独立相位基线模型。\\
|
||
下标 $\mathrm{mu}$ & multi-user，多用户场景下的主参数或干扰参数分组。\\
|
||
下标 $\mathrm{te}$ & timestamp-error，部分相干观测模型中包含时间戳误差 $\delta_\ell$ 的干扰参数分组。\\
|
||
上标 $\mathrm{str}$ & structured，即保留结构化公共相位或幅度约束后的模型或残差。\\
|
||
上标 $\mathrm{rel}$ & relaxed，即放松块复干扰系数 结构后的模型或残差。\\
|
||
上标 $\mathrm{pro}$ & profiled，即已经对部分干扰参数作轮廓化处理的似然或目标函数。\\
|
||
帽号 $\hat{\cdot}$ & 估计量。\\
|
||
横线 $\bar{\cdot}$ & 局部化或等效化后的量，例如 $\bar\nu_{\ell,p}$ 表示第 $p$ 帧内的局部归一化 Doppler。\\
|
||
波浪号 $\tilde{\cdot}$ & 向量化或变换后的量，例如 $\tilde{\mathbf y}_{\ell,p}=\vect(\mathbf Y_{\ell,p})$。\\
|
||
\end{longtable}
|
||
\endgroup
|
||
|
||
全文写作遵守表~\ref{tab:notationWritingRules} 中的符号使用规则。
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||
|
||
\begingroup
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\small
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||
\setlength{\LTpre}{4pt}
|
||
\setlength{\LTpost}{4pt}
|
||
\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
|
||
\begin{longtable}{>{\raggedright\arraybackslash}p{0.10\textwidth}>{\raggedright\arraybackslash}p{0.80\textwidth}}
|
||
\caption{符号使用规则}
|
||
\label{tab:notationWritingRules}\\
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||
\hline
|
||
\textbf{序号} & \textbf{规则}\\
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||
\hline
|
||
\endfirsthead
|
||
\multicolumn{2}{l}{\small\tablename~\thetable{} 符号使用规则（续）}\\
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||
\hline
|
||
\textbf{序号} & \textbf{规则}\\
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||
\hline
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||
\endhead
|
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\hline
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||
\multicolumn{2}{r}{\small 续下页}\\
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||
\endfoot
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||
\hline
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||
\endlastfoot
|
||
1 & 带有文字含义的上下标使用 $\mathrm{\cdot}$，例如 $T_{\mathrm{s}}$、$\lambda_{\mathrm{c}}$、$\ell_{\mathrm{ref}}$、$\mathcal I_{\mathrm{e}}$、$\|\cdot\|_{\mathrm{F}}$。 普通索引如 $k,\ell,p,t$ 保持斜体。\\
|
||
2 & 普通标量变量使用斜体；向量使用小写粗体字母或粗体希腊字母；矩阵使用大写粗体字母。\\
|
||
3 & 不用 $\lambda$ 表示载波波长；载波波长一律写为 $\lambda_{\mathrm{c}}$。 全局方位角使用 $\alpha$。\\
|
||
4 & 不用 $\mathbf a_\ell$ 表示卫星动力学加速度；动力学加速度若需要出现，应写为 $\dot{\mathbf v}_\ell$ 或其他明确符号。\\
|
||
5 & Doppler 与 Doppler rate 统一使用 $\nu$ 与 $\dot\nu$；正文估计参数默认是归一化角频率量。若必须写物理 Hz 单位，使用 $\nu^{\mathrm{Hz}}$。全文使用 $\nu$ 体系。\\
|
||
6 & 参考星与参考时刻是两个不同概念；$\mathrm{ref}$ 下标只表示参考星链路，参考时刻应通过 $t=0$、$\tau_0=0$ 或文字说明表达。\\
|
||
7 & 连续相位模型中的公共相位 $\chi_\ell$ 与独立相位模型中的块相位 $\vartheta_{\ell,p}$ 不能混用。\\
|
||
8 & Fisher 信息矩阵使用 $\mathcal I$，其分块下标直接书写，例如 $\mathcal I_{\eta\psi}$；$\mathbf J$ 保留给 Jacobian 或导数矩阵。\\
|
||
9 & 投影算子使用 $\mathcal P$，例如 $\mathcal P_{\mathbf A}^{\perp}$。\\
|
||
10 & relaxed continuous-phase 相关目标、残差和复增益应保留上标 $\mathrm{cp,rel}$，避免与 structured CP 或 IP 混淆。\\
|
||
11 & \gls{crb} 协方差矩阵保留 $\mathbf C$；空时导向矩阵不再使用 $\mathbf C$，统一写为 $\mathbf B_{\mathrm{st}}$。\\
|
||
12 & 未知复标量增益统一使用 $\zeta$；$\rho$ 只表示极坐标分解下的非负实幅度，不表示额外的自由复幅度参数。CP 与 IP 的幅度分别写为 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$。\\
|
||
13 & 旋转矩阵统一写为 $\boldsymbol{\Omega}_\ell$，不再使用 $\mathbf{Q}_\ell$；$\mathbf{Q}$ 保留给波束成形章节中的人工噪声协方差矩阵，避免符号冲突。\\
|
||
\end{longtable}
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||
\endgroup
|
||
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||
\subsection{波束成形与安全通信符号（预留）}
|
||
\label{subsec:beamformingSymbols}
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||
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||
本小节为后续波束成形与安全通信章节预留命名空间。表~\ref{tab:beamformingNotation} 列出的符号在估计正文中均不使用，仅在写到波束成形与安全设计时启用。提前定义的目的是避免符号冲突——尤其是 $\mathbf Q$ 作为人工噪声协方差矩阵的强约定，已通过将旋转矩阵改写为 $\boldsymbol\Omega_\ell$ 提前释放。
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||
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||
\begingroup
|
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\small
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||
\setlength{\LTpre}{4pt}
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||
\setlength{\LTpost}{4pt}
|
||
\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
|
||
\begin{longtable}{>{\raggedright\arraybackslash}p{0.30\textwidth}>{\raggedright\arraybackslash}p{0.60\textwidth}}
|
||
\caption{波束成形与安全通信符号约定}
|
||
\label{tab:beamformingNotation}\\
|
||
\hline
|
||
\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
|
||
\hline
|
||
\endfirsthead
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\multicolumn{2}{l}{\small\tablename~\thetable{} 波束成形与安全通信符号约定（续）}\\
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\textbf{符号} & \textbf{含义}\\
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\endhead
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\multicolumn{2}{r}{\small 续下页}\\
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\endfoot
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\endlastfoot
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$\mathbf w_{\ell,k}\in\mathbb C^{M_\ell}$ & 第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的波束成形向量。上行/下行语境由所在节说明确定，同时出现时加上标 $\mathrm{ul}$ 或 $\mathrm{dl}$。\\
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$\mathbf W_\ell\in\mathbb C^{M_\ell\times K}$ & 第 $\ell$ 颗卫星的波束成形矩阵，第 $k$ 列为 $\mathbf w_{\ell,k}$。\\
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$\mathbf Q\in\mathbb C^{M_\ell\times M_\ell}$ & 人工噪声协方差矩阵，$\mathbf Q\succeq\mathbf 0$。仅在安全波束成形节中使用。\\
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$P_t$ & 发射总功率约束。\\
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$P_\ell$ & 第 $\ell$ 颗卫星的功率约束。\\
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$\mathrm{SINR}_k$ & 第 $k$ 个合法用户的接收信噪干扰比。\\
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$\mathcal K=\{1,\ldots,K\}$ & 合法用户集合（花体字母，与用户总数 $K$ 区分）。\\
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$\mathcal E=\{1,\ldots,N_e\}$ & 窃听者集合。\\
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$\mathbf h_{\ell,e}\in\mathbb C^{M_\ell}$ & 第 $e$ 个窃听者（单天线）到第 $\ell$ 颗卫星的信道向量。\\
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$C_s^{(k)}$ & 对第 $k$ 个合法用户的保密速率。\\
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$\Delta\mathbf h_{\ell,k}$ & 信道估计误差向量，$\|\Delta\mathbf h_{\ell,k}\|_2\le\epsilon_k$ 用于鲁棒设计。\\
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$\epsilon_k$ & 第 $k$ 个用户的信道不确定性半径。\\
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\end{longtable}
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