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\section{背景知识}
\label{sec:background}

本附录只整理后续似然函数与 \gls{crb} 推导反复使用的概率分布、Fisher 信息和 CRB 基础公式。这里的广义参数 $\theta$ 或 $\bm\theta$ 不代表多星主线中的全局 DoA；多星主线的方向参数仍以 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ 为准。

\subsection{高斯变量的 PDF}

\subsubsection{一维实高斯随机变量}

一维实高斯随机变量 $X \sim \mathcal{N} \left( \mu, \sigma \right)$~\footnote{本文使用 $\sigma$ 表示高斯随机变量的方差。} 的 \gls{pdf} 为
%
\begin{align}
  \label{eq:1d_real_gauss_pdf}
  f_X \left( x \mid \mu, \sigma \right)
  = \frac{1}{ \sqrt{2\pi\sigma} }
  \exp \left[ -\frac{ \left( x - \mu \right)^2 }{ 2\sigma } \right].
\end{align}


\subsubsection{一维圆对称复高斯随机变量}

\begin{mdquote}
  圆对称复高斯（Circularly Symmetric Complex Gaussian）随机变量
  $Y \sim \mathcal{CN} \left( \mu, \sigma \right)$ 的实部和虚部是独立的实高斯随机变量。
  即令 $Y = Y^{(r)} + j Y^{(i)}$，有
  $Y^{(r)} \sim \mathcal{N} \left( \mu^{(r)}, \dfrac{\sigma}{2} \right)$，
  $Y^{(i)} \sim \mathcal{N} \left( \mu^{(i)}, \dfrac{\sigma}{2} \right)$，
  其中 $\mu = \mu^{(r)} + j \mu^{(i)}$。
\end{mdquote}

一维圆对称复高斯随机变量 $Y \sim \mathcal{CN} \left( \mu, \sigma \right)$ 的 \gls{pdf} 为
%
\begin{align}
  \label{eq:1d_cplx_gauss_pdf}
  f_Y \left( y \mid \mu, \sigma \right)
  &= f_{Y^{(r)}} \left( y^{(r)} \,\middle|\, \mu^{(r)}, \frac{ \sigma }{ 2 } \right)
  \times
  f_{Y^{(i)}} \left( y^{(i)} \,\middle|\, \mu^{(i)}, \frac{ \sigma }{ 2 } \right) \nonumber
  \\
  &= \frac{1}{ \pi \sigma }
  \exp \left(
  -\frac{
  \left( y^{(r)} - \mu^{(r)} \right)^2
  +
  \left( y^{(i)} - \mu^{(i)} \right)^2
  }{
  \sigma
  }
  \right)
  = \frac{1}{ \pi \sigma }
  \exp \left(
  -\frac{ \left| y - \mu \right|^2 }{ \sigma }
  \right).
\end{align}
%
其中 $\left|\, \cdot \,\right|$ 表示取复数的模。


\subsubsection{\texorpdfstring{$M$}{M} 维圆对称复高斯随机变量}

$M$ 维圆对称复高斯随机变量
$\mathbf{Z} \sim \mathcal{CN} \left( \bm{\mu}, \mathbf{R} \right)$ 的 \gls{pdf} 为
%
\begin{align}
  \label{eq:general_complex_gaussian_pdf}
  f_{\mathbf{Z}} \left( \mathbf{z} \mid \bm{\mu}, \mathbf{R} \right)
  = \frac{1}{ \pi^M \det \left( \mathbf{R} \right) }
  \exp \left[
  -\left( \mathbf{z} - \bm{\mu} \right)^\Herm
  \mathbf{R}^{-1}
  \left( \mathbf{z} - \bm{\mu} \right)
  \right],
\end{align}
%
其中 $\bm{\mu} \in \mathbb{C}^{M \times 1}$ 为均值向量，$\mathbf{R} \in \mathbb{C}^{M \times M}$ 为协方差矩阵，$\det \left( \mathbf{R} \right)$ 为归一化项，使 \gls{pdf} 的积分为 1。

在\emph{各维独立且方差 $\sigma$ 相同}的情形下，协方差矩阵退化为 $\mathbf{R} = \sigma \mathbf{I}_M$，即 $\mathbf{Z} \sim \mathcal{CN} \left( \bm{\mu}, \sigma \mathbf{I}_M \right)$，则 \gls{pdf} 简化为
%
\begin{align}
  \label{eq:independent_complex_gaussian_pdf}
  f_{\mathbf{Z}} \left( \mathbf{z} \mid \bm{\mu}, \sigma \right)
  = \prod_{i=1}^M
  f_{Z_i} \left( z_i \mid \mu_i, \sigma \right)
  = \frac{1}{ \left( \pi \sigma \right)^M }
  \exp \left[
  -\frac{ \left\| \mathbf{z} - \bm{\mu} \right\|^2 }{ \sigma }
  \right].
\end{align}


\subsection{CRB 的定义\texorpdfstring{~\cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993}}{}}

\begin{mdquote}
  本节的 $\theta$ 和 $\bm{\theta}$ 是广义的参数和参数向量，并非 DoA 估计问题中的角度。
\end{mdquote}

\Gls{crb}，亦称 \gls{crlb}，在参数估计理论中给出了\emph{无偏估计量方差的下界}。

\subsubsection{单参量的 CRB}

假设随机变量 $X$ 的 \gls{pdf} 为 $f_X \left( x; \theta \right)$，其中 $\theta \in \mathbb{R}$ 是待估计参量，且满足正则条件
%
\begin{align}
  \mathbb{E}_X \left[
  \frac{
  \partial \ln f_X \left( x; \theta \right)
  }{
  \partial \theta
  }
  \right]
  = 0, \quad \forall\, \theta ,
\end{align}
%
则任何\emph{无偏估计} $\hat\theta$ 的方差必然满足
%
\begin{align}
  \mathrm{var} ( \hat\theta )
  \geqslant
  \frac{1}{-\mathbb{E}_X \left[
  \dfrac{
  \partial^2 \ln f_X \left( x; \theta \right)
  }{
  \partial \theta^2
  }
  \right]}
  =
  \frac{1}{ \mathcal{I} \left( \theta \right) } = \mathrm{CRB}(\theta),
\end{align}
%
其中 $\mathcal{I} \left( \theta \right)
  \triangleq
  -\mathbb{E}_X \left[
  \dfrac{
  \partial^2 \ln f_X \left( x; \theta \right)
  }{
  \partial \theta^2
  }
  \right]
$ 称为 Fisher 信息，$\dfrac{1}{\mathcal{I} \left( \theta \right)}$ 称为 \gls{crb}。

\subsubsection{多参量的 CRB}

假设随机变量 $X$ 的 \gls{pdf} 为 $f_X \left( x; \bm{\theta} \right)$，其中 $\bm{\theta} = \left[ \theta_1, \ldots, \theta_K \right]^\Tran \in \mathbb{R}^{K \times 1}$ 是待估计参量，且满足正则条件
%
\begin{align}
  \mathbb{E}_X \left[
  \frac{
  \partial \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
  }{
  \partial \bm{\theta}
  }
  \right]
  = \mathbf{0},
  \quad \forall\, \bm{\theta} ,
\end{align}
%
则任何\emph{无偏估计} $\hat{\theta}_i$ 的方差必然满足
%
\begin{align}
  \mathrm{var} ( \hat{\theta}_i )
  \geqslant \left[ \mathcal{I}^{-1} \left( \bm{\theta} \right) \right]_{ii}
  = \left[ \mathrm{CRB}(\bm{\theta}) \right]_{ii} .
\end{align}
%
其中 $\mathcal{I} \left( \bm{\theta} \right)$ 是 $K \times K$ 的 \gls{fim}，其元素定义为
%
\begin{align}
  \left[ \mathcal{I} \left( \bm{\theta} \right) \right]_{ij}
  \triangleq
  -\mathbb{E}_X \left[
  \frac{
  \partial^2 \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
  }{
  \partial \theta_i \, \partial \theta_j
  }
  \right],
  \quad i = 1, \ldots, K;\, j = 1, \ldots, K .
\end{align}

此外，可以推导得到
%
\begin{align}
  \mathbb{E}_X \left[
  \frac{
  \partial^2 \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
  }{
  \partial \theta_i \, \partial \theta_j
  }
  \right]
  = -\mathbb{E}_X \left[
  \frac{
  \partial \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
  }{
  \partial \theta_i
  }
  \frac{
  \partial \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
  }{
  \partial \theta_j
  }
  \right] .
\end{align}
%
因此，\gls{fim} 的元素还可以写作
%
\begin{align}
  \label{eq:fisher_element}
  \left[ \mathcal{I} \left( \bm{\theta} \right) \right]_{ij}
  = \mathbb{E}_X \left[
  \frac{
  \partial \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
  }{
  \partial \theta_i
  }
  \frac{
  \partial \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
  }{
  \partial \theta_j
  }
  \right],
  \quad i = 1, \ldots, K;\, j = 1, \ldots, K .
\end{align}
%

令$
\bm{\Psi}
\triangleq
\left[
\dfrac{
\partial \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
}{
\partial \theta_1
},
\ldots,
\dfrac{
\partial \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
}{
\partial \theta_K
}
\right]^\Tran ,
$ 则 \gls{fim}可以表示为
%
\begin{equation}
  \label{eq:compact_fisher_matrix}
  \mathcal{I} \left( \bm{\theta} \right)
  = \mathbb{E}_X \left[
  \bm{\Psi} \bm{\Psi}^\Tran
  \right] .
\end{equation}

\subsubsection{一般高斯随机过程的 CRB\texorpdfstring{~\cite{stoicaPerformanceStudyConditional1990}}{}}
\label{subsubsec:general_gauss_crb}

假设 $M$ 维圆对称复高斯随机变量 $\mathbf{Z} \sim \mathcal{CN} (\bm{\mu} (\bm{\theta}), \mathbf{R}(\bm{\theta}))$，其中均值矢量 $\bm{\mu} (\bm{\theta}) \in \mathbb{C}^{M \times 1}$ 和协方差矩阵 $\mathbf{R}(\bm{\theta})\in \mathbb{C}^{M \times M}$ 由实参数向量 $\bm{\theta}$ 唯一确定，也即复高斯随机变量 $\mathbf{Z}$ 的分布由实参数向量 $\bm{\theta}$ 唯一确定，则 $\bm{\theta}$ 的任何无偏估计的协方差矩阵的 \gls{crb} 可以表示为
%
\begin{equation}
  \label{eq:general_gauss_crb}
  [(\mathrm{CRB})^{-1}]_{ij} = \tr \left[
  \mathbf{R}^{-1} (\bm{\theta}) \frac{\partial \mathbf{R} (\bm{\theta})}{\partial \theta_i} \mathbf{R}^{-1} (\bm{\theta}) \frac{\partial \mathbf{R} (\bm{\theta})}{\partial \theta_j}
  \right] + 2 \Re \left\{
  \frac{\partial \bm{\mu}^\Herm (\bm{\theta})}{\partial \theta_i} \mathbf{R}^{-1} (\bm{\theta}) \frac{\partial \bm{\mu} (\bm{\theta})}{\partial \theta_j}
  \right\},
\end{equation}
%
其中 $\theta_i$ 表示 $\bm{\theta}$ 的第 $i$ 个分量。

以上公式构成后续各类 CRB 推导的公共工具箱。 \ref{sec:det_doa_crb}--\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 将先把这些公式用于单阵列基线， \ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}--\ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 再用于多星主线模型。