doa_doppler_est/parts/A4-stoDoaCrb.tex

\section{随机信号 DoA 估计的 CRB 推导}
\label{sec:sto_doa_crb}

本附录对应第~\ref{sec:sto_doa_est} 节的单阵列随机信号 DoA 模型。由 \ref{subsubsec:general_gauss_crb} 可知，零均值圆对称复高斯随机过程的 \gls{crb} 可以表示为
%
\begin{equation}
  [\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij}
  = T\Re\left\{\tr \left[
  \mathbf{R}^{-1} (\boldsymbol\kappa) \frac{\partial \mathbf{R} (\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i} \mathbf{R}^{-1} (\boldsymbol\kappa) \frac{\partial \mathbf{R} (\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_j}
  \right]\right\}.
\end{equation}
%
因此可以通过类似\ref{sec:det_doa_crb} 的方式，按照第 \ref{sec:sto_doa_est} 节的建模方式，求出接收信号协方差矩阵 $\mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M$ 对各个参量的一阶导数，构建 \gls{fim}。
随机信号 \gls{doa} 估计问题的参数向量可以写为
%
\begin{equation*}
  \boldsymbol\kappa = \begin{bmatrix}
    \boldsymbol\theta \\ \boldsymbol\psi
  \end{bmatrix},
  \quad
  \boldsymbol\psi = \begin{bmatrix}
    \operatorname{vech}_{\mathbb R}(\mathbf{R}_x) \\ \sigma
  \end{bmatrix},
\end{equation*}
%
其中 $\boldsymbol\theta$ 为待估 \gls{doa} 参数向量。严格地说，$\mathbf R_x=\mathbf R_x^\Herm$ 应采用非冗余实参数化；为避免引入额外记号，下文仅用 $\boldsymbol\psi$ 表示信源协方差与噪声方差组成的干扰参数集合，$\sigma \triangleq \sigma_n^2$ 为噪声方差。
由 $\eqref{eq:schur_complement}$ 的 Schur 补可得 \gls{doa} 的等效 \gls{fim} 为
%
\begin{equation*}
  \mathcal{I}_{\mathrm e}
  = \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta}.
\end{equation*}
%
但是在随机信号模型中，直接计算 Fisher 块需要显式处理 $\mathbf{R}^{-1}$ 与各导数的耦合项，代数推导代价很高，因此参考 \cite{stoicaPerformanceStudyConditional1990}，通过协方差扰动子空间的结构，将干扰参数 $\boldsymbol\psi$ 所能引起的协方差扰动张成一个线性子空间，并将 $\mathbf{R}_i \triangleq \dfrac{\partial \mathbf{R} (\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i}$ 中落在该子空间内的分量投影消去，从而得到与 Schur 补等价的投影消元形式。

\subsection{干扰参数扰动子空间}

在随机信号模型下，接收信号协方差矩阵为
%
\begin{equation*}
  \mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M.
\end{equation*}
%
目标参数为 \gls{doa} 参数 $\bm{\theta}$，但协方差矩阵不仅依赖 $\bm{\theta}$，还依赖信源协方差 $\mathbf{R}_x$ 和噪声功率 $\sigma$。
因此，当接收信号协方差发生微小变化时，这种变化可能来自 \gls{doa} 的变化、信源功率或源相关性的变化、噪声功率的变化。
\emph{为了区分这些不同来源的变化，有必要分析对于不同参数的微小扰动，会使协方差矩阵沿哪些方向发生变化。}

设参数发生一个小扰动，即
%
\begin{equation*}
  \mathbf{R}_x \to \mathbf{R}_x + \Delta \mathbf{R}_x,
  \quad
  \sigma \to \sigma + \Delta \sigma,
\end{equation*}
%
则协方差的变化为
%
\begin{equation*}
  \Delta \mathbf{R} = \mathbf{A} (\Delta\mathbf{R}_x) \mathbf{A}^\Herm + (\Delta\sigma) \mathbf{I}_M.
\end{equation*}
%
可以看出，协方差的扰动具有固定的结构，包括第一类扰动 $\mathbf{A}(\ \cdot \ )\mathbf{A}^\Herm$ 和第二类扰动 $\mathbf{I}_M$。
也即干扰参数 $(\mathbf{R}_x, \sigma)$ 只能使协方差沿某些\emph{特定方向}变化，而不可能产生任意形式的矩阵变化。

将所有由干扰参数产生的协方差扰动集合定义为
%
\begin{equation}
  \mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}
  = \left\{ \mathbf{A} \mathbf{X} \mathbf{A}^\Herm + \mu \mathbf{I}_M \mid \mathbf{X} = \mathbf{X}^\Herm, \mu \in \mathbb{R} \right\}
  \subseteq \mathrm{span}_{\mathbb R} \left\{ \mathbf{a}_i \mathbf{a}_j^\Herm,\; j\le i,\; \mathbf I_M \right\},
\end{equation}
%
这个集合包含了所有可能由信源协方差和噪声功率变化引起的接收信号协方差变化。由于 $\Delta\mathbf R_x$ 必须保持 Hermitian，上式中的张成应理解为 Hermitian 矩阵集合上的实线性张成，本文称该集合为\emph{干扰参数扰动子空间}。
它描述了协方差矩阵由于干扰参数变化所能移动的所有方向。

Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e}
= \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta}$ 的本质是从 $\mathcal{I}_{\theta\theta}$ 中剔除可以被干扰参数“解释”的变化部分，从而获得关于 \gls{doa} 的独立信息。
因此 Schur 补在几何上等价于将 $\mathbf{R}_{\theta_i}$ 在扰动子空间 $\mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}$ 上的分量消除，只保留与该子空间正交的部分。

\subsection{Fisher 块构建}

考虑等式
%
\begin{equation*}
  \tr (\mathbf{X}^\Herm \mathbf{Y}) = \vect  (\mathbf{X})^\Herm \vect  (\mathbf{Y}),
\end{equation*}
%
\begin{equation*}
  \tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{X} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{Y})
  = \vect  (\mathbf{X})^\Herm (\mathbf{R}^{-\Tran} \otimes \mathbf{R}^{-1}) \vect  (\mathbf{Y})
  = \vect  (\mathbf{X})^\Herm \mathbf{W} \vect  (\mathbf{Y}),
\end{equation*}
%
其中 $\otimes$ 表示 Kronecker 积，$\mathbf{W} \triangleq \mathbf{R}^{-\Tran} \otimes \mathbf{R}^{-1}$。由于这里所有参数均为实参数，且各协方差导数为 Hermitian，迹项理论上为实数；下文显式保留 $\Re\{\cdot\}$ 以避免复数数值舍入误差。则考虑 $T$ 个快拍时，Fisher 信息
%
\begin{align}
  [\mathcal{I}]_{ij}
  &= T\Re\left\{\tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j)\right\}
  \nonumber \\
  &= T\Re\left\{\vect  (\mathbf{R}_i)^\Herm (\mathbf{R}^{-\Tran} \otimes \mathbf{R}^{-1}) \vect (\mathbf{R}_j)\right\}
  = T\Re\left\{\vect  (\mathbf{R}_i)^\Herm \mathbf{W} \vect (\mathbf{R}_j)\right\}.
\end{align}

定义 $\mathbf{G}_{\bm{\theta}} \triangleq [\vect (\mathbf{R}_{\theta_1}), \ldots, \vect (\mathbf{R}_{\theta_K})]$，$\mathbf{G}_{\boldsymbol\psi} \triangleq [\vect (\mathbf{R}_{\psi_1}), \ldots, \vect (\mathbf{R}_{\psi_q})]$，则 \gls{fim} 的各项可以写为
%
\begin{subequations}
\begin{equation}
  [\mathcal{I}_{\theta\theta}]_{ij}
  = T\Re\left\{\tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_i} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_j})\right\}
  = T\Re\left\{\vect  (\mathbf{R}_{\theta_i})^\Herm \mathbf{W} \vect  (\mathbf{R}_{\theta_j})\right\},
\end{equation}
%
\begin{equation}
  [\mathcal{I}_{\theta\psi}]_{ij}
  = T\Re\left\{\tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_i} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\psi_j})\right\}
  = T\Re\left\{\vect  (\mathbf{R}_{\theta_i})^\Herm \mathbf{W} \vect  (\mathbf{R}_{\psi_j})\right\},
\end{equation}
%
\begin{equation}
  [\mathcal{I}_{\psi\psi}]_{ij}
  = T\Re\left\{\tr (\mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\psi_i} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\psi_j})\right\}
  = T\Re\left\{\vect  (\mathbf{R}_{\psi_i})^\Herm \mathbf{W} \vect  (\mathbf{R}_{\psi_j})\right\},
\end{equation}
\end{subequations}
%
写成矩阵形式，有
%
\begin{subequations}
\begin{equation}
  \mathcal{I}_{\theta\theta} = T\Re\left\{\mathbf{G}_{\bm{\theta}}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\bm{\theta}}\right\},
\end{equation}
%
\begin{equation}
  \mathcal{I}_{\theta\psi} = T\Re\left\{\mathbf{G}_{\bm{\theta}}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}\right\},
\end{equation}
%
\begin{equation}
  \mathcal{I}_{\psi\psi} = T\Re\left\{\mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}\right\},
\end{equation}
\end{subequations}
%
代入 Schur 补，有
%
\begin{equation}
  \mathcal{I}_{\mathrm e}
  = \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta}
  = T \mathbf{G}_{\bm{\theta}}^\Herm \mathbf{W} \left( \mathbf{I} - \mathcal{P}^{(\mathbf{W})}_{\boldsymbol\psi} \right) \mathbf{G}_{\bm{\theta}},
\end{equation}
%
其中 $\mathcal{P}^{(\mathbf{W})}_{\boldsymbol\psi} \triangleq \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi} (\mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}^\Herm \mathbf{W} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi})^{-1} \mathbf{G}_{\boldsymbol\psi}^\Herm \mathbf{W}$ 是干扰空间的 $\mathbf{W}$ 加权投影矩阵。

\subsection{有效 Fisher 信息求取}

下面先给出每个信源对应一个标量角参数 $\theta_k$ 的标准 stochastic CRB 形式。若某个信源使用二维或更高维方向参数，只需将下文的单索引 $k$ 扩展为参数索引 $(k,r)$，并把 $\mathbf d_k$ 替换为 $\partial\mathbf a(\bm\theta_k)/\partial[\bm\theta_k]_r$；Fisher 信息矩阵的元素级表达保持相同。

接收信号协方差矩阵对角度的一阶偏导为
%
\begin{equation*}
  \mathbf{R}_{\theta_k}
  \triangleq \frac{\partial\mathbf{R}}{\partial\theta_k}
  = \frac{\diff \mathbf{A}}{\diff \theta_k} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \mathbf{A} \mathbf{R}_x \left( \frac{\diff \mathbf{A}}{\diff \theta_k} \right)^\Herm.
\end{equation*}
%
令 $\mathbf{d}_k := \mathbf{d}(\theta_k) \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a} (\theta_k) \in \mathbb{C}^{M\times 1}$，$\mathbf{d}_k^\Herm \triangleq \dfrac{\diff}{\diff\theta_k} \mathbf{a}^\Herm (\theta_k)$，$\mathbf{R}_x = [\mathbf r_{x,1}, \ldots, \mathbf r_{x,K}]$，则
%
\begin{equation}
  \label{eq:par_recv_cov_angle}
  \mathbf{R}_{\theta_k}
  = \mathbf{d}_k \mathbf r_{x,k}^\Herm \mathbf{A}^\Herm + \mathbf{A} \mathbf r_{x,k} \mathbf{d}_k^\Herm.
\end{equation}

令阵列流形矩阵的列向量（也即导向矢量）张成的信号子空间为 $\mathrm{span}(\mathbf{A})$，则其投影矩阵和其正交补空间的投影矩阵分别为
%
\begin{equation*}
  \mathcal{P}_\mathbf{A} = \mathbf{A} \left( \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm,
  \quad
  \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp = \mathbf{I} - \mathbf{A} \left( \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm,
\end{equation*}
%
则 $\mathbf{d}_k$ 可以正交投影分解为
%
\begin{equation}
  \label{eq:steering_vec_diff_orth_decompose}
  \mathbf{d}_k
  = \mathcal{P}_\mathbf{A} \mathbf{d}_k + \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_k
  = \mathbf{A} \beta_k + \mathbf{d}_k^\perp,
\end{equation}
%
其中 $\beta_k \triangleq \left( \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{d}_k$，$\mathbf{d}_k^\perp = \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_k$。

将 $\eqref{eq:steering_vec_diff_orth_decompose}$ 代入 $\eqref{eq:par_recv_cov_angle}$，有
%
\begin{equation}
  \mathbf{R}_{\theta_k}
  = \underset{\in \mathrm{span}\{ \mathbf{A}(\ \cdot \ )\mathbf{A}^\Herm \} \subset \mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}}{\underbrace{\mathbf{A} \left( \beta_k \mathbf r_{x,k}^\Herm + \mathbf r_{x,k} \beta_k^\Herm \right) \mathbf{A}^\Herm}}
  +
  \underset{\triangleq \mathbf{R}_{\theta_k}^{\mathrm{eff}}}{\underbrace{\mathbf{d}_k^\perp \mathbf r_{x,k}^\Herm \mathbf{A}^\Herm + \mathbf{A} \mathbf r_{x,k} \left( \mathbf{d}_k^\perp \right)^\Herm}},
\end{equation}
%
第一项位于干扰参数扰动子空间 $\mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}$ 中，会被加权投影意义下的 $\mathcal P_{\boldsymbol\psi}^{(\mathbf W),\perp}$ 消去，也即
%
\begin{equation}
  \mathcal P_{\boldsymbol\psi}^{(\mathbf W),\perp} \vect  (\mathbf{R}_{\theta_k})
  = \vect  \left( \mathbf{R}_{\theta_k}^{\mathrm{eff}} \right),
\end{equation}
%
因此，有效 Fisher 信息可以写作
%
\begin{equation}
  \label{eq:sto_doa_eff_fisher_info}
  [\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij}
  = T\Re\left\{\left[\vect  \left( \mathbf{R}_{\theta_i}^{\mathrm{eff}} \right) \right]^\Herm \mathbf{W} \vect  \left( \mathbf{R}_{\theta_j}^{\mathrm{eff}} \right)\right\}
  = T\Re\left\{\tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_i}^{\mathrm{eff}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_j}^{\mathrm{eff}} \right)\right\}.
\end{equation}
%
令 $\mathbf{R}_k^{(1)} = \mathbf{d}_k^\perp \mathbf r_{x,k}^\Herm \mathbf{A}^\Herm$，$\mathbf{R}_k^{(2)} = \mathbf{A} \mathbf r_{x,k} \left( \mathbf{d}_k^\perp \right)^\Herm$，则
%
\begin{equation}
  \mathbf{R}_{\theta_k}^{\mathrm{eff}} = \mathbf{R}_k^{(1)} + \mathbf{R}_k^{(2)}.
\end{equation}
%
按此形式对 $\eqref{eq:sto_doa_eff_fisher_info}$ 进行展开，有
%
\begin{align}
  [\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij}
  =& T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_i}^{\mathrm{eff}} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_{\theta_j}^{\mathrm{eff}} \right)
  = T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{R}_i^{(1)} + \mathbf{R}_i^{(2)} \right) \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{R}_j^{(1)} + \mathbf{R}_j^{(2)} \right) \right)
  \nonumber \\
  =& \underset{\triangleq T_{11}}{\underbrace{T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(1)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(1)} \right)}}
  + \underset{\triangleq T_{12}}{\underbrace{T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(1)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(2)} \right)}}
  + \underset{\triangleq T_{21}}{\underbrace{T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(2)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(1)} \right)}}
  \nonumber \\
  &+ \underset{\triangleq T_{22}}{\underbrace{T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(2)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(2)} \right)}}
\end{align}

由 Woodbury 公式 $(\mathbf{A} + \mathbf{UBV})^{-1} = \mathbf{A}^{-1} - \mathbf{A}^{-1} \mathbf{U} \left( \mathbf{B}^{-1} + \mathbf{VA}^{-1} \mathbf{U} \right)^{-1} \mathbf{VA}^{-1}$，接收信号协方差矩阵 $\mathbf{R} = \mathbf{A} \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm + \sigma \mathbf{I}_M$ 的逆可以写为
%
\begin{equation}
  \mathbf{R}^{-1} = \frac{1}{\sigma} \mathbf{I}_M - \frac{1}{\sigma^2} \mathbf{A} \left( \mathbf{R}_x^{-1} + \frac{1}{\sigma} \mathbf{A}^\Herm \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\Herm.
\end{equation}
%
由于 $\mathbf{A}^\Herm \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp = 0$，$\mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{A} = 0$，因此
%
\begin{equation}
  \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp = 0,
  \quad
  \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{R}^{-1} \mathbf{A} = 0.
\end{equation}
%
接下来计算 $[\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij}$ 的各分量。令 $\mathbf{U} = \mathbf{R}_x \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{A}\mathbf{R}_x$，则
%
\begin{subequations}
\begin{align}
  T_{11}
  &= T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(1)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(1)} \right)
  = T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{d}_i^\perp \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \right) \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{d}_j^\perp \mathbf r_{x,j}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \right) \right)
  \nonumber \\
  &= T \tr \left( \mathbf r_{x,j}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_i^\perp \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_j^\perp \right)
  = T \tr \left( \mathbf r_{x,j}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_i \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_j \right) = 0,
  \\
  T_{12}
  &= T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(1)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(2)} \right)
  = T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{d}_i^\perp \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \right) \mathbf{R}^{-1} \left( \mathbf{A} \mathbf r_{x,j} \left( \mathbf{d}_j^\perp \right)^\Herm \right) \right)
  \nonumber \\
  &= T \left( \left( \mathbf{d}_j^\perp \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_i^\perp \mathbf r_{x,i}^\Herm \mathbf{A}^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{A} \mathbf r_{x,j} \right)
  = T \left( \mathbf{d}_j^\perp \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_i^\perp [\mathbf{U}]_{ij},
  \\
  T_{21}
  &= T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(2)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(1)} \right)
  = T \left( \mathbf{d}_i^\perp \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_j^\perp [\mathbf{U}]_{ji},
  \\
  T_{22}
  &= T \tr \left( \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_i^{(2)} \mathbf{R}^{-1} \mathbf{R}_j^{(2)} \right)
  = 0,
\end{align}
\end{subequations}
%
因此，有效 Fisher 信息可以进一步写作
%
\begin{align}
  [\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij}
  &= T_{11} + T_{12} + T_{21} + T_{22}
  = 2 T \Re \left\{ \left( \mathbf{d}_i^\perp \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathbf{d}_j^\perp [\mathbf{U}]_{ji} \right\}
  \nonumber \\
  &= 2 T \Re \left\{ \left( \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_i \right)^\Herm \mathbf{R}^{-1} \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_j [\mathbf{U}]_{ji} \right\}
  = \frac{2 T}{\sigma} \Re \left\{ \mathbf{d}_i^\Herm \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{d}_j [\mathbf{U}]_{ji} \right\}.
\end{align}
%
令 $\mathcal{H} = \mathbf{D}^\Herm \mathcal{P}_\mathbf{A}^\perp \mathbf{D}$，$\mathbf{D} = [\mathbf{d}_1, \ldots, \mathbf{d}_K]$，则
%
\begin{equation}
  [\mathcal{I}_{\mathrm e}]_{ij} = \frac{2T}{\sigma} \Re \left\{ [\mathcal{H}]_{ij} [\mathbf{U}]_{ji} \right\},
\end{equation}
%
用矩阵形式表示为
\begin{equation}
  \mathcal{I}_{\mathrm e} = \frac{2T}{\sigma} \Re \left\{ \mathcal{H} \odot \mathbf{U}^\Tran \right\}.
\end{equation}
%
其中 $\odot$ 表示 Hadamard 积。因此，无条件（unconditional）\gls{crb} 或随机（stochastic）\gls{crb} 可以表示为
%
\begin{align}
  \mathcal{B}_u := \mathcal{I}_{\mathrm e}^{-1} = \frac{\sigma}{2T} \left(\Re \left\{ \mathcal{H} \odot \mathbf{U}^\Tran \right\}\right)^{-1}.
\end{align}
%

该随机信号 CRB 与\ref{sec:det_doa_crb} 的确定信号 CRB 共同给出单阵列 DoA 的两类性能基线。多星主线后续采用确定信号/导频化模型，因此其 CRB 推导更接近\ref{sec:det_doa_crb} 和\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 的处理方式。