josh
f665c5e259
新增 .gitignore 项目规则、CLAUDE.md（含 git 规范）、 agent_instruction.md 重构指导。作为 agent_instruction.md 阶段 1 之前的回滚锚点。
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\section{动态 DoA--Doppler 估计在连续相位与 relaxed 连续相位模型下的 CRB 推导}
|
||
\label{sec:A7_dynDoaDopplerCrb}
|
||
|
||
本附录沿用第~\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节中的动态多帧记号，只讨论两类与正文主线严格对应的模型：
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||
\begin{enumerate}
|
||
\item 第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的连续相位模型（structured continuous-phase, CP）；
|
||
\item 第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed 连续相位模型，即保留连续相位模板，但将每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数。
|
||
\end{enumerate}
|
||
主参数统一定义为
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\alpha \\
|
||
\beta \\
|
||
\nu_{\mathrm{ref}}
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\qquad
|
||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}\in\mathbb R^3,
|
||
\end{equation}
|
||
并将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免重复建模，这里只保留 \gls{crb} 推导所需的最小定义、导数记号与 \gls{fim}/EFIM 结构。
|
||
|
||
\subsection{沿用正文模型的最小定义与导数记号}
|
||
|
||
沿用第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的连续相位模板与块级向量化方式。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义连续相位模板
|
||
\begin{equation}
|
||
\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(t)
|
||
=
|
||
\nu_\ell t_{p,t} + \frac{1}{2}\dot\nu_\ell t_{p,t}^2,
|
||
\qquad
|
||
t_{p,t}=\tau_p+t,
|
||
\qquad
|
||
t=0,\ldots,T-1,
|
||
\end{equation}
|
||
其中
|
||
\begin{equation}
|
||
\nu_\ell = f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
|
||
\qquad
|
||
\dot\nu_\ell = f_{\dot\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}).
|
||
\end{equation}
|
||
按时间堆叠后定义
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
s_p(0)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(0)} \\
|
||
s_p(1)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(1)} \\
|
||
\vdots \\
|
||
s_p(T-1)e^{j\phi^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(T-1)}
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in\mathbb C^{T\times 1},
|
||
\end{equation}
|
||
以及向量化后的空时模板
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
对角度参数 $x\in\{\alpha,\beta\}$，记导向矢量导数为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf a_{\ell,x}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial x}.
|
||
\end{equation}
|
||
由链式法则可得时间模板导数
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial x}
|
||
=
|
||
j\left[
|
||
\frac{\partial \nu_\ell}{\partial x}
|
||
\operatorname{diag}(t_{p,0},\ldots,t_{p,T-1})
|
||
+
|
||
\frac{1}{2}
|
||
\frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial x}
|
||
\operatorname{diag}(t_{p,0}^2,\ldots,t_{p,T-1}^2)
|
||
\right]
|
||
\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p},
|
||
\label{eq:A7_qx_cp}
|
||
\end{equation}
|
||
并且
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
=
|
||
j\operatorname{diag}(t_{p,0},\ldots,t_{p,T-1})\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p},
|
||
\label{eq:A7_qomega_cp}
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
=
|
||
\frac{j}{2}\operatorname{diag}(t_{p,0}^2,\ldots,t_{p,T-1}^2)\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p},
|
||
\label{eq:A7_qgamma_cp}
|
||
\end{equation}
|
||
其中已利用正文中的几何参数化：$\partial \nu_\ell/\partial \nu_{\mathrm{ref}}=1$，$\partial \dot\nu_\ell/\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}=1$。这里的显式导数采用正文中的加性参考星参数化，$\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 且 $\dot\nu_\ell=\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$；若改用一般映射，只需将上述两个导数替换为对应链式法则项。
|
||
|
||
于是空时模板对主参数与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数分别为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\alpha}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \alpha}
|
||
=
|
||
\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_{\ell,\alpha}
|
||
+
|
||
\frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \alpha}\otimes \mathbf a_\ell,
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\beta}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \beta}
|
||
=
|
||
\mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_{\ell,\beta}
|
||
+
|
||
\frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \beta}\otimes \mathbf a_\ell,
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\nu}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
=
|
||
\frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell,
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\dot\nu}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
=
|
||
\frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell.
|
||
\end{equation}
|
||
记
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf D^{\mathrm{cp}}_{\eta,\ell,p}
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\alpha} &
|
||
\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\beta} &
|
||
\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\nu}
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 3},
|
||
\end{equation}
|
||
以及
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\dot\nu,\ell,p}
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\dot\nu}
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
将所有 $(\ell,p)$ 的向量化观测按任意固定顺序堆叠为 $\tilde{\mathbf y}$。为避免块顺序引起歧义，记
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal B
|
||
\triangleq
|
||
\{(\ell,p):\ell=0,\ldots,L-1,
|
||
\ p=0,\ldots,P-1\},
|
||
\end{equation}
|
||
则对应噪声协方差为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf R_n
|
||
=
|
||
\operatorname{blkdiag}
|
||
\Big(
|
||
\{\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}\}_{(\ell,p)\in\mathcal B}
|
||
\Big),
|
||
\label{eq:A7_Rn_cp_stack}
|
||
\end{equation}
|
||
其中每个 $(\ell,p)$ 观测块对应一个 $M_\ell T\times M_\ell T$ 的对角噪声协方差块；同一卫星的不同帧共享同一 $\sigma_{n,\ell}^2$。
|
||
由于这里所有待估参数仅通过均值向量进入，而 $\mathbf R_n$ 与这些参数无关，因此对任意实参数 $\kappa_i,\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为
|
||
\begin{equation}
|
||
[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)]_{ij}
|
||
=
|
||
2\Re\left\{
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_i}
|
||
\mathbf R_n^{-1}
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa)}{\partial \kappa_j}
|
||
\right\}.
|
||
\label{eq:A7_FIM_general}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\subsection{连续相位模型下的 CRB}
|
||
|
||
连续相位模型写为
|
||
\begin{equation}
|
||
\tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||
=
|
||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}
|
||
\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
+ \tilde{\mathbf n}_{\ell,p},
|
||
\qquad
|
||
\tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}).
|
||
\end{equation}
|
||
记
|
||
\begin{equation}
|
||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell},\qquad \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\in\mathbb R_{\ge0}.
|
||
\end{equation}
|
||
在常规局部 \gls{crb} 推导中默认真实工作点满足 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}>0$，从而幅度--相位参数化在该点局部可微且相位参数可辨识；若某些块的幅度为零，则对应相位不可辨识，应在数值实现中删除该相位列或采用广义逆形式的 EFIM。
|
||
则第 $(\ell,p)$ 个观测块的均值为
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||
=
|
||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}}).
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
定义连续相位模型的干扰参数向量为
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}
|
||
=
|
||
\Big[
|
||
\dot\nu_{\mathrm{ref}},
|
||
\{\chi_\ell\}_{\ell=0}^{L-1},
|
||
\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\}
|
||
\Big]^{\Tran},
|
||
\end{equation}
|
||
并令总参数向量为
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\kappa_{\mathrm{cp}}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran}
|
||
\end{bmatrix}^{\Tran}.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
对单个观测块，有
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}}
|
||
=
|
||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf D^{\mathrm{cp}}_{\eta,\ell,p},
|
||
\label{eq:A7_Jeta_cp_block}
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}
|
||
=
|
||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\dot\nu,\ell,p},
|
||
\label{eq:A7_Jgamma_cp_block}
|
||
\end{equation}
|
||
以及对任意 $m\in\{0,\ldots,L-1\}$ 与任意 $(m,n)$，
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \chi_m}
|
||
=
|
||
\begin{cases}
|
||
j \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}, & m=\ell,\\[0.4em]
|
||
\mathbf 0, & m\neq \ell,
|
||
\end{cases}
|
||
\label{eq:A7_Jphi_cp_block}
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial \rho_{m,n}^{\mathrm{cp}}}
|
||
=
|
||
\begin{cases}
|
||
e^{j\chi_\ell}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}, & (m,n)=(\ell,p),\\[0.4em]
|
||
\mathbf 0, & (m,n)\neq(\ell,p).
|
||
\end{cases}
|
||
\label{eq:A7_Jb_cp_block}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
将所有观测块联合堆叠后，记相应 Jacobian 为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\eta}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}},
|
||
\qquad
|
||
\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}}{\partial \boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}}.
|
||
\end{equation}
|
||
于是根据 \eqref{eq:A7_FIM_general}，连续相位模型的 FIM 分块为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{cp}}
|
||
=
|
||
2\Re\left\{
|
||
(\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\eta})^{\Herm}
|
||
\mathbf R_n^{-1}
|
||
\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\eta}
|
||
\right\},
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\eta\psi}^{\mathrm{cp}}
|
||
=
|
||
2\Re\left\{
|
||
(\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\eta})^{\Herm}
|
||
\mathbf R_n^{-1}
|
||
\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi}
|
||
\right\},
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}
|
||
=
|
||
2\Re\left\{
|
||
(\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi})^{\Herm}
|
||
\mathbf R_n^{-1}
|
||
\mathbf J^{\mathrm{cp}}_{\psi}
|
||
\right\}.
|
||
\end{equation}
|
||
因此，主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 在连续相位模型下的等效 Fisher 信息矩阵为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{cp}}
|
||
-
|
||
\mathcal I_{\eta\psi}^{\mathrm{cp}}
|
||
\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{-1}
|
||
\mathcal I_{\psi\eta}^{\mathrm{cp}},
|
||
\label{eq:A7_Ieff_cp}
|
||
\end{equation}
|
||
其中上式默认 $\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}$ 在考虑的局部工作点非奇异。若由于低信噪比、零幅度块或几何退化导致干扰参数块秩亏，则数值仿真中应将 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{-1}$ 替换为 Moore--Penrose 广义逆 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{\dagger}$，并将所得结果解释为广义 EFIM。
|
||
从而其 CRB 为
|
||
\begin{equation}
|
||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||
=
|
||
\big(\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})\big)^{-1}.
|
||
\label{eq:A7_CRB_cp}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
需要强调的是，与 relaxed 情形不同，连续相位模型中的 $\{\chi_\ell\}$ 在同一卫星的多帧之间共享，而 $\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}$ 为实参数，因此其 Schur 补一般不能进一步化成逐块独立的简单投影求和式。式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 是与正文模型严格一致且最稳妥的写法。
|
||
|
||
\subsection{Known-rate/unknown-rate EFIM 关系与单星 DoA 正交性}
|
||
\label{subsec:A7_knownUnknownRateOrthogonality}
|
||
|
||
为解释 known-rate 与 unknown-rate 下 DoA bound 可能重合的现象，本小节把 Doppler-rate 干扰参数从其他幅度/相位干扰参数中单独分离出来。
|
||
记
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}
|
||
=
|
||
\Big[
|
||
\{\chi_\ell\}_{\ell=0}^{L-1},
|
||
\{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\}
|
||
\Big]^\Tran
|
||
\end{equation}
|
||
为不含 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的幅度/相位干扰参数。
|
||
若 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 已知，则先消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 known-rate EFIM 可写为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,K}}
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}^{(0)}
|
||
-
|
||
\mathcal I_{\eta\psi_0}^{(0)}
|
||
\big(\mathcal I_{\psi_0\psi_0}^{(0)}\big)^\dagger
|
||
\mathcal I_{\psi_0\eta}^{(0)},
|
||
\label{eq:A7_CP_K_EFIM}
|
||
\end{equation}
|
||
其中上标 $(0)$ 表示只按参数 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0})$ 构造的 FIM 分块。
|
||
若进一步把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则可在消去 $\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},0}$ 后，将扩展 EFIM 按 $(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,ext}}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K} & \mathbf i_{\eta\dot\nu} \\
|
||
\mathbf i_{\dot\nu\eta} & i_{\dot\nu\dot\nu}
|
||
\end{bmatrix}.
|
||
\label{eq:A7_CP_ext_EFIM_partition}
|
||
\end{equation}
|
||
于是 unknown-rate EFIM 为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{cp,U}}
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K}
|
||
-
|
||
\mathbf i_{\eta\dot\nu}
|
||
i_{\dot\nu\dot\nu}^{\dagger}
|
||
\mathbf i_{\dot\nu\eta}.
|
||
\label{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K}
|
||
\end{equation}
|
||
式~\eqref{eq:A7_CP_U_EFIM_from_K} 中的第二项不是一个必然很大的性能退化项，而是对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的 residualized score 与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的 residualized nuisance score 之间耦合程度的 accounting。
|
||
若该残差耦合很弱，则 known-rate 与 unknown-rate bound 可以非常接近。
|
||
|
||
进一步将 known-rate EFIM 和 rate-coupling 向量按 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块：
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm K}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathbf A_{\xi\xi}^{\mathrm K} & \mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K} \\
|
||
\mathbf a_{\nu\xi}^{\mathrm K} & a_{\nu\nu}^{\mathrm K}
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\qquad
|
||
\mathbf i_{\eta\dot\nu}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathbf i_{\xi\dot\nu} \\
|
||
i_{\nu\dot\nu}
|
||
\end{bmatrix}.
|
||
\label{eq:A7_CP_K_partition_xi_nu_rate}
|
||
\end{equation}
|
||
如果
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf i_{\xi\dot\nu}=\mathbf 0,
|
||
\qquad
|
||
\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}=\mathbf 0,
|
||
\label{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition}
|
||
\end{equation}
|
||
则消去 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 只会改变 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 对应的标量块，而不会改变 DoA 的 CRB 子块。
|
||
换言之，DoA 的 known-rate 与 unknown-rate CRB 完全一致。
|
||
|
||
在 single-satellite multi-frame case 中，若唯一卫星即 reference satellite，则
|
||
\begin{equation}
|
||
f_{\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
=
|
||
\nu_{\mathrm{ref}},
|
||
\qquad
|
||
f_{\dot\nu,\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
=
|
||
\dot\nu_{\mathrm{ref}}.
|
||
\label{eq:A7_ref_link_mapping_no_xi}
|
||
\end{equation}
|
||
因此 $\partial \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial x=0$ 且 $\partial \dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial x=0$ 对 $x\in\{\alpha,\beta\}$ 成立。
|
||
由式~\eqref{eq:A7_qx_cp} 可知，reference-link 的 DoA 导数不含 Doppler-mapping-induced temporal phase derivative，而只含空间阵列导向导数。
|
||
在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后，该 DoA score 的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量；相反，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差 score 仍具有沿 reference steering vector 的时间相位结构。
|
||
在标准窄带阵列流形下，二者的 Fisher 内积为零，因此式~\eqref{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} 成立。
|
||
这解释了 single-satellite multi-frame known-rate 与 unknown-rate DoA CRB 的严格重合。
|
||
|
||
在 multi-satellite case 中，非参考星通常满足
|
||
\begin{equation}
|
||
\nu_\ell
|
||
=
|
||
\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
|
||
\qquad
|
||
\dot\nu_\ell
|
||
=
|
||
\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi),
|
||
\qquad
|
||
\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}.
|
||
\end{equation}
|
||
此时 DoA 导数包含由 $\partial\Delta\nu_\ell/\partial x$ 与 $\partial\Delta\dot\nu_\ell/\partial x$ 诱导的时间相位分量。
|
||
因此，$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零，known-rate 与 unknown-rate DoA CRB 的完全相等性也不应被作为一般结论。
|
||
若数值上 multi-satellite DoA bound 仍与 known-rate benchmark 基本重合，更稳妥的解释是：在所选 representative geometry 下，DoA residual score 与 residualized Doppler-rate nuisance direction 的耦合较弱。
|
||
这一定量现象适合作为 EFIM accounting 的 sanity check，而不应升级为主要理论贡献。
|
||
|
||
\subsection{relaxed 连续相位模型下的 CRB}
|
||
|
||
沿用第~\ref{subsec:dynamicRelaxedModel} 小节中的 relaxed 连续相位处理，每个观测块的复干扰系数 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}$ 视为自由参数，即
|
||
\begin{equation}
|
||
\tilde{\mathbf y}^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||
=
|
||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}
|
||
\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
|
||
+ \tilde{\mathbf n}_{\ell,p},
|
||
\qquad
|
||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}=\zeta^{(r)}_{\ell,p}+j\zeta^{(i)}_{\ell,p}.
|
||
\end{equation}
|
||
这里模板仍然是 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，因此该模型只是放松了块复系数结构，并未放弃跨帧连续相位模板。
|
||
|
||
令扩展参数向量为
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}} \\
|
||
\dot\nu_{\mathrm{ref}}
|
||
\end{bmatrix}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\alpha \\
|
||
\beta \\
|
||
\nu_{\mathrm{ref}} \\
|
||
\dot\nu_{\mathrm{ref}}
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\end{equation}
|
||
并记
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
|
||
\triangleq
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\alpha} &
|
||
\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\beta} &
|
||
\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\ell,p,\nu} &
|
||
\mathbf d^{\mathrm{cp}}_{\dot\nu,\ell,p}
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\in\mathbb C^{M_\ell T\times 4}.
|
||
\end{equation}
|
||
则单个观测块均值
|
||
\begin{equation}
|
||
\boldsymbol\mu^{\mathrm{rel}}_{\ell,p}
|
||
=
|
||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
|
||
\end{equation}
|
||
对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}$ 的 Jacobian 为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf J^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{rel}}_{\ell,p}}{\partial \boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}}
|
||
=
|
||
\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p},
|
||
\end{equation}
|
||
对块复干扰系数的实部与虚部的 Jacobian 为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf J^{\mathrm{rel}}_{\zeta,\ell,p}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{rel}}_{\ell,p}}{\partial
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\zeta^{(r)}_{\ell,p} & \zeta^{(i)}_{\ell,p}
|
||
\end{bmatrix}^{\Tran}}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p} & j\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||
\end{bmatrix}.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
由此构造对应的 FIM 分块，并对所有块复系数执行 Schur 补，可得扩展参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}$ 的等效 Fisher 信息矩阵
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
|
||
=
|
||
2\sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1}
|
||
\frac{|\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}|^2}{\sigma_{n,\ell}^2}
|
||
\Re\left\{
|
||
\big(\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}\big)^{\Herm}
|
||
\mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}
|
||
\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
|
||
\right\},
|
||
\label{eq:A7_Ieff_rel_ext}
|
||
\end{equation}
|
||
其中
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}
|
||
\big((\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p})^{\Herm}\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}\big)^{-1}
|
||
(\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p})^{\Herm},
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}.
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
若关心的是联合参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}=[\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran},\dot\nu_{\mathrm{ref}}]^{\Tran}$ 的 CRB，则直接有
|
||
\begin{equation}
|
||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
|
||
=
|
||
\big(\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})\big)^{-1}.
|
||
\label{eq:A7_CRB_rel_ext}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
若进一步仍只把 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 视为感兴趣参数，而将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 按
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}})
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{rel}} & \mathcal I_{\eta\dot\nu}^{\mathrm{rel}} \\
|
||
\mathcal I_{\dot\nu\eta}^{\mathrm{rel}} & \mathcal I_{\dot\nu\dot\nu}^{\mathrm{rel}}
|
||
\end{bmatrix}
|
||
\end{equation}
|
||
分块，则对应的主参数等效 Fisher 信息矩阵为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\eta\eta}^{\mathrm{rel}}
|
||
-
|
||
\mathcal I_{\eta\dot\nu}^{\mathrm{rel}}
|
||
\big(\mathcal I_{\dot\nu\dot\nu}^{\mathrm{rel}}\big)^{-1}
|
||
\mathcal I_{\dot\nu\eta}^{\mathrm{rel}},
|
||
\label{eq:A7_Ieff_rel_eta}
|
||
\end{equation}
|
||
于是
|
||
\begin{equation}
|
||
\operatorname{CRB}_{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
|
||
=
|
||
\big(\mathcal I_{\mathrm e,\eta}^{\mathrm{rel}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})\big)^{-1}.
|
||
\label{eq:A7_CRB_rel_eta}
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
\subsection{EFIM 病态与 DoA--Doppler 耦合的投影机制}
|
||
\label{subsec:A7_efimIllConditioning}
|
||
|
||
式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp} 与式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 都是对完整 Fisher 信息矩阵中的
|
||
干扰参数执行 Schur 补后得到的 EFIM。本小节给出一个与具体 CP/IP 模型无关的局部线性解释，
|
||
用于说明多星场景中角度 CRB 显著改善但 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 边际 CRB 改善有限、同时 EFIM 条件数
|
||
变大的原因。
|
||
|
||
将所有观测块堆叠后的均值 Jacobian 写为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathbf J
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathbf J_{\eta} & \mathbf J_{\psi}
|
||
\end{bmatrix},
|
||
\qquad
|
||
\mathbf J_{\eta}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}},
|
||
\qquad
|
||
\mathbf J_{\psi}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{\partial\boldsymbol\mu}{\partial\boldsymbol\psi_\mu}.
|
||
\end{equation}
|
||
这里 $\boldsymbol\psi_\mu$ 表示只影响均值向量的干扰参数子集；噪声方差参数若并入完整参数，
|
||
由于与均值参数 Fisher 块解耦，不影响下面的投影解释。令
|
||
\begin{equation}
|
||
\bar{\mathbf J}_{\eta}
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf R_n^{-1/2}\mathbf J_{\eta},
|
||
\qquad
|
||
\bar{\mathbf J}_{\psi}
|
||
\triangleq
|
||
\mathbf R_n^{-1/2}\mathbf J_{\psi}
|
||
\end{equation}
|
||
为白化 Jacobian。则 Schur 补可写成
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm{e}}
|
||
=
|
||
2\Re\left\{
|
||
\bar{\mathbf J}_{\eta}^{\Herm}
|
||
\mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
|
||
\bar{\mathbf J}_{\eta}
|
||
\right\},
|
||
\qquad
|
||
\mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
|
||
=
|
||
\mathbf I-
|
||
\bar{\mathbf J}_{\psi}
|
||
\left(\bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}\bar{\mathbf J}_{\psi}\right)^{\dagger}
|
||
\bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}.
|
||
\label{eq:A7_efim_projection_interpret}
|
||
\end{equation}
|
||
因此，对任意实扰动 $\delta\boldsymbol\eta$，有
|
||
\begin{equation}
|
||
\delta\boldsymbol\eta^\Tran
|
||
\mathcal I_{\mathrm{e}}
|
||
\delta\boldsymbol\eta
|
||
=
|
||
2\left\|
|
||
\mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
|
||
\bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
|
||
\right\|_2^2.
|
||
\label{eq:A7_efim_quadratic_projection}
|
||
\end{equation}
|
||
由此得到如下判据：
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm{e}}\ \text{奇异}
|
||
\quad\Longleftrightarrow\quad
|
||
\exists\ \delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0,
|
||
\quad
|
||
\mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
|
||
\bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
|
||
=
|
||
\mathbf 0,
|
||
\label{eq:A7_exact_absorbed_direction}
|
||
\end{equation}
|
||
也即
|
||
\begin{equation}
|
||
\bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
|
||
\in
|
||
\operatorname{range}(\bar{\mathbf J}_{\psi}).
|
||
\label{eq:A7_range_absorbed_direction}
|
||
\end{equation}
|
||
近奇异情形对应于
|
||
\begin{equation}
|
||
\bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
|
||
\approx
|
||
\bar{\mathbf J}_{\psi}\delta\boldsymbol\psi,
|
||
\label{eq:A7_near_nuisance_absorption}
|
||
\end{equation}
|
||
即主参数扰动产生的一阶均值变化可以由干扰参数扰动近似表示。
|
||
|
||
为了把这种近似表示写成可度量的量，定义最小投影角
|
||
\begin{equation}
|
||
\sin^2\theta_{\min}
|
||
\triangleq
|
||
\min_{\delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0}
|
||
\frac{
|
||
\left\|
|
||
\mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
|
||
\bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
|
||
\right\|_2^2
|
||
}{
|
||
\left\|
|
||
\bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
|
||
\right\|_2^2
|
||
}.
|
||
\label{eq:A7_min_projection_angle}
|
||
\end{equation}
|
||
式~\eqref{eq:A7_efim_quadratic_projection} 表明，EFIM 在某个方向上的有效信息正比于该方向
|
||
score 在干扰子空间正交补上的残余能量。因此，当 $\theta_{\min}\approx0$ 时，
|
||
$\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他方向的信息快速增加，
|
||
则 $\kappa(\mathcal I_{\mathrm{e}})$ 会显著变大。
|
||
|
||
接下来把上述投影解释专门用于 DoA--Doppler 耦合。将 EFIM 按
|
||
$\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\mathrm{e}}
|
||
=
|
||
\begin{bmatrix}
|
||
\mathcal I_{\xi\xi} & \mathcal I_{\xi\nu} \\
|
||
\mathcal I_{\nu\xi} & \mathcal I_{\nu\nu}
|
||
\end{bmatrix}.
|
||
\label{eq:A7_efim_xi_nu_partition}
|
||
\end{equation}
|
||
若 $\boldsymbol\xi$ 已知，则参考 Doppler 的 scalar bound 为
|
||
\begin{equation}
|
||
C_{\nu}^{\mathrm{sc}}
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}.
|
||
\label{eq:A7_nu_scalar_bound}
|
||
\end{equation}
|
||
若 $\boldsymbol\xi$ 未知，则 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 Fisher 信息为
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\nu|\xi}
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\nu\nu}
|
||
-
|
||
\mathcal I_{\nu\xi}
|
||
\mathcal I_{\xi\xi}^{\dagger}
|
||
\mathcal I_{\xi\nu},
|
||
\label{eq:A7_nu_given_xi_schur}
|
||
\end{equation}
|
||
对应边际 CRB 为
|
||
\begin{equation}
|
||
C_{\nu}^{\mathrm{mar}}
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\nu|\xi}^{-1}.
|
||
\label{eq:A7_nu_marginal_bound}
|
||
\end{equation}
|
||
为遵守第~\ref{sec:assumptionsAndNotation} 节中 $\rho$ 只表示幅度的约定，这里不用 $\rho$ 表示相关系数，
|
||
而定义局部 DoA--Doppler 耦合比例
|
||
\begin{equation}
|
||
\gamma_{\xi,\nu}^{2}
|
||
\triangleq
|
||
\frac{
|
||
\mathcal I_{\nu\xi}
|
||
\mathcal I_{\xi\xi}^{\dagger}
|
||
\mathcal I_{\xi\nu}
|
||
}{
|
||
\mathcal I_{\nu\nu}
|
||
}.
|
||
\label{eq:A7_xi_nu_coupling_fraction}
|
||
\end{equation}
|
||
在 $\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 半正定且 $\mathcal I_{\nu\nu}>0$ 的正则情形下，
|
||
$0\leq\gamma_{\xi,\nu}^{2}\leq1$，并且
|
||
\begin{equation}
|
||
\mathcal I_{\nu|\xi}
|
||
=
|
||
\mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}),
|
||
\qquad
|
||
C_{\nu}^{\mathrm{mar}}
|
||
=
|
||
\frac{1}{\mathcal I_{\nu\nu}(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2})}.
|
||
\label{eq:A7_nu_info_after_coupling}
|
||
\end{equation}
|
||
于是边际化 DoA 所造成的 Doppler 标准差放大量为
|
||
\begin{equation}
|
||
\frac{\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}}
|
||
{\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}}
|
||
=
|
||
\frac{1}{\sqrt{1-\gamma_{\xi,\nu}^{2}}}.
|
||
\label{eq:A7_nu_std_inflation}
|
||
\end{equation}
|
||
这说明即使多星使 $\mathcal I_{\nu\nu}$ 增大，只要
|
||
$\mathcal I_{\nu\xi}\mathcal I_{\xi\xi}^{\dagger}\mathcal I_{\xi\nu}$ 同时较大，
|
||
Schur 补后的 $\mathcal I_{\nu|\xi}$ 仍然可能增长缓慢。
|
||
|
||
若用上标 $(L)$ 表示 $L$ 颗协作卫星下的量，则参考 Doppler 的多星边际增益可写为
|
||
\begin{equation}
|
||
G_{\nu}(L)
|
||
=
|
||
\frac{\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar},(1)}}}
|
||
{\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar},(L)}}}
|
||
=
|
||
\sqrt{
|
||
\frac{
|
||
\mathcal I_{\nu\nu}^{(L)}
|
||
\left(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(L)}\right)
|
||
}{
|
||
\mathcal I_{\nu\nu}^{(1)}
|
||
\left(1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(1)}\right)
|
||
}
|
||
}.
|
||
\label{eq:A7_multisat_nu_gain}
|
||
\end{equation}
|
||
因此，$\nu_{\mathrm{ref}}$ 的多星增益由两个因子共同决定：一个是 scalar 信息
|
||
$\mathcal I_{\nu\nu}^{(L)}$ 的能量叠加，另一个是耦合惩罚
|
||
$1-\gamma_{\xi,\nu}^{2,(L)}$。这解释了为什么两星或少数多星情形中，角度 CRB 可能因
|
||
$\mathcal I_{\xi\xi}$ 增强而明显降低，而 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 的边际 CRB 只出现温和改善。
|
||
|
||
对本文的动态连续相位模型，造成 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较大的主要来源有三类。第一，幅度与相位
|
||
干扰参数张成了与 $\mathbf g_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 和
|
||
$j\mathbf g_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}$ 相关的局部子空间，主参数导数中落在该子空间的分量会被
|
||
式~\eqref{eq:A7_efim_projection_interpret} 投影掉。第二，短观测窗口内
|
||
$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 都表现为低阶时间相位项，
|
||
$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 被作为干扰参数消去后会削弱公共 Doppler 截距方向。第三，
|
||
$\boldsymbol\xi$ 不仅通过 $\mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)$ 改变阵列流形，也通过
|
||
$\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 和 $\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 改变各星相对 Doppler，
|
||
这些几何差分项可以与公共 $\nu_{\mathrm{ref}}$ 扰动形成近线性组合。
|
||
|
||
在数值实现中，建议同时报告
|
||
$\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$、$\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}$、
|
||
$\gamma_{\xi,\nu}^{2}$、$\theta_{\min}$ 以及尺度归一化后的条件数。若
|
||
$\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{sc}}}$ 随星数增加而改善，但
|
||
$\sqrt{C_{\nu}^{\mathrm{mar}}}$ 改善有限，同时 $\gamma_{\xi,\nu}^{2}$ 较大，
|
||
则应解释为 DoA--Doppler Schur 补损失，而不是 Doppler 模板本身没有信息。
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
\subsection{周期帧窗口与 Doppler tooth ambiguity}
|
||
\label{subsec:A7_frameTimeCombTooth}
|
||
|
||
本附录前面得到的 EFIM 是局部二阶量；它默认估计点位于同一个 Doppler tooth 的局部邻域内。
|
||
为了描述全局 profile likelihood 的离散多峰结构，需要单独分析帧起始时刻集合所诱导的谱窗口。
|
||
按照表~\ref{tab:indexDimensionNotation} 的约定，$\tau_p$ 表示第 $p$ 帧起始点相对于参考时刻的离散采样偏移，
|
||
归一化角 Doppler 偏移记为 $\Delta\nu$。若只保留由帧起始时刻造成的公共相位项，则跨帧相干项可写为
|
||
\begin{equation}
|
||
W_{\mathcal P}(\Delta\nu)
|
||
\triangleq
|
||
\sum_{p\in\mathcal P}w_p\exp\{j\Delta\nu\tau_p\},
|
||
\qquad w_p\geq0.
|
||
\label{eq:A7_frame_window_general}
|
||
\end{equation}
|
||
这里 $w_p$ 可以看作在局部线性化和幅度消元后，第 $p$ 帧对 Doppler 匹配统计量的等效权重。
|
||
对于周期帧，$\tau_p=p\Delta\tau_{\mathrm{f}}$。若 $w_p$ 在短窗口内近似常数，则
|
||
\begin{equation}
|
||
W_{\mathcal P}(\Delta\nu)
|
||
\propto
|
||
\sum_{p=0}^{P-1}\exp\{j\Delta\nu p\Delta\tau_{\mathrm{f}}\}
|
||
=
|
||
\exp\left\{j\frac{(P-1)\Delta\nu\Delta\tau_{\mathrm{f}}}{2}\right\}
|
||
\frac{
|
||
\sin(P\Delta\nu\Delta\tau_{\mathrm{f}}/2)
|
||
}{
|
||
\sin(\Delta\nu\Delta\tau_{\mathrm{f}}/2)
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}.
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\label{eq:A7_frame_window_dirichlet}
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\end{equation}
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因此所有满足
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\begin{equation}
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\Delta\nu
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=
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k\Delta\nu_{\mathrm{tooth}},
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\qquad
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\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}
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\triangleq
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\frac{2\pi}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}},
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\qquad k\in\mathbb Z,
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\label{eq:A7_tooth_spacing_discrete}
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\end{equation}
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的 Doppler 偏移在帧起始点上具有相同相位。换算到物理 Doppler，利用
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$\nu=2\pi\nu^{\mathrm{Hz}}T_{\mathrm s}$，可得
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\begin{equation}
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\Delta\nu_{\mathrm{tooth}}^{\mathrm{Hz}}
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=
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\frac{1}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s}}.
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\label{eq:A7_tooth_spacing_hz}
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\end{equation}
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这解释了为什么周期多帧目标函数会出现以 $1/(\Delta\tau_{\mathrm{f}}T_{\mathrm s})$ 为间隔的
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Doppler comb branches。
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有限长度的 pilot block 破坏了这种完全等价性。令每帧保留 $T$ 个采样点，块内相关因子为
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\begin{equation}
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R_T(\Delta\nu)
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\triangleq
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\frac{1}{T}\sum_{t=0}^{T-1}\exp\{j\Delta\nu t\}
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=
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||
\frac{\exp\{j(T-1)\Delta\nu/2\}}{T}
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\frac{\sin(T\Delta\nu/2)}{\sin(\Delta\nu/2)}.
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\label{eq:A7_block_dirichlet_corr}
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\end{equation}
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于是相邻 tooth 的可分离性可由
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\begin{equation}
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D_{\mathrm{blk}}
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\triangleq
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1-
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\left|R_T(\Delta\nu_{\mathrm{tooth}})\right|^2
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\label{eq:A7_block_tooth_separation}
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\end{equation}
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度量。若 $T/\Delta\tau_{\mathrm{f}}\ll1$，则
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\begin{equation}
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D_{\mathrm{blk}}
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\approx
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1-\operatorname{sinc}^{2}\left(\frac{T}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}}\right)
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\approx
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\frac{\pi^2}{3}
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\left(\frac{T}{\Delta\tau_{\mathrm{f}}}\right)^2,
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\qquad
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\operatorname{sinc}(x)=\frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.
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\label{eq:A7_block_small_ratio_approx}
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\end{equation}
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因此，增加块长主要增强的是相邻 Doppler tooth 的块内区分度，而不是必然依赖
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$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 在单块内部产生可观测的二次相位曲率。
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该分析也解释了周期窗口与非周期 subset 的不同作用。若采用非周期子集
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$\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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\begin{equation}
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W_{\mathrm{sub}}(\Delta\nu)
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=
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\sum_{q=1}^{Q}w_q\exp\{j\Delta\nu\tau_{p_q}\}.
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\label{eq:A7_subset_frame_window}
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\end{equation}
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当 $\mathcal T_{\mathrm{sub}}$ 不再满足严格等间隔结构时，式~\eqref{eq:A7_tooth_spacing_discrete}
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给出的候选偏移不再必然同时对齐所有帧相位，因而可压低周期 comb 的旁瓣。由此可将实际求解分解为两类问题：
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非周期 subset 更适合执行 tooth acquisition，完整周期窗口则更适合在 tooth 已选对时执行同 tooth 内相干 refine。
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这也说明，wrong-tooth error 是全局 profile likelihood 的 branch 选择问题；而
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式~\eqref{eq:A7_efim_projection_interpret}--\eqref{eq:A7_nu_info_after_coupling} 描述的是给定 branch 内的局部可辨识性。
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\subsection{数值实现中的一致性检查}
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为了直接指导后续仿真，建议在实现 A7 的 CRB 时按如下顺序检查：首先按照式~\eqref{eq:A7_qx_cp}--\eqref{eq:A7_qgamma_cp} 构造每个 $(\ell,p)$ 块的解析 Jacobian，并用中心差分验证
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\begin{equation}
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\frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}}{\partial x}
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\approx
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\frac{\boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(x+\epsilon)-\boldsymbol\mu^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}(x-\epsilon)}{2\epsilon},
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\qquad
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x\in\{\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}},\chi_\ell,\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\}.
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\end{equation}
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其次，先由完整实参数 Jacobian 构造
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\begin{equation}
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\mathcal I_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}}
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=
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2\Re\{(\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}})^{\Herm}\mathbf R_n^{-1}\mathbf J_{\mathrm{full}}^{\mathrm{cp}}\},
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\end{equation}
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再按 $[\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran},\boldsymbol\psi_{\mathrm{cp},\mu}^{\Tran}]^{\Tran}$ 分块执行 Schur 补得到式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}。最后，对 relaxed 连续相位模型，应同时用完整 FIM 消元和投影式~\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 计算一次，两者应在数值精度内一致；该检查可以有效排除 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$、$\mathbf D^{\mathrm{rel}}_{\mathrm{ext},\ell,p}$、噪声方差系数和 Kronecker 堆叠顺序的实现错误。
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\subsection{关于噪声方差参数的说明}
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上面的推导默认 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已知，或者已通过预估获得。若将 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 也并入待估参数，由于本附录中的确定信号模型只通过均值向量依赖于 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$、$\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 及各类增益/相位参数，而协方差只依赖于 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$，因此噪声方差参数与均值参数在 Fisher 信息矩阵中是正交的。对第 $\ell$ 颗卫星，有
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\begin{equation}
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\big[\mathcal I(\boldsymbol\kappa)\big]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2}
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=
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\frac{M_\ell P T}{\sigma_{n,\ell}^4}.
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\end{equation}
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因此，无论在连续相位模型还是 relaxed 连续相位模型下，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量都只会在 FIM 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。
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因此，附录 A7 给出的不是新的动态模型，而是正文连续相位模型和 relaxed 连续相位处理的 Fisher 信息表达。它与 \ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕“是否保留跨帧绝对相位连续性”展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。
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