doa_doppler_est/parts/A8-crbDynPilotDoaDopperInd.tex

\section{动态 DoA--Doppler 估计在独立相位模型下的 CRB 推导}
\label{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb}

本附录仅对应第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的独立相位基线模型。这里的``独立相位''是指：每个观测块 $(\ell,p)$ 具有各自的\emph{独立未知初始相位} $\vartheta_{\ell,p}$，这些相位不再受同一颗卫星公共相位的结构约束；但它们仍是\emph{确定性未知参数}，而不是按某个先验分布生成的随机变量。因此，本附录与正文及 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 一样，采用\emph{确定性参数 CRB}，而不再引入 hybrid CRB。

主参数统一定义为
\begin{equation}
  \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}
  =
  \begin{bmatrix}
    \alpha \\
    \beta \\
    \nu_{\mathrm{ref}}
  \end{bmatrix},
  \qquad
  \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}\in\mathbb R^3,
\end{equation}
并继续将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免与正文和 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 重复，这里只保留独立相位模型对应的最小定义、导数记号与 EFIM 结构。

\subsection{沿用正文独立相位模型的最小定义与导数记号}

沿用第~\ref{subsec:independentPhaseModel} 小节中的块级独立相位建模。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义局部归一化 Doppler 为
\begin{equation}
  \bar\nu_{\ell,p}
  \triangleq
  \nu_\ell + \dot\nu_\ell\tau_p,
  \label{eq:A8_IP_baromega}
\end{equation}
其中
\begin{equation}
  \nu_\ell = f_{\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}}),
  \qquad
  \dot\nu_\ell = f_{\dot\nu,\ell}(\boldsymbol\xi,\dot\nu_{\mathrm{ref}}).
  \label{eq:A8_IP_omegagamma_map}
\end{equation}
于是独立相位模板写为
\begin{equation}
  \phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(t)
  =
  \bar\nu_{\ell,p} t + \frac{1}{2}\dot\nu_\ell t^2,
  \qquad
  t=0,\ldots,T-1.
  \label{eq:A8_IP_phase_template}
\end{equation}
对应的时间模板与空时模板分别定义为
\begin{equation}
  \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    s_p(0)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(0)} \\
    s_p(1)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(1)} \\
    \vdots \\
    s_p(T-1)e^{j\phi^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(T-1)}
  \end{bmatrix}
  \in\mathbb C^{T\times 1},
  \label{eq:A8_IP_qdef}
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
  \triangleq
  \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times 1}.
  \label{eq:A8_IP_gdef}
\end{equation}
于是向量化观测模型为
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf y}^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
  =
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}
  \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}(\boldsymbol\xi,\nu_{\mathrm{ref}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  + \tilde{\mathbf n}_{\ell,p},
  \label{eq:A8_IP_model}
\end{equation}
其中
\begin{equation}
  \tilde{\mathbf n}_{\ell,p}\sim\mathcal{CN}(\mathbf 0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell T}),
  \qquad
  \ell=0,\ldots,L-1,\qquad
  p=0,\ldots,P-1.
\end{equation}
正文 MLE 中可直接把 $\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}$ 作为自由复增益消元；本附录为了构造实参数 Fisher 信息矩阵，将其写作极坐标形式
\begin{equation}
  \zeta_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}
  =
  \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}},
  \qquad
  \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}\in\mathbb R_{\ge0}.
\end{equation}
这里的 $\vartheta_{\ell,p}$ 是第 $(\ell,p)$ 个观测块的独立未知初始相位；与连续相位模型相比，跨帧绝对相位连续性已经被这些块级相位参数吸收。

对角度参数 $x\in\{\alpha,\beta\}$，记
\begin{equation}
  \mathbf a_{\ell,x}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf a_\ell(\boldsymbol\xi)}{\partial x}.
\end{equation}
由链式法则可得
\begin{equation}
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial x}
  =
  j\left[
    \left(
      \frac{\partial \nu_\ell}{\partial x}
      +
      \tau_p\frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial x}
    \right)
    \operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)
    +
    \frac{1}{2}
    \frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial x}
    \operatorname{diag}(0^2,1^2,\ldots,(T-1)^2)
  \right]
  \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}.
  \label{eq:A8_IP_qx}
\end{equation}
又由于
\begin{equation}
  \frac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1,
  \qquad
  \frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}=1,
\end{equation}
这里同样采用正文中的加性参考星参数化；若改用一般映射，则 $\partial\nu_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}$ 与 $\partial\dot\nu_\ell/\partial\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 应替换为对应的链式法则结果。
因此
\begin{equation}
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}
  =
  j\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)\mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p},
  \label{eq:A8_IP_qomega}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}
  =
  j\left[
    \tau_p\operatorname{diag}(0,1,\ldots,T-1)
    +
    \frac{1}{2}\operatorname{diag}(0^2,1^2,\ldots,(T-1)^2)
  \right]
  \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}.
  \label{eq:A8_IP_qgamma}
\end{equation}

于是模板导数可统一写为
\begin{equation}
  \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\alpha}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \alpha}
  =
  \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_{\ell,\alpha}
  +
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \alpha}\otimes \mathbf a_\ell,
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\beta}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \beta}
  =
  \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\otimes \mathbf a_{\ell,\beta}
  +
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \beta}\otimes \mathbf a_\ell,
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\nu}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}
  =
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell,
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\dot\nu}
  \triangleq
  \frac{\partial \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}
  =
  \frac{\partial \mathbf q^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}\otimes \mathbf a_\ell.
\end{equation}
为后续紧凑书写，定义
\begin{equation}
  \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}
  \triangleq
  \begin{bmatrix}
    \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\alpha} &
    \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\beta} &
    \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\nu} &
    \mathbf d^{\mathrm{ip}}_{\ell,p,\dot\nu}
  \end{bmatrix}
  \in\mathbb C^{M_\ell T\times 4}.
  \label{eq:A8_IP_Detadotnu}
\end{equation}

\subsection{完整参数的 Fisher 信息矩阵}

定义独立相位模型的干扰参数向量为
\begin{equation}
  \boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}
  =
  \Big[
    \dot\nu_{\mathrm{ref}},
    \{\vartheta_{\ell,p}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\},
    \{\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}:\ell=0,\ldots,L-1,\ p=0,\ldots,P-1\}
  \Big]^{\Tran},
\end{equation}
并令总参数向量为
\begin{equation}
  \boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}}
  =
  \begin{bmatrix}
    \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}^{\Tran}
  \end{bmatrix}^{\Tran}.
\end{equation}
为简化书写，这里先假定 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 已知；关于未知噪声方差的情形将在附录末尾补充说明。

对任意实参数 $\kappa_i$ 与 $\kappa_j$，Fisher 信息矩阵元素统一写为
\begin{equation}
  [\mathcal I(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})]_{ij}
  =
  2\Re\left\{
    \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\Herm}(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_i}
    \mathbf R_n^{-1}
    \frac{\partial \boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})}{\partial \kappa_j}
  \right\},
  \label{eq:A8_IP_FIM_general}
\end{equation}
其中 $\boldsymbol\mu(\boldsymbol\kappa_{\mathrm{ip}})$ 为联合均值向量，$\mathbf R_n$ 为联合噪声协方差矩阵。

对单个观测块 $(\ell,p)$，其均值为
\begin{equation}
  \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
  =
  \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}.
\end{equation}
于是有
\begin{equation}
  \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial
  \begin{bmatrix}
    \alpha & \beta & \nu_{\mathrm{ref}} & \dot\nu_{\mathrm{ref}}
  \end{bmatrix}^{\Tran}}
  =
  \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}
  \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p},
  \label{eq:A8_IP_Jetadotnu_block}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \vartheta_{\ell,p}}
  =
  j\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p},
  \label{eq:A8_IP_Jphase_block}
\end{equation}
\begin{equation}
  \frac{\partial \boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}{\partial \rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}}}
  =
  e^{j\vartheta_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}.
  \label{eq:A8_IP_Jamp_block}
\end{equation}

注意到式~\eqref{eq:A8_IP_Jphase_block} 与式~\eqref{eq:A8_IP_Jamp_block} 在实参数意义下所张成的干扰子空间，等价于复向量 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 所张成的一维复子空间。因此，对每个观测块的 $(\vartheta_{\ell,p},\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})$ 执行 Schur 补后，可直接得到关于联合参数
\begin{equation}
  \begin{bmatrix}
    \boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}^{\Tran} & \dot\nu_{\mathrm{ref}}
  \end{bmatrix}^{\Tran}
\end{equation}
的块级等效 Fisher 信息矩阵：
\begin{equation}
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
  =
  2\frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_{n,\ell}^2}
  \Re\left\{
    \big(\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}\big)^{\Herm}
    \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}
    \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}
  \right\},
  \label{eq:A8_IP_FIM_block_eff}
\end{equation}
其中
\begin{equation}
  \mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}
  \triangleq
  \mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
  \big((\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p})^{\Herm}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}\big)^{-1}
  (\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p})^{\Herm},
\end{equation}
\begin{equation}
  \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}
  \triangleq
  \mathbf I_{M_\ell T}-\mathcal P_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}.
\end{equation}

对全部卫星与全部帧求和，可得
\begin{equation}
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}}
  =
  \sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1}
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext},\ell,p}
  =
  2\sum_{\ell=0}^{L-1}\sum_{p=0}^{P-1}
  \frac{(\rho_{\ell,p}^{\mathrm{ip}})^2}{\sigma_{n,\ell}^2}
  \Re\left\{
    \big(\mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}\big)^{\Herm}
    \mathcal P^{\perp}_{\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}}
    \mathbf D^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu,\ell,p}
  \right\}.
  \label{eq:A8_IP_FIM_etadotnu}
\end{equation}

\subsection{\texorpdfstring{主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的等效 Fisher 信息与 CRB}{主参数 eta_dyn 的等效 Fisher 信息与 CRB}}

若把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 也视为感兴趣参数，则
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}},\dot\nu_{\mathrm{ref}})
  =
  \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}}\big)^{-1}.
  \label{eq:A8_IP_CRB_etadotnu}
\end{equation}

若仍只把 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 作为主参数，而把 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数，则将
\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 按如下方式分块：
\begin{equation}
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{ext}}
  =
  \begin{bmatrix}
    \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\eta} & \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu} \\
    \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\eta} & \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\dot\nu}
  \end{bmatrix},
  \label{eq:A8_IP_FIM_partition}
\end{equation}
于是主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$ 的等效 Fisher 信息矩阵为
\begin{equation}
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
  =
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\eta}
  -
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\eta\dot\nu}
  \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\dot\nu}\big)^{-1}
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\dot\nu\eta},
  \label{eq:A8_IP_EFIM_eta}
\end{equation}
从而
\begin{equation}
  \operatorname{CRB}_{\mathrm{ip}}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})
  =
  \big(\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}})\big)^{-1}.
  \label{eq:A8_IP_CRB_eta}
\end{equation}

式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 给出的正是独立相位模型下，未知 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 对主参数 $(\alpha,\beta,\nu_{\mathrm{ref}})$ 的信息损失形式。与正文研究主线一致，这里的关键不在于再引入更高维动态状态，而在于比较：在相同短窗条件下，连续相位模型和独立相位模型分别能为主参数保留多少有效信息。

\subsection{与 A7 中 relaxed 连续相位结果的关系}

式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 Fisher 信息矩阵的投影型结构与 \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 relaxed 连续相位模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}：
\begin{itemize}
  \item  \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 使用的是连续相位模板 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，其中通过 $t_{p,t}=\tau_p+t$ 保留了跨帧绝对相位连续性；
  \item 本附录使用的是独立相位模板 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$，其中帧间常相位项已被 $\vartheta_{\ell,p}$ 吸收，只保留帧内局部相位演化。
\end{itemize}
因此，两类模型的差异不在 Schur 补的代数形式本身，而在模板里是否保留跨帧连续相位结构。这也正是正文中``连续相位 vs.~独立相位''对比的统计本质。

从 EFIM 病态的角度看，独立相位模型与 relaxed 连续相位模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian
\begin{equation}
  \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}
  \triangleq
  \mathbf R_n^{-1/2}
  \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}},
  \qquad
  \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}
  \triangleq
  \mathbf R_n^{-1/2}
  \frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\psi_{\mathrm{ip},\mu}},
\end{equation}
则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 等价于
\begin{equation}
  \mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{e}}
  =
  2\Re\left\{
    (\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta})^{\Herm}
    \mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}
    \bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}
  \right\}.
  \label{eq:A8_IP_EFIM_projection}
\end{equation}
因此，独立相位模型下的弱可辨识方向仍由
$\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}$
的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 relaxed 连续相位模型相比，二者的主要区别不在
Schur 补代数形式，而在 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 使用局部时间索引并允许每个
$(\ell,p)$ 块具有独立相位 $\vartheta_{\ell,p}$。这些自由相位会吸收跨帧绝对相位所携带的公共
Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 DoA--Doppler--rate 耦合，而是构成一个更保守的相干性基线。


\subsection{关于噪声方差参数的说明}

若进一步将 $\{\sigma_{n,\ell}^2\}$ 也并入待估参数，由于它们只进入协方差矩阵而不进入均值函数，因此与前述均值参数在 Fisher 信息矩阵中仍然解耦。对第 $\ell$ 颗卫星，有
\begin{equation}
  \big[\mathcal I(\cdot)\big]_{\sigma_{n,\ell}^2,\sigma_{n,\ell}^2}
  =
  \frac{M_\ell P T}{\sigma_{n,\ell}^4}.
\end{equation}
因此，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 Fisher 信息矩阵中附加一个与其他参数解耦的对角块。

至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \ref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应连续相位/relaxed 连续相位模型，本附录对应独立相位基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}$，因而可以直接比较相位连续性对 DoA--Doppler 信息保留能力的影响。