diff --git a/source/_posts/2023-04-20-josh-oap-part-1-2.md b/source/_posts/2023-04-20-josh-oap-part-1-2.md index 1ee9474..6256b97 100644 --- a/source/_posts/2023-04-20-josh-oap-part-1-2.md +++ b/source/_posts/2023-04-20-josh-oap-part-1-2.md @@ -143,11 +143,13 @@ $$\begin{equation} B_\theta(\theta) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_\theta(\theta) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right) \frac{2\pi d}{\lambda} \cos \theta} \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n \frac{2\pi d}{\lambda} \cos \theta}, \, 0 \leqslant \theta \leqslant \pi \end{equation}$$ + + $$\begin{equation} B_u(u) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_u(u) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right) \frac{2\pi d}{\lambda} u} \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n \frac{2\pi d}{\lambda} u}, \, -1 \leqslant u \leqslant 1 \end{equation}$$ -$$\begin{equation} \label{BeamPatternInDirectionCosineDomain} +$$\begin{equation} \label{BeamPatternInWavenumberDomain} B_\psi(\psi) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_\psi(\psi) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right) \psi} \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n \psi}, \, -\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda} \end{equation}$$ @@ -251,17 +253,17 @@ $$\begin{equation} # 从波束方向图获得权矢量 -  下面讨论如何从特定的方向图 $B_\psi(\psi)$ 中获得权矢量 $\vec{w}$，我们从式 $\eqref{BeamPatternInDirectionCosineDomain}$ 中的关系开始 +  下面讨论如何从特定的方向图 $B_\psi(\psi)$ 中获得权矢量 $\vec{w}$，我们从式 $\eqref{BeamPatternInWavenumberDomain}$ 中的关系开始 -$$\begin{equation} \label{ShortBeamPatternInDirectionCosineDomain} +$$\begin{equation} \label{ShortBeamPatternInWavenumberDomain} B_\psi(\psi) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_\psi(\psi) \end{equation}$$ 假设 $B_\psi(\psi)$ 是已知的，我们想确定产生这个 $B_\psi(\psi)$ 的 $\vec{w}$。由于 $\vec{w}^\mathrm{H}$ 是一个 $1 \times N$ 维的矢量，因此如果知道 $B_\psi(\psi)$ 在 $N$ 个 $\psi$ 值上的值，就可以确定 $\vec{w}$。 -  对波束方向图在 $N$ 个 $\psi_i$ 上进行采样，这里要求 $\psi_i$ 必须是不同的，但不一定是等距的，记采样点处的波束方向图的值为 $B(\psi_i)$。根据式 $\eqref{ShortBeamPatternInDirectionCosineDomain}$，有 +  对波束方向图在 $N$ 个 $\psi_i$ 上进行采样，这里要求 $\psi_i$ 必须是不同的，但不一定是等距的，记采样点处的波束方向图的值为 $B(\psi_i)$。根据式 $\eqref{ShortBeamPatternInWavenumberDomain}$，有 -$$\begin{equation} \label{ElementOfShortBeamPatternInDirectionCosineDomain} +$$\begin{equation} \label{ElementOfShortBeamPatternInWavenumberDomain} \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}(\psi_i) = B(\psi_i), \, i = 1, \cdots, N \end{equation}$$ @@ -277,7 +279,7 @@ $$\begin{equation} \vec{B} \triangleq \left[ \begin{array}{c}B(\psi_1) & \cdots & B(\psi_N)\end{array}\right] \end{equation}$$ -则式 $\eqref{ElementOfShortBeamPatternInDirectionCosineDomain}$ 可以写成 +则式 $\eqref{ElementOfShortBeamPatternInWavenumberDomain}$ 可以写成 $$\begin{matrix} \vec{w}^\mathrm{H} \vec{V}(\psi) = \vec{B} @@ -319,7 +321,7 @@ $$\begin{equation} \label{WeightVecCalculationWithAllZeroExceptMainAxis} 在式 $\eqref{WeightVecCalculation}$ 和式 $\eqref{WeightVecCalculationWithAllZeroExceptMainAxis}$ 中有两点需要强调： -1. 上述讨论已经假设 $B_\psi(\psi)$ 在式 $\eqref{ShortBeamPatternInDirectionCosineDomain}$ 中进行了定义，是由一个 $N \times 1$ 维复矢量 $\vec{w}$ 产生的。如果 $B_\psi(\psi)$ 是任意函数，且使用式 $\eqref{WeightVecCalculation}$，那么将产生一个方向图，和 $B(\psi_i), i = 1,\cdots,N$ 相匹配，但不一定和函数 $B_\psi(\psi)$ 相匹配。 +1. 上述讨论已经假设 $B_\psi(\psi)$ 在式 $\eqref{ShortBeamPatternInWavenumberDomain}$ 中进行了定义，是由一个 $N \times 1$ 维复矢量 $\vec{w}$ 产生的。如果 $B_\psi(\psi)$ 是任意函数，且使用式 $\eqref{WeightVecCalculation}$，那么将产生一个方向图，和 $B(\psi_i), i = 1,\cdots,N$ 相匹配，但不一定和函数 $B_\psi(\psi)$ 相匹配。 2. 我们是在一个均匀线阵的背景下介绍这个结果的。但是，这个推导过程适用于任意结构的 $N$ 阵元阵列。 diff --git a/source/_posts/2023-04-22-josh-oap-part-1-4.md b/source/_posts/2023-04-22-josh-oap-part-1-4.md index 8877607..10ac47e 100644 --- a/source/_posts/2023-04-22-josh-oap-part-1-4.md +++ b/source/_posts/2023-04-22-josh-oap-part-1-4.md @@ -51,7 +51,9 @@ $$\begin{equation} \vec{k} = \vec{k}_\mathrm{T} \end{equation}$$ -输出是对齐的。我们把 $\vec{k}_\mathrm{T}$ 称为**{% label primary @所调方向（steering direction） %}**或在 $k$ 空间的**{% label primary @主响应轴（main response axis） %}**。可以使用一个 $N \times N$ 的对角调向矩阵来完成这个操作 +输出是对齐的。我们把 $\vec{k}_\mathrm{T}$ 称为**{% label primary @所调方向（steering direction） %}**或在 $k$ 空间的**{% label primary @主响应轴（main response axis） %}**。可以使用一个 $N \times N$ 的对角调向矩阵（diagonal steering matrix）来完成这个操作 + + $$\begin{equation} \vec{I}_\mathrm{s}\left(\vec{k}_\mathrm{T}\right) = \left[ \begin{matrix} diff --git a/source/_posts/2023-04-24-josh-oap-part-1-5.md b/source/_posts/2023-04-24-josh-oap-part-1-5.md new file mode 100644 index 0000000..07ddc6c --- /dev/null +++ b/source/_posts/2023-04-24-josh-oap-part-1-5.md @@ -0,0 +1,151 @@ +--- +title: 'Josh''s Notes: 最优阵列处理（Part 1.5 —— 阵列性能度量）' +mathjax: true +comments: true +copyright: true +toc: + enable: true + number: true + wrap: true + expand_all: true + max_depth: 4 +tags: + - 阵列信号处理 + - 阵列性能 +categories: + - - Josh 的学习笔记 + - 最优阵列处理 + - 阵列和空域滤波器 +abbrlink: 6a7100b0 +date: 2023-04-24 11:50:37 +--- + + 有很多性能度量方法都可以用于评估一个阵列的能力，每一中度量方法都试图量化阵列的某一个重要特性，或者是阵列对信号环境的响应，或者是阵列设计的敏感度。我们已经采用了第一零点间距作为波束宽度，或频率-波数响应的分辨率的度量，也利用了均匀加权线阵的主要旁瓣水平作为一种度量。本节将讨论三个常用的阵列性能度量方法： + +1. 方向性（Directivity） +2. 对空域自噪声的阵列增益 (Array gain versus spatially white noise，$A_w$) +3. 敏感度（Sensitivity）和容错因子（Tolerance Factor） + + + +# 方向性 + +  阵列和孔径的一个常用性能度量是方向性。我们将在一般情况下给出定义，并讨论线性阵列的特殊情况。 + +## 方向性的定义 + +  定义**{% label primary @功率方向图（power pattern） %}** $P(\theta,\varphi)$ 为波束方向图 $B(\omega : \theta, \varphi)$ 幅度的平方，即 + +$$\begin{equation} + P(\theta,\varphi) = \left| B(\omega : \theta, \varphi) \right|^2 +\end{equation}$$ + +其中 $P(\theta,\varphi)$ 和频率的关系在符号表示中省略掉了。则方向性 $D$ 定义为 + +$$\begin{equation} \label{DefinitionOfDirectivity} + D = \frac{P(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T})}{ \displaystyle\frac{1}{4\pi} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \sin \theta \cdot P(\theta,\varphi) \,\mathrm{d} \varphi \,\mathrm{d} \theta} +\end{equation}$$ + +其中 $(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T})$ 是主响应轴（main response axis，MRA）的指向。 + +  对于一个发射阵列或孔径， $D$ 代表最大发射密度（每单位立体角对应的发射功率）和平均发射密度（在球面上平均）的比值。 + +  对于一个接收天线，分母代表的是阵列（或孔径）对全向噪声（在一个球内均匀分布的噪声）的输出噪声功率。分子代表的是对应从 $(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T})$ 方向入射的 +信号的功率。所以，$D$ 可以解释为是对全向噪声的阵列增益。 + +  如果假设权值做了归一化，使得 $P_n(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T}) = 1$, 则式 $\eqref{DefinitionOfDirectivity}$ 可以写成 + +$$\begin{equation} \label{NormalizedDefinitionOfDirectivity} + D = \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \sin \theta \cdot P(\theta,\varphi) \,\mathrm{d} \varphi \,\mathrm{d} \theta \right\}^{-1} +\end{equation}$$ + +对于线性阵列，有 + +$$\begin{equation} + B(\theta,\varphi) = B(\theta) +\end{equation}$$ + +则式 $\eqref{NormalizedDefinitionOfDirectivity}$ 可写为 + +$$\begin{equation} + D = \left\{ \frac{1}{2} \int_0^\pi \left| B(\theta) \right|^2 \sin \theta \,\mathrm{d} \theta \right\}^{-1} +\end{equation}$$ + +在 $u$ 空间可以表示为 + +$$\begin{equation} \label{NormalizedDefinitionOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA} + D = \left\{ \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \left| B(u) \right|^2 \,\mathrm{d} u \right\}^{-1} +\end{equation}$$ + +通常，这个表达式必须用数值的方法计算。 + +  利用 [$u$ 空间的波束方向图的表达式][], 式 $\eqref{NormalizedDefinitionOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 中的表达式可以利用阵列的权值写成 + +$$\begin{equation} + D = \left\{ \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \sum_{n=0}^{N-1}w_n^\ast e^{jn\left( \frac{2\pi d}{\lambda} \right) \left( u - u_\mathrm{T} \right)} \sum_{m=0}^{N-1} w_m e^{-jm\left( \frac{2\pi d}{\lambda} \right) \left( u - u_\mathrm{T} \right)} \,\mathrm{d} u \right\}^{-1} +\end{equation}$$ + +其中 $u_\mathrm{T}$ 是 $u$ 空间内的阵列的所调方向。交换积分和求和的顺序，并积分，得到 + +$$\begin{equation} \label{ResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA} + D = \left\{ \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} w_m w_n^\ast e^{j \left( \frac{2\pi d}{\lambda} \right) (m-n) u_\mathrm{T} } \mathrm{sinc} \left( \frac{2\pi d}{\lambda} (n-m)\right) \right\}^{-1} +\end{equation}$$ + +定义几个矩阵以得到一个简洁的表达式。定义 $\overrightarrow{\mathrm{sinc}}$ 矩阵的第 $n,m$ 个元素为 + +$$\begin{equation} + \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right]_{nm} \triangleq \mathrm{sinc} \left( \frac{2\pi d}{\lambda} (n-m)\right) +\end{equation}$$ + +[对角调向矩阵][] 在 $u$ 空间的表示形式为 + +$$\begin{equation} + \vec{I}_{\mathrm{s}u} = \mathrm{diag}\left( 1, e^{j \frac{2\pi d}{\lambda}u_\mathrm{T}} , e^{j \frac{2\pi d}{\lambda} 2u_\mathrm{T}}, \cdots, , e^{j \frac{2\pi d}{\lambda}(N-1)u_\mathrm{T}} \right) +\end{equation}$$ + +则 + +$$\begin{equation} + D = \vec{I}_{\mathrm{s}u} \vec{w}^\mathrm{H} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right] \vec{w} \vec{I}_{\mathrm{s}u}^\mathrm{H} +\end{equation}$$ + +通常，调向运算在权值矢量中包含[^1] + +$$\begin{equation} + \vec{w}_\mathrm{s} = \vec{w}\vec{I}_{\mathrm{s}u}^\mathrm{H} +\end{equation}$$ + +则 + +$$\begin{equation} + D = \vec{w}_\mathrm{s}^\mathrm{H} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right] \vec{w}_\mathrm{s} +\end{equation}$$ + +## 标准线阵的情况 + +  标准线阵（standard linear array）是我们所感兴趣的一个特殊情况。如果 $d = \lambda/2$，则式 $\eqref{ResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 简化为 + +$$\begin{equation} \label{SimplifiedResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA} + D = \left\{ \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} w_m w_n^\ast e^{j \pi (m-n) u_\mathrm{T} } \mathrm{sinc} \left( \pi (n-m)\right) \right\}^{-1} +\end{equation}$$ + +当 $m = n$ 时，$\mathrm{sinc}$ 函数等于 1，当 $m \ne n$ 时，$\mathrm{sinc}$ 函数等于 0。所以式 $\eqref{SimplifiedResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 简化为 + +$$\begin{equation} + D = \left\{ \sum_{n=0}^{N-1} \left| w_n \right|^2 \right\} = \left( \vec{w}^\mathrm{H}\vec{w} \right)^{-2} = \left\{ \left\| \vec{w} \right \|^2 \right\}^{-1} +\end{equation}$$ + +其中 + +$$\begin{equation} + \left\| \vec{w} \right \| = \left( \vec{w}^\mathrm{H}\vec{w} \right)^{\frac{1}{2}} +\end{equation}$$ + +是矢量 $\vec{w}$ 的 2-模。 + +  所以一个标准线阵的方向性是权值矢量幅度平方的倒数。方向性不依赖于阵列的指向。当阵列指向从阵列的正侧向移开时，波束变宽，但是 $\varphi$ 的积分范围减小了 + +[$u$ 空间的波束方向图的表达式]: https://josh-gao.top/posts/de20fd09.html#BeamPatternInDirectionCosineDomain +[对角调向矩阵]: https://josh-gao.top/posts/c2604c43.html#DiagonalSteeringMatrix + +[^1]: 在大多数情况下，我们去掉下标 “$s$”，因为假设 $\vec{w}$ 是包含调向的。