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 即一个子空间加上一个偏移。与仿射集合 $C$ 相关联的子空间 $V$ 与 $x_0$ 的选取无关，所以 $x_0$ 可以是 $C$ 中的任意一点。定义仿射集合 $C$ 的维数为子空间 $V = C - x_0$ 的维数，其中 $x_0$ 是 $C$ 中的任意元素。
 
+> **举例** **线性方程组的解集**。线性方程组的解集 $C = \{x\ |\ Ax= b\}$，其中 $A\in\bfR^{m\times n}$，$b \in \bfR^{m}$ 是一个仿射集合。为说明这点，设 $x_1,x_2\in C$，即 $Ax_1 = b, Ax_2 = b$。则对于任意 $\theta$，有
+>
+> $$\begin{aligned}
+>  A(\theta x_1 + (1-\theta)x_2) &= \theta Ax_1 + (1-\theta)Ax_2 \\
+>  &= \theta b + (1-\theta)b \\
+>  &= b
+> \end{aligned}$$
+>
+> 这表明任意的仿射组合 $\theta x_1 + (1-\theta)x_2$ 也在 $C$ 中，并且与仿射集合 $C$ 相关联的子空间就是 $A$ 的零空间。
+>
+> 反之任意仿射集合可以表示为一个线性方程组的解集。
+
   由集合 $C \subseteq \bfR^n$ 中的点的所有仿射组合组成的集合称为 $C$ 的**仿射包**（*affine hull*），记为 $\aff{C}$：
 
 $$
@@ -99,7 +111,7 @@ $$
 
   集合 $C$ 的仿射维数定义为其仿射包的维数。仿射维数在凸分析及凸优化中十分有用，但它与其他维数的定义常常不相容。
 
-> **举例** 考虑 $\bfR^2$ 上的单位圆环 $\left\{x\in\bfR^2\middle| x_1^2 + x_2^2 = 1 \right\}$。它的仿射包是全空间 $\bfR^2$，所以其仿射维数为 $2$。但是，在其他大多数维数的定义下，$\bfR^2$ 上的单位圆环的维数为 $1$。
+> **举例** 考虑 $\bfR^2$ 上的单位圆环 $\left\{x\in\bfR^2\ \middle|\ x_1^2 + x_2^2 = 1 \right\}$。它的仿射包是全空间 $\bfR^2$，所以其仿射维数为 $2$。但是，在其他大多数维数的定义下，$\bfR^2$ 上的单位圆环的维数为 $1$。
 
   如果集合 $C \subseteq \bfR^n$ 的仿射维数小于 $n$，那么这个集合在仿射集合 $\aff C \ne \bfR^n$ 中。定义集合 $C$ 的**相对内部**（*relative interior*）为 $\aff C$ 的内部，记为 $\relint C$，即
 
@@ -109,31 +121,46 @@ $$
 
 其中 $B(x,r) = \left\{ y\ \middle|\ \left\| y-x \right\| \leqslant r \right\}$，即半径为 $r$，中心为 $x$ 并由范数 $\| \cdot \|$ 定义的球（这里的 $\| \cdot \|$ 可以是任意范数，并且所有范数定义了相同的相对内部）。于是可以定义集合 C 的**相对边界**（*relative boundary*）为 $\cl C\ \backslash \relint C$，此处 $\cl C$ 表示 $C$ 的闭包。
 
+> **举例** 考虑 $\bfR^3$ 中处于 $(x_1，x_2)$ 平面的一个正方形，定义
+>
+> $$
+> C = \{x \in \bfR \ |\ -1\leqslant 1, -1\leqslant x_2\leqslant 1, x_3 = 0\}
+> $$
+>
+> 其仿射包为 $(x_1,x_2)$-平面，即 $\aff C = \{x\in\bfR^3\ |\ x_3 = 0 \}$。$C$ 的内部为空，但其相对内部为
+>
+> $$
+> \relint C = \{x\in\bfR^3\ |\  -1<x_1<1,-1<x_2<1,x_3 = 0\}
+> $$
+>
+> $C$（在 $\bfR^3$ 中）的边界是其自身，而相对边界是其边框，
+>
+> $$
+> \{x \in \bfR^3\ |\ \max\{|x_1|,|x_2|\} = 1,x_3 = 0\}
+> $$
+
 # 4. 凸集
 
-&emsp;&emsp;集合 $C$ 被称为**凸集**（*convex set*），如果 $C$ 中任意两点间的线段仍然在 $C$ 中，即对与任意 $x_1, x_2 \in C$ 和满足 $0 \leqslant \theta \leqslant 1$ 的 $\theta$ 都有
+&emsp;&emsp;集合 $C$ 被称为**凸集**（*convex set*），如果 $C$ 中任意两点间的线段仍然在 $C$ 中，即对于任意 $x_1, x_2 \in C$ 和满足 $0 \leqslant \theta \leqslant 1$ 的 $\theta$ 都有
 
 $$
 \theta x_1 + (1-\theta)x_2 \in C
 $$
 
-粗略地看，如果集合中的每一点都可以被其他点沿着它们之间一条无阻碍的路径看见，那
-么这个集合就是凸集。所谓无阻碍，是指整条路径都在集合中。由于仿射集包含穿过集
-合中任意不同两点的整条直线，任意不同两点间的线段自然也在集合中。因而仿射集是
-凸集。[图 2](#图2) 显示了 $\bfR^2$ 空间中一些简单的凸和非凸集合。
+粗略地看，如果集合中的每一点都可以被其他点沿着它们之间一条无阻碍的路径看见，那么这个集合就是凸集。所谓无阻碍，是指整条路径都在集合中。由于仿射集包含穿过集合中任意不同两点的整条直线，任意不同两点间的线段自然也在集合中。因而仿射集是凸集。[图 2](#图2) 显示了 $\bfR^2$ 空间中一些简单的凸和非凸集合。
 
 <a id="图2"></a>
 
 ![图 2. 一些简单的凸和非凸集合。**左**：包含其边界的六边形是凸的。**中**：肾形集合不是凸的，因为图中所示集合中两点间的线段不为集合所包含。**右**：仅包含部分边界的正方形不是凸的。](../images/post/2022-03-29-josh-cvx-1-1/2022-03-29-josh-cvx-1-1-020-SomeSimpleConvexAndNonconvexSets.png){width=1000px}
 
-&emsp;&emsp;集合 $C$ 中所有点的凸组合的集合称为集合 $C$ 的凸包，记为 $\conv C$：
-
-顾名思义，凸包 $\conv C$ 总是凸的。它是包含 $C$ 的最小的凸集。也就是说，如果 $B$ 是包含 $C$ 的凸集，那么 $\conv C \subsetneq B$。[图 3](#图3) 展示了凸包的定义。
+&emsp;&emsp;集合 $C$ 中所有点的凸组合的集合称为集合 $C$ 的**凸包**（*convex hull*），记为 $\conv C$：
 
 $$
 \conv C = \left\{ \theta_1 x_1 + \cdots + \theta_k x_k\ \middle|\ x_i \in C, \theta_i \geqslant 0, i = 1,\cdots, k, \theta_1 + \cdots + \theta_k = 1 \right\}
 $$
 
+顾名思义，凸包 $\conv C$ 总是凸的。它是包含 $C$ 的最小的凸集。也就是说，如果 $B$ 是包含 $C$ 的凸集，那么 $\conv C \subseteq B$。[图 3](#图3) 展示了凸包的定义。
+
 <a id="图3"></a>
 
 ![图 3. $\bfR^2$ 上两个集合的凸包。**左**：（如图所示的）十五个点的集合的凸包是一个五边形示）。**右**：[图 2](#图2) 中的肾形集合的凸包是阴影所示的集合。](../images/post/2022-03-29-josh-cvx-1-1/2022-03-29-josh-cvx-1-1-030-TheConvexHullsOfTwoSets.png){width=800px}

source/_posts/2024-06-08-josh-cvx-1-3.md

@@ -47,6 +47,8 @@ $  本文将描述一些保凸运算，利用保凸运算可以使用
 >
 > 实际上就是 $\bfS^n$ 的半空间。由此，半正定锥是无穷个半空间的交集，因此是凸的。
 
+<!-- more -->
+
 > **举例** &emsp;考虑集合
 >
 > $$\begin{equation}\label{example2.8}