update post, josh-oap-1-4
This commit is contained in:
@@ -95,13 +95,17 @@ $$\begin{equation}
|
||||
|
||||
  均匀加权线阵的波束方向图为
|
||||
|
||||
$$\begin{align}
|
||||
&\theta 空间: && B_\theta(\theta) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(\frac{N}{2} \cdot \frac{2\pi}{\lambda} \cos \theta \cdot d \right)}{\sin \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{\lambda} \cos\theta \cdot d\right)}, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant \pi \\
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
B_\theta(\theta) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(\frac{N}{2} \cdot \frac{2\pi}{\lambda} \cos \theta \cdot d \right)}{\sin \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{\lambda} \cos\theta \cdot d\right)}, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant \pi \\
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
&u 空间: && B_u(u) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(\frac{ \pi Nd}{\lambda} u \right)}{\sin \left( \frac{N d}{\lambda} u\right)}, \quad -1 \leqslant u \leqslant 1 \label{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain} \\
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
B_u(u) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(\frac{ \pi Nd}{\lambda} u \right)}{\sin \left( \frac{N d}{\lambda} u\right)}, \quad -1 \leqslant u \leqslant 1 \label{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
&\psi 空间: &&B_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(N\frac{\psi}{2}\right)}{\sin \left( \frac{\psi}{2} \right)}, \quad -\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda} \label{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}
|
||||
\end{align}$$
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
B_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(N\frac{\psi}{2}\right)}{\sin \left( \frac{\psi}{2} \right)}, \quad -\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda} \label{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
其中定义域分别为 $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$、$-1 \leqslant u \leqslant 1$ 和 $-\displaystyle\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda}$，称为**{% label primary @可视区域（visible region） %}**。
|
||||
|
||||
@@ -141,7 +145,7 @@ $$\begin{align}
|
||||
|
||||
## 半功率波束宽度
|
||||
|
||||
为了说明前两个参数，考虑在[图 1-3-5](#fig.1-3-5) 中给出的原点附近的波束方向图。
|
||||
  为了说明前两个参数，考虑在[图 1-3-5](#fig.1-3-5) 中给出的原点附近的波束方向图。
|
||||
|
||||
<a id="fig.1-3-5"></a>
|
||||
|
||||
@@ -155,11 +159,13 @@ $$\begin{equation}
|
||||
|
||||
即有
|
||||
|
||||
$$\begin{equation} \label{DefinitionOfHPBW}
|
||||
<a id="ApproximationOfHPBW"></a>
|
||||
|
||||
$$\begin{equation} \label{ApproximationOfHPBW}
|
||||
\Delta u_1 = 0.891 \frac{\lambda}{N d}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
我们把这个间隔称为**{% label primary @半功率波束宽度（half-power beamwidth，HPBW） %}**。当 $N$ 增加时，式 $\eqref{DefinitionOfHPBW}$ 中的常系数会稍稍减小。对于 $N > 30$，$0.886 \lambda/Nd$ 是一个更好的近似表达式。
|
||||
我们把这个间隔称为**{% label primary @半功率波束宽度（half-power beamwidth，HPBW） %}**。当 $N$ 增加时，式 $\eqref{ApproximationOfHPBW}$ 中的常系数会稍稍减小。对于 $N > 30$，$0.886 \lambda/Nd$ 是一个更好的近似表达式。
|
||||
|
||||
  [表 1-3-1](#table.1-3-1) 中列出了不同空间内 HPBW 的表达式。
|
||||
|
||||
@@ -328,3 +334,8 @@ $$\begin{equation}
|
||||
在时间序列分析中，当对时域波形欠采样时，会出现混迭问题。栅瓣的问题和时域混迭问题是等同的。
|
||||
|
||||
{% endnote %}
|
||||
|
||||
# 参考文献
|
||||
|
||||
1. Van Trees, Harry L. *Optimum array processing: Part IV of detection, estimation, and modulation theory.* John Wiley & Sons, 2002.
|
||||
2. Van Trees, Harry L, 汤俊. *最优阵列处理技术.* 清华大学出版社. 2008.
|
||||
|
||||
@@ -33,7 +33,7 @@ date: 2023-04-22 18:17:52
|
||||
|
||||
<a id="fig.1-4-1"></a>
|
||||
|
||||
{width=800px}
|
||||
{width=700px}
|
||||
|
||||
  [1.2 节][]开头的简单例子说明了把阵列调向某个特定方向的主要思想，调向在波数空间的影响是很直接的。考虑[图 1-4-1](#fig.1-4-1) 中的处理器，输入到调向环节的基函数为
|
||||
|
||||
@@ -92,18 +92,109 @@ $$\begin{equation}
|
||||
|
||||
  线性阵列的常规波束方向图为
|
||||
|
||||
$$\begin{align}
|
||||
&\psi 空间：&&\quad B_{\psi\mathrm{c}}\left( \psi : \psi_\mathrm{T} \right) = \frac{1}{N} \vec{v}_\psi^\mathrm{H} \left(\psi_\mathrm{T}\right) \vec{v}_\psi\left(\psi\right) \\
|
||||
&u 空间：&&\quad B_{u\mathrm{c}}\left( u : u_\mathrm{T} \right) = \frac{1}{N} \vec{v}_u^\mathrm{H} \left(u_\mathrm{T}\right) \vec{v}_u\left(u\right) \\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
B_{\psi\mathrm{c}}\left( \psi : \psi_\mathrm{T} \right) = \frac{1}{N} \vec{v}_\psi^\mathrm{H} \left(\psi_\mathrm{T}\right) \vec{v}_\psi\left(\psi\right)
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
B_{u\mathrm{c}}\left( u : u_\mathrm{T} \right) = \frac{1}{N} \vec{v}_u^\mathrm{H} \left(u_\mathrm{T}\right) \vec{v}_u\left(u\right)
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
对于均匀线性阵列，有
|
||||
|
||||
$$\begin{align}
|
||||
&\psi 空间：&&\quad B_{\psi\mathrm{c}}\left( \psi : \psi_\mathrm{T} \right) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N \frac{\psi-\psi_\mathrm{T}}{2} \right)}{\sin\left(\frac{\psi-\psi_\mathrm{T}}{2} \right)} \\
|
||||
&u 空间：&&\quad B_{u\mathrm{c}}\left( u : u_\mathrm{T} \right) = \frac{1}{N} \vec{v}_u^\mathrm{H} \left(u_\mathrm{T}\right) \vec{v}_u\left(u\right) \\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
B_{\psi\mathrm{c}}\left( \psi : \psi_\mathrm{T} \right) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N \frac{\psi-\psi_\mathrm{T}}{2} \right)}{\sin\left(\frac{\psi-\psi_\mathrm{T}}{2} \right)} \label{SteeredBeamPatternInWavenumberDomain}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
B_{u\mathrm{c}}\left( u : u_\mathrm{T} \right) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left[ \frac{\pi Nd}{\lambda} (u - u_\mathrm{T}) \right]}{\sin\left[ \frac{\pi d}{\lambda} (u - u_\mathrm{T}) \right]} \label{SteeredBeamPatternInDirectionCosineDomain}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
式 $\eqref{SteeredBeamPatternInWavenumberDomain}$ 或式 $\eqref{SteeredBeamPatternInDirectionCosineDomain}$ 均对应方向图的平移，其形状并没有改变。这种没有畸变的平移性质是在 $\psi$ 空间或 $u$ 空间处理的众多优点之一。
|
||||
|
||||
  当我们对阵列调向，并使得主响应轴对准 $\bar{\theta}_0$ 时，其中 $\bar{\theta}_0$ 是从正侧向（broadside）测得的角度，波束方向图发生平移，使得中心峰值位于 $u_0 = \sin\bar{\theta}_0$。这个平移也使得栅瓣发生移动。
|
||||
|
||||
  [图 1-4-2](#fig.1-4-2) 说明了调向对波束方向图的影响。[图 1-4-2(a)](#fig.1-4-2) 给出了 $d=2\lambda/3$ 和 $\bar\theta = 30^\circ$ 时的波束方向图。我们看到，在这种调向的情况下，栅瓣位于可视区域的边缘。
|
||||
|
||||
<a id="fig.1-4-2"></a>
|
||||
|
||||
{width=1000px}
|
||||
|
||||
  [图 1-4-2(b)](#fig.1-4-2) $d=\lambda/2$ 和 $\bar\theta = 90^\circ$ 的波束方向图。栅瓣同样位于可视区域的边缘。
|
||||
|
||||
  通常，为了避免栅瓣进入可视区域，需要
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\frac{d}{\lambda} \leqslant \frac{1}{1 + \left| \sin\bar\theta_{\max} \right|}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
其中， $\bar\theta_{\max}$ 是阵列将要调向的最大角度。这个结果是令 $\bar\theta_\mathrm{T} = \bar\theta_{\max}$, 计算第一个栅瓣的位置和 $\frac{d}{\lambda}$ 的关系而得到的。所以，如果阵列需要的调向为 $-90^\circ \leqslant \bar\theta \leqslant 90^\circ$ 需要
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
d \leqslant \frac{\lambda}{2}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
研究在 $\psi$ 空间或 $u$ 空间的特性是很有用的。但是，必须要注意信号实际是从 $(\theta, \varphi)$ 空间产生的，我们需要理解在这个空间的特性，这一点很重要。
|
||||
|
||||
  在 $\theta$ 空间（即角度空间），有
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
B_{\theta\mathrm{c}}\left( \theta : \theta_\mathrm{T} \right) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left[ \frac{\pi Nd}{\lambda} (\cos\theta - \cos\theta_\mathrm{T}) \right]}{\sin\left[ \frac{\pi d}{\lambda} (\cos\theta - \cos\theta_\mathrm{T}) \right]} \label{SteeredBeamPatternInAngleDomain}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
我们在 $\theta$ 空间画出 $B_{\theta\mathrm{c}}$，由于和 $\theta$ 的关系，方向图的形状将随之发生改变。[图 1-4-3](#fig.1-4-3) 给出了 $\theta_\mathrm{T}$ 和 $d=\lambda/2$ 的波束方向图。把这个方向图和[图 1-3-3][] 中的方向图进行比较，
|
||||
可以看到主波束的波束宽度有所增加。
|
||||
|
||||
<a id="fig.1-4-3"></a>
|
||||
|
||||
{width=800px}
|
||||
|
||||
  为了研究在 $\theta$ 空间的半功率带宽情况，我们采用式 $\eqref{SteeredBeamPatternInAngleDomain}$ 和 [$N \geqslant 10$ 时半功率带宽的估算式][]。在 $u$ 空间的左右半功率点分别为
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
u_\mathrm{L} = u_\mathrm{T} - 0.450 \frac{\lambda}{Nd}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
u_\mathrm{R} = u_\mathrm{T} + 0.450 \frac{\lambda}{Nd}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
或在 $\theta$ 空间（$\theta_\mathrm{L}$ 对应 $u_\mathrm{R}$，$\theta_\mathrm{R}$ 对应 $u_\mathrm{L}$）有
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\cos\theta_\mathrm{R} = \theta_\mathrm{T} - 0.450 \frac{\lambda}{Nd}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
$$\begin{equation} \label{LeftHalfPowerPointInAngleDomain}
|
||||
\cos\theta_\mathrm{L} = \theta_\mathrm{T} + 0.450 \frac{\lambda}{Nd}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
所以，对于 $0 \leqslant \theta \leqslant pi$，$\theta_\mathrm{L}, \theta_\mathrm{R} \geqslant 0$，在 $\theta$ 空间的半功率波束宽度为
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\theta_\mathrm{H} = \theta_\mathrm{R} - \theta_\mathrm{L} = \cos^{-1} \left[ \cos\theta_\mathrm{T} - 0.450 \frac{\lambda}{Nd} \right] - \cos^{-1} \left[ \cos\theta_\mathrm{T} + 0.450 \frac{\lambda}{Nd} \right]
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
  除了当 $\theta_\mathrm{T} = 0$ 或 $\pi$（端射，endfire，信号入射方向与阵元排布方向平行）的情况，$\theta_\mathrm{L}$ 定义为最接近 $\theta = 0$ 的半功率点。当波束从正侧向（$\theta_\mathrm{T} = \pi/2$）调向 $z$ 轴的正半轴（端射，$\theta_\mathrm{T} = 0$）时，波束变宽。在某点上，如式 $\eqref{LeftHalfPowerPointInAngleDomain}$
|
||||
中所示，$\theta_\mathrm{L}$ 等于 0。在该点以外，在波束的那一边再没有半功率点。 Elliott[^1] 把这个点称为扫描极限（scan limit）。
|
||||
|
||||
{width=1000px}
|
||||
|
||||
  当波束调向到正侧向的附近（$\bar{\theta}_\mathrm{T}$ 的值很小）且 $Nd \gg \lambda$ 时，$\theta_\mathrm{H}$ 很小，利用小角度展开形式得到
|
||||
|
||||
$$\begin{equation}
|
||||
\theta_\mathrm{H} \approx 0.891 \frac{\lambda}{Nd} \sec \bar\theta_\mathrm{T}
|
||||
\end{equation}$$
|
||||
|
||||
# 参考文献
|
||||
|
||||
1. Van Trees, Harry L. *Optimum array processing: Part IV of detection, estimation, and modulation theory.* John Wiley & Sons, 2002.
|
||||
2. Van Trees, Harry L, 汤俊. *最优阵列处理技术.* 清华大学出版社. 2008.
|
||||
|
||||
[1.1 节]: https://josh-gao.top/posts/8b61f5a7.html
|
||||
[1.2 节]: https://josh-gao.top/posts/de20fd09.html
|
||||
[1.3 节]: https://josh-gao.top/posts/aa32ec76.html
|
||||
[图 1-3-3]: https://josh-gao.top/posts/aa32ec76.html#fig.1-3-3
|
||||
[$N \geqslant 10$ 时半功率带宽的估算式]: https://josh-gao.top/posts/aa32ec76.html#ApproximationOfHPBW
|
||||
|
||||
[^1]: R. S. Elliott. *Antenna Theory and Design.* Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1981.
|
||||
|
||||
Reference in New Issue
Block a user