update post, josh-oap-1-5
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@@ -78,6 +78,8 @@ y(t) = \sum_{n=0}^{N-1} \int_{-\infty}^{\infty} h_n (t-\tau)f_n\left(\tau,\vec{p
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这个结果可以用矢量符号表示为（即将标量结果向矢量模型进行直接扩展，a straightforward extension of scalar results to the vector model）
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<a id="VectorFormOfLinearArrayOutputInTimeDomain"></a>
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$$\begin{equation} \label{VectorFormOfLinearArrayOutputInTimeDomain}
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y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \vec{h}^\mathrm{T} (t-\tau) \vec{f}\left(\tau,\vec{p}\right) \mathrm{d} \tau
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\end{equation}$$
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@@ -426,6 +428,8 @@ $$\begin{equation}
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式 $\eqref{ComplexWeightVector}$ 中的定义等价于
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<a id="NarrowBandComplexWeightVector"></a>
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$$\begin{equation}
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\vec{w}^\mathrm{H} = \vec{H}^\mathrm{T}(\omega_c)
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\end{equation}$$
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@@ -223,7 +223,7 @@ $$\begin{equation}
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{% endnote %}
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  [表 1-3-1](#table.1-3-1)中列出了在各个不同空间表示出的 $BW_{NN}$。
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  [表 1-3-2](#table.1-3-2)中列出了在各个不同空间表示出的 $BW_{NN}$。
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<a id="table.1-3-2"></a>
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@@ -125,11 +125,11 @@ $$\begin{equation}
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  标准线阵（standard linear array）是我们所感兴趣的一个特殊情况。如果 $d = \lambda/2$，则式 $\eqref{ResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 简化为
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$$\begin{equation} \label{SimplifiedResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}
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$$\begin{equation} \label{IntermediateResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}
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D = \left\{ \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} w_m w_n^\ast e^{j \pi (m-n) u_\mathrm{T} } \mathrm{sinc} \left( \pi (n-m)\right) \right\}^{-1}
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\end{equation}$$
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当 $m = n$ 时，$\mathrm{sinc}$ 函数等于 1，当 $m \ne n$ 时，$\mathrm{sinc}$ 函数等于 0。所以式 $\eqref{SimplifiedResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 简化为
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当 $m = n$ 时，$\mathrm{sinc}$ 函数等于 1，当 $m \ne n$ 时，$\mathrm{sinc}$ 函数等于 0。所以式 $\eqref{IntermediateResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 简化为
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$$\begin{equation}
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D = \left\{ \sum_{n=0}^{N-1} \left| w_n \right|^2 \right\} = \left( \vec{w}^\mathrm{H}\vec{w} \right)^{-2} = \left\{ \left\| \vec{w} \right \|^2 \right\}^{-1}
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@@ -137,7 +137,7 @@ $$\begin{equation}
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其中
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$$\begin{equation}
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$$\begin{equation} \label{SimplifiedResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}
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\left\| \vec{w} \right \| = \left( \vec{w}^\mathrm{H}\vec{w} \right)^{\frac{1}{2}}
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\end{equation}$$
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@@ -191,7 +191,171 @@ $$\begin{equation}
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此即为我们想要得到的结果。
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{% note info %}
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对于非均匀加权的情况，阵列的方向性总是减小的。它是以半波长度量的阵列长度的函数，加上一个由于非均匀加权而产生的部分。
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{% endnote %}
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  一个标准均匀加权线阵的方向性可以和 HPBW，或者和第一零点波束宽度相联系起来。根据[各个空间的第一零点波束宽度表][], 有
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$$\begin{equation} \label{DirectivityOfStandardUWLA}
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D = \frac{4}{BW_{NN}}
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\end{equation}$$
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其中，$BW_{NN}$ 是在 $u$ 空间的值。注意式 $\eqref{DirectivityOfStandardUWLA}$ 适用于一个均匀加权的阵列。对于其他的加权形式，式 $\eqref{DirectivityOfStandardUWLA}$ 可能是不成立的。
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  我们经常用 dB 来表示方向性，并称之为**{% label primary @方向性指数（directivity index） %}**：
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$$\begin{equation}
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DI = 10 \log_{10} D
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\end{equation}$$
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可以把 $DI$ 写成
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$$\begin{equation}
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DI = 10 \log_{10} N + 10 \log_{10}(g(\vec{w}))
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\end{equation}$$
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其中的第二项是权值的函数。对于任意的非均匀加权（$w_n \ne N^{-1}$），$DI$ 将会减小。
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# 对空域白噪声的阵列增益（$A_\omega$）
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  阵列处理的一个目标是通过相干地累加信号和不相干地累加噪声来改善信**{% label primary @信号噪声比（signal-to-noise ratio，SNR） %}**。改善的程度是用阵列增益来度量的。这是阵列性能的一个重要度量，我们将在后面深入地讨论这个问题。直到介绍了谱协方差矩阵（这是一个用于描述噪声过程的空域特性的统计性概念），我们才给出阵列增益的一般性定义。但在这里，我们给出阵列增益的一个应用范围受限的定义。
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  假设每个阵元的输入由一个从主响应轴入射的平面波加上一个噪声过程组成，各阵元的噪声过程是不相关的（空域白噪声）。所以，有
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$$\begin{equation}
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x_n (t) = f(t - \tau_n) + n_n(t), \quad n = 0,\cdots,N-1
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\end{equation}$$
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在每个阵元，在频率 $w$ 上信号谱和噪声谱的比值为
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$$\begin{equation} \label{InputSNRAtCertainFreq}
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\mathrm{SNR}_\mathrm{in} (\omega) = \frac{S_f(\omega)}{S_n (\omega)}
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\end{equation}$$
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其中的下标 “$\mathrm{in}$” 表示输入，假设每个传感器的噪声谱是相等的。
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  为了确定由信号和噪声产生的输出，我们需要一个用于描述输出谱的表达式，该式用波束形成器的权值和输入谱矩阵表示。根据[阵列输出的向量形式][]的表达式, 有
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$$\begin{equation} \label{ArrayOutput}
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y(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \vec{h}^\mathrm{T} (\tau) \vec{x}\left(t - \tau\right) \mathrm{d} \tau
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\end{equation}$$
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假设 $x(t)$ 是零均值宽平稳的。输出 $y(t)$ 的相关函数为
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$$\begin{equation} \label{CorrelationOfArrayOutput}
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R_{y}(\tau) = E[y(t)y^\ast(t-\tau)]
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\end{equation}$$
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$y(t)$ 的谱为
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$$\begin{equation} \label{SpectrumOfArrayOutput}
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S_y (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega \tau} R_{y}(\tau) \, \mathrm{d} \tau
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\end{equation}$$
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根据式 $\eqref{ArrayOutput}$、$\eqref{CorrelationOfArrayOutput}$ 和 $\eqref{SpectrumOfArrayOutput}$，有
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$$\begin{equation}
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S_y (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j\omega\tau} \, \mathrm{d} \tau \int_{-\infty}^{\infty} \vec{h}^\mathrm{T} (\alpha) \, \mathrm{d} \alpha \int_{-\infty}^{\infty} E \left[ \vec{x} (t-\alpha) \vec{x}^\mathrm{H} (t-\tau-\beta)\right] \vec{h}^\ast(\beta) \, \mathrm{d} \beta
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\end{equation}$$
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也即
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$$\begin{equation}
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S_y (\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \vec{h}^\mathrm{T} (\alpha) e^{-j\omega\alpha} \, \mathrm{d} \alpha \int_{-\infty}^{\infty} e^{-jk\omega z} \vec{R}_x (z) \, \mathrm{d} z \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega \beta} \vec{h}^\ast(\beta) \, \mathrm{d} \beta
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\end{equation}$$
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可以进一步简化为
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$$\begin{equation} \label{SimplifiedSpectrumOfArrayOutput}
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S_y (\omega) = \vec{H}^\mathrm{T} (\omega) \vec{S}_x(\omega) \vec{H} ^\ast (\omega)
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\end{equation}$$
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对于窄带波束形成器，在式 $\eqref{SimplifiedSpectrumOfArrayOutput}$ 中利用[窄带假设下的复加权的表达式][]，可得到想要的结果：
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$$\begin{equation}
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S_y (\omega) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{S}_x(\omega) \vec{w}
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\end{equation}$$
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为了计算由于信号而产生的输出，对 $\vec{w}$ 施加约束条件，
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$$\begin{equation} \label{DistortionlessConstraint}
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\vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_{\vec{k}} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right) = 1
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\end{equation}$$
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在式 $\eqref{DistortionlessConstraint}$ 中的约束条件意味着从 $\vec{k}_\mathrm{s}$ 入射的任意信号将无畸变地通过波束形成器。我们把式 $\eqref{DistortionlessConstraint}$ 中的约束条件称为**{% label primary @无畸变约束（ distortionless constraint） %}**。在后续的讨论中这个条件经常使用。
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  可以把输入信号谱写成
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$$\begin{equation} \label{SpectrumOfArrayInput}
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\vec{S}_{\vec{f}}(\omega) = \vec{v}_{\vec{k}} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right) S_f(\omega) \vec{v}_{\vec{k}}^\mathrm{H} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right)
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\end{equation}$$
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将式 $\eqref{SpectrumOfArrayInput}$ 代入利用式 $\eqref{SimplifiedSpectrumOfArrayOutput}$，得到的输出信号谱为
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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S_{y_\mathrm{s}} &= \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_{\vec{k}} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right) S_f (\omega) \vec{v}_{\vec{k}}^\mathrm{H} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right) \vec{w} \\
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&= S_f(\omega)
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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由于噪声而产生的输出谱为
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$$\begin{equation}
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S_{y_\mathrm{n}} = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{S_{\vec{n}}} (\omega) \vec{w}
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\end{equation}$$
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其中 $\vec{S_{\vec{n}}} (\omega)$ 是输入噪声过程的谱矩阵。对于空域白噪声，且各传感器的噪声谱相同的特殊情况，有
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$$\begin{equation}
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S_{y_\mathrm{n}} = S_n (\omega) \vec{I}
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\end{equation}$$
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和
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$$\begin{equation}
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S_{y_n} = \left\| \vec{w} \right\|^2 S_n(w) = \sum_{n=0}^{N-1} \left| \omega_n \right|^2 S_n(\omega)
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\end{equation}$$
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所以
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$$\begin{equation} \label{OutputSNRAtCertainFreq}
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\mathrm{SNR_o}(\omega) = \frac{1}{\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} \left| \omega_n \right|^2} \frac{S_f(\omega)}{S_n(\omega)}
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\end{equation}$$
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其中，下标“$\mathrm{o}$”代表输出。
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  阵列增益 $A_\omega$ 反映了由于采用阵列而带来的 SNR 的改进。其定义为阵列的输出 SNR 和一个阵元上的输入 SNR 的比值。下标“$w$”表示空域不相关的噪声输入。噪声的时域频谱不一定是平坦的。利用式 $\eqref{InputSNRAtCertainFreq}$ 和式 $\eqref{OutputSNRAtCertainFreq}$，有
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$$\begin{equation}
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A_\omega = \frac{\mathrm{SNR_o}(\omega)}{\mathrm{SNR_{in}}(\omega)} = \frac{1}{\displaystyle \sum_{n=0}^{N-1} \left| \omega_n \right|^2}
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\end{equation}$$
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或
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$$\begin{equation} \label{DefinitionOfArrayGain}
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A_\omega = \left( \sum_{n=0}^{N-1} \frac{1}{\left| \omega_n \right|^2} \right) ^{-1} = \left\| \vec{w} \right\| ^{-2}
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\end{equation}$$
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对于式 $\eqref{DefinitionOfArrayGain}$，可以观察到下面三个有用的结果：
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1. 只要满足
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$$\begin{equation}
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\left| \vec{w}^\mathrm{H}\vec{v}_{\vec{k}} \left( \vec{k}_\mathrm{s} \right) \right|^2 = 1
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\end{equation}$$
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这个结果就适用于任意的阵列结构。
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2. 对于一个标准线阵（阵元间距为 $d=\lambda/2$），白噪声阵列增益等于式 $\eqref{SimplifiedResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 中的阵列方向性。
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[$u$ 空间的波束方向图的表达式]: https://josh-gao.top/posts/de20fd09.html#BeamPatternInDirectionCosineDomain
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[对角调向矩阵]: https://josh-gao.top/posts/c2604c43.html#DiagonalSteeringMatrix
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[各个空间的第一零点波束宽度表]: https://josh-gao.top/posts/aa32ec76.html#table.1-3-2
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[阵列输出的向量形式]: https://josh-gao.top/posts/8b61f5a7.html#VectorFormOfLinearArrayOutputInTimeDomain
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[窄带假设下的复加权的表达式]: https://josh-gao.top/posts/8b61f5a7.html#NarrowBandComplexWeightVector
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[^1]: 在大多数情况下，我们去掉下标 “$s$”，因为假设 $\vec{w}$ 是包含调向的。
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Reference in New Issue
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