new post cvx-1.3

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 categories:
   - - Josh 的学习笔记
     - 凸优化
+    - 凸集
+  - - 数学
+    - 凸优化
 tags:
   - 凸优化
   - 凸集
@@ -22,7 +25,9 @@ abbrlink: 43146ee9
 date: 2022-03-29 11:07:04
 ---
 
-$$
+# 1. 直线与线段
+
+$
 \newcommand{\bfR}{\mathbf{R}}
 \def\aff{\mathop{\bf aff}}
 \def\relint{\mathop{\bf relint}}
@@ -30,11 +35,7 @@ $$
 \def\conv{\mathop{\bf conv}}
 \newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
 \newcommand{\prob}{\mathbf{prob}}
-$$
-
-# 1. 直线与线段
-
-  设 $x_1 \ne x_2$ 是 $\bfR^n$ 空间中的两个点，则具有下列形式的点
+$  设 $x_1 \ne x_2$ 是 $\bfR^n$ 空间中的两个点，则具有下列形式的点
 
 $$
 y = \theta x_1 + (1-\theta)x_2,\theta \in \bfR
@@ -65,12 +66,12 @@ $$
   如果 $C$ 是一个仿射集合并且 $x_0 \in C$，则集合
 
 $$
-V = C - x_0 = \left\{ x - x_0 \middle| x \in C \right\}
+V = C - x_0 = \left\{ x - x_0\ \middle|\ x \in C \right\}
 $$
 
 是一个子空间，即关于加法和数乘是封闭的。
 
-> 简单说明：设 $v_1, v_2 \in V$，$\alpha, \beta \in \bfR$，则有 $v_1 + x_0 \in C$，$v_2 + x_0 \in C$。因为 $C$ 是仿射的，且 $\alpha + \beta + (1 - \alpha - \beta) = 1$，所以
+> **简单说明** 设 $v_1, v_2 \in V$，$\alpha, \beta \in \bfR$，则有 $v_1 + x_0 \in C$，$v_2 + x_0 \in C$。因为 $C$ 是仿射的，且 $\alpha + \beta + (1 - \alpha - \beta) = 1$，所以
 >
 > $$
 > \alpha v_1 + \beta v_2 + x_0 = \alpha (v_1 + x_0) + \beta(v_2 + x_0) + (1 - \alpha - \beta)x_0 \in C
@@ -81,7 +82,7 @@ $$
   因此，仿射集合 $C$ 可以表示为
 
 $$
-C = V + x_0 = \left\{ v + x_0 \middle| v \in V \right\}
+C = V + x_0 = \left\{ v + x_0\ \middle|\ v \in V \right\}
 $$
 
 即一个子空间加上一个偏移。与仿射集合 $C$ 相关联的子空间 $V$ 与 $x_0$ 的选取无关，所以 $x_0$ 可以是 $C$ 中的任意一点。定义仿射集合 $C$ 的维数为子空间 $V = C - x_0$ 的维数，其中 $x_0$ 是 $C$ 中的任意元素。
@@ -89,7 +90,7 @@ $$
   由集合 $C \subseteq \bfR^n$ 中的点的所有仿射组合组成的集合称为 $C$ 的**仿射包**（*affine hull*），记为 $\aff{C}$：
 
 $$
-\aff{C} = \left\{ \theta_1 x_1 + \cdots + \theta_k x_k \middle| x_1, \cdots, x_k \in C, \theta_1 + \cdots + \theta_k = 1 \right\}
+\aff{C} = \left\{ \theta_1 x_1 + \cdots + \theta_k x_k\ \middle|\ x_1, \cdots, x_k \in C, \theta_1 + \cdots + \theta_k = 1 \right\}
 $$
 
 仿射包是包含 $C$ 的最小的仿射集合，也就是说：如果 $S$ 是满足 $C \subseteq S$ 的仿射集合，那么 $\aff{C} \subseteq S$。
@@ -98,15 +99,15 @@ $$
 
   集合 $C$ 的仿射维数定义为其仿射包的维数。仿射维数在凸分析及凸优化中十分有用，但它与其他维数的定义常常不相容。
 
-> 举例：考虑 $\bfR^2$ 上的单位圆环 $\left\{x\in\bfR^2\middle| x_1^2 + x_2^2 = 1 \right\}$。它的仿射包是全空间 $\bfR^2$，所以其仿射维数为 $2$。但是，在其他大多数维数的定义下，$\bfR^2$ 上的单位圆环的维数为 $1$。
+> **举例** 考虑 $\bfR^2$ 上的单位圆环 $\left\{x\in\bfR^2\middle| x_1^2 + x_2^2 = 1 \right\}$。它的仿射包是全空间 $\bfR^2$，所以其仿射维数为 $2$。但是，在其他大多数维数的定义下，$\bfR^2$ 上的单位圆环的维数为 $1$。
 
   如果集合 $C \subseteq \bfR^n$ 的仿射维数小于 $n$，那么这个集合在仿射集合 $\aff C \ne \bfR^n$ 中。定义集合 $C$ 的**相对内部**（*relative interior*）为 $\aff C$ 的内部，记为 $\relint C$，即
 
 $$
-\relint C = \left\{ x \in C \middle| B(x,r) \cap \aff C \subseteq C\ 对于某些\ r > 0 \right\}
+\relint C = \left\{ x \in C\ \middle|\ B(x,r) \cap \aff C \subseteq C\ 对于某些\ r > 0 \right\}
 $$
 
-其中 $B(x,r) = \left\{ y \middle| \left\| y-x \right\| \leqslant r \right\}$，即半径为 $r$，中心为 $x$ 并由范数 $\| \cdot \|$ 定义的球（这里的 $\| \cdot \|$ 可以是任意范数，并且所有范数定义了相同的相对内部）。于是可以定义集合 C 的**相对边界**（*relative boundary*）为 $\cl C\ \backslash \relint C$，此处 $\cl C$ 表示 $C$ 的闭包。
+其中 $B(x,r) = \left\{ y\ \middle|\ \left\| y-x \right\| \leqslant r \right\}$，即半径为 $r$，中心为 $x$ 并由范数 $\| \cdot \|$ 定义的球（这里的 $\| \cdot \|$ 可以是任意范数，并且所有范数定义了相同的相对内部）。于是可以定义集合 C 的**相对边界**（*relative boundary*）为 $\cl C\ \backslash \relint C$，此处 $\cl C$ 表示 $C$ 的闭包。
 
 # 4. 凸集
 
@@ -130,7 +131,7 @@ $$
 顾名思义，凸包 $\conv C$ 总是凸的。它是包含 $C$ 的最小的凸集。也就是说，如果 $B$ 是包含 $C$ 的凸集，那么 $\conv C \subsetneq B$。[图 3](#图3) 展示了凸包的定义。
 
 $$
-\conv C = \left\{ \theta_1 x_1 + \cdots + \theta_k x_k \middle| x_i \in C, \theta_i \geqslant 0, i = 1,\cdots, k, \theta_1 + \cdots + \theta_k = 1 \right\}
+\conv C = \left\{ \theta_1 x_1 + \cdots + \theta_k x_k\ \middle|\ x_i \in C, \theta_i \geqslant 0, i = 1,\cdots, k, \theta_1 + \cdots + \theta_k = 1 \right\}
 $$
 
 <a id="图3"></a>
@@ -176,7 +177,7 @@ $$
 &emsp;&emsp;集合 $C$ 的**锥包**（*conic hull*）是 $C$ 中元素的所有锥组合的集合，即
 
 $$
-\left\{ \theta_1 x_1 + \cdots + \theta_k x_k \middle| x_i \in C, \theta_i \geqslant 0, i = 1,\cdots,k \right\}
+\left\{ \theta_1 x_1 + \cdots + \theta_k x_k\ \middle|\ x_i \in C, \theta_i \geqslant 0, i = 1,\cdots,k \right\}
 $$
 
 它是包含 $C$ 的最小的凸锥（如[图 5](#图5) 所示）。