From 6a978b74a0619ea7c797f4e500f0aab33af26b19 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Josh Gao Date: Wed, 26 Apr 2023 19:51:15 +0800 Subject: [PATCH] update post, josh-oap-1-5 --- source/_posts/2023-04-24-josh-oap-part-1-5.md | 50 ++++++++++++++++++- 1 file changed, 48 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/source/_posts/2023-04-24-josh-oap-part-1-5.md b/source/_posts/2023-04-24-josh-oap-part-1-5.md index 07ddc6c..ce2e3c4 100644 --- a/source/_posts/2023-04-24-josh-oap-part-1-5.md +++ b/source/_posts/2023-04-24-josh-oap-part-1-5.md @@ -53,7 +53,7 @@ $$\begin{equation} \label{DefinitionOfDirectivity}   对于一个接收天线，分母代表的是阵列（或孔径）对全向噪声（在一个球内均匀分布的噪声）的输出噪声功率。分子代表的是对应从 $(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T})$ 方向入射的 信号的功率。所以，$D$ 可以解释为是对全向噪声的阵列增益。 -  如果假设权值做了归一化，使得 $P_n(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T}) = 1$, 则式 $\eqref{DefinitionOfDirectivity}$ 可以写成 +  如果假设权值做了归一化，使得 $P_n(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T}) = 1$，则式 $\eqref{DefinitionOfDirectivity}$ 可以写成 $$\begin{equation} \label{NormalizedDefinitionOfDirectivity} D = \left\{ \frac{1}{4\pi} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \sin \theta \cdot P(\theta,\varphi) \,\mathrm{d} \varphi \,\mathrm{d} \theta \right\}^{-1} @@ -79,7 +79,7 @@ $$\begin{equation} \label{NormalizedDefinitionOfDirectivityInDirectionCosineSpac 通常，这个表达式必须用数值的方法计算。 -  利用 [$u$ 空间的波束方向图的表达式][], 式 $\eqref{NormalizedDefinitionOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 中的表达式可以利用阵列的权值写成 +  利用 [$u$ 空间的波束方向图的表达式][]，式 $\eqref{NormalizedDefinitionOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$ 中的表达式可以利用阵列的权值写成 $$\begin{equation} D = \left\{ \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \sum_{n=0}^{N-1}w_n^\ast e^{jn\left( \frac{2\pi d}{\lambda} \right) \left( u - u_\mathrm{T} \right)} \sum_{m=0}^{N-1} w_m e^{-jm\left( \frac{2\pi d}{\lambda} \right) \left( u - u_\mathrm{T} \right)} \,\mathrm{d} u \right\}^{-1} @@ -145,6 +145,52 @@ $$\begin{equation}   所以一个标准线阵的方向性是权值矢量幅度平方的倒数。方向性不依赖于阵列的指向。当阵列指向从阵列的正侧向移开时，波束变宽，但是 $\varphi$ 的积分范围减小了 +  对于 $d \ne \lambda/2$，利用式 $\eqref{ResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA}$，则方向性将和阵列的指向有关。 + +  对于均匀加权的标准线阵（UWLA），$w_n = 1/N$，所以 + +$$\begin{equation} + \sum_{n=0}^{N-1} \left| w_n \right|^2 = \frac{1}{N} +\end{equation}$$ + +所以 + +$$\begin{equation} + D = N +\end{equation}$$ + +  均匀加权使得标准线阵的方向性最大。为了说明这一点，施加约束条件 + +$$\begin{equation} \label{ConstraintOfLagrangeMultiplier} + \sum_{n=0}^{N-1} w_n = 1 +\end{equation}$$ + +这保证了波束方向图在 $u_\mathrm{T}$ 的值为 1，并求 $\displaystyle\sum_{n=0}^{N-1} \left| w_n \right|^2$ 的最小值，这里利用 Lagrange 乘子法，另 + +$$\begin{equation} + F = \sum_{n=0}^{N-1} \left| w_n \right|^2 + \lambda \left( \sum_{n=0}^{N-1} w_m - 1 \right) +\end{equation}$$ + +其中 $\lambda$ 是 Lagrange 乘子。对 $w_n$ 求导，并令结果等于零，得到 + +$$\begin{equation} + w_n^\ast = -\lambda +\end{equation}$$ + +也即 + +$$\begin{equation} \label{ResultOfLagrangeMultiplier} + w_n = -\lambda^\ast +\end{equation}$$ + +把式 $\eqref{ResultOfLagrangeMultiplier}$ 代入到式 $\eqref{ConstraintOfLagrangeMultiplier}$，得到 $\lambda = -\frac{1}{N}$，则有 + +$$\begin{equation} + w_n = \frac{1}{N} +\end{equation}$$ + +此即为我们想要得到的结果。 + [$u$ 空间的波束方向图的表达式]: https://josh-gao.top/posts/de20fd09.html#BeamPatternInDirectionCosineDomain [对角调向矩阵]: https://josh-gao.top/posts/c2604c43.html#DiagonalSteeringMatrix