new post, josh-oap-1-3
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@@ -28,7 +28,7 @@ date: 2023-04-20 00:14:31
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<a id="fig.1-2-1"></a>
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{width=600px}
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{width=600px}
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<!-- more -->
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@@ -43,7 +43,7 @@ $$\begin{equation} \label{ElementLocation}
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, \, n = 0,1,\cdots,N-1
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\end{equation}$$
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为了确定阵列流形矢量 $\vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}\right)$，把式 $\eqref{ElementLocation}$ 代入到[阵列流形矢量的定义][]，得到
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为了确定阵列流形矢量 $\vec{v}_{\vec{k}}\left(\vec{k}\right)$，把式 $\eqref{ElementLocation}$ 代入到[阵列流形矢量的定义][]中，得到
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$$\begin{equation} \label{ManifoldVectorOfULA}
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\vec{v}_{\vec{k}}\left(k_z\right) = \left[\begin{array}{c}
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@@ -137,7 +137,7 @@ $$\begin{equation}
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\left[ \vec{v}_u(u) \right] = e^{j\left( n - \frac{N-1}{2} \right) \frac{2\pi d}{\lambda} u}, \, n = 0,\cdots, N-1
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\end{equation}$$
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也可以用三种形式写出波束方向图。频率-波数函数和波束方向图的关键区别是波束方向图的参量受限于实际的物理角度 $\theta$。所以，
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也可以用三种形式写出波束方向图。频率-波数函数和波束方向图的关键区别是波束方向图的参量受限于实际的物理角度 $\theta$，所以，
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$$\begin{equation}
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B_\theta(\theta) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_\theta(\theta) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right) \frac{2\pi d}{\lambda} \cos \theta} \sum_{n=0}^{N-1} w_n^\ast e^{j n \frac{2\pi d}{\lambda} \cos \theta}, \, 0 \leqslant \theta \leqslant \pi
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@@ -163,12 +163,12 @@ $$\begin{equation}
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$$\begin{equation} \label{ManifoldVecOfULAWithConjugateSymmetry}
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\boxed{\vec{v}_\psi(\psi) = \left[ \begin{array}{c}
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e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right)\psi} \\
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e^{-j\left(\frac{N-3}{2} \right)\psi} \\
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\vdots \\
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e^{j\left(\frac{N-3}{2} \right)\psi} \\
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e^{j\left(\frac{N-1}{2} \right)\psi} \\
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\end{array} \right]}
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e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right)\psi} &
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e^{-j\left(\frac{N-3}{2} \right)\psi} &
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\cdots &
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e^{j\left(\frac{N-3}{2} \right)\psi} &
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||||
e^{j\left(\frac{N-1}{2} \right)\psi} &
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\end{array} \right]^\mathrm{T}}
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\end{equation}$$
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可以看到 ULA 的阵列流形矢量具有**{% label primary @共扼对称性（conjugate symmetry） %}**。
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@@ -176,7 +176,7 @@ $$\begin{equation} \label{ManifoldVecOfULAWithConjugateSymmetry}
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{% tabs 阵列流形矢量具有共扼对称性 %}
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<!-- tab $N$ 为偶数-->
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当 $N$ 为偶数时，如果定义一个 $N/2$ 维的矢量 $\vec{v}_{\psi_1}(\psi)$，对应与 $\vec{v}_\psi(\psi)$ 的前 $N/2$ 个元素，则有
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当 $N$ 为偶数时，如果定义一个 $N/2$ 维的矢量 $\vec{v}_{\psi_1}(\psi)$，对应 $\vec{v}_\psi(\psi)$ 的前 $N/2$ 个元素，则有
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$$\begin{equation}
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\vec{v}_\psi(\psi) = \left[ \begin{array}{c}
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@@ -189,7 +189,7 @@ $$\begin{equation}
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<!-- tab $N$ 为奇数-->
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当 $N$ 为奇数时，如果定义一个 $(N-1)/2$ 维的矢量 $\vec{v}_{\psi_1}(\psi)$，对应与 $\vec{v}_\psi(\psi)$ 的前 $(N-1)/2$ 个元素，则有
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当 $N$ 为奇数时，如果定义一个 $(N-1)/2$ 维的矢量 $\vec{v}_{\psi_1}(\psi)$，对应 $\vec{v}_\psi(\psi)$ 的前 $(N-1)/2$ 个元素，则有
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$$\begin{equation}
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\vec{v}_\psi(\psi) = \left[ \begin{array}{c}
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@@ -240,26 +240,26 @@ $$\begin{equation}
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$$\begin{equation}
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\vec{v}_\psi(\psi) = e^{-j\left(\frac{N-1}{2} \right)\psi} \left[ \begin{array}{c}
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1 \\
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e^{j\psi} \\
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\vdots \\
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e^{j(N-1)\psi} \\
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\end{array} \right]
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1 &
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e^{j\psi} &
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\cdots &
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e^{j(N-1)\psi} &
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\end{array} \right]^\mathrm{T}
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\end{equation}$$
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这个形式强调了 $\vec{v}_\psi(\psi)$ 的 Vandermonde 结构。
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# 从波束方向图导出权矢量
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# 从波束方向图获得权矢量
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  下面讨论如何从特定的方向图 $B(\psi)_\psi$ 中获得权矢量 $\vec{w}$，我们从式 $\eqref{BeamPatternInDirectionCosineDomain}$ 中的关系开始
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  下面讨论如何从特定的方向图 $B_\psi(\psi)$ 中获得权矢量 $\vec{w}$，我们从式 $\eqref{BeamPatternInDirectionCosineDomain}$ 中的关系开始
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$$\begin{equation} \label{ShortBeamPatternInDirectionCosineDomain}
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B_\psi(\psi) = \vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}_\psi(\psi)
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\end{equation}$$
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假设 $B(\psi)_\psi$ 是已知的，我们想确定产生这个 $B(\psi)_\psi$ 的 $\vec{w}$。由于 $\vec{w}^\mathrm{H}$ 是一个 $1 \times N$ 维的矢量，因此如果知道 $B(\psi)_\psi$ 在 $N$ 个 $\psi$ 值上的值，就可以确定 $\vec{w}$。
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假设 $B_\psi(\psi)$ 是已知的，我们想确定产生这个 $B_\psi(\psi)$ 的 $\vec{w}$。由于 $\vec{w}^\mathrm{H}$ 是一个 $1 \times N$ 维的矢量，因此如果知道 $B_\psi(\psi)$ 在 $N$ 个 $\psi$ 值上的值，就可以确定 $\vec{w}$。
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  我们对波束方向图在 $N$ 个 $\psi_i, i = 1,\cdots,N$ 上进行采样。$\psi_i$ 必须是不同的，但不一定是等距的，记采样点处的波束方向图的值为 $B(\psi_i)$。根据式 $\eqref{ShortBeamPatternInDirectionCosineDomain}$，有
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  对波束方向图在 $N$ 个 $\psi_i$ 上进行采样，这里要求 $\psi_i$ 必须是不同的，但不一定是等距的，记采样点处的波束方向图的值为 $B(\psi_i)$。根据式 $\eqref{ShortBeamPatternInDirectionCosineDomain}$，有
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$$\begin{equation} \label{ElementOfShortBeamPatternInDirectionCosineDomain}
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\vec{w}^\mathrm{H} \vec{v}(\psi_i) = B(\psi_i), \, i = 1, \cdots, N
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@@ -303,7 +303,7 @@ $$\begin{equation}
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\psi_1 = 0
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\end{equation}$$
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且 $\psi_2, \psi_3, \cdots, \psi_N$ 对应于零点的位置。假设预期的归一化波束方向图为：
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且 $\psi_2, \psi_3, \cdots, \psi_N$ 对应于零点的位置。假设期望方向的信号无失真通过，其他方向的信号全部抑制，则预期的归一化波束方向图为：
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$$\begin{matrix}
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\vec{B} = \left[ \begin{array}{c} 1 & 0 & \cdots & 0 \end{array} \right] = \vec{e}_1^\mathrm{T}
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@@ -319,7 +319,7 @@ $$\begin{equation} \label{WeightVecCalculationWithAllZeroExceptMainAxis}
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在式 $\eqref{WeightVecCalculation}$ 和式 $\eqref{WeightVecCalculationWithAllZeroExceptMainAxis}$ 中有两点需要强调：
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1. 我们已经假设 $B_\psi(\psi)$ 在式 $\eqref{ShortBeamPatternInDirectionCosineDomain}$ 中进行了定义。换句话说，它是由一个 $N \times 1$ 维复数矢量 $\vec{w}$ 产生的。如果 $B_\psi(\psi)$ 是任意函数，且使用式 $\eqref{WeightVecCalculation}$，那么将产生一个方向图，和 $B(\psi_i), i = 1,\cdots,N$ 相匹配，但不一定和函数 $B_\psi(\psi)$ 相匹配。
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1. 上述讨论已经假设 $B_\psi(\psi)$ 在式 $\eqref{ShortBeamPatternInDirectionCosineDomain}$ 中进行了定义，是由一个 $N \times 1$ 维复矢量 $\vec{w}$ 产生的。如果 $B_\psi(\psi)$ 是任意函数，且使用式 $\eqref{WeightVecCalculation}$，那么将产生一个方向图，和 $B(\psi_i), i = 1,\cdots,N$ 相匹配，但不一定和函数 $B_\psi(\psi)$ 相匹配。
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2. 我们是在一个均匀线阵的背景下介绍这个结果的。但是，这个推导过程适用于任意结构的 $N$ 阵元阵列。
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@@ -0,0 +1,65 @@
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title: 'Josh''s Notes: 最优阵列处理（Part 1.3 —— 均匀加权线阵）'
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tags:
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||||
- 阵列信号处理
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- 均匀加权线阵
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categories:
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- - Josh 的学习笔记
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- 最优阵列处理
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- 阵列和空域滤波器
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abbrlink: aa32ec76
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date: 2023-04-20 19:34:47
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  现在把注意力集中到均匀加权的情况
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$$\begin{equation}
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w_n = \frac{1}{N}, \, n = 0,1,\cdots,N-1
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\end{equation}$$
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$$\begin{equation}
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\vec{w} = \frac{1}{N} \vec{1}
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\end{equation}$$
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其中 1 是 $N \times 1$ 维的单位矢量
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则在 $\psi$ 空间的频率-波数函数可以写成（利用等比级数的求和公式）
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi) &= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j \left(n - \frac{N-1}{2}\right)\psi} \\
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&= \frac{1}{N} e^{-j \left(\frac{N-1}{2}\right)\psi} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j n \psi} \\
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&= \frac{1}{N} e^{-j \left(\frac{N-1}{2}\right)\psi} \left[ \frac{1-e^{jN\psi}}{1-e^{j\psi}} \right]
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\end{aligned}
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\end{equation}$$
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或（利用欧拉公式）
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$$\begin{equation}
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\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N \frac{\psi}{2} \right)}{\sin\frac{\psi}{2}}
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\end{equation}$$
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<!-- more -->
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观察到，当 $N$ 是奇数时，$\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 是周期函数，周期为 $2\pi$。如果 $N$ 为偶数，波瓣在 $\pm 2 \pi$、$\pm 6 \pi$ 处的值为负值，周期为 $4 \pi$。对任意 $N$ 值， $\left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$ 的周期为 $2 \pi$。当 $N = 11$ 时， $\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 和 $\psi$ 的关系在[图 1-3-1](#fig.1-3-1) 中给出。[图 1-3-2](#fig.1-3-2) 给出了 $\left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$，单位为 dB, 其中
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$$\begin{equation}
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\vec{\varUpsilon}_\mathrm{dB}(\psi) = 10 \log_{10} \left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|^2
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\end{equation}$$
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<a id="fig.1-3-1"></a>
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{width=700px}
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<a id="fig.1-3-2"></a>
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{width=700px}
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