review post, josh-oap-1-3
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@@ -16,6 +16,7 @@ tags:
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- 第一零点波束宽度
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- 旁瓣
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- 栅瓣
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- 瑞利限
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- - Josh 的学习笔记
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- 最优阵列处理
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@@ -26,7 +27,7 @@ date: 2023-04-20 19:34:47
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# 均匀加权线阵的频率-波数响应函数
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  现在把注意力集中到均匀加权的情况，即
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  现在把注意力集中到均匀加权线阵（Uniformly Weighted Linear Array）的情况，即
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$$\begin{equation}
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w_n = \frac{1}{N}, \, n = 0,1,\cdots,N-1
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@@ -36,7 +37,7 @@ $$\begin{equation}
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\vec{w} = \frac{1}{N} \vec{1}
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\end{equation}$$
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其中 $\vec{1}$ 是 $N \times 1$ 维的单位矢量，则在 $\psi$ 空间的频率-波数函数可以写成（利用等比级数的求和公式）
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其中 $\vec{1}$ 是 $N \times 1$ 维的单位矢量，则在 $\psi$ 空间的频率-波数响应函数可以写成（利用等比级数的求和公式）
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$$\begin{equation}
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\begin{aligned}
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@@ -54,7 +55,7 @@ $$\begin{equation}
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<!-- more -->
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观察到，
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可以观察到：
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- 当 $N$ 是奇数时，$\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 是周期函数，周期为 $2\pi$；
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- 当 $N$ 为偶数时，波瓣在 $\pm 2 \pi$、$\pm 6 \pi$ 处的值为负值，周期为 $4 \pi$；
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@@ -63,7 +64,7 @@ $$\begin{equation}
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当 $N = 11$ 时， $\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 和 $\psi$ 的关系在[图 1-3-1](#fig.1-3-1) 中给出。[图 1-3-2](#fig.1-3-2) 给出了 $\left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$，单位为 dB，其中
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$$\begin{equation}
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\vec{\varUpsilon}_\mathrm{dB}(\psi) = 10 \log_{10} \left|\vec{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|^2
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\vec{\varUpsilon}_\mathrm{dB}(\psi) = 10 \log_{10} \left|\vec{\varUpsilon}(\psi)\right|^2
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\end{equation}$$
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<a id="fig.1-3-1"></a>
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@@ -84,38 +85,52 @@ $$\begin{equation}
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这里 $\vec{\varUpsilon}(\omega:k_z)$ 是周期函数，周期为 $2\pi/d$。
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  注意，响应函数仅依赖于波数分量 $k_z$，是 $k_z$ 的周期函数，间隔为 $2\pi/d$，这是线性阵列的一维特性导致的，所以该阵列仅能分析在 $k_z$ 方向上投影的波数分量。
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{% note warning %}
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注意，响应函数仅依赖于波数分量 $k_z$，是 $k_z$ 的周期函数，间隔为 $2\pi/d$，这是线性阵列的一维特性导致的，所以该阵列仅能分析在 $k_z$ 方向上投影的波数分量。
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{% endnote %}
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# 均匀加权线阵的波束方向图
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  均匀加权线阵的波束方向图的波束方向图为
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  均匀加权线阵的波束方向图为
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$$\begin{align}
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&\theta 空间: && B_\theta(\theta) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(\frac{N}{2} \cdot \frac{2\pi}{\lambda} \cos \theta \cdot d \right)}{\sin \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{\lambda} \cos\theta \cdot d\right)}, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant \pi \\
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&u 空间: && B_u(u) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(\frac{N \pi d}{\lambda} u \right)}{\sin \left( \frac{N d}{\lambda} u\right)}, \quad -1 \leqslant u \leqslant 1 \label{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain} \\
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&u 空间: && B_u(u) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(\frac{ \pi Nd}{\lambda} u \right)}{\sin \left( \frac{N d}{\lambda} u\right)}, \quad -1 \leqslant u \leqslant 1 \label{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain} \\
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&\psi 空间: &&B_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(N\frac{\psi}{2}\right)}{\sin \left( \frac{\psi}{2} \right)}, \quad -\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda} \label{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}
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\end{align}$$
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其中定义域分别为 $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$、$-1 \leqslant u \leqslant 1$ 和 $-\displaystyle\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda}$，称为**{% label primary @可视区域（visible region） %}**。
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  函数 $B_u(u)$ 和 $B_\psi(\psi)$ 有时称为**{% label primary @阵列因子（Array Factor） %}**。当我们研究非全向性阵元时，将发现这个量的重要性。
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{% note info %}
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函数 $B_u(u)$ 和 $B_\psi(\psi)$ 有时称为**{% label primary @阵列因子（Array Factor） %}**。这个量对非全向性阵元非常重要。
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{% endnote %}
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  [图 1-3-3](#fig.1-3-3) 给出了 $B_\theta(\theta)$ 的极坐标形式，单位为 dB。如果在三维空间画出波束方向图，在[图 1-3-3](#fig.1-3-3) 中的图将对应沿着任意方位角 $\theta$ 切割得到的方向图。[图 1-3-4](#fig.1-3-4) 给出了波束方向图的幅度和不同变量之间的关系。
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<a id="fig.1-3-3"></a>
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{width=500px}
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{width=800px}
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<a id="fig.1-3-4"></a>
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{width=1000px}
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  尽管这是一个简单的例子，但可以用来展示线性阵列的一些重要特征。第一组重要特征描述了波束方向图的参数。
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{% note info %}
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虽然以上例子比较简单，但是可以用来展示线性阵列的一些重要特征。
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{% endnote %}
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# 波束方向图的参数
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  波束方向图的重要特征可以使用波束方向图的参数来描述。
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1. 3dB 带宽（半功率波束宽度，half-power beamwidth，HPBW）
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2. 到第一零点的距离（这个距离的两倍称为 $BW_{NN}$）
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3. 到第一旁瓣的距离
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@@ -132,25 +147,19 @@ $$\begin{align}
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{width=700px}
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  3dB 波束宽度是波束宽度的一个度量。定义为对应 $\left| B_u(u) \right|^2 = 0.5$ 或 $\left| B_u(u) \right| = 1/\sqrt{2}$ 的点。可以通过使式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain}$ 中的 $B_u(u)$ 的值等于 $1/\sqrt{2}$ 来确定出在 $u$ 空间的半功率点。当 $N$ 增加时，计算这个值，我们发现，对于 $N\geqslant 10$，通过解下面的方程可以得到一个很好的近似值：
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  3dB 波束宽度是波束宽度的一个度量。定义为对应 $\left| B_u(u) \right|^2 = 0.5$ 或 $\left| B_u(u) \right| = 1/\sqrt{2}$ 的点。可以通过令波束方向图 $B_u(u)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain}$）等于 $1/\sqrt{2}$，来求出 $u$ 空间的半功率点。对于 $N\geqslant 10$，通过解下面的方程可以得到一个很好的近似：
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$$\begin{equation}
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\frac{\pi N d}{\lambda} u = 1.4
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\end{equation}$$
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则
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$$\begin{equation}
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\frac{\Delta u_1}{2} = 1.4 \frac{\lambda}{\pi N d}
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\end{equation}$$
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或
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即有
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$$\begin{equation} \label{DefinitionOfHPBW}
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\Delta u_1 = 0.891 \frac{\lambda}{N d}
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\end{equation}$$
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我们把这个间隔称为**{% label primary @半功率波束宽度（half-power beamwidth，HPBW） %}**。当 $N$ 增加时，式 $\eqref{DefinitionOfHPBW}$ 中的系数稍稍减小。对于 $N > 30$，$0.886 \lambda/Nd$ 是一个更好的近似表达式。
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我们把这个间隔称为**{% label primary @半功率波束宽度（half-power beamwidth，HPBW） %}**。当 $N$ 增加时，式 $\eqref{DefinitionOfHPBW}$ 中的常系数会稍稍减小。对于 $N > 30$，$0.886 \lambda/Nd$ 是一个更好的近似表达式。
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  [表 1-3-1](#table.1-3-1) 中列出了不同空间内 HPBW 的表达式。
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@@ -170,7 +179,7 @@ $$\begin{equation} \label{DefinitionOfHPBW}
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## 第一零点波束宽度
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  方向图的零点出现在当 $B_u(u)$ 的分子为零而分母不为零时，即
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  方向图的零点出现在当波束方向图 $B_u(u)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain}$）的分子为零而分母不为零时，即
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$$\begin{equation}
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\sin \left( \frac{\pi N d}{\lambda} u \right) = 0
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@@ -194,13 +203,13 @@ $$\begin{equation}
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u \ne m \frac{\lambda}{d}, \quad m = 1,2,\cdots
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\end{equation}$$
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则第一个零点的位置为 $\lambda/Nd$，且
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则第一个零点的位置为 $\lambda/Nd$，即有
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$$\begin{equation}
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\Delta u_2 = 2 \frac{\lambda}{Nd}
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\end{equation}$$
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我们把 $\Delta u_2$ 称为零点-零点波束宽度（null-to-null beamwidth），并表示为 $BW_{NN}$ 。 $BW_{NN}$ 的一半是到第一零点的距离 ($0.5 BW_{NN}$) 。这个量衡量了阵列分辨两个不同平面波的能力，也称为{% label primary @瑞利限（Rayleigh resolution limit） %}。如果第二个波束方向图的峰值在第一个波束方向图的第一零点之外（间隔 $\geqslant \Delta u_2 / 2$），则我们认为这两个平面波是可以分辨的。在后面，我们将研究一个阵列的分辨能力的统计性度量。
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我们把 $\Delta u_2$ 称为零点-零点波束宽度（null-to-null beamwidth），用 $BW_{NN}$ 表示。 $BW_{NN}$ 的一半是到第一零点的距离 ($0.5 BW_{NN}$) 。这个量能够衡量阵列分辨两个不同平面波的能力，也称为{% label primary @瑞利限（Rayleigh resolution limit） %}。如果第二个波束方向图的峰值在第一个波束方向图的第一零点之外（间隔 $\geqslant \Delta u_2 / 2$），则认为这两个平面波是可以分辨的。在后面，我们将研究一个阵列的分辨能力的统计性度量。
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{% note warning %}
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@@ -224,7 +233,7 @@ $$\begin{equation}
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## 旁瓣的位置及其衰减速率
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  旁瓣极大值的位置出现在当式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain}$ 中的分子逼近极大值的时候：
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  旁瓣极大值的位置出现在当波束方向图 $B_\psi(\psi)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$）中的分子逼近极大值的时候：
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$$\begin{equation}
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\sin \left( \frac{N \psi}{2} \right) = 1
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@@ -254,7 +263,7 @@ $$\begin{equation}
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\psi = \pm \frac{2\pi}{N}
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\end{equation}$$
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由于在极大值时，式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$ 中的分子趋近为 1，因此极大值为
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由于在极大值时，波束方向图 $B_\psi(\psi)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$）中的分子趋近为 1，因此极大值为
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$$\begin{equation}
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B_\psi \left( \pm \frac{3\pi}{N} \right) \approx \frac{1}{N \sin \left( \frac{3\pi}{2N} \right)}
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@@ -270,7 +279,7 @@ $$\begin{equation}
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{% note warning %}
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这意味着一个信号如果在这个旁瓣的位置入射，且比位置在 $k_z = 0$ 的信号高 13.5dB，则这两个信号将产生相同的响应。主要的旁瓣出现在 $k_z = \pm(2m + 1) \pi/Nd$，旁瓣的水平衰减速率为 $1/(2m + 1)$。例如，第二旁瓣的高度为 -17.9dB。在实际中，这种旁瓣水平的分辨能力是不能被接受的，所以很少使用均匀加权。旁瓣控制在确定性阵列和自适应阵列设计中都是特别重要的问题。
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这意味着一个信号如果在这个旁瓣的位置入射，且比位置在 $k_z = 0$ 的信号大 13.5dB，则这两个信号将产生相同的响应。主要的旁瓣出现在 $k_z = \pm(2m + 1) \pi/Nd$，旁瓣的水平衰减速率为 $1/(2m + 1)$。例如，第二旁瓣的高度为 -17.9dB。在实际中，这种旁瓣水平的分辨能力是不能被接受的，所以很少使用均匀加权。旁瓣控制在确定性阵列和自适应阵列设计中都是特别重要的问题。
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{% endnote %}
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@@ -280,7 +289,7 @@ $$\begin{equation}
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{width=1000px}
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在[图 1-3-6](#fig.1-3-6) 中，我们针对多种 $d/\lambda$ 的值，画出了 $\left| \vec{\varUpsilon}_u(u) \right|$。图中说明了“栅瓣”这个重要的概念，即和主波束一样高的波瓣。栅瓣发生在当式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$ 中的分子和分母均为零的时候。栅瓣出现的间隔为
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  在[图 1-3-6](#fig.1-3-6) 中，针对多种 $d/\lambda$ 的值，画出了 $\left| \vec{\varUpsilon}_u(u) \right|$。图中说明了“栅瓣”这个重要的概念，即和主波束一样高的波瓣。栅瓣发生在当波束方向图 $B_\psi(\psi)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$）中的分子和分母均为零的时候。栅瓣出现的间隔为
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$$\begin{equation}
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\frac{\psi}{2} = m \cdot \pi
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@@ -300,7 +309,7 @@ $$\begin{equation}
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  如果阵列的间距大于 $\lambda$，则栅瓣的峰值出现在信号传播区域以内，即在 $\left| u \right| \leqslant 1$ 的区域以内。这里就会出现峰值响应模糊的问题，只有当我们对信号的入射方向有先验信息的时候，才可能解决这个问题。
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  下一节将讨论阵列调向的问题。我们发现阵列调向使得在 $u$ 空间的频率-波数函数 $\left| \vec{\varUpsilon}_u(u) \right|$ 发生平移。这种平移导致栅瓣进入了可视区域以内。我们发现，如果阵列需要的调向范围为 $0 \degree \leqslant \theta \leqslant 180\degree$ 则需要
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  下一节将讨论阵列调向的问题，阵列调向使得在 $u$ 空间的频率-波数响应函数 $\left| \vec{\varUpsilon}_u(u) \right|$ 发生平移，这种平移导致栅瓣进入了可视区域以内。我们发现，如果阵列需要的调向范围为 $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 180^\circ$ 则需要
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$$\begin{equation}
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\frac{d}{\lambda} \leqslant \frac{1}{2}
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@@ -314,4 +323,8 @@ $$\begin{equation}
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  通常，我们考虑满足 $d \leqslant \lambda/2$ 的阵列，并假设需要在整个球内进行调向。我们把满足 $d = \lambda/2$ 的均匀线阵称为**{% label primary @标准线阵（standard linear array） %}**。
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  在时间序列分析中，当对时域波形欠采样时，会出现混迭间题。栅瓣的问题和时域混迭问题是等同的。
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在时间序列分析中，当对时域波形欠采样时，会出现混迭问题。栅瓣的问题和时域混迭问题是等同的。
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