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@@ -103,8 +103,7 @@ $$
 \left\{x\ \middle|\ a^\TT (x - x_0) \leqslant 0 \right\}
 $$
 
-其中 $x_0$ 是相应超平面上的任意一点，即 $x_0$ 满足 $a^\TT x_0 = b$。上式有一个简单的几何解释：半空间由 $x_0$ 加上任意与（向外的法）向量 $a$ 呈钝角（或直角）的向量组
-成，如[图 8](#图8) 所示。
+其中 $x_0$ 是相应超平面上的任意一点，即 $x_0$ 满足 $a^\TT x_0 = b$。上式有一个简单的几何解释：半空间由 $x_0$ 加上任意与（向外的法）向量 $a$ 呈钝角（或直角）的向量组成，如[图 8](#图8) 所示。
 
 <a id="图8"></a>
 
@@ -114,13 +113,13 @@ $$
 
 # 2. Euclid球和椭球
 
-&emsp;&emsp;$\bfR^n$ 中的空间 Euclid 球（*(Euclidean) ball*）（或简称为球）具有下面的形式：
+&emsp;&emsp;$\bfR^n$ 中的空间 **Euclid 球**（*(Euclidean) ball*）（或简称为球）具有下面的形式：
 
 $$
 B(x_c,r) = \left\{x\ \middle|\ \left\| x - x_c \right\|_2 \leqslant r \right\} = \left\{ x\ \middle|\ (x-x_c)^\TT(x-x_c) \leqslant r^2 \right\}
 $$
 
-其中 $r > O$, $\| \cdot \|_2$ 表示 Euclid 范数，即 $\|u\|_2 = (u^\TT u)^{1/2}$。向量 $x_r$ 是**球心**（*center*），标量 $r$ 为半径。$B (x_c, r)$ 由距离球心 $x_r$ 距离不超过 $r$ 的所有点组成。 Euclid 球的另一个常见的表达式为：
+其中 $r > 0$, $\| \cdot \|_2$ 表示 Euclid 范数，即 $\|u\|_2 = (u^\TT u)^{1/2}$。向量 $x_r$ 是**球心**（*center*），标量 $r$ 为**半径**（*radius*）。$B (x_c, r)$ 由距离球心 $x_r$ 距离不超过 $r$ 的所有点组成。 Euclid 球的另一个常见的表达式为：
 
 $$
 B(x_c,r) = \left\{ x_c + ru\ \middle|\ \|u\|_2 \leqslant 1 \right\}
@@ -163,7 +162,7 @@ $$\begin{equation}\label{ellipsoid-2}
 &emsp;&emsp;设 $\| \cdot \|$ 是 $\bfR^n$ 中的范数。由范数的一般性质可知，以 $r$ 为半径，$x_c$ 为球心的**范数球**（*norm ball*） $\left\{ x\ \middle|\ \|x-x_c\| \leqslant r \right\}$ 是凸的。关于范数 $\| \cdot \|$ 的**范数锥**（*norm cone*）是集合
 
 $$
-C = \left\{ (x,t) | \|t\| \leqslant t \right\} \subseteq \bfR^{n+1}
+C = \left\{ (x,t)\ \middle|\ \|x\| \leqslant t \right\} \subseteq \bfR^{n+1}
 $$
 
 顾名思义，它是一个凸锥。
@@ -198,7 +197,7 @@ $$\begin{equation}\label{polyhedron-1}
   \P = \left\{ x\ \middle|\ a_j^\TT x \leqslant b_j,\ j = 1,\cdots,m,\ c_j^\TT x = d_j,\ j = 1,\cdots,p\right\}
 \end{equation}$$
 
-因此，多面体是有限个半空间和超平面的交集。仿射集合（例如子空间、超平面、直线）、射线、线段和半空间都是多面体。显而易见，多面体是凸集。有界的多面体有时也称为**多胞形**（*polytope*），但也有一些作者反过来使用这两个概念（即用多胞形表示具有 $eqref{polyhedron}$ 形式的集合，而当其有界时称为多面体）。[图 11](#图11) 显示了一个由五个半空间的交集定义的多面体。
+因此，多面体是有限个半空间和超平面的交集。仿射集合（例如子空间、超平面、直线）、射线、线段和半空间都是多面体。显而易见，多面体是凸集。有界的多面体有时也称为**多胞形**（*polytope*），但也有一些作者反过来使用这两个概念（即用多胞形表示具有 $\eqref{polyhedron-1}$ 形式的集合，而当其有界时称为多面体）。[图 11](#图11) 显示了一个由五个半空间的交集定义的多面体。
 
 <a id="图11"></a>
 
@@ -240,15 +239,15 @@ $$\begin{equation}\label{simplex}
 
 其中 $\mathbf{1}$ 表示所有分量均为 $1$ 的向量。这个单纯形的仿射维数为 $k$，因此也称为 $\bfR^n$ 空间的 $k$ 维单纯形。
 
-> **举例**&emsp;**一些常见的单纯形。** 1 维单纯形是一条线段；2 维单纯形是一个三角形（包含其内部）； 3 维单纯形是一个四面体。
+> **举例**&emsp;**一些常见的单纯形**。1 维单纯形是一条线段；2 维单纯形是一个三角形（包含其内部）； 3 维单纯形是一个四面体。
 >
-> **单位单纯形**（*unit simplex*）是由零向量和单位向量 $\mathbf{0}, e_1,\cdots, e_n \in \bfR^n$ 决定的 $n$ 维单纯形。它可以表示为满足下列条件的向量的集合，
+> **单位单纯形**（*unit simplex*）是由零向量和单位向量 $\mathbf{0}, e_1,\cdots, e_n \in \bfR^n$ 决定的 $n$ 维单纯形。它可以表示为满足下列条件的向量的集合：
 >
 > $$
 > x \succeq 0,\qquad \mathbf{1}^\TT x\leqslant 1
 > $$
 >
-> **概率单纯形**（*probability simplex*）是由单位向量 $e_1,\cdots, e_n \in \bfR^n$ 决定的 $n — 1$ 维单纯形。它是满足下列条件的向量的集合，
+> **概率单纯形**（*probability simplex*）是由单位向量 $e_1,\cdots, e_n \in \bfR^n$ 决定的 $n - 1$ 维单纯形。它是满足下列条件的向量的集合：
 >
 > $$
 > x \succeq 0,\qquad \mathbf{1}^\TT x= 1
@@ -256,7 +255,7 @@ $$\begin{equation}\label{simplex}
 >
 > 概率单纯形中的向量对应于含有 $n$ 个元素的集合的概率分布，$x_i$ 可理解为第 $i$ 个元素的概率。
 
-为用多面体来描述单纯形 $\eqref{simplex}$，我们采用以下步骤将其变换为 $\eqref{polyhedron-2}$ 的形式。由定义可知，$x\in C$ 的充要条件是，对于某些 $\theta\succeq 0, \mathbf{1}^\TT\theta=1$, 有 $x = \theta_0 v_0 + \theta_1 v_1 + \cdots + \theta_k v_k$。等价地，如果定义 $y = (\theta_1,\cdots,\theta_k)$ 和
+&emsp;&emsp;为了用多面体来描述单纯形 $\eqref{simplex}$，采用以下步骤将其变换为 $\eqref{polyhedron-2}$ 的形式。由定义可知，$x\in C$ 的充要条件是，对于某些 $\theta\succeq 0, \mathbf{1}^\TT\theta=1$, 有 $x = \theta_0 v_0 + \theta_1 v_1 + \cdots + \theta_k v_k$。等价地，如果定义 $y = (\theta_1,\cdots,\theta_k)$ 和
 
 $$
 B = \left[ \begin{array}{c}
@@ -264,7 +263,7 @@ B = \left[ \begin{array}{c}
 \end{array} \right] \in \bfR ^{n\times k}
 $$
 
-我们知道 $x\in C$ 的充要条件是
+则 $x\in C$ 的充要条件是
 
 $$\begin{equation}\label{IFFCondition}
   x = v_0 + By
@@ -287,7 +286,7 @@ $$
 A_1 x = A_1 v_0 + y,\qquad A_2 x = A_2 v_0
 $$
 
-从中可以看出，$x\in C$ 当且仅当 $A_2 x = A_2 v_0$ 并且向量 $y = A_1 v_0 - A_1 x$ 满足 $y\succeq 0$ 和 $\mathbf{1}^\TT y \leqslant 1$。换言之得到了 $x\in C$ 的充要条件，
+从中可以看出，$x\in C$ 当且仅当 $A_2 x = A_2 v_0$ 并且向量 $y = A_1 x - A_1 v_0$ 满足 $y\succeq 0$ 和 $\mathbf{1}^\TT y \leqslant 1$。换言之得到了 $x\in C$ 的充要条件，
 
 $$
 A_2 x = A_2 v_0, \qquad A_1 x \succeq A_1 v_0, \qquad \mathbf{1}^\TT A_1 x \leqslant 1 + \mathbf{1}^\TT A_1 v_0

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@@ -79,8 +79,7 @@ $$
 
 # 2. 仿射函数
 
-  函数 $f: \bfR^n \to \bfR^m$ 是**仿射**（*affine*）的，如果它是一个线性函数和一个常数的和，即具有 $f(x) = Ax+ b$ 的形式，其中 $A \in  \bfR^{m\times n}$，$b \in \bfR^m$。假设 $S \subseteq \bfR^n$ 是凸的，并且
-$f: \bfR^n \to \bfR^m$ 是仿射函数。那么，$S$ 在 f$ 下的象
+  函数 $f: \bfR^n \to \bfR^m$ 是**仿射**（*affine*）的，如果它是一个线性函数和一个常数的和，即具有 $f(x) = Ax+ b$ 的形式，其中 $A \in  \bfR^{m\times n}$，$b \in \bfR^m$。假设 $S \subseteq \bfR^n$ 是凸的，并且 $f: \bfR^n \to \bfR^m$ 是仿射函数。那么，$S$ 在 f$ 下的象
 
 $$
 f(S) = \left\{ f(x)\ \middle|\ x\in S \right\}