diff --git a/source/_posts/2020-11-25-matlab-rcosdesign.md b/source/_posts/2020-11-25-matlab-rcosdesign.md index 67b92c7..695a076 100644 --- a/source/_posts/2020-11-25-matlab-rcosdesign.md +++ b/source/_posts/2020-11-25-matlab-rcosdesign.md @@ -46,9 +46,7 @@ mx = max(abs(h-rcosdesign(0.25,6,4,'sqrt'))) fvtool(h,'Analysis','impulse') ``` -
- -
+![ ](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-25-matlab-rcosdesign/2020-11-25-matlab-rcosdesign-010-DesignASquareRootRaisedCosineFilterExample-01.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/font/YWhyb25iZC50dGY=/fontsize/14/dissolve/20/gravity/southeast/dx/5/dy/5) ## 升余弦和根升余弦滤波器的脉冲响应 @@ -65,9 +63,7 @@ h1 = rcosdesign(rf,span,sps,'normal'); fvtool(h1,'impulse') ``` -
- -
+![ ](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-25-matlab-rcosdesign/2020-11-25-matlab-rcosdesign-020-ImpulseResponsesOfNormalAndSquareRootRaisedCosineFiltersExample-01.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/font/YWhyb25iZC50dGY=/fontsize/14/dissolve/20/gravity/southeast/dx/5/dy/5) **升余弦滤波器在 `sps` 的整数倍处具有零值点**。因此，它满足无码间串扰（ISI）的 Nyquist 准则。但是，根升余弦滤波器没有这样的特性： @@ -76,9 +72,7 @@ h2 = rcosdesign(rf,span,sps,'sqrt'); fvtool(h2,'impulse') ``` -
- -
+![ ](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-25-matlab-rcosdesign/2020-11-25-matlab-rcosdesign-030-ImpulseResponsesOfNormalAndSquareRootRaisedCosineFiltersExample-02.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/font/YWhyb25iZC50dGY=/fontsize/14/dissolve/20/gravity/southeast/dx/5/dy/5) 将根升余弦滤波器与自身进行卷积。在最大值处截断脉冲响应，使其长度与 `h1` 相同。使用最大值将响应归一化。然后，将卷积后的根升余弦滤波器与升余弦滤波器进行比较。 @@ -95,9 +89,7 @@ ylabel('Normalized amplitude') legend('h1','h2 * h2') ``` -
- -
+![ ](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-25-matlab-rcosdesign/2020-11-25-matlab-rcosdesign-040-ImpulseResponsesOfNormalAndSquareRootRaisedCosineFiltersExample-03.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/font/YWhyb25iZC50dGY=/fontsize/14/dissolve/20/gravity/southeast/dx/5/dy/5) 卷积响应的长度是有限的，因此根升余弦滤波器与自身进行卷积得到的结果会与升余弦滤波器不一致。增加 `span` 可以在响应之间获得更紧密的一致性，并更好地符合 Nyquist 准则。 diff --git a/source/_posts/2020-11-26-matlab-gaussdesign.md b/source/_posts/2020-11-26-matlab-gaussdesign.md index d645618..f751198 100644 --- a/source/_posts/2020-11-26-matlab-gaussdesign.md +++ b/source/_posts/2020-11-26-matlab-gaussdesign.md @@ -40,9 +40,7 @@ h = gaussdesign(bt,span,sps); fvtool(h,'impulse') ``` -
- -
+![ ](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-26-matlab-gaussdesign/2020-11-26-matlab-gaussdesign-010-GaussianFilterForAGSMGMSKDigitalCellularCommunicationSysExample-01.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/font/YWhyb25iZC50dGY=/fontsize/14/dissolve/20/gravity/southeast/dx/5/dy/5) # 输入参数 diff --git a/source/_posts/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues.md b/source/_posts/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues.md index e3ad466..c26fcfb 100644 --- a/source/_posts/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues.md +++ b/source/_posts/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues.md @@ -47,23 +47,15 @@ busuanzi_count: 添加 Live2D 前的不蒜子显示情况如下。 -
- -
+![添加 Live2D 前单篇博客的不蒜子显示情况](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues-010-Live2D-01.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/font/YWhyb25iZC50dGY=/fontsize/14/dissolve/20/gravity/southeast/dx/5/dy/5) -
- -
+![添加 Live2D 前网站的不蒜子显示情况](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues-020-Live2D-02.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/font/YWhyb25iZC50dGY=/fontsize/14/dissolve/20/gravity/southeast/dx/5/dy/5) 添加 Live2D 后，不蒜子在页面中不显示。 -
- -
+![添加 Live2D 后单篇博客的不蒜子显示情况](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues-030-Live2D-03.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/font/YWhyb25iZC50dGY=/fontsize/14/dissolve/20/gravity/southeast/dx/5/dy/5) -
- -
+![添加 Live2D 后网站的不蒜子显示情况](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues-040-Live2D-04.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/font/YWhyb25iZC50dGY=/fontsize/14/dissolve/20/gravity/southeast/dx/5/dy/5) ## 问题原因 @@ -93,9 +85,7 @@ busuanzi_count: 在网页生成引擎中修改代码，去掉不蒜子部分的 `id` 和 `style` 属性，重新生成网页即可解决该问题。若将 `class` 属性一并删除，会导不蒜子部分和前面的其他显示部分缺少分隔符，如下图。 -
- -
+![ ](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues/2020-11-27-hexo-next-busuanzi-issues-050-Delimeter-01.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/font/YWhyb25iZC50dGY=/fontsize/14/dissolve/20/gravity/southeast/dx/5/dy/5) 具体需要修改两个文件，`next/layout/_third-party/statistics/busuanzi-counter.swig` 中修改的是网页页脚部分的不蒜子显示，`next/layout/_macro/post.swig` 中修改的博客文章阅览数的不蒜子显示。 diff --git a/source/_posts/2020-11-27-josh-verilog-part-1.md b/source/_posts/2020-11-27-josh-verilog-part-1.md index 052f6d3..fbf035c 100644 --- a/source/_posts/2020-11-27-josh-verilog-part-1.md +++ b/source/_posts/2020-11-27-josh-verilog-part-1.md @@ -104,9 +104,7 @@ Verilog 语言是根据 C 语言发明而来的，因此 Verilog 具备了 C 语 HDL 的基本功能就是有效地描述并仿真硬件系统。在此部分，抛开具体的 PLD 或 ASIC 设计流程，从 HDL 语言层次入手，分析典型的 HDL 设计与验证流程。基于 HDL 的设计、仿真流程如下图所示。图中，虚线框表示的步骤可以根据项目的复杂度省略，而实线框表示的步骤为必须执行的步骤。 -
- -
+![基于 HDL 的设计、仿真流程](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-27-josh-verilog-part-1/2020-11-27-josh-verilog-part-1-010-DesignSimulationFlowChartBasedonHDL.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/font/YWhyb25iZC50dGY=/fontsize/14/dissolve/20/gravity/southeast/dx/5/dy/5){width=800px} 下面对一些关键设计步骤与概念进行展开。 diff --git a/source/_posts/2020-11-27-matlab-awgn.md b/source/_posts/2020-11-27-matlab-awgn.md index d8ed371..3765429 100644 --- a/source/_posts/2020-11-27-matlab-awgn.md +++ b/source/_posts/2020-11-27-matlab-awgn.md @@ -60,9 +60,7 @@ plot(t,[x y]) legend('Original Signal','Signal with AWGN') ``` -
- -
+![ ](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-27-matlab-awgn/2020-11-27-matlab-awgn-010-AddAWGNToSawtoothSignalExample-01.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/font/YWhyb25iZC50dGY=/fontsize/14/dissolve/20/gravity/southeast/dx/5/dy/5) ## AWGN 信道中的常规 QAM 调制 @@ -103,9 +101,7 @@ grid hold off ``` -
- -
+![ ](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-27-matlab-awgn/2020-11-27-matlab-awgn-020-GeneralQAMModulationInAnAWGNChannelExample-01.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/fontsize/15/dissolve/60/gravity/southeast/dx/5/dy/5) 使用 `genqamdemod` 函数解调接收到的信号。计算误符号数和误符号率。 diff --git a/source/_posts/2020-11-28-josh-verilog-part-2.md b/source/_posts/2020-11-28-josh-verilog-part-2.md index 0b43649..00d9ac6 100644 --- a/source/_posts/2020-11-28-josh-verilog-part-2.md +++ b/source/_posts/2020-11-28-josh-verilog-part-2.md @@ -52,9 +52,7 @@ EDA 行业的先行者们发明了 Verilog 硬件描述语言，其最根本的 首先看一个简单的如下图所示的电路（模块）：JoshVerilog。它可以是一个独立的设计，也可以是更大的系统的一个组成部分。 -
- -
+![ ](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2020-11-28-josh-verilog-part-2/2020-11-28-josh-verilog-part-2-010-JoshVerilog.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/font/YWhyb25iZC50dGY=/fontsize/18/dissolve/20/gravity/southeast/dx/5/dy/5){width=800px} 该电路首先在两个 2 位的输入数据 `A_in[1:0]` 的和 `B_in[1:0]` 之间，由 `sel` 信号做二选一。后面是一个 2-4 译码电路，将输入的信号 `result[1:0]`解析成 `eq0`、`eql`、`eq2` 和 `eq3` 这4个信号，它们同时只有一个为 1。 diff --git a/source/_posts/2021-12-08-josh-msp-part-1.md b/source/_posts/2021-12-08-josh-msp-part-1.md index 5aaccbe..0fa9889 100644 --- a/source/_posts/2021-12-08-josh-msp-part-1.md +++ b/source/_posts/2021-12-08-josh-msp-part-1.md @@ -14,7 +14,7 @@ tags: - 抽样率转换 - 抽取 - 内插 - - 分数被抽样 + - 分数倍抽样 categories: - - Josh 的学习笔记 - 多抽样率信号处理 @@ -75,9 +75,8 @@ X_s\left( j\Omega \right) =\frac{1}{2\pi}X_c\left( j\Omega \right) \ast \frac{2\   式 $\eqref{Relationship between the spectrum of the sampled signal and the original signal}$ 说明，采样信号的频谱是将原始信号频谱以 $\Omega_s$ 进行周期延拓，且幅度变为原来的 $1/T$，[图 1.1](#图1.1) 给出了该过程的示意图。显然，若采样率过低则会造成相邻周期的频谱交叠在一起产生失真，这种现象称为混叠 (aliasing)。为避免混叠，采样率应大于信号最高频率的 2 倍。在此条件下，通过适当选取一个低通滤波器，可以从采样信号的频谱恢复出原始信号的频谱。这就是著名的 Nyquist-Shannon 采样定理。 -
- 图1.1 采样信号与模拟信号的关系 -
+ +![图1.1 采样信号与模拟信号的关系](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2021-12-08-josh-msp-part-1/2021-12-08-josh-msp-part-1-010-RelationshipBetweenSampledSignalandAnalogSignal.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/font/YWhyb25iZC50dGY=/fontsize/14/dissolve/20/gravity/southeast/dx/5/dy/5){width=500px} **定理 1.1 (Nyquist-Shannon 采样定理)** 设 $x\left(t\right)$ 是带限信号，频带范围为 $\left(-\Omega_M,\Omega_M\right)$。如果采样率满足 @@ -134,9 +133,8 @@ y_D\left( nT_2 \right) =x\left( nDT_1 \right) 其中 $T_1$、$T_2$ 分别为抽取前后的采样间隔，且 $T_2 = DT_1$。[图 1.2(a)](#图1.2) 给出了 $D=3$ 时抽取过程的示意图。 -
- 图1.2 抽取 -
+ +![图1.2 抽取](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2021-12-08-josh-msp-part-1/2021-12-08-josh-msp-part-1-020-DecimationDemostration.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/font/YWhyb25iZC50dGY=/fontsize/14/dissolve/20/gravity/southeast/dx/5/dy/5){width=500px}   上述关系也可以简记为 diff --git a/source/_posts/2023-04-08-oxford-5000-pitch.md b/source/_posts/2023-04-08-oxford-5000-pitch.md index 9569db0..4576597 100644 --- a/source/_posts/2023-04-08-oxford-5000-pitch.md +++ b/source/_posts/2023-04-08-oxford-5000-pitch.md @@ -34,6 +34,8 @@ date: 2023-04-08 00:04:11 \[countable\] an area of ground specially prepared and marked for playing a sports game + + - *a **football pitch*** 足球场 - *a cricket/rugby/hockey pitch* 板球/橄榄球/曲棍球场 - *an artificial pitch* 人造沥青 @@ -70,8 +72,6 @@ date: 2023-04-08 00:04:11 {% endnote %} - - ### {% label primary@of sound 声音 %} 2. [singular, uncountable] how high or low a sound is, especially a musical note（尤指乐音的）音高 diff --git a/source/_posts/2023-04-09-oxford-5000-a-an.md b/source/_posts/2023-04-09-oxford-5000-a-an.md index 7b6c01d..c42f3dd 100644 --- a/source/_posts/2023-04-09-oxford-5000-a-an.md +++ b/source/_posts/2023-04-09-oxford-5000-a-an.md @@ -36,6 +36,8 @@ date: 2023-04-09 00:37:24 1. **{% label @A1 %}** used before countable or singular nouns referring to people or things that have not already been mentioned（用于可数名词或单数名词前，表示未曾提到的）一（人、事、物） + + - *a man/horse/unit* 一个人；一匹马；一个单位 - *an aunt/egg/hour/X-ray* 一位姑母；一枚鸡蛋；一小时；一张 X 光片 - *I can only carry two at a time.* 我一次只能带两个。 @@ -49,8 +51,6 @@ date: 2023-04-09 00:37:24 - *He's a teacher.* 他是教师。 - *Is that a Monet* (= a painting by Monet)? 那是莫奈的画吗？ - - 3. **{% label @A1 %}** any; every 任何一；每一 - *A lion is a dangerous animal.* 狮子是猛兽。 diff --git a/source/_posts/2023-04-14-calculas-formulas.md b/source/_posts/2023-04-14-calculas-formulas.md index 740c9a9..bd9cc11 100644 --- a/source/_posts/2023-04-14-calculas-formulas.md +++ b/source/_posts/2023-04-14-calculas-formulas.md @@ -5,7 +5,7 @@ comments: true copyright: true toc: enable: true - number: ture + number: false wrap: true expand_all: true max_depth: 4 diff --git a/source/_posts/2023-04-14-josh-dsp-part-1.md b/source/_posts/2023-04-14-josh-dsp-part-1.md new file mode 100644 index 0000000..681baf1 --- /dev/null +++ b/source/_posts/2023-04-14-josh-dsp-part-1.md @@ -0,0 +1,301 @@ +--- +title: Josh 的学习笔记之数字信号处理（Part 1——离散时间信号和系统分析基础） +mathjax: true +comments: true +copyright: true +toc: + enable: true + number: false + wrap: true + expand_all: true + max_depth: 4 +abbrlink: 1391fb05 +date: 2023-04-14 17:24:45 +tags: + - 数字信号和处理 + - DSP + - 采样定理 + - 内插函数 + - 角频率 + - 单位取样响应 + - 系统频率响应 + - 共轭对称 +categories: + - [Josh 的学习笔记, 数字信号处理] +--- + +# 1. 理想取样信号的频谱 + +  设有输入连续时间信号 $x_a\left(t\right)$，理想取样信号 $\hat{x}\left(t\right)$，单位周期冲激串 $p_\delta\left(t\right)=\displaystyle\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT\right)$，则理想取样信号可表示为 + +$$\begin{equation} +\hat{x}\left(t\right)=x_a\left(t\right)p_\delta\left(t\right)=x_a\left(t\right)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT\right) +\end{equation}$$ + +由于 $\delta\left(t-nT\right)$ 仅在 $t=nT$ 时非零，因此理想取样信号可进一步表示为 + +$$\begin{equation} +\hat{x}\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x_a\left(nT\right)\delta\left(t-nT\right)} +\end{equation}$$ + + + +  将单位周期冲激串 $p_\delta\left(t\right)$ 按指数形式的傅氏级数展开[^1]，有 + +$$\begin{equation} +p_\delta\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}{c_me^{jm\frac{2\pi}{T}\cdot t}} +\end{equation}$$ + +其中 + +$$\begin{equation} +c_m=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT\right)e^{-jm\frac{2\pi}{T}t}\mathrm{d}t} +\end{equation}$$ + +由于在积分区间 $\left[-\dfrac{T}{2},\dfrac{T}{2}\right]$内只有一个冲激脉冲 $\delta\left(t\right)$，则 + +$$\begin{equation} +c_m=\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}{\delta\left(t\right)e^{-jm\frac{2\pi}{T}t}\mathrm{d}t}=\frac{1}{T} +\end{equation}$$ + +由此，单位周期冲激串可进一步表示为 + +$$\begin{equation} +p_\delta\left(t\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(t-nT\right)=\frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}e^{jm\frac{2\pi}{T}\cdot t} +\end{equation}$$ + +  理想取样信号 $\hat{x}\left(t\right)$ 的傅里叶变换（取样角频率 $\Omega_s=\dfrac{2\pi}{T}$） + +$$\begin{equation} +\begin{aligned} + \hat{X}\left(j\Omega\right)&=\int_{-\infty}^{\infty}{\hat{x}\left(t\right)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t}=\int_{-\infty}^{\infty}{x_a\left(t\right)p_\delta\left(t\right)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t}\\ + &=\frac{1}{T}\int_{-\infty}^{\infty}{x_a\left(t\right)\sum_{m=-\infty}^{\infty}{e^{jm\Omega_st}e^{-j\Omega t}}\mathrm{d}t}=\frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{x_a\left(t\right)e^{-j\left(\Omega-m\Omega_s\right)t}\mathrm{d}t} +\end{aligned} +\end{equation}$$ + +与连续时间信号 $x_a\left(t\right)$ 的傅里叶变换对比 + +$$\begin{equation} +X_a\left(j\Omega\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x_a\left(t\right)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t} +\end{equation}$$ + +有 +$$\begin{equation} +\hat{X}\left(j\Omega\right)=\frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}{X_a\left[j\left(\Omega-m\Omega_s\right)\right]}=\frac{1}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}{X_a\left[j\left(\Omega-m\frac{2\pi}{T}\right)\right]} +\end{equation}$$ + +由此，理想取样后信号频谱的幅值乘以 $\dfrac{1}{T}$ 因子，且周期延拓[^2]。 + +# 2. 按非零脉宽取样的信号的频谱 + +  设有输入连续时间信号 $x_a\left(t\right)$，取样信号 $\hat{x}\left(t\right)$，幅度为 $1$ 重复周期为 $T$ 宽度为 $\tau$ 的周期取样脉冲 $p\left(t\right)$。取样脉冲的傅里叶变换[^3]为 + +$$\begin{equation} +\begin{aligned} +p\left( t \right) =\begin{cases} + 1,&0<\left| t \right|<\dfrac{\tau}{2}\\ + 0,&\dfrac{\tau}{2}<\left| t \right|<\dfrac{T}{2}\\ +\end{cases} +且p\left(t+T\right)=p\left(t\right) \xleftrightarrow{\text{Fourier Transform}} P\left(j\Omega\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\frac{2\sin{\left(\dfrac{m\pi\tau}{T}\right)}}{m}\delta\left(\Omega-\frac{2\pi}{T}\right) +\end{aligned} +\end{equation}$$ + +则取样信号 $\hat{x}\left(t\right)$ 的频谱 + +$$\begin{equation} +\begin{aligned} +\hat{X}\left(j\Omega\right)&=\dfrac{1}{2\pi}X_a\left(j\Omega\right)\ast P\left(j\Omega\right)=\dfrac{1}{2\pi}\sum_{m=-\infty}^{\infty}\dfrac{2\sin{\left(\dfrac{m\pi\tau}{T}\right)}}{m}X_a\left[j\left(\Omega-m\frac{2\pi}{T}\right)\right]\\ +&=\frac{\tau}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}Sa\left(\frac{m\pi\tau}{T}\right)X_a\left[j\left(\Omega-m\frac{2\pi}{T}\right)\right] +\end{aligned} +\end{equation}$$ + +其中 + +$$\begin{equation} +\Omega_s=\frac{2\pi}{T}，\mathrm{Sa}\left(x\right)=\frac{\sin{x}}{x} +\end{equation}$$ + +由此可见取样信号的频谱是周期重复的，其幅度是按照 $\mathrm{Sa}$ 函数（或 $\mathrm{sinc}$ 函数）[^4]的变化规律随频率而逐渐下降的。 + +# 3. Shannon 取样定理 + +  对于任何采样（不论是理想或实际），取样频率 $\Omega_s$ 必须大于原模拟信号频谱中最高频率 $\Omega_h$ 的两倍，则取样信号 $x_a\left(t\right)$ 可由其取样信号 $x\left(nT\right)$ 唯一表示表示，即不发生频谱混叠。 + +  信号频谱中最高频率 $\Omega_h$ 称为 Nyquist 频率，理论上能够再恢复出原信号的最小频率 $\Omega_s={2\Omega}_h$ 称为 Nyquist 采样率。 + +# 4. 信号的恢复及取样内插公式 + +  当满足 Shannon 取样定理时，将取样信号 $\hat{x}\left(t\right)$ 通过一带宽等于折叠频率 $\Omega_0=\dfrac{\Omega_s}{2}$ 的只允许通过基带频谱的理想低通滤波器可恢复出原模拟信号。滤波器的频域表达式及其脉冲响应为 + +$$\begin{equation} +H\left( j\varOmega \right) =\begin{cases} + T,\left| \Omega \right|<\dfrac{\Omega _s}{2}\\ + 0,\left| \Omega \right|\geqslant \dfrac{\Omega _s}{2}\\ +\end{cases} +\end{equation}$$ + +$$\begin{equation} +\text{Fourier} \updownarrow \text{Transform} +\\ +h_a\left( t \right) =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{H\left( j\Omega \right) e^{j\Omega t}\text{d}t}=\frac{T}{2\pi}\int_{-\frac{\Omega _s}{2}}^{\frac{\Omega _{\text{s}}}{2}}{e^{j\Omega t}\text{d}t} +=\dfrac{\sin \!\:\dfrac{\Omega _s}{2}t}{\dfrac{\Omega _s}{2}t}=\dfrac{\sin \!\:\dfrac{\pi}{T}t}{\dfrac{\pi}{T}t} +\end{equation}$$ + +则由时域卷积定理[^5] + +$$\begin{equation} +\begin{aligned} + y\left(t\right)&=\hat{x}\left(t\right)\ast h_a\left(t\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{\hat{x}\left(t\right)h_a\left(t-\tau\right)d\tau}=\int_{-\infty}^{\infty}{\left[\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x_a\left(\tau\right)\delta\left(\tau-nT\right)}\right]h_a\left(t-\tau\right)d\tau}\\ + &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}{x_a\left(\tau\right)h_a\left(t-\tau\right)\delta\left(\tau-nT\right)d\tau}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x_a\left(nT\right)h_a\left(t-nT\right)}\\ + &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x_a\left(nT\right)\dfrac{\sin{\dfrac{\pi}{T}\left(t-nT\right)}}{\dfrac{\pi}{T}\left(t-nT\right)}=x_a\left(t\right)} +\end{aligned} +\end{equation}$$ + +其中内插函数 + +$$\begin{equation} +h_a\left(t-nT\right)=\frac{\sin{\dfrac{\pi}{T}\left(t-nT\right)}}{\dfrac{\pi}{T}\left(t-nT\right)} +\end{equation}$$ + +由此，只要取样率 $\Omega_s$ 满足 Shannon 取样定理，连续时间函数 $x_a\left(t\right)$ 就可以由它的取样值来表达而不损失任何信息。这时只要把每一个瞬间的函数乘以对应的内插函数 $h_a\left(t-nT\right)$ 并求总和，即可得出 $x_a(t)$。 + +# 5. 数字域角频率和模拟域角频率的关系 + +  以正弦序列为例 + +$$\begin{equation} +x\left(n\right)=\left.x\left(\Omega_0t\right)\right|_{t=nT}=\sin{\left(\Omega_0Tn\right)}=\sin{\left(\omega_0n\right)} +\end{equation}$$ + +则数字域角频率和模拟域角频率的关系为 + +$$\begin{equation} +\omega_0=\Omega_0T=\frac{\Omega_0}{f_s} +\end{equation}$$ + +也可以说模拟域角频率 $\Omega_0$ 对取样频率 $f_s$ 取归一化的值 $\dfrac{\Omega_0}{f_s}$。 + +# 6. 离散线性卷积的矩阵算法 + +$$\begin{equation} +y=h\ast x=\left[\begin{matrix}h_1&0&\cdots&0&0\\h_2&h_1&\ddots&\vdots&\vdots\\\vdots&\vdots&\ddots&0&0\\h_m&h_{m-1}&&h_1&0\\0&h_m&\ddots&\vdots&h_1\\0&0&\ddots&h_{m-1}&\vdots\\\vdots&\vdots&&h_m&h_{m-1}\\0&0&\cdots&0&h_m\\\end{matrix}\right]_{\left(m+n-1\right)\times n}\cdot\left[\begin{matrix}x_1\\x_2\\x_3\\\vdots\\x_n\\\end{matrix}\right]_{n\times1} +\end{equation}$$ + +$$\begin{equation} +y^T=\left[\begin{matrix}h_1&h_2&h_3&\cdots&h_{m-1}&h_m\\\end{matrix}\right]_{1\times n}\cdot\left[\begin{matrix}x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n&0&0&0&\cdots&0\\0&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n&0&0&\cdots&0\\0&0&x_1&x_2&x_3&\cdots&x_n&0&\cdots&0\\\vdots&\vdots&\vdots&\ddots&&&\vdots&\ddots&\vdots&\vdots\\0&\cdots&0&0&x_1&\cdots&x_{n-2}&x_{n-1}&x_n&0\\0&\cdots&0&0&0&x_1&\cdots&x_{n-2}&x_{n-1}&x_n\\\end{matrix}\right]_{n\times\left(n+m-1\right)} +\end{equation}$$ + +# 7. 单位取样响应 $h\left(n\right)$ 和系统频率响应 $H\left(e^{j\omega}\right)$ 的关系 + +## 7.1 通过单位取样响应 $h\left(n\right)$ 从时域表征系统 + +  当系统的输入为单位取样序列 $\delta\left(n\right)$ 时的输出序列称为系统的单位取样响应 $h\left(n\right)$，记 + +$$\begin{equation} +h\left(n\right)=T\left[\delta\left(n\right)\right] +\end{equation}$$ + +若系统是线性时不变的，则系统对移位 $k$ 步的单位取样序列 $\delta\left(n-k\right)$ 的响应为 + +$$\begin{equation} +h\left(n-k\right)=T\left[\delta\left(n-k\right)\right] +\end{equation}$$ + +由于任何一输入序列均可表示为加权延时单位取样响应的线性组合，即 + +$$\begin{equation} +x\left(n\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}x\left(k\right)\delta\left(n-k\right) +\end{equation}$$ + +由此，线性时不变系统的输出可表示为 + +$$\begin{equation} +\begin{aligned} + y\left(n\right)&=T\left[x\left(n\right)\right]=T\left[\sum_{k=-\infty}^{\infty}x\left(k\right)\delta\left(n-k\right)\right]\\ + &\xlongequal{\text{叠加性、均匀性}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}{x\left( k \right)}T\left[ \delta \left( n-k \right) \right] \xlongequal{\text{非时变性}}\sum_{k=-\infty}^{\infty}{x\left( k \right)}\text{h}\left( n-k \right) +\end{aligned} +\end{equation}$$ + +故任何离散时间线性时不变系统，可以通过其单位取样响应 $h\left(n\right)$ 来**完全表征**。 + +## 7.2 通过系统频率响应 $H\left(e^{j\omega}\right)$ 从频域表征系统 + +  离散时间系统的频率响应是由系统的结构参数决定的。当输入频率为 $\omega$ 的复指数序列时，其输出必仍为同一频率的、乘上因子 $H\left(e^{j\omega}\right)$ 的复指数序列。随着输入频率 $\omega$ 的不同，$H\left(e^{j\omega}\right)$ 的值也不同。因此系统的频率响应 $H\left(e^{j\omega}\right)$ **描述了系统对不同频率的复指数序列的不同传输能力**。 + +## 7.3 单位取样响应 $h\left(n\right)$ 和系统频率响应 $H\left(e^{j\omega}\right)$ 的关系 + +  令单位取样响应为 $h\left(n\right)$ 的线性时不变系统的输入 $x\left(n\right)=Ae^{j\left(\omega n+\varphi_x\right)}=Ae^{j\omega n}e^{j\varphi_x}$，则输出 + +$$\begin{equation} +y\left(n\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}h\left(k\right)x\left(n-k\right)=\left[\sum_{k=-\infty}^{\infty}{h\left(k\right)e^{-j\omega k}}\right]\cdot Ae^{j\left(\omega n+\varphi_x\right)}=\left[\sum_{k=-\infty}^{\infty}{h\left(k\right)e^{-j\omega k}}\right]\cdot x\left(n\right) +\end{equation}$$ + +则系统频率响应 + +$$\begin{equation} +H\left(e^{j\omega}\right)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}{h\left(k\right)e^{-j\omega k}}=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{h\left(n\right)e^{-j\omega n}} +\end{equation}$$ + +即离散时间线性时不变系统的频率响应 $H\left(e^{j\omega}\right)$ 就是系统的单位取样响应 $h\left(n\right)$ 的傅氏变换，是 $h\left(n\right)$ 的频谱。 + +# 8. 共轭对称与共轭反对称 + +## 8.1 共轭对称 + +  若序列 $x_e\left(n\right)=x_e^\ast(-n)$，则称 $x_e\left(n\right)$ 是共轭对称的序列，对实序列，又称为偶序列。 + +## 8.2 共轭反对称 + +  若序列 $x_o\left(n\right)=-x_o^\ast(-n)$，则称 $x_o\left(n\right)$ 是共轭反对称的序列，对实序列，又称为奇序列。 + +## 8.3 序列的对称性 + +  若 + +$$\begin{equation} +x_e\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(n\right)+x^\ast\left(-n\right)\right],\ x_o\left(n\right)=\frac{1}{2}\left[x\left(n\right)+x^\ast\left(-n\right)\right] +\end{equation}$$ + +则 $x_e\left(n\right)、x_o\left(n\right)$ 分别称为 $x\left(n\right)$ 的共轭对称序列和共轭反对称序列。显然，任意序列均可表示为该序列的共轭对称序列和共轭反对称序列的和，即 + +$$\begin{equation} +x\left(n\right)=x_e\left(n\right)+x_o\left(n\right) +\end{equation}$$ + +## 8.4 傅里叶变换的共轭对称性 + +$$\begin{equation} +X\left(e^{j\omega}\right)=X_e\left(e^{j\omega}\right)+X_o\left(e^{j\omega}\right) +\end{equation}$$ + +$$\begin{equation} +X_e\left(e^{j\omega}\right)=\frac{1}{2}\left[X\left(e^{j\omega}\right)+X^\ast\left(e^{j\omega}\right)\right],\ X_o\left(e^{j\omega}\right)=\frac{1}{2}\left[X\left(e^{j\omega}\right)-X^\ast\left(e^{j\omega}\right)\right] +\end{equation}$$ + +# 9. 傅里叶变换、拉氏变换和 $z$ 变换的关系 + +![傅里叶变换、拉氏变换和 $z$ 变换的关系](https://josh-blog-1257563604.cos.ap-beijing.myqcloud.com/img/2023-04-14-josh-dsp-part-1/2023-04-14-josh-dsp-part-1-010-RelationshipBetweenTransform.png?imageMogr2/thumbnail/!100p|watermark/2/text/QEpvc2ggR2Fv/font/YWhyb25iZC50dGY=/fontsize/14/dissolve/20/gravity/southeast/dx/5/dy/5){width=600px} + +[^1]: $f\left( x \right)$ 的以 $2l$ 为周期的傅氏级数的指数形式为 +$$ +f\left(x\right)\sim\sum_{m=-\infty}^{\infty}{c_me^{jm\frac{x}{l}}} +$$ + +其中 + +$$ +c_m=\frac{1}{2l}\int_{-l}^{l}{f\left(x\right)e^{-jm\frac{x}{l}}\mathrm{d}x} +$$ + +[^2]: 直接用 $p_\delta\left(t\right)$ 的傅里叶变换 + +$$P_\delta\left(t\right)=\frac{2\pi}{T}\sum_{m=-\infty}^{\infty}{\delta(\Omega-m\Omega_s)} +$$ + +与 $x_a\left(t\right)$ 的傅里叶变换 $X_a\left(j\Omega\right)$ 卷积后除以 $2\pi$ 也可得到相应结果。 + +[^3]: 即为周期方波的傅里叶变换。 + +[^4]: 《信号与系统（第四版）》（曾禹村等编著，北京理工大学出版社，2018）中对 $\mathrm{sinc}$ 函数的定义不准确，严格来说归一化的 $\mathrm{sinc}$ 函数（常在信号处理领域应用）定义为 $\mathrm{sinc}\left(x\right)=\dfrac{\sin{\left(\pi x\right)}}{\pi x}$，而非归一化的 $\mathrm{sinc}$ 函数（常用在数学领域）定义为 $\mathrm{sinc}\left(x\right)=\dfrac{\sin{x}}{x}$。在信号处理中，为了区别归一化的 $\mathrm{sinc}$ 函数，定义取样函数（Sampling function）$\mathrm{Sa}\left(x\right)=\dfrac{\sin{x}}{x}$，但二者并无本质区别。 + +[^5]: 时域卷积定理：$x\left(t\right)\ast y\left(t\right)=X\left(j\Omega\right)\cdot Y(j\Omega)$，频域卷积定理：$x\left(t\right)\cdot y\left(t\right)=\dfrac{1}{2\pi}X\left(j\Omega\right)\ast Y(j\Omega)$。 diff --git a/source/_posts/2023-04-14-josh-dsp-part-2.md b/source/_posts/2023-04-14-josh-dsp-part-2.md new file mode 100644 index 0000000..fc15f26 --- /dev/null +++ b/source/_posts/2023-04-14-josh-dsp-part-2.md @@ -0,0 +1,247 @@ +--- +title: Josh 的学习笔记之数字信号处理（Part 2——离散傅里叶级数 DFS） +mathjax: true +comments: true +copyright: true +toc: + enable: true + number: false + wrap: true + expand_all: true + max_depth: 4 +tags: + - 数字信号和处理 + - DSP + - 离散傅里叶级数 + - DFS + - 连续时间傅里叶变换 + - 连续傅里叶级数 + - 离散时间傅里叶变换 + - DTFT + - 圆周卷积 + - 周期卷积 + - 共轭对称 +categories: + - - Josh 的学习笔记 + - 数字信号处理 +abbrlink: 3345523e +date: 2023-04-14 18:43:17 +--- + +# 1. 傅里叶变换的几种形式 + +## 1.1 非周期连续时间信号的傅里叶变换 + +  非周期连续时间信号的傅里叶变换（连续时间傅里叶变换，Continuous-Time Fourier Transform, CTFT）的形式为： + +$$\begin{equation} +X_a\left(j\Omega\right)=\int_{-\infty}^{\infty}{x_a\left(t\right)e^{-j\Omega t}\mathrm{d}t} +\end{equation}$$ + +$$\begin{equation} +x_a\left(t\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}{X_a\left(j\Omega\right)e^{j\Omega t}\mathrm{d}\Omega} +\end{equation}$$ + + + +## 1.2 周期连续时间信号的傅里叶变换 + +  周期连续时间信号的傅里叶变换（连续傅里叶级数，Continous Fourier Series, CFS）的形式为： + +$$\begin{equation} +X\left(m\Omega\right)=\frac{1}{t_p}\int_{-\frac{t_p}{2}}^{\frac{t_p}{2}}{x_a\left(t\right)e^{-jm\Omega t}\mathrm{d}t} +\end{equation}$$ + +$$\begin{equation} +x_a\left(t\right)=\sum_{m=-\infty}^{\infty}{X\left(m\Omega\right)e^{jm\Omega t}} +\end{equation}$$ + +其中 $t_p$ 为信号的周期，频域相邻谱线间角频率增量 $\Omega=\dfrac{2\pi}{t_p}$。 + +## 1.3 非周期离散时间信号的傅里叶变换 + +  非周期离散时间信号的傅里叶变换（离散时间傅里叶变换，Discrete-Time Fourier Transform, DTFT）的形式为： + +$$\begin{equation} +X\left(e^{j\omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x\left(n\right)e^{-j\omega n}} +\end{equation}$$ + +$$\begin{equation} +x\left(n\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}{X\left(e^{j\omega}\right)e^{j\omega n}\mathrm{d}\omega} +\end{equation}$$ + +取样频率 $f_s=\dfrac{1}{T}$，取样角频率 $\Omega_s=\dfrac{2\pi}{T}$，取样数字频率$\omega_s=2\pi$。 + +## 1.4 周期离散时间信号的傅里叶变换 + +  周期离散时间信号的傅里叶变换（离散傅里叶级数，Discrete Fourier Series, DFS）的形式为： + +$$\begin{equation} +\widetilde{X}\left(k\right)=\left.\widetilde{X}\left(e^{j\omega}\right)\right|_{\omega=k\frac{2\pi}{N}}=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}}=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)W_N^{kn}} +\end{equation}$$ + +$$\begin{equation} +\widetilde{x}\left(n\right)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)W_N^{-kn}} +\end{equation}$$ + +其中 $N$ 为一个周期内的点数，时域相邻谱线间隔为 $T$ ，频域相邻谱线间隔为 $\dfrac{1}{NT}$，以数字频率表征时为 $\dfrac{2\pi}{N}$。 + +> **由以上，在一个域中对函数进行取样，两取样点间增量的倒数，必是另一个域中的周期。** + +# 2. 离散傅里叶级数（DFS）的推导 + +## 2.1 正变换 + +  令 $x\left(n\right)$ 为 $N$ 点长的离散序列，则其 DTFT（上标“~”用来表征周期性） + +$$\begin{equation} +\widetilde{X}\left(e^{j\omega}\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{x\left(n\right)e^{-j\omega n}}=\sum_{n=0}^{N-1}{x\left(n\right)e^{-j\omega n}} +\end{equation}$$ + +对 $\widetilde{X}\left(e^{j\omega}\right)$ 取样，使其称为周期离散频率函数，由此时域序列 $x\left(n\right)$ 周期化为 $\widetilde{x}\left(n\right)$，令其谱线间隔为 $T$，则时域序列的周期为 $NT$，所以对频谱取样的谱间距为 $\dfrac{1}{NT}$，以数字频率表征时，谱间距 + +$$\begin{equation} +\omega_\mathrm{I}=\frac{2\pi}{N} +\end{equation}$$ + +因此，以数字频率 $\omega$ 为变量的 $X\left(e^{j\omega}\right)$ 被离散化时，其变量 $\omega$ 变为 + +$$\begin{equation} +\omega=k\omega_\mathrm{I}=k\frac{2\pi}{N} +\end{equation}$$ + +因此离散周期序列 $\widetilde{x}\left(n\right)$ 的傅里叶级数可写为 + +$$\begin{equation} +\widetilde{X}\left(k\right)=\left.\widetilde{X}\left(e^{j\omega}\right)\right|_{\omega=k\frac{2\pi}{N}}=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}}=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)W_N^{kn}} +\end{equation}$$ + +并将数字域频率用 $k$ 简化表示。且 + +$$\begin{equation} +\widetilde{X}\left(k+N\right)=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi}{N}\left(k+N\right)n}}=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j2\pi n}e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}=}\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}=}\widetilde{X}\left(k\right) +\end{equation}$$ + +即 $\widetilde{X}\left(k\right)$ 是以 $N$ 为周期的周期函数。 + +## 2.2 逆变换 + +  将正变换两边乘以 $e^{j\frac{2\pi}{N}kr}$，并在一个周期内求和，有 + +$$\begin{equation} +\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kr}}=\sum_{k=0}^{N-1}{\left(\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}}\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kr}}=N\left[\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)\left(\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{j\frac{2\pi}{N}k\left(r-n\right)}\right)}\right] +\end{equation}$$ + +由正交定理 + +$$\begin{equation} +\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}e^{j\frac{2\pi}{N}k\left(r-n\right)}= +\begin{aligned} +\begin{cases} +1,&r=n\\ +0,&r≠n +\end{cases} +\end{aligned} +\end{equation}$$ + +则 + +$$\begin{equation} +\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kr}}=N\left.\left[\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)}\right]\right|_{n=r}=N\widetilde{x}\left(r\right) +\end{equation}$$ + +可得逆离散傅里叶变换 + +$$\begin{equation} +\widetilde{x}\left(n\right)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)W_N^{-kn}} +\end{equation}$$ + +且 + +$$\begin{equation} +\widetilde{x}\left(n+mN\right)=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}k\left(n+mN\right)}}=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)e^{j\frac{2\pi}{N}kn}e^{j2\pi km}}=\widetilde{x}\left(n\right) +\end{equation}$$ + +即 $\widetilde{x}\left(n\right)$ 是以 $N$ 为周期的周期函数。 + +# 3. 离散傅里叶级数（DFS）的性质 + +## 3.1 线性性质 + +$$\begin{equation} +\mathrm{DFS}\left[a{\widetilde{x}}_1\left(n\right)+{b\widetilde{x}}_2\left(n\right)\right]=a{\widetilde{X}}_1\left(k\right)+b{\widetilde{X}}_2\left(k\right) +\end{equation}$$ + +## 3.2 时移性质 + +$$\begin{equation} +\mathrm{DFS}\left[\widetilde{x}\left(n+m\right)\right]=W_N^{-mk}\widetilde{X}\left(k\right) +\end{equation}$$ + +证明： + +$$\begin{equation} +\begin{aligned} +\mathrm{DFS}\left[\widetilde{x}\left(n+m\right)\right]&=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n+m\right)W_N^{nk}}=\sum_{n=m}^{N-1+m}{\widetilde{x}\left(n\right)W_N^{\left(n-m\right)k}}=\sum_{n=m}^{N-1+m}{\widetilde{x}\left(n\right)W_N^{nk}W_N^{-mk}} +\\ +&\xlongequal{利用\widetilde{x}\left(n\right)和W_N^{nk}的周期性}\left(\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{x}\left(n\right)W_N^{nk}}\right)W_N^{-mk}=W_N^{-mk}\widetilde{X}\left(k\right) +\end{aligned} +\end{equation}$$ + +## 3.3 频移性质 + +$$\begin{equation} +\mathrm{IDFS}\left[\widetilde{X}\left(k+l\right)\right]=W_N^{nl}\widetilde{x}\left(n\right) +\end{equation}$$ + +证明： + +$$\begin{equation} +\begin{aligned} +\mathrm{IDFS}\left[\widetilde{X}\left(k+l\right)\right]&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k+l\right)W_N^{-kn}}=\frac{1}{N}\sum_{k=l}^{N-1+l}{\widetilde{X}\left(k\right)W_N^{-\left(k-l\right)n}}=\frac{1}{N}\sum_{k=l}^{N-1+l}{\widetilde{X}\left(k\right)W_N^{-kn}W_N^{nl}} +\\ +&\xlongequal{利用\widetilde{X}\left(n\right)和W_N^{-nk}的周期性}\frac{1}{N}\left(\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}\left(k\right)W_N^{-kn}}\right)W_N^{nl}=W_N^{nl}\widetilde{x}\left(n\right) +\end{aligned} +\end{equation}$$ + +## 3.4 时域周期卷积 + +$$\begin{equation} +{\widetilde{x}}_1\left(n\right)\odot{\widetilde{x}}_2\left(n\right)=\mathrm{IDFS}\left[{\widetilde{X}}_1\left(k\right)\cdot{\widetilde{X}}_2\left(k\right)\right] +\end{equation}$$ + +证明： + +$$\begin{equation} +\begin{aligned} +\mathrm{IDFS}\left[{\widetilde{X}}_1\left(k\right)\cdot{\widetilde{X}}_2\left(k\right)\right]&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\left[{\widetilde{X}}_1\left(k\right)\cdot{\widetilde{X}}_2\left(k\right)\right]W_N^{-nk}}\\ +&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\left[\sum_{m=0}^{N-1}{\widetilde{x}}_1\left(m\right)W_N^{mk}\right]{\widetilde{X}}_2\left(k\right)W_N^{-nk}}\\ +&=\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\left[\sum_{m=0}^{N-1}{\widetilde{x}}_1\left(m\right){\widetilde{X}_2\left(k\right)W}_N^{-\left(n-m\right)k}\right]\\ +&=\sum_{m=0}^{N-1}{\widetilde{x}}_1\left(m\right)\left[\frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}_2\left(k\right)W}_N^{-\left(n-m\right)k}\right]\\ +&=\sum_{m=0}^{N-1}{\widetilde{x}}_1\left(m\right){\widetilde{x}}_2\left(n-m\right) +\\ +&={\widetilde{x}}_1\left(n\right)\odot{\widetilde{x}}_2\left(n\right) +\end{aligned} +\end{equation}$$ + +> 注：此处用 $\odot$ 表示圆周卷积，不同教材中圆周卷积的符号表述可能不同。 + +## 3.5 频域周期卷积 + +$$\begin{equation} +\mathrm{DFS}\left[{\widetilde{x}}_1\left(n\right){\widetilde{x}}_2\left(n\right)\right]=\frac{1}{N}\left[{\widetilde{X}}_1\left(k\right)\odot{\widetilde{X}}_2\left(k\right)\right] +\end{equation}$$ + +证明： + +$$\begin{equation} +\begin{aligned} +\mathrm{DFS}\left[{\widetilde{x}}_1\left(n\right){\widetilde{x}}_2\left(n\right)\right]&=\sum_{n=0}^{N-1}{\widetilde{X}_1\left(n\right){\widetilde{x}}_2\left(n\right)W_N^{kn}}=\sum_{n=0}^{N-1}\left[\frac{1}{N}\sum_{r=0}^{N-1}{\widetilde{X}_1\left(r\right)W_N^{-rn}}\right]{\widetilde{x}}_2\left(n\right)W_N^{kn}\\ +&=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\left[\sum_{r=0}^{N-1}{\widetilde{X}_1\left(r\right){\widetilde{x}}_2\left(n\right)W_N^{\left(k-r\right)n}}\right]\\ +&=\frac{1}{N}\sum_{r=0}^{N-1}{\widetilde{X}}_1\left(r\right)\left[\sum_{k=0}^{N-1}{\widetilde{X}_2\left(n\right)W_N^{\left(k-r\right)n}}\right]\\ +&=\frac{1}{N}\sum_{r=0}^{N-1}{\widetilde{X}}_1\left(r\right){\widetilde{X}}_2\left(k-r\right)\\ +&=\frac{1}{N}\left[{\widetilde{X}}_1\left(k\right)\odot{\widetilde{X}}_2\left(k\right)\right] +\end{aligned} +\end{equation}$$ + +> 注：此处用 $\odot$ 表示圆周卷积，不同教材中圆周卷积的符号表述可能不同。