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2024-07-04 00:29:38 +08:00
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@@ -38,7 +38,7 @@ $$\begin{equation}\label{DefinitionOfConvexFunction}
  f(\theta x+(1-\theta)y)\leqslant\theta f(x)+(1-\theta)f(y)
 \end{equation}$$

-&emsp;&emsp;从几何意义上看，上述不等式意味着点 $(x,f(x))$ 和 $(y,f(y))$ 之间的线段，即从 $x$ 到 $y$ 的**弦**（*chord*），在函数 $f$ 的图像上方(如[图 1](#图1)所示)。称函数 $f$ 是**严格凸**（*strictly convex*）的，如果式 $\eqref{DefinitionOfConvexFunction}$ 中的不等式当 $x\neq y$ 以及 $0<\theta<1$ 时严格成立。称函数 $f$ 是**凹**（*concave*）的，如果函数 $-f$ 是凸的，称函数 $f$ 是**严格凹**（*strictly concave*）的，如果 $-f$ 严格凸。
+&emsp;&emsp;从几何意义上看，上述不等式意味着点 $(x,f(x))$ 和 $(y,f(y))$ 之间的线段，即从 $x$ 到 $y$ 的**弦**（*chord*），在函数 $f$ 的图像上方（如[图 1](#图1)所示）。称函数 $f$ 是**严格凸**（*strictly convex*）的，如果式 $\eqref{DefinitionOfConvexFunction}$ 中的不等式当 $x\neq y$ 以及 $0<\theta<1$ 时严格成立。称函数 $f$ 是**凹**（*concave*）的，如果函数 $-f$ 是凸的，称函数 $f$ 是**严格凹**（*strictly concave*）的，如果 $-f$ 严格凸。

 <a id="图1"></a>

@@ -46,9 +46,26 @@ $$\begin{equation}\label{DefinitionOfConvexFunction}

 <!-- more -->

-&emsp;&emsp;对于仿射函数，不等式 $\eqref{DefinitionOfConvexFunction}$ 总成立，因此所有的仿射函数（包括线性函数）是既凸且凹的。反之，若某个函数是既凸又凹的，则其是仿射函数。
+&emsp;&emsp;对于仿射函数，式 $\eqref{DefinitionOfConvexFunction}$ 始终可以取等号，因此所有的[仿射函数][]（包括线性函数）是既凸且凹的。反之，若某个函数是既凸又凹的，则其是仿射函数。

-&emsp;&emsp;函数是凸的，当且仅当其在与其定义域相交的任何直线上都是凸的。换言之，函数 $f$ 是凸的，当且仅当对于任意 $x\in\dom f$ 和任意向量 $v$，函数 $g(t)=f(x+tv)$ 是凸的（其定义域为 $\{t\mid x+tv\in\dom f\}$）。这个性质非常有用，因为它容许我们通过将函数限制在直线上来判断其是否是凸函数。
+&emsp;&emsp;函数是凸的，当且仅当其在与其定义域相交的任何直线上都是凸的。换言之，函数 $f$ 是凸的，当且仅当对于任意 $x\in\dom f$ 和任意向量 $v$，函数 $g(t)=f(x+tv)$ 是凸的（其定义域为 $\{t\mid x+tv\in\dom f\}$）。这个性质非常有用，因为它让我们可以通过将函数限制在直线上来判断其是否是凸函数。
+
+{% note info %}
+
+这里可能是由于翻译问题导致不是很好理解，我们先看原文：
+
+> A function is convex if and only if it is convex when restricted to any line that
+intersects its domain. In other words f is convex if and only if for all $x\in\mathbf{dom}\, f$ and all $v$, the function $g(t) = f(x + tv)$ is convex (on its domain, $\{t\mid x+tv\in\mathbf{dom}\, f\}$). This property is very useful, since it allows us to check whether a function is convex by restricting it to a line.
+
+仍然不是很好理解。因此这里如下解释：
+
+- 限制在直线上：考虑一个函数 $f$ 和其定义域内的任意一点 $x$。再选择一个任意方向向量 $v$。我们沿着这个方向 $v$ 从点 $x$ 出发，得到一条直线。任何点 $x+tv$（其中 $t$ 是一个实数）都在这条直线上。这就叫做将函数限制在直线上。
+
+- 直线上的函数：我们定义一个新的函数 $g(t)=f(x+tv)$。这个新的函数 $g(t)$ 表示原函数 $f$ 在直线$x+tv$上的值。
+
+- 检查凸性：如果对于任意 $x$ 和 $v$，新的函数 $g(t)$ 是凸的，那么我们就说原函数 $f$ 是凸的。也就是说，如果 $f$ 在所有限制的直线上都是凸的，那么 $f$ 本身就是凸的。
+
+{% endnote %}

 &emsp;&emsp;对凸函数的**分析**（*analysis*）已经相当地透彻，这里不再继续深入。例如有这样一个简单的结论，凸函数在其定义域相对内部是连续的；它只可能在相对边界上不连续。

@@ -531,3 +548,5 @@ $$

 1. Stephen P. Boyd and Lieven Vandenberghe, *Convex optimization*. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2004.
 2. Stephen P. Boyd and Lieven Vandenberghe, *凸优化*. 北京: 清华大学出版社, 2013.
+
+[仿射函数]: https://josh-gao.top/posts/a4a69a4f.html?#%E4%BB%BF%E5%B0%84%E5%87%BD%E6%95%B0