new post josh-cvx-2.2, update josh-cvx-2.1, new draft zynq-debug-fsbl

source/_drafts/2024-06-29-zynq-debug-fsbl.md

@@ -0,0 +1,36 @@
+---
+title: Zynq 系列 SoC / MPSoC 创建可调试的 FSBL
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+tags:
+  - 调试记录
+  - MPSoC
+  - RFSoC
+  - Zynq
+  - FSBL
+categories:
+  - 调试记录
+date: 2024-06-29 16:46:38
+---
+
+FSBL 可以初始化 SoC 设备，将所需的应用程序或数据加载到内存，并在目标 CPU 核心上启动应用程序。
+
+在 Vitis 中创建 Platform 时，可以选择同时创建 FSBL，这样 FSBL 就会位于 Platform 下。也可以创建单独的 FSBL 程序，作为普通程序使用，以便进一步修改或调试。
+
+本文以 Zynq UltraScale+ RFSoC 为例，对 FSBL 进行调试。
+
+# 名词释义
+
+- [FSBL](https://xilinx-wiki.atlassian.net/wiki/spaces/A/pages/18842019/Zynq+UltraScale+FSBL#ZynqUltraScale+FSBL-WhatisFSBL?)：First Stage Bootloader，第一阶段引导加载程序
+- [SoC](https://en.wikipedia.org/wiki/System_on_a_chip)：System-on-Chip，片上系统
+
+# 参考文档
+
+[Creating a Debuggable First Stage Boot Loader](https://xilinx.github.io/Embedded-Design-Tutorials/docs/2021.1/build/html/docs/Feature_Tutorials/debuggable-fsbl/debuggable-fsbl.html)

source/_posts/2024-06-14-josh-cvx-2-1.md

@@ -38,7 +38,7 @@ $$\begin{equation}\label{DefinitionOfConvexFunction}
   f(\theta x+(1-\theta)y)\leqslant\theta f(x)+(1-\theta)f(y)
 \end{equation}$$
 
-&emsp;&emsp;从几何意义上看，上述不等式意味着点 $(x,f(x))$ 和 $(y,f(y))$ 之间的线段，即从 $x$ 到 $y$ 的**弦**（*chord*），在函数 $f$ 的图像上方(如[图 1](#图1)所示)。称函数 $f$ 是**严格凸**（*strictly convex*）的，如果式 $\eqref{DefinitionOfConvexFunction}$ 中的不等式当 $x\neq y$ 以及 $0<\theta<1$ 时严格成立。称函数 $f$ 是**凹**（*concave*）的，如果函数 $-f$ 是凸的，称函数 $f$ 是**严格凹**（*strictly concave*）的，如果 $-f$ 严格凸。
+&emsp;&emsp;从几何意义上看，上述不等式意味着点 $(x,f(x))$ 和 $(y,f(y))$ 之间的线段，即从 $x$ 到 $y$ 的**弦**（*chord*），在函数 $f$ 的图像上方（如[图 1](#图1)所示）。称函数 $f$ 是**严格凸**（*strictly convex*）的，如果式 $\eqref{DefinitionOfConvexFunction}$ 中的不等式当 $x\neq y$ 以及 $0<\theta<1$ 时严格成立。称函数 $f$ 是**凹**（*concave*）的，如果函数 $-f$ 是凸的，称函数 $f$ 是**严格凹**（*strictly concave*）的，如果 $-f$ 严格凸。
 
 <a id="图1"></a>
 
@@ -46,9 +46,26 @@ $$\begin{equation}\label{DefinitionOfConvexFunction}
 
 <!-- more -->
 
-&emsp;&emsp;对于仿射函数，不等式 $\eqref{DefinitionOfConvexFunction}$ 总成立，因此所有的仿射函数（包括线性函数）是既凸且凹的。反之，若某个函数是既凸又凹的，则其是仿射函数。
+&emsp;&emsp;对于仿射函数，式 $\eqref{DefinitionOfConvexFunction}$ 始终可以取等号，因此所有的[仿射函数][]（包括线性函数）是既凸且凹的。反之，若某个函数是既凸又凹的，则其是仿射函数。
 
-&emsp;&emsp;函数是凸的，当且仅当其在与其定义域相交的任何直线上都是凸的。换言之，函数 $f$ 是凸的，当且仅当对于任意 $x\in\dom f$ 和任意向量 $v$，函数 $g(t)=f(x+tv)$ 是凸的（其定义域为 $\{t\mid x+tv\in\dom f\}$）。这个性质非常有用，因为它容许我们通过将函数限制在直线上来判断其是否是凸函数。
+&emsp;&emsp;函数是凸的，当且仅当其在与其定义域相交的任何直线上都是凸的。换言之，函数 $f$ 是凸的，当且仅当对于任意 $x\in\dom f$ 和任意向量 $v$，函数 $g(t)=f(x+tv)$ 是凸的（其定义域为 $\{t\mid x+tv\in\dom f\}$）。这个性质非常有用，因为它让我们可以通过将函数限制在直线上来判断其是否是凸函数。
+
+{% note info %}
+
+这里可能是由于翻译问题导致不是很好理解，我们先看原文：
+
+> A function is convex if and only if it is convex when restricted to any line that
+intersects its domain. In other words f is convex if and only if for all $x\in\mathbf{dom}\, f$ and all $v$, the function $g(t) = f(x + tv)$ is convex (on its domain, $\{t\mid x+tv\in\mathbf{dom}\, f\}$). This property is very useful, since it allows us to check whether a function is convex by restricting it to a line.
+
+仍然不是很好理解。因此这里如下解释：
+
+- 限制在直线上：考虑一个函数 $f$ 和其定义域内的任意一点 $x$。再选择一个任意方向向量 $v$。我们沿着这个方向 $v$ 从点 $x$ 出发，得到一条直线。任何点 $x+tv$（其中 $t$ 是一个实数）都在这条直线上。这就叫做将函数限制在直线上。
+
+- 直线上的函数：我们定义一个新的函数 $g(t)=f(x+tv)$。这个新的函数 $g(t)$ 表示原函数 $f$ 在直线$x+tv$上的值。
+
+- 检查凸性：如果对于任意 $x$ 和 $v$，新的函数 $g(t)$ 是凸的，那么我们就说原函数 $f$ 是凸的。也就是说，如果 $f$ 在所有限制的直线上都是凸的，那么 $f$ 本身就是凸的。
+
+{% endnote %}
 
 &emsp;&emsp;对凸函数的**分析**（*analysis*）已经相当地透彻，这里不再继续深入。例如有这样一个简单的结论，凸函数在其定义域相对内部是连续的；它只可能在相对边界上不连续。
 
@@ -531,3 +548,5 @@ $$
 
 1. Stephen P. Boyd and Lieven Vandenberghe, *Convex optimization*. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2004.
 2. Stephen P. Boyd and Lieven Vandenberghe, *凸优化*. 北京: 清华大学出版社, 2013.
+
+[仿射函数]: https://josh-gao.top/posts/a4a69a4f.html?#%E4%BB%BF%E5%B0%84%E5%87%BD%E6%95%B0

source/_posts/2024-07-03-josh-cvx-2-2.md

@@ -0,0 +1,98 @@
+---
+title: Josh's Note — 凸优化<br>Part 2.1 凸函数—保凸运算
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+categories:
+  - - Josh 的学习笔记
+    - 凸优化
+    - 凸函数
+  - - 数学
+    - 凸优化
+tags:
+  - 凸优化
+  - 凸函数
+abbrlink: c3476904
+date: 2024-07-03 23:04:33
+---
+
+$
+\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
+\def\dom{\mathop{\bf dom}}
+\def\epi{\mathop{\bf epi}}
+$&emsp;&emsp;本文讨论几种保持函数凸性或者凹性的运算，这样可以构造新的凸函数或者凹函数。首先从一些简单的运算开始，如求和、伸缩以及逐点上确界，之后再介绍一些更为复杂的运算（其中一些运算的特例即为简单运算）。
+
+# 1. 非负加权求和
+
+&emsp;&emsp;显然，如果函数 $f$ 是凸函数且 $\alpha\geqslant0$，则函数 $\alpha f$ 也为凸函数。如果函数 $f_1$ 和 $f_2$ 都是凸函数，则它们的和 $f_1+f_2$ 也是凸函数。将非负伸缩以及求和运算结合起来，可以看出，凸函数的集合本身是一个凸锥：凸函数的非负加权求和仍然是凸函数，即函数
+
+$$
+f=w_1f_1+\cdots+w_mf_m
+$$
+
+是凸函数。类似地，凹函数的非负加权求和仍然是凹函数。严格凸（凹）函数的非负，非零加权求和是严格凸（凹）函数。
+
+&emsp;&emsp;这个性质可以扩展至无限项的求和以及积分的情形。例如，如果固定任意 $y\in\mathcal{A}$，函数 $f(x,y)$ 关于 $x$ 是凸函数，且对任意 $y\in\mathcal{A}$,有$w(y)\geqslant0$，则函数 $g$
+
+$$
+g(x)=\int_{\mathcal{A}}w(y)f(x,y)\dd y
+$$
+
+关于$x$是凸函数（若此积分存在）。
+
+<!-- more -->
+
+&emsp;&emsp;我们可以很容易直接验证非负伸缩以及求和运算是保凸运算，或者可以根据相关的上境图得到此结论。例如，如果 $w\geqslant0$ 且 $f$ 是凸函数，有
+
+$$
+\epi (wf)=\left[\begin{array}{cc}
+I&0\\
+0&w
+\end{array}\right]\epi f
+$$
+
+因为凸集通过线性变换得到的像仍然是凸集，所以 $\epi(wf)$是凸集。
+
+# 2. 复合仿射映射
+
+&emsp;&emsp;假设函数 $f:\mathbf{R}^n\to\mathbf{R}$，$A\in\mathbf{R}^{n\times m}$，以及 $b\in\mathbf{R}^n$，定义 $g:\mathbf{R}^m\to\mathbf{R}$ 为
+
+$$
+g(x)=f(Ax+b)
+$$
+
+其中$\dom g=\{x\mid Ax+b\in\dom f\}$。若函数 $f$ 是凸函数，则函数 $g$ 是凸函数；如果函数 $f$ 是凹函数，那么函数 $g$ 是凹函数。
+
+# 3. 逐点最大和逐点上确界
+
+&emsp;&emsp;如果函数 $f_{1}$ 和 $f_{2}$ 均为凸函数，则二者的逐点最大函数 $f$
+
+$$
+f(x)=\max\{f_1(x),f_2(x)\}
+$$
+
+其定义域为$\dom f=\dom f_1\cap\dom f_2$，仍然是凸函数。这个性质可以很容易验证：任取 $0\leqslant \theta \leqslant 1$ 以及 $x,y\in\dom f$，有
+
+$$\begin{aligned}
+f(\theta x+(1-\theta)y)&=\max\{f_1(\theta x+(1-\theta)y),f_2(\theta x+(1-\theta)y)\}
+\\
+&\leqslant\max\{\theta f_1(x)+(1-\theta)f_1(y),\theta f_2(x)+(1-\theta)f_2(y)\}
+\\
+&\leqslant\theta\max\{f_1(x),f_2(x)\}+(1-\theta)\max\{f_1(y),f_2(y)\}
+\\
+&=\theta f(x)+(1-\theta)f(y)
+\end{aligned}$$
+
+从而说明了函数 $f$ 的凸性。同样很容易证明，如果函数 $f_1,\cdots,f_m$ 为凸函数，则它们的逐点最大函数
+
+$$
+f(x)=\max\{f_1(x),\cdots,f_m(x)\}
+$$
+
+仍然是凸函数。