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@@ -145,6 +145,8 @@ $$
 > $$
 > \{x\mid Ax\preceq b, Cx = d\} = \{ x\mid f(x)  \in \bfR^m_+ \times \{0\}\}
 > $$
+>
+> {% note info %}这里可以这样理解：函数 $f(x) = (b -Ax, d - Cx)$ 在条件 $Ax \preceq b, Cx = d$ 下的值域为 $\mathbf{R}^m_+ \times \{0\}$。{% endnote %}
 
 > **举例** **线性矩阵不等式的解**。条件
 >
@@ -168,7 +170,7 @@ $$
 > \{ x\mid x^\TT Px \leqslant (c^\TT x) ^2, c^\TT x \geqslant 0 \}
 > $$
 >
-> 是凸集，其中 $P\in\bfS^n_+$，$c\in\bfR$ 这是因为它是二阶锥
+> 是凸集，其中 $P\in\bfS^n_+$，$c\in\bfR$。这是因为它是二阶锥
 >
 > $$
 > \{ (z,t)\mid z^\TT z \leqslant t ^2 , t \geqslant 0 \}
@@ -190,9 +192,9 @@ $$
 
 ## 3.1 透视函数
 
-  定义 $P:\bfR^{n+1}\to\bfR^n$ 为**透视函数**（*perspective function*），其定义域为 $\dom P = \bfR^n \times \bfR_{++}$。（此处的 $\bfR_{++}$ 表示正实数集合，即 $\bfR_{++} = \{ x\in\bfR\mid x > 0 \}$。）透视函数对向量进行伸缩（scale），或称为规范化（normalize），使得最后一维分量为1 并舍弃之。
+  定义 $P:\bfR^{n+1}\to\bfR^n$，$P(z,t) = z/t$ 为**透视函数**（*perspective function*），其定义域为 $\dom P = \bfR^n \times \bfR_{++}$。（此处的 $\bfR_{++}$ 表示正实数集合，即 $\bfR_{++} = \{ x\in\bfR\mid x > 0 \}$。）透视函数对向量进行伸缩（scale），或称为规范化（normalize），使得最后一维分量为1 并舍弃之。
 
-> **注释** 我们用小孔成象来解释透视函数。($\bfR^3$ 中的）小孔照相机由一个不透明的水平面 $x_3 = 0$ 和一个在原点的小孔组成，光线通过这个小孔在 $x_3 = -1$ 呈现出一个水平图像。在相机上方 $x(x_3 > 0)$ 处的一个物体，在相平面的点 $=(x_1/x_3,x_2/x_3,1)$ 处形成一个图像。忽略象点的最后一维分量（因为它恒等于 $-1$），$x$ 处的点的象在象平面上呈现于 $y=-(x_1/x_3,x_2/x_3)$ 处。[图 15](#图15)显示了这个过程。
+> **注释** 我们用小孔成象来解释透视函数。($\bfR^3$ 中的）小孔照相机由一个不透明的水平面 $x_3 = 0$ 和一个在原点的小孔组成，光线通过这个小孔在 $x_3 = -1$ 呈现出一个水平图像。在相机上方 $x$（$x_3 > 0$）处的一个物体，在相平面的点 $-(x_1/x_3,x_2/x_3,1)$ 处形成一个图像。忽略象点的最后一维分量（因为它恒等于 $-1$），$x$ 处的点的象在象平面上呈现于 $y=-(x_1/x_3,x_2/x_3)$ 处。[图 15](#图15)显示了这个过程。
 >
 > <a id="图15"></a>
 >
@@ -204,21 +206,23 @@ $$
 P(C) = \{ P(x)\mid x\in C \}
 $$
 
-也是凸集。这个结论很直观：通过小孔观察一个凸的物体，可以得到凸的象。为解释这个事实，我们将说明在透视函数作用下，线段将被映射成线段。（也可以这样理解，通过小孔，一条线段的象是一条线段。）假设 $x = (\tilde{x},x_{n+1}), y = (\tilde{y}, y_{n+1}) \in \bfR^{n+1}$，并且 $x_{n+1}>0, y_{n+1}>0$ 。那么，对于 $0 \leqslant \theta \leqslant 1$
+也是凸集。这个结论很直观：通过小孔观察一个凸的物体，可以得到凸的象。为解释这个事实，我们将说明在透视函数作用下，线段将被映射成线段。（也可以这样理解，通过小孔，一条线段的象是一条线段。）
 
+> **解释**&emsp;假设 $x = (\tilde{x},x_{n+1})$，$y = (\tilde{y}, y_{n+1}) \in \bfR^{n+1}$，并且 $x_{n+1}>0$，$y_{n+1}>0$ 。那么，对于 $0 \leqslant \theta \leqslant 1$
+>
+> $$
+> P(\theta x + (1-\theta)y) = \frac{\theta\tilde{x}+ (1-\theta)\tilde{y}}{\theta x_{n+1} + (1-\theta)y_{n+1}} = \mu P(x) + (1-\mu) P(y)
 $$
-P(\theta x + (1-\theta)y) = \frac{\theta\tilde{x}+ (1-\theta)\tilde{y}}{\theta x_{n+1} + (1-\theta)y_{n+1}} = \mu P(x) + (1-\mu) P(x)
-$$
+>
+> 其中
+>
+> $$
+> \mu = \frac{\theta x_{n+1}}{\theta x_{n+1} + (1-\theta) y_{n+1}}\in[0,1]
+> $$
+>
+> $\theta$ 和 $\mu$ 之间的关系是单调的：当 $\theta$ 在 $0$、$1$ 间变化时（形成线段 $[x,y]$），$\mu$ 也在 $0$、$1$ 间变化（形成线段 $[P(x),P(y)]$。这说明 $P([x,y]) = [P(x),P(y)]$。
 
-其中
-
-$$
-\mu = \frac{\theta x_{n+1}}{\theta x_{n+1} + (1-\theta) y_{n+1}}\in[0,1]
-$$
-
-$\theta$ 和 $\mu$ 之间的关系是单调的：当 $\theta$ 在 $0$、$1$ 间变化时（形成线段 $[x,y]$），$\mu$ 也在 $0$、$1$ 间变化（形成线段 $[P(x),P(y)]$。这说明 $P([x,y]) = [P(x),P(y)]$。
-
-&emsp;&emsp;现在假设 $C$ 是凸的，并且有 $C \subseteq \dom P$（即对于所有 $x\in C$，$x_{n+1} > 0$) 及 $x,y\in C$。为显示 $P(C)$ 的凸性，需要说明线段 $[P(x), P(y)]$ 在 $P(C)$ 中。这条线段是线段 $[x,y]$ 在 $P$ 的象，因而属于 $P(C)$。
+&emsp;&emsp;现在假设 $C$ 是凸的，并且有 $C \subseteq \dom P$（即对于所有 $x\in C$，$x_{n+1} > 0$）及 $x,y\in C$。为显示 $P(C)$ 的凸性，需要说明线段 $[P(x), P(y)]$ 在 $P(C)$ 中。这条线段是线段 $[x,y]$ 在 $P$ 的象，因而属于 $P(C)$。
 
 &emsp;&emsp;一个凸集在透视函数下的原象也是凸的：如果 $C\subseteq \bfR^n$ 为凸集，那么
 
@@ -226,7 +230,7 @@ $$
 P^{-1}(C) = \{ (x,t)\in\bfR^{n+1}\mid x/t\in C, t > 0 \}
 $$
 
-是凸集。为证明这点，假设 $(x,t)\in P^{-1}(C), (y,s)\in P^{-1}(C), 0 \leqslant \theta \leqslant 1$。我们需要说明
+是凸集。为证明这点，假设 $(x,t)\in P^{-1}(C)$，$(y,s)\in P^{-1}(C)$，$0 \leqslant \theta \leqslant 1$。我们需要说明
 
 $$
 \theta(x,t) + (1-\theta)(y,s) \in P^{-1} (C)
@@ -235,13 +239,19 @@ $$
 即
 
 $$
-\frac{\theta x + (1-\theta)y}{\theta t + (1-\theta)s} = \mu (x/t) + (1-\mu)(y/s)
+\frac{\theta x + (1-\theta)y}{\theta t + (1-\theta)s} \in C
+$$
+
+（显然，$\theta t+(1-\theta)s>0$）。这可从下式看出，
+
+$$
+\frac{\theta x+(1-\theta)y}{\theta t+(1-\theta)s}=\mu(x/t)+(1-\mu)(y/s)
 $$
 
 其中
 
 $$
-\mu = \frac{\theta t}{\theta t + (1-\theta)s} \in [0,1]
+\mu=\frac{\theta t}{\theta t+(1-\theta)s}\in[0,1]
 $$
 
 ## 3.2 线性分式函数
@@ -256,13 +266,13 @@ $$\begin{equation}\label{AffineFunction}
   \end{array}\right]
 \end{equation}$$
 
-其中 $A \in \bfR ^{m\times n}, b \in \bfR^m, c \in \bfR^n$ 并且 $d\in\bfR^n$。则由 $f =P\circ g$ 给出的函数 $f:\bfR^n \to \bfR^m$
+其中 $A \in \bfR ^{m\times n}$，$b \in \bfR^m$，$c \in \bfR^n$ 并且 $d\in\bfR^n$。则由 $f =P\circ g$ 给出的函数 $f:\bfR^n \to \bfR^m$
 
 $$\begin{equation}\label{LinearFractionalFunction}
   f(x) = (Ax+b)/(c^\TT x + d),\qquad \dom f = \{x\mid c^\TT x + d > 0\}
 \end{equation}$$
 
-称为**线性分式**（*linear-fractional*）（或**投射**（*projective*））函数。如果 $c = 0, d > 0$，则 $f$ 的定义域为 $\bfR^n$ 并且 $f$ 是仿射函数。因此，我们可以将仿射和线性函数视为特殊的线性分式函数。
+称为**线性分式**（*linear-fractional*）（或**投射**（*projective*））函数。如果 $c = 0$，$d > 0$，则 $f$ 的定义域为 $\bfR^n$ 并且 $f$ 是仿射函数。因此，我们可以将仿射和线性函数视为特殊的线性分式函数。
 
 > **注释**&emsp;**投射解释**。可以很方便地将一个线性分式函数表示为：将矩阵
 >
@@ -274,7 +284,7 @@ $$\begin{equation}\label{LinearFractionalFunction}
 >
 > 作用于（即左乘）点 $(x,1)$，得到 $(Ax + b,c^\TT x + d)$；然后将所得结果做伸缩变换或归一化，以使得其最后一个分量为一，得到 $(f(x), 1)$。
 >
-> 也可以从儿何上进行解释，即这个表达式将 $\bfR^n$ 与 $\bfR^{n+1}$ 空间上的一组射线联系了起来。也就是说，对于 $\bfR^n$ 空间的一个点 $z$，我们可以构造一个 $\bfR^{n+1}$ 空间的（开）射线 $P(z) = \{t(z,1)\mid t > 0\}$。这条射线上每个点的最后一个分量均是正值。反之， $\bfR^{n+1}$ 空间中每条以原点为顶点并且最后一个分量为正值的射线均可以由一些 $v\in\bfR^n$ 表示为 $\P(v) = \{t(v, 1)\mid t \geqslant 0\}$。$\P$ 表示了 $\bfR^n$ 与最后一个分量为正的射线之间的（投射）关系，这种关系是一一对应和满的。
+> 也可以从儿何上进行解释，即这个表达式将 $\bfR^n$ 与 $\bfR^{n+1}$ 空间上的一组射线联系了起来。也就是说，对于 $\bfR^n$ 空间的一个点 $z$，我们可以构造一个 $\bfR^{n+1}$ 空间的（开）射线 $\P(z) = \{t(z,1)\mid t > 0\}$。这条射线上每个点的最后一个分量均是正值。反之， $\bfR^{n+1}$ 空间中每条以原点为顶点并且最后一个分量为正值的射线均可以由一些 $v\in\bfR^n$ 表示为 $\P(v) = \{t(v, 1)\mid t \geqslant 0\}$。$\P$ 表示了 $\bfR^n$ 与最后一个分量为正的射线之间的（投射）关系，这种关系是一一对应和满的。
 >
 > 线性分式函数 $\eqref{LinearFractionalFunction}$ 可以表示为
 >
@@ -282,11 +292,11 @@ $$\begin{equation}\label{LinearFractionalFunction}
 > f(x) = \P^{-1}(Q\P(x))
 > $$
 >
-> 因此，从 $x\in\dom f$ 出发，即由一个满足 $c^\TT x +d > 0$ 的点，可以得到 $\bfR^{n+1}$ 空间的一条射线 $\P(x)$。将线性变换矩阵 $Q$ 作用于这条射线，就可以得到另一条射线 $Q\P(x)$。因为 $x \in \dom f$, 这条射线的最后一个分量为正。最后，我们也可以通过逆投射变换恢复出 $f(x)$。
+> 因此，从 $x\in\dom f$ 出发，即由一个满足 $c^\TT x +d > 0$ 的点，可以得到 $\bfR^{n+1}$ 空间的一条射线 $\P(x)$。将线性变换矩阵 $Q$ 作用于这条射线，就可以得到另一条射线 $Q\P(x)$。因为 $x \in \dom f$，这条射线的最后一个分量为正。最后，我们也可以通过逆投射变换恢复出 $f(x)$。
 
 &emsp;&emsp;类似于透视函数，线性分式函数也是保凸的。如果 $C$ 是凸集并且在 $f$ 的定义域中（即任意 $x\in C$ 满足 $c^\TT x+d > 0$），那么 $C$ 的象 $f(C)$ 也是凸集。根据前述的结果可以直接得到这个结论： $C$ 在仿射映射 $\eqref{AffineFunction}$ 下的象是凸的，并且在透视函数 $P$ 下的映射（即 $f(C)$）是凸的。类似地，如果 $C \subseteq \bfR^m$ 是凸集，那么其原象 $f^{-1}(C)$ 也是凸的。
 
-> **举例**&emsp;**条件概率**。设 $u$ 和 $v$ 是分别在 $\{1, \cdots, n\}$ 和 $\{1, \cdots, m\}$ 中取值的随机变量，并且 $p_ij$ 表示概率 $\prob(u = i,v = j)$。那么条件概率 $f_{ij} = \prob(u = i\mid v = j)$ 由下式给出
+> **举例**&emsp;**条件概率**。设 $u$ 和 $v$ 是分别在 $\{1, \cdots, n\}$ 和 $\{1, \cdots, m\}$ 中取值的随机变量，并且 $p_{ij}$ 表示概率 $\prob(u = i,v = j)$。那么条件概率 $f_{ij} = \prob(u = i\mid v = j)$ 由下式给出
 >
 > $$
 > f_{ij} = \frac{p_{ij}}{\displaystyle\sum_{k=1}^n p_{kj}}