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 x \preceq_K y \Longleftrightarrow y - x \in K
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-$y \prec_K x$ 也可以写为 $x \succeq_K y$。类似地，定义相应的严格偏序关系为
+$y \preceq_K x$ 也可以写为 $x \succeq_K y$。类似地，定义相应的严格偏序关系为
 
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 x \prec_K y \Longleftrightarrow y - x \in \iint K
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-&emsp;&emsp;当 $K = \bfR_+$ 时，偏序关系 $\preceq_K$ 就是通常意义上 $\bfR$ 中的序 $\leqslant$ 相应地，严格偏序关系 $\prec_K$ 与 $\bfR$ 上的严格序 $<$ 相同。因此，广义不等式包含了 $\bfR$ 上的（不严格和严格）不等式，它是广义不等式的一种特殊情况。
+&emsp;&emsp;当 $K = \bfR_+$ 时，偏序关系 $\preceq_K$ 就是通常意义上 $\bfR$ 中的序 $\leqslant$；相应地，严格偏序关系 $\prec_K$ 与 $\bfR$ 上的严格序 $<$ 相同。因此，广义不等式包含了 $\bfR$ 上的（不严格和严格）不等式，它是广义不等式的一种特殊情况。
 
 > **举例**&emsp;**非负象限及分量不等式**。非负象限 $K = \bfR^n_+$ 是一个正常锥。相应的广义不等式 $\preceq_K$ 对应于向量间的分量不等式，即 $x \preceq_K y$ 等价于 $x_i \leqslant y_i, i = 1,\cdots,n$。相应地，其严格不等式对应于严格的分量不等式，即 $x \prec_K y$ 等价于 $x_i < y_i, i = 1,\cdots,n$。
 >
-> 我们将常常使用对应于非负象限的不严格和严格的偏序关系，因此省略下标 $\bfR^n_+$。当 $\preceq$ 或 $\prec$ 出现在向量间的时候，该符号应被理解为分量不等式。
+> 我们会经常使用对应于非负象限的不严格和严格的偏序关系，因此省略下标 $K$。当 $\preceq$ 或 $\prec$ 出现在向量间的时候，该符号应被理解为分量不等式。
 
-> **举例**&emsp;**半正定锥和矩阵不等式**。半正定锥是 $S^n$ 空间中的正常锥，相应的广义不等式 $\preceq_K$ 就是通常的矩阵不等式，即 $X \preceq_K Y$ 等价于 $Y - X$ 为半正定矩阵。（在 $S^n$ 中）$S^n_+$ 的内部由正定矩阵组成，因此严格广义不等式也等同于通常的对称矩阵的严格不等式，即 $X \prec_K Y$ 等价于 $Y - X$ 为正定矩阵。
+> **举例**&emsp;**半正定锥和矩阵不等式**。半正定锥是 $\bfS^n$ 空间中的正常锥，相应的广义不等式 $\preceq_K$ 就是通常的矩阵不等式，即 $X \preceq_K Y$ 等价于 $Y - X$ 为半正定矩阵。（在 $\bfS^n$ 中）$\bfS^n_+$ 的内部由正定矩阵组成，因此严格广义不等式也等同于通常的对称矩阵的严格不等式，即 $X \prec_K Y$ 等价于 $Y - X$ 为正定矩阵。
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-> 这里，也是由于经常使用这种偏序关系，因此省略其下标，即对于对称矩阵，我们将广义不
-等式简写为 $X \preceq Y$ 或 $X \prec Y$, 它们表示关于半正定锥的广义不等式。
+> 这里，也是由于经常使用这种偏序关系，因此省略其下标，即对于对称矩阵，我们将广义不等式简写为 $X \preceq Y$ 或 $X \prec Y$, 它们表示关于半正定锥的广义不等式。
 
 > **举例**&emsp;**$[0, 1]$ 上非负的多项式锥**。$K$ 定义如下
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 # 2. 最小与极小元
 
-&emsp;&emsp;广义不等式的符号（$\preceq_K$，$\prec_K$）似乎表明它们与 $\bfR$ 上的普通不等式（$\leqslant$，$<$）有着相同的性质。虽然普通不等式的许多性质对于广义不等式确实成立，但很多重要的性质并不如此。最明显的区别在于，$\bfR$ 上的 $\leqslant$ 是一个**线性序**（*linear ordering*），即任意两点都是**可比的**（*comparable*），也就是说 $x\leqslant y$ 和 $y \leqslant x$ 二者必居其一。这个性质对于其他广义不等式并不成立。这导致了最小、最大这些概念在广义不等式环境下变得更加复杂。本节将对此进行简要的
-讨论。
+&emsp;&emsp;广义不等式的符号（$\preceq_K$，$\prec_K$）似乎表明它们与 $\bfR$ 上的普通不等式（$\leqslant$，$<$）有着相同的性质。虽然普通不等式的许多性质对于广义不等式确实成立，但很多重要的性质并不如此。最明显的区别在于，$\bfR$ 上的 $\leqslant$ 是一个**线性序**（*linear ordering*），即任意两点都是**可比的**（*comparable*），也就是说 $x\leqslant y$ 和 $y \leqslant x$ 二者必居其一。这个性质对于其他广义不等式并不成立。这导致了最小、最大这些概念在广义不等式环境下变得更加复杂。本节将对此进行简要的讨论。
 
 &emsp;&emsp;如果对于每个 $y \in S$，均有 $x \preceq_K y$，称 $x\in S$ 是 $S$（关于广义不等式 $\preceq_K$）的**最小元**（*minimum element*）。类似地，我们可以定义关于广义不等式的**最大元**（**maximum element**）。如果一个集合有最小（或最大）元，那么它们是唯一的。
 
 &emsp;&emsp;相对应的概念是**极小元**（*minimal element*）。如果 $y \in S$，$y \preceq_K x$ 可以推得 $y=x$，那么称 $x\in S$ 是 $S$ 上（关于广义不等式 $\preceq_K$）的**极小元**（*minimal element*）。同样地，可以定义**极大元**（*maximal element*）。一个集合可以有多个极小（或极大）元。
 
-&emsp;&emsp;用简单的集合符号，我们可以对最小元和极小元进行描述。元素 $x\in S$ 是 $S$ 中的一个最小元，当且仅当
+&emsp;&emsp;可以用简单的集合符号对最小元和极小元进行描述。元素 $x\in S$ 是 $S$ 中的一个最小元，当且仅当
 
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 S \subseteq x + K