--- title: 'Josh''s Notes: 最优阵列处理（Part 1.3 —— 均匀加权线阵）' mathjax: true comments: true copyright: true toc: enable: true number: true wrap: true expand_all: true max_depth: 4 tags: - 阵列信号处理 - 均匀加权线阵 - 3dB 带宽 - 第一零点波束宽度 - 旁瓣 - 栅瓣 - 瑞利限 categories: - - Josh 的学习笔记 - 最优阵列处理 - 阵列和空域滤波器 abbrlink: aa32ec76 date: 2023-04-20 19:34:47 --- # 均匀加权线阵的频率-波数响应函数   现在把注意力集中到均匀加权线阵（Uniformly Weighted Linear Array）的情况，即 $$\begin{equation} w_n = \frac{1}{N}, \, n = 0,1,\cdots,N-1 \end{equation}$$ $$\begin{equation} \boldsymbol{w} = \frac{1}{N} \boldsymbol{1} \end{equation}$$ 其中 $\boldsymbol{1}$ 是 $N \times 1$ 维的单位矢量，则在 $\psi$ 空间的频率-波数响应函数可以写成（利用等比级数的求和公式） $$\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi) &= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j \left(n - \frac{N-1}{2}\right)\psi} \\ &= \frac{1}{N} e^{-j \left(\frac{N-1}{2}\right)\psi} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j n \psi} \\ &= \frac{1}{N} e^{-j \left(\frac{N-1}{2}\right)\psi} \left[ \frac{1-e^{jN\psi}}{1-e^{j\psi}} \right] \end{aligned} \end{equation}$$ 或（利用欧拉公式） $$\begin{equation} \boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N \frac{\psi}{2} \right)}{\sin\frac{\psi}{2}} \end{equation}$$ 可以观察到： - 当 $N$ 是奇数时，$\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 是周期函数，周期为 $2\pi$； - 当 $N$ 为偶数时，波瓣在 $\pm 2 \pi$、$\pm 6 \pi$ 处的值为负值，周期为 $4 \pi$； - 对任意的 $N$，$\left|\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$ 的周期为 $2 \pi$。 当 $N = 11$ 时， $\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 和 $\psi$ 的关系在[图 1-3-1](#fig.1-3-1) 中给出。[图 1-3-2](#fig.1-3-2) 给出了 $\left|\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$，单位为 dB，其中 $$\begin{equation} \boldsymbol{\varUpsilon}_\mathrm{dB}(\psi) = 10 \log_{10} \left|\boldsymbol{\varUpsilon}(\psi)\right|^2 \end{equation}$$ ![图 1-3-1 $\boldsymbol{\varUpsilon}(\psi): \psi = \frac{2\pi}{\lambda} d \cos\theta, N=11$](../images/post/2023-04-20-josh-oap-part-1-3/2023-04-20-josh-oap-part-1-3-010-FrequencyWavenumberResponseFunction.svg){width=1000px} ![图 1-3-2 用 dB 表示 $\left|\boldsymbol{\varUpsilon}(\psi)\right|$](../images/post/2023-04-20-josh-oap-part-1-3/2023-04-20-josh-oap-part-1-3-020-FrequencyWavenumberResponseFunctionInDB.svg){width=1000px} {% note primary MATLAB Code %} ``` matlab fig2_1516.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Figure 2.15 & 2.16 % Beampattern of uniformly weighted linear array % Xiaomin Lu % Updated 1/5/99 % Last updated by K. Bell 7/22/01, 10/4/01 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all close all N = 11; % 11 elements % Note, Eq. (2.92) is in fact the standard Dirichlet function % beam = diric(psi, N); % if you don't have the signal processing toolbox, this does the same thing psi = (-5:1/400:5)*pi; beam = zeros(1,length(psi(:))); y=sin(.5*psi); i=find(abs(y)>1e-12); % set where x is not divisible by 2 pi j=1:length(psi(:)); j(i)=[]; % complement set beam(i)=sin((N/2)*psi(i))./(N*y(i)); beam(j)=sign(cos(psi(j)*((N+1)/2))); plot(psi/pi, beam) grid xlabel('$\psi/\pi$','Interpreter','latex') ylabel('Frequency wavenumber response function') axis([-5 5 -0.4 1]) set(gcf,'Position',[0 0 1000 600]) figure beam = 20*log10(abs(beam)); plot(psi/pi,beam); xlabel('$\psi/\pi$','Interpreter','latex') ylabel('Frequency wavenumber response function (dB)') axis([-5 5 -25 0]) grid set(gcf,'Position',[0 0 1000 600]) ``` {% endnote %} 若不指定 $\boldsymbol{w}$ 的类型，则 $\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)$ 是复数，所以相位也应该画出来。但是，均匀加权线阵具有对称性，因此得到的频率-波数响应是实函数。   也可以用 $k_z$ 来表示频率-波数响应 $$\begin{equation} \boldsymbol{\varUpsilon}(\omega:k_z) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N k_z \frac{d}{2} \right)}{\sin \left(k_z\frac{d}{2}\right)} \end{equation}$$ 这里 $\boldsymbol{\varUpsilon}(\omega:k_z)$ 是周期函数，周期为 $2\pi/d$。 {% note warning %} 注意，响应函数仅依赖于波数分量 $k_z$，是 $k_z$ 的周期函数，间隔为 $2\pi/d$，这是线性阵列的一维特性导致的，所以该阵列仅能分析在 $k_z$ 方向上投影的波数分量。 {% endnote %} # 均匀加权线阵的波束方向图   均匀加权线阵的波束方向图为 $$\begin{equation} B_\theta(\theta) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(\frac{N}{2} \cdot \frac{2\pi}{\lambda} \cos \theta \cdot d \right)}{\sin \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{\lambda} \cos\theta \cdot d\right)}, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant \pi \\ \end{equation}$$ $$\begin{equation} B_u(u) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(\frac{ \pi Nd}{\lambda} u \right)}{\sin \left( \frac{N d}{\lambda} u\right)}, \quad -1 \leqslant u \leqslant 1 \label{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain} \end{equation}$$ $$\begin{equation} B_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(N\frac{\psi}{2}\right)}{\sin \left( \frac{\psi}{2} \right)}, \quad -\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda} \label{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain} \end{equation}$$ 其中定义域分别为 $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$、$-1 \leqslant u \leqslant 1$ 和 $-\displaystyle\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda}$，称为**{% label primary @可视区域（visible region） %}**。 {% note info %} 函数 $B_u(u)$ 和 $B_\psi(\psi)$ 有时称为**{% label primary @阵列因子（Array Factor） %}**。这个量对非全向性阵元非常重要。 {% endnote %}   [图 1-3-3](#fig.1-3-3) 给出了 $B_\theta(\theta)$ 的极坐标形式，单位为 dB。如果在三维空间画出波束方向图，在[图 1-3-3](#fig.1-3-3) 中的图将对应沿着任意方位角 $\theta$ 切割得到的方向图。[图 1-3-4](#fig.1-3-4) 给出了波束方向图的幅度和不同变量之间的关系。 ![图 1-3-3 在极坐标系中画出 $B_\theta(\theta)$](../images/post/2023-04-20-josh-oap-part-1-3/2023-04-20-josh-oap-part-1-3-030-PloarPlotOfBeamPatternInAngleSpace.svg){width=800px} {% note primary MATLAB Code %} ``` matlab fig2_17.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Figure 2.17 % Polar plot of B (Theta) % Lillian Xu 1/5/99 % Updated by K. Bell 6/25/01 % Functions called: polardb %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all close all N = 11; % Elements in array d = 0.5; % spacing wrt wavelength beamwidth = 2/(N*d); % null-to-null (LL BW is half this) D=d*(-(N-1)/2:1:(N-1)/2); % element locations ang = pi*(-1:0.001:1); u = cos(ang); n2=size(u,2); AS = exp(-1i*2*pi*cos(90/180*pi)*D'); % BP points to 90 (broadside) Au = exp(-1i*2*pi*D'*u); B = real(AS'*Au)/N; G = 20*log10((abs(B))); h=polardb(ang,G,-40); ``` {% endnote %} ![图 1-3-4 $d = \lambda/2, N=10$，线阵的 $\left|\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$](../images/post/2023-04-20-josh-oap-part-1-3/2023-04-20-josh-oap-part-1-3-040-AbsOfFWRFForALinearArray.svg){width=1000px} {% note primary MATLAB Code %} ``` matlab fig2_18.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Figure 2.18 % beam patterns in different spaces % Lillian Xiaolan Xu % Last updated 09/07/2000 % updated by K. Bell 7/22/01, 10/4/01 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all close all N = 10; n = (-(N-1)/2:(N-1)/2).'; psi = pi*(-3:0.001:3); w = 1/N*[ones(N,1)]; d = 1/2; vv = exp(1i*2*d*n*psi); B = (abs(w'*vv)); u1=-1; u2=3; y1=0; y2=1; subplot(4,1,1) plot(-psi/d,B); hold on axis([u1*pi/d u2*pi/d y1 y2]) set(gca,'XTick',[-pi/d 0 pi/d 2*pi/d 3*pi/d]) set(gca,'YTick',[0 0.5 1]) set(gca,'XTickLabel',{'$-\pi/d$';'$0$';'$\pi/d$';'$2\pi/d$';'$3\pi/d$'}, ... 'TickLabelInterpreter','latex') grid on point=0.8; point_up=0.84; point_down=0.76; plot([-pi/d pi/d],[point point],'--') plot([-1*pi/d -0.9*pi/d],[point point_up]) plot([-1*pi/d -0.9*pi/d],[point point_down]) plot([0.9*pi/d pi/d],[point_up point]) plot([0.9*pi/d pi/d],[point_down point]) text(-0.3*pi/d,1.2,'Visible region') plot([pi/d 3*pi/d],[point point],'--') plot([pi/d 1.1*pi/d],[point point_up]) plot([pi/d 1.1*pi/d],[point point_down]) plot([2.9*pi/d 3*pi/d],[point_up point]) plot([2.9*pi/d 3*pi/d],[point_down point]) text(1.7*pi/d,1.2,'Virtual region') legend({'$k_z$-space'},'Interpreter','latex') subplot(4,1,2) plot(psi,B); hold on axis([u1*pi u2*pi y1 y2]) set(gca,'XTick',[-pi 0 pi 2*pi 3*pi]) set(gca,'YTick',[0 0.5 1]) set(gca,'XTickLabel',{'$-\pi$';'$0$';'$\pi$';'$2\pi$';'$3\pi$'}, ... 'TickLabelInterpreter','latex') grid on legend({'$\psi$-space'},'Interpreter','latex') subplot(4,1,3) plot(psi/pi,B); hold on axis([u1 u2 y1 y2]) set(gca,'XTick',[-1 0 1 2 3]) set(gca,'YTick',[0 0.5 1]) grid on legend({'$u$-space'},'Interpreter','latex') theta = -180:0.1:360; vv = exp(1i*2*d*n*pi*cos(theta/180*pi)); B = (abs(w'*vv)); subplot(4,1,4) plot(theta,B); hold on axis([-180 180 y1 y2]) set(gca,'XTick',[-180 -90 0 90 180]) set(gca,'YTick',[0 0.5 1]) set(gca,'XTickLabel',{'$180^\circ$';'$90^\circ$';'$0^\circ$';'$-90^\circ$'; ... '$-180^\circ$'},'TickLabelInterpreter','latex') grid on legend({'$\theta$-space'},'Interpreter','latex') set(gcf,'Position',[0 0 800 800]) ``` {% endnote %} {% note info %} 虽然以上例子比较简单，但是可以用来展示线性阵列的一些重要特征。 {% endnote %} # 波束方向图的参数   波束方向图的重要特征可以使用波束方向图的参数来描述。 1. 3dB 带宽（半功率波束宽度，half-power beamwidth，HPBW） 2. 到第一零点的距离（这个距离的两倍称为 $BW_{NN}$） 3. 到第一旁瓣的距离 4. 第一旁瓣的高度 5. 其余零点的位置 6. 旁瓣衰减的速率 7. 栅瓣（Grating lobes） ## 半功率波束宽度   为了说明前两个参数，考虑在[图 1-3-5](#fig.1-3-5) 中给出的原点附近的波束方向图。 ![图 1-3-5 波束方向图的主波束](../images/post/2023-04-20-josh-oap-part-1-3/2023-04-20-josh-oap-part-1-3-050-MainLobeOfBeamPattern.svg){width=700px} {% note primary MATLAB Code %} ``` matlab fig2_19.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Figure 2.19 % Main lobe of beam pattern % Kristine Bell % Last updated 6/4/01, 10/4/01 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % bp_sect - plots conventional bp with sector clear all % close all %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Uniform Linear Array %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% N = 10; % Elements in array d = 0.5; % spacing wrt wavelength beamwidth = 2/(N*d); % null-to-null (LL BW is half this) D=d*(-(N-1)/2:1:(N-1)/2); % element locations u = -0.45:0.01:0.45; AS = exp(-1i*2*pi*D'*0); % BP points to 0 Au = exp(-1i*2*pi*D'*u); B = real(AS'*Au)/N; % BP h=plot(u,B,'-'); set(h,'LineWidth',1.5) hold on % HPBW I=find(B>=0.707); plot([u(min(I)-1) u(max(I)+1)],[B(min(I)-1) B(max(I)+1)],'-') plot(u(min(I)-1)*[1 1],B(min(I)-1)*[1 1]+0.03*[-1 1],'-') plot(u(max(I)+1)*[1 1],B(max(I)+1)*[1 1]+0.03*[-1 1],'-') plot([0.03 0.13],[0.72 0.845],'-') text(0.155,0.84,'$\Delta u_1 = $HPBW','Interpreter','latex'); % BW-NN plot([-0.2 0.2],[-0.3 -0.3],'-') plot(-0.2*[1 1],-0.3*[1 1]+0.03*[-1 1],'-') plot(0.2*[1 1],-0.3*[1 1]+0.03*[-1 1],'-') text(-0.05,-0.35,'$\Delta u_2 = BW_{NN}$','Interpreter','latex'); % axes plot([-1 1 ],[0 0],'-') plot([0 0],[-0 1.1],'-') % tick marks plot(-0.4*[1 1],0.03*[-1 1]) plot(-0.2*[1 1],0.03*[-1 1]) plot(0.2*[1 1],0.03*[-1 1]) plot(0.4*[1 1],0.03*[-1 1]) yy = -0.1; %tick labels text(-0.45,yy,'$-2\frac{\lambda}{ND}$','Interpreter','latex'); text(-0.21,yy,'$-\frac{\lambda}{ND}$','Interpreter','latex'); text(-0.005,yy,'0','Interpreter','latex'); text(0.18,yy,'$\frac{\lambda}{ND}$','Interpreter','latex'); text(0.38,yy,'$2\frac{\lambda}{ND}$','Interpreter','latex'); text(0.01,1.1,'$B(u)$','Interpreter','latex') hold off axis([-0.42 0.42 -0.4 1.2]) set(gca,'Visible','off') ``` {% endnote %}   3dB 波束宽度是波束宽度的一个度量。定义为对应 $\left| B_u(u) \right|^2 = 0.5$ 或 $\left| B_u(u) \right| = 1/\sqrt{2}$ 的点。可以通过令波束方向图 $B_u(u)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain}$）等于 $1/\sqrt{2}$，来求出 $u$ 空间的半功率点。对于 $N\geqslant 10$，通过解下面的方程可以得到一个很好的近似： $$\begin{equation} \frac{\pi N d}{\lambda} u = 1.4 \end{equation}$$ 即有 $$\begin{equation} \label{ApproximationOfHPBW} \Delta u_1 = 0.891 \frac{\lambda}{N d} \end{equation}$$ 我们把这个间隔称为**{% label primary @半功率波束宽度（half-power beamwidth，HPBW） %}**。当 $N$ 增加时，式 $\eqref{ApproximationOfHPBW}$ 中的常系数会稍稍减小。对于 $N > 30$，$0.886 \lambda/Nd$ 是一个更好的近似表达式。   [表 1-3-1](#table.1-3-1) 中列出了不同空间内 HPBW 的表达式。
表 1-3-1 各个空间的半功率波束宽度
|空间| 任意 $d$ | $d=\lambda/2$ | | :--: | :------: | :------: | | $u$ | $0.891 \frac{\lambda}{Nd}$ | $1.782 \frac{1}{N}$ | | $\bar{\theta}$ [^1] | $2\sin^{-1} \left( 0.446 \frac{\lambda}{Nd} \right)$ | $2\sin^{-1} \left( 0.891 \frac{1}{N} \right)$ | | 较小的 $\bar{\theta}$ | $\simeq 0.891 \frac{\lambda}{Nd}$ radians
$\simeq 51.05 \frac{\lambda}{Nd}$ degrees | $\simeq 1.782 \frac{1}{N}$ radians
$\simeq 102.1 \frac{1}{N}$ degrees | | $\psi$ | $0.891 \frac{2\pi}{N}$ | $0.891 \frac{2\pi}{N}$ | | $k_z$ | $0.891 \frac{2\pi}{dN}$ | $1.782 \frac{2\pi}{\lambda N}$ | [^1]: 侧射角（broadside angle）的定义为 $\bar{\theta} = \pi/2 - \theta$ ## 第一零点波束宽度   方向图的零点出现在当波束方向图 $B_u(u)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain}$）的分子为零而分母不为零时，即 $$\begin{equation} \sin \left( \frac{\pi N d}{\lambda} u \right) = 0 \end{equation}$$ 成立的条件为 $$\begin{equation} \frac{\pi N d}{\lambda} u = m\pi, \quad m = 1,2,\cdots \end{equation}$$ 则出现零点需要满足下面的两个条件： $$\begin{equation} u = m \frac{\lambda}{Nd}, \quad m = 1,2,\cdots \end{equation}$$ 且 $$\begin{equation} u \ne m \frac{\lambda}{d}, \quad m = 1,2,\cdots \end{equation}$$ 则第一个零点的位置为 $\lambda/Nd$，即有 $$\begin{equation} \Delta u_2 = 2 \frac{\lambda}{Nd} \end{equation}$$ 我们把 $\Delta u_2$ 称为零点-零点波束宽度（null-to-null beamwidth），用 $BW_{NN}$ 表示。 $BW_{NN}$ 的一半是到第一零点的距离 ($0.5 BW_{NN}$) 。这个量能够衡量阵列分辨两个不同平面波的能力，也称为{% label primary @瑞利限（Rayleigh resolution limit） %}。如果第二个波束方向图的峰值在第一个波束方向图的第一零点之外（间隔 $\geqslant \Delta u_2 / 2$），则认为这两个平面波是可以分辨的。在后面，我们将研究一个阵列的分辨能力的统计性度量。 {% note warning %} 注意到线阵在方位角方向（$\varphi$）没有分辨能力，因为该阵列在 $x$ 和 $y$ 方向上没有扩展。我们将在后面详细讨论分辨率的问题。 {% endnote %}   [表 1-3-2](#table.1-3-2)中列出了在各个不同空间表示出的 $BW_{NN}$。
表 1-3-2 各个空间的第一零点波束宽度
|空间| 任意 $d$ | $d=\lambda/2$ | | :--: | :------: | :------: | | $u$ | $2 \frac{\lambda}{Nd}$ | $\frac{4}{N}$ | | $\bar{\theta}$ | $2\sin^{-1} \left( \frac{\lambda}{Nd} \right)$ | $2\sin^{-1} \left( \frac{2}{N} \right)$ | | 较小的 $\bar{\theta}$ | $\simeq 2 \frac{\lambda}{Nd}$ radians | $\simeq \frac{4}{N}$ radians | | $\psi$ | $\frac{4\pi}{N}$ | $\frac{4\pi}{N}$ | | $k_z$ | $\frac{4\pi}{dN}$ | $\frac{8\pi}{\lambda N}$ | ## 旁瓣的位置及其衰减速率   旁瓣极大值的位置出现在当波束方向图 $B_\psi(\psi)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$）中的分子逼近极大值的时候： $$\begin{equation} \sin \left( \frac{N \psi}{2} \right) = 1 \end{equation}$$ 则此时有 $$\begin{equation} \frac{N \psi}{2} = \pm \left( 2m+1 \right)\frac{\pi}{2}, \quad m = 1,2,\cdots \end{equation}$$ 也即在 $\psi$ 空间有 $$\begin{equation} \psi = \pm \frac{2m+1}{N}\pi \end{equation}$$ 也即在 $u$ 空间有 $$\begin{equation} u = \pm \frac{2m+1}{N}\frac{\lambda}{2d} \end{equation}$$ 则第一旁瓣的峰值出现在 $$\begin{equation} \psi = \pm \frac{2\pi}{N} \end{equation}$$ 由于在极大值时，波束方向图 $B_\psi(\psi)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$）中的分子趋近为 1，因此极大值为 $$\begin{equation} B_\psi \left( \pm \frac{3\pi}{N} \right) \approx \frac{1}{N \sin \left( \frac{3\pi}{2N} \right)} \end{equation}$$ 对于较大的 $N$，这个表达式可以进一步近似为 $$\begin{equation} B_\psi \left( \pm \frac{3\pi}{N} \right) \approx \frac{3}{2\pi} \end{equation}$$ 计算得 -13.5dB。 {% note warning %} 这意味着一个信号如果在这个旁瓣的位置入射，且比位置在 $k_z = 0$ 的信号大 13.5dB，则这两个信号将产生相同的响应。主要的旁瓣出现在 $k_z = \pm(2m + 1) \pi/Nd$，旁瓣的水平衰减速率为 $1/(2m + 1)$。例如，第二旁瓣的高度为 -17.9dB。在实际中，这种旁瓣水平的分辨能力是不能被接受的，所以很少使用均匀加权。旁瓣控制在确定性阵列和自适应阵列设计中都是特别重要的问题。 {% endnote %} ## 栅瓣（Grating lobes） ![图 1-3-6 阵元间距对波束方向图的影响：(a) $d=\lambda/4$；(b) $d=\lambda/2$；(c) $d=\lambda$](../images/post/2023-04-20-josh-oap-part-1-3/2023-04-20-josh-oap-part-1-3-060-%20EffectOfElementSpacingOnBeamPattern.svg){width=1000px} {% note primary MATLAB Code %} ``` matlab fig2_20.m %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Figure 2.20 % Effect of element spacing on beam pattern % Xin Zhang % Lillian Xu updated 09/2000 % updated by K. Bell 7/22/2001, 10/4/01 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% clear all close all N = 10; n = (-(N-1)/2:(N-1)/2).'; psi = pi*(-3:0.001:3); w = 1/N*[ones(N,1)]; d = [1/4 1/2 1]; figure for k =1:length(d) vv = exp(1i*2*d(k)*n*psi); B(k,:) = 20*log10(abs(w'*vv)); subplot(3,1,k) plot(psi/pi,B(k,:)); hold on plot([-1 -1],[-25 0],'--'); plot([1 1],[-25 0],'--'); axis([-3 3 -25 5]) set(gca,'YTick',[-25 -20 -15 -10 -5 0]) grid on xlabel('$u$','Interpreter','latex') if k == 1 plot([-1 1],[2.5 2.5]) plot([-1 -0.9],[2.5 0.5]) plot([-1 -0.9],[2.5 4.5]) plot([0.9 1],[0.5 2.5]) plot([0.9 1],[4.5 2.5]) text(-0.4,7,'Visible region') end hold off end set(gcf,'Position',[0 0 800 600]) ``` {% endnote %}   在[图 1-3-6](#fig.1-3-6) 中，针对多种 $d/\lambda$ 的值，画出了 $\left| \boldsymbol{\varUpsilon}_u(u) \right|$。图中说明了“栅瓣”这个重要的概念，即和主波束一样高的波瓣。栅瓣发生在当波束方向图 $B_\psi(\psi)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$）中的分子和分母均为零的时候。栅瓣出现的间隔为 $$\begin{equation} \frac{\psi}{2} = m \cdot \pi \end{equation}$$ 也即 $$\begin{equation} \psi = m \cdot 2 \pi \end{equation}$$ 也即 $$\begin{equation} u = m \cdot \frac{\lambda}{d} \end{equation}$$   如果阵列的间距大于 $\lambda$，则栅瓣的峰值出现在信号传播区域以内，即在 $\left| u \right| \leqslant 1$ 的区域以内。这里就会出现峰值响应模糊的问题，只有当我们对信号的入射方向有先验信息的时候，才可能解决这个问题。   下一节将讨论阵列调向的问题，阵列调向使得在 $u$ 空间的频率-波数响应函数 $\left| \boldsymbol{\varUpsilon}_u(u) \right|$ 发生平移，这种平移导致栅瓣进入了可视区域以内。我们发现，如果阵列需要的调向范围为 $0^\circ \leqslant \theta \leqslant 180^\circ$ 则需要 $$\begin{equation} \frac{d}{\lambda} \leqslant \frac{1}{2} \end{equation}$$ 也即 $$\begin{equation} \lambda \leqslant \frac{\lambda}{2} \end{equation}$$   通常，我们考虑满足 $d \leqslant \lambda/2$ 的阵列，并假设需要在整个球内进行调向。我们把满足 $d = \lambda/2$ 的均匀线阵称为**{% label primary @标准线阵（standard linear array） %}**。 {% note info %} 在时间序列分析中，当对时域波形欠采样时，会出现混迭问题。栅瓣的问题和时域混迭问题是等同的。 {% endnote %} # 参考文献 1. Van Trees, Harry L. *Optimum array processing: Part IV of detection, estimation, and modulation theory.* John Wiley & Sons, 2002. 2. Van Trees, Harry L, 汤俊. *最优阵列处理技术.* 清华大学出版社. 2008.