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| Josh's Notes: 最优阵列处理（Part 1.5 —— 阵列性能度量） | true | true | true |
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6a7100b0 | 2023-04-24 11:50:37 |
有很多性能度量方法都可以用于评估一个阵列的能力，每一中度量方法都试图量化阵列的某一个重要特性，或者是阵列对信号环境的响应，或者是阵列设计的敏感度。我们已经采用了第一零点间距作为波束宽度，或频率-波数响应的分辨率的度量，也利用了均匀加权线阵的主要旁瓣水平作为一种度量。本节将讨论三个常用的阵列性能度量方法：
- 方向性（Directivity）
- 对空域自噪声的阵列增益 (Array gain versus spatially white noise，
A_w) - 敏感度（Sensitivity）和容错因子（Tolerance Factor）
方向性
阵列和孔径的一个常用性能度量是方向性。我们将在一般情况下给出定义，并讨论线性阵列的特殊情况。
方向性的定义
定义**{% label primary @功率方向图（power pattern） %}** P(\theta,\varphi) 为波束方向图 B(\omega : \theta, \varphi) 幅度的平方，即
$$\begin{equation} P(\theta,\varphi) = \left| B(\omega : \theta, \varphi) \right|^2 \end{equation}$$
其中 P(\theta,\varphi) 和频率的关系在符号表示中省略掉了。则方向性 D 定义为
$$\begin{equation} \label{DefinitionOfDirectivity} D = \frac{P(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T})}{ \displaystyle\frac{1}{4\pi} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \sin \theta \cdot P(\theta,\varphi) ,\mathrm{d} \varphi ,\mathrm{d} \theta} \end{equation}$$
其中 (\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T}) 是主响应轴（main response axis，MRA）的指向。
对于一个发射阵列或孔径， D 代表最大发射密度（每单位立体角对应的发射功率）和平均发射密度（在球面上平均）的比值。
对于一个接收天线，分母代表的是阵列（或孔径）对全向噪声（在一个球内均匀分布的噪声）的输出噪声功率。分子代表的是对应从 (\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T}) 方向入射的
信号的功率。所以，D 可以解释为是对全向噪声的阵列增益。
如果假设权值做了归一化，使得 P_n(\theta_\mathrm{T},\varphi_\mathrm{T}) = 1, 则式 \eqref{DefinitionOfDirectivity} 可以写成
$$\begin{equation} \label{NormalizedDefinitionOfDirectivity} D = \left{ \frac{1}{4\pi} \int_0^\pi \int_0^{2\pi} \sin \theta \cdot P(\theta,\varphi) ,\mathrm{d} \varphi ,\mathrm{d} \theta \right}^{-1} \end{equation}$$
对于线性阵列，有
$$\begin{equation} B(\theta,\varphi) = B(\theta) \end{equation}$$
则式 \eqref{NormalizedDefinitionOfDirectivity} 可写为
$$\begin{equation} D = \left{ \frac{1}{2} \int_0^\pi \left| B(\theta) \right|^2 \sin \theta ,\mathrm{d} \theta \right}^{-1} \end{equation}$$
在 u 空间可以表示为
$$\begin{equation} \label{NormalizedDefinitionOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA} D = \left{ \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \left| B(u) \right|^2 ,\mathrm{d} u \right}^{-1} \end{equation}$$
通常，这个表达式必须用数值的方法计算。
利用 u 空间的波束方向图的表达式, 式 \eqref{NormalizedDefinitionOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA} 中的表达式可以利用阵列的权值写成
$$\begin{equation} D = \left{ \frac{1}{2} \int_{-1}^1 \sum_{n=0}^{N-1}w_n^\ast e^{jn\left( \frac{2\pi d}{\lambda} \right) \left( u - u_\mathrm{T} \right)} \sum_{m=0}^{N-1} w_m e^{-jm\left( \frac{2\pi d}{\lambda} \right) \left( u - u_\mathrm{T} \right)} ,\mathrm{d} u \right}^{-1} \end{equation}$$
其中 u_\mathrm{T} 是 u 空间内的阵列的所调方向。交换积分和求和的顺序，并积分，得到
$$\begin{equation} \label{ResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA} D = \left{ \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} w_m w_n^\ast e^{j \left( \frac{2\pi d}{\lambda} \right) (m-n) u_\mathrm{T} } \mathrm{sinc} \left( \frac{2\pi d}{\lambda} (n-m)\right) \right}^{-1} \end{equation}$$
定义几个矩阵以得到一个简洁的表达式。定义 \overrightarrow{\mathrm{sinc}} 矩阵的第 n,m 个元素为
$$\begin{equation} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right]_{nm} \triangleq \mathrm{sinc} \left( \frac{2\pi d}{\lambda} (n-m)\right) \end{equation}$$
对角调向矩阵 在 u 空间的表示形式为
$$\begin{equation} \vec{I}{\mathrm{s}u} = \mathrm{diag}\left( 1, e^{j \frac{2\pi d}{\lambda}u\mathrm{T}} , e^{j \frac{2\pi d}{\lambda} 2u_\mathrm{T}}, \cdots, , e^{j \frac{2\pi d}{\lambda}(N-1)u_\mathrm{T}} \right) \end{equation}$$
则
$$\begin{equation} D = \vec{I}{\mathrm{s}u} \vec{w}^\mathrm{H} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right] \vec{w} \vec{I}{\mathrm{s}u}^\mathrm{H} \end{equation}$$
通常，调向运算在权值矢量中包含1
$$\begin{equation} \vec{w}\mathrm{s} = \vec{w}\vec{I}{\mathrm{s}u}^\mathrm{H} \end{equation}$$
则
$$\begin{equation} D = \vec{w}\mathrm{s}^\mathrm{H} \left[ \overrightarrow{\mathrm{sinc}} \right] \vec{w}\mathrm{s} \end{equation}$$
标准线阵的情况
标准线阵（standard linear array）是我们所感兴趣的一个特殊情况。如果 $d = \lambda/2$，则式 \eqref{ResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA} 简化为
$$\begin{equation} \label{SimplifiedResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA} D = \left{ \sum_{n=0}^{N-1} \sum_{m=0}^{N-1} w_m w_n^\ast e^{j \pi (m-n) u_\mathrm{T} } \mathrm{sinc} \left( \pi (n-m)\right) \right}^{-1} \end{equation}$$
当 m = n 时，\mathrm{sinc} 函数等于 1，当 m \ne n 时，\mathrm{sinc} 函数等于 0。所以式 \eqref{SimplifiedResultOfDirectivityInDirectionCosineSpaceOfLA} 简化为
$$\begin{equation} D = \left{ \sum_{n=0}^{N-1} \left| w_n \right|^2 \right} = \left( \vec{w}^\mathrm{H}\vec{w} \right)^{-2} = \left{ \left| \vec{w} \right |^2 \right}^{-1} \end{equation}$$
其中
$$\begin{equation} \left| \vec{w} \right | = \left( \vec{w}^\mathrm{H}\vec{w} \right)^{\frac{1}{2}} \end{equation}$$
是矢量 \vec{w} 的 2-模。
所以一个标准线阵的方向性是权值矢量幅度平方的倒数。方向性不依赖于阵列的指向。当阵列指向从阵列的正侧向移开时，波束变宽，但是 \varphi 的积分范围减小了
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在大多数情况下，我们去掉下标 “$s$”，因为假设
\vec{w}是包含调向的。 ↩︎