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2024-06-15 16:36:21 +08:00

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1. 对偶锥

$ \newcommand{\bfR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bfS}{\mathbf{S}} \newcommand{\TT}{\mathrm{T}} \def\tr{\mathop{\bf tr}} \def\iint{\mathop{\bf int}} $ 令 K 为一个锥。集合

$$\begin{equation} K^\ast = { y\mid x^\TT y \geqslant 0,\ \forall x \in K } \end{equation}$$

称为 K 的对偶锥（dual cone）。顾名思义，K^\ast 是一个锥，并且它总是凸的，即使 K 不是凸锥。

从几何上看，y \in K^\ast 当且仅当 -y 是 K 在原点的一个支撑超平面的法线，如图 22 所示。

$图 22. 左：以 y 为内法向量的半空间包含锥 $K$，因此，$y \in K^\ast$。右：以 z 为内法向量的半空间不包含 $K$，因此，$z \notin K^\ast$。$ {width=600px}

举例 子空间。子空间 $V \subseteq \bfR^n$（这是一个锥）的对偶锥是其正交补 $V^\perp = {y\mid y^\TT v = 0,\ \forall v \in V}$。

举例 非负象限。锥 \bfR^n_+ 的对偶是它本身：
y^\TT x \geqslant 0,\ \forall x \succeq 0 \Longleftrightarrow y \succeq 0
称这种锥自对偶（self-dual）。

举例 半正定锥。在 n \times n 对称矩阵的集合 \bfS^n 上，其标准内积 $\tr(XY) = \displaystyle\sum_{i,j=1}^{n} X_{ij}Y_{ij}$。半正定锥 \bfS^n_+ 是自对偶的，即对于任意的 X,Y\in\bfS^n
\tr (XY) \geqslant 0,\ \forall X \succeq 0 \Longleftrightarrow Y \succeq 0
下面说明这一结论。
证明假设 $Y \notin \bfS^n_+$，那么存在 q \in \bfR^n 并且
q^\TT Yq = \tr (qq^\TT Y) < 0
于是半正定矩阵 X = qq^\TT 满足 $\tr(XY) < 0$，由此可知 $Y \notin (\bfS^n_+)^\ast$。

假设 $X,Y\in\bfS^n_+$，可以利用特征值分解将 X 表述为 $X = \displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i q_i q_i^\TT$，其中（特征值）$\lambda_i \geqslant 0,\ i = 1,\cdots,n$。于是有
\tr (XY) = \tr \left( Y \sum_{i=1}^n \lambda_i q_i q_i^\TT \right) = \sum_{i=1}^n \lambda_i q^\TT Y q_i \geqslant 0
以上表明 $Y \in (\bfS^n_+)^\ast$。

举例 范数锥的对偶。令 \|\cdot\| 为定义在 \bfR^n 上的范数。与之相关的锥 K = \{ (x,t) \in \bfR^{n+1}\mid \|x\|\leqslant t \} 的对偶锥由其对偶范数定义，
K^\ast = \{(u,v) \in \bfR^{n+1}\mid \|u\|_\ast \leqslant v\}
这里的对偶范数由 \|u\|_\ast = \sup\{u^\TT x\mid \| x \|\leqslant 1\} 给出。

为证明这个结论，我们需要说明

$$\begin{equation}\label{DualOfNormCone} x^\TT u + tv \geqslant 0\ 只要\ |x|\leqslant t \Longleftrightarrow |u|_\ast \leqslant v \end{equation}$$
证明首先，证明由右端关于 (u,v) 的条件可以得出左端的条件。设 $|u|_\ast \leqslant v$，并且对于一些 t>0 有 $|x| \leqslant t$。（如果 $t = 0$，x 必须是零，因此显然有 $u^\TT x + vt \geqslant 0$。）根据对偶锥的定义以及 $|-x/t|\leqslant 1$，我们有
u^\TT (-x/t) \leqslant \|u\|_\ast \leqslant v
因此，$u^\TT x + vt \geqslant 0$。

其次，我们证明 \eqref{DualOfNormCone} 左端的条件可以导出 \eqref{DualOfNormCone} 右端的条件。假设 $|u|_\ast> v$，即右端不成立。那么，根据对偶锥的定义，存在 x 满足 \|x\|\leqslant 1 及 $x^\TT u > v$。取 $t=1$，我们有
u^\TT (-x) + v < 0
这与 \eqref{DualOfNormCone} 的左端相矛盾。

对偶锥满足一些性质，例如

K^\ast 是闭凸锥。
K_1 \subseteq K_2 可导出 $K_2^\ast \subseteq K_1^\ast$。
如果 K 有非空内部，那么 K^\ast 是尖的。
如果 K 的闭包是尖的，那么 K^\ast 有非空内部。
K^{\ast\ast} 是 K 的凸包的闭包。（因此，如果 K 是凸和闭的，则 $K^{\ast\ast} = K$。）这些性质表明如果 K 是一个正常锥，那么它的对偶 K^\ast 也是，进一步地，有 $K^{\ast\ast} = K$。

2. 广义不等式的对偶

现在假设凸锥 K 是正常锥，因此它可以导出一个广义不等式 $\preceq_K$。其对偶锥 K^\ast 也是正常的，所以也能导出一个广义不等式。我们称广义不等式立 \preceq_{K^\ast} 为广义不等式 \preceq_K 的对偶（dual）。

关于广义不等式及其对偶有一些重要的性质

x \preceq_K y 当且仅当对于任意 $\lambda \succeq_{K^\ast}$，有 $\lambda^\TT x \leqslant \lambda^\TT y$。
x \prec_K y 当且仅当对于任意 \lambda \succeq_{K^\ast} 和 $\lambda\ne 0$，有 $\lambda^\TT T x < \lambda^\TT y$。

因为 $K = K^{\ast\ast}$，与 \preceq_{K^\ast} 相关的对偶广义不等式为 $\preceq_{K}$，因此交换广义不等式及其对偶后，这些性质依然成立。作为一个具体的例子，我们可知 \lambda\preceq_{K^\ast} \mu 的充要条件是对于所有 x \succeq_K 0 有 $\lambda^\TT x \leqslant \mu^\TT x$。

举例 线性严格广义不等式的择一定理。设 K \subseteq \bfR^m 为正常锥。考虑严格广义不等式

$$\begin{equation}\label{StrictGeneralInequality} Ax \prec_K b \end{equation}$$

其中 x \in \bfR^n

下面推导对于这个不等式的择一定理。假设它是不可行的，即仿射集合 \{b-Ax\mid x\in\bfR^n\} 与开凸集 \iint K 不相交。那么存在一个分离超平面，即非零的 \lambda\in\bfR^m 和 \mu\in \bfR 使得对于任意 x 有灯 $\lambda^\TT(b-Ax) \leqslant \mu$，对于任意 y \in \iint K 有 $\lambda^\TT y \geqslant \mu$。第一个条件表明 A^\TT \lambda = 0 及 $\lambda^\TT b \leqslant \mu$。第二个条件表明对于任意 y\in K 有 $\lambda^\TT y \geqslant \mu$，这种情况仅当 \lambda \in K^\ast 和 \mu \leqslant 0 时才可能发生。

综上，我们可知当 \eqref{StrictGeneralInequality} 不可行时，存在 \lambda 使得

$$\begin{equation}\label{StrictGeneralInequalityInfeasible} \lambda \ne 0,\qquad \lambda \preceq_{K^\ast} 0,\qquad A^\TT \lambda = 0,\qquad \lambda^\TT b \leqslant 0 \end{equation}$$

现在我们证明反方向，即如果 \eqref{StrictGeneralInequalityInfeasible} 成立，那么，不等式组 \eqref{StrictGeneralInequality} 不可能可行。假设不等式均成立，因为 $\lambda\ne 0$，\lambda \succeq_{K^\ast} 及 $b - Ax \succ_K 0$，我们有 $\lambda^\TT (b-Ax)>0$。但是根据 $A^\TT \lambda = 0$，我们可以找到 $\lambda^\TT (b-Ax) = \lambda^\TT b \leqslant 0$，而这是一个矛盾。

因此，不等式组 \eqref{StrictGeneralInequality} 和 \eqref{StrictGeneralInequalityInfeasible} 构成一对择一：对于任意 $A, b$，它们中仅有一个是可行的。（这是严格线性不等式的择一定理的推广；严格线性不等式的择一定理是 K = \bfR^m_+ 时的特殊情况。）

3. 对偶不等式定义的最小元和极小元

可以利用对偶广义不等式来刻画集合 $S\subseteq\mathbf{R}^m$（可能非凸）关于正常锥 K 导出的广义不等式的最小元和极小元。

3.1 最小元的对偶性质

首先考虑最小（minimum）元的性质。x 是 S 上关于广义不等式 \preceq _K 的最小元的充要条件是，对于所有 $\lambda\succ_{K^}0$，x 是在 z\in S 上极小化 \lambda^\TT z 的唯一最优解。几何上看，这意味着对于任意 $\lambda\succ_{K^}0$，超平面


\{z\mid \lambda^\TT (z-x)=0\}

是在 x 处对 S 的一个严格支撑超平面。（用严格支撑超平面表明这个超平面与 S 只相交于 $x$。）注意此处并不要求 S 是凸集。这可由图 23来表示。

$图 23. 最小元的对偶性质。点 x 是集合 S 中关于 \mathbf{R}_+^2 的极小元。这等价于：对于任意 $\lambda\succ0$，超平面 \{z\mid\lambda^\TT (z-x)=0\} 在 x 处对 S 严格支撑，即在超平面的一边包含了 $S$，并只在 x 处与 S 接触。$ {width=400px}

为说明这个结论，设 x 是 S 的最小元，即对于任意 z\in S 有 $x\preceq_Kz$，同时，令 $\lambda\succ_{K^} 0$，而$z\in S$，$z\neq x$。因为 x 是 S 上的最小元，所以有 $z-x\succeq_K0$。根据 \lambda\succ_{K^*}0 及 $z-x\succeq_K0$，$z-x\neq0$，可以得到 $\lambda^\TT (z-x)>0$。因为 z 是 S 上任意一个不等于 x 的元素，所以 x 是在 z\in S 上极小化 \lambda^\TT z 的唯一解。反之，假设对于所有 $\lambda\succ_{K^}0$，x 是 z\in S 上极小化 \lambda^\TT z 的唯一解，但 x 不是 S 的最小元。那么存在 z\in S 满足 $z\nsucceq_Kx$。因为 $z-x\nsucceq_K0$，存在 \tilde{\lambda}\succeq_{K^*} 0 并且 $\tilde{\lambda}^\TT(z-x)<0$。因此，对于 $\lambda\succ_{K^*} 0$，在 \tilde{\lambda} 的邻域内有 $\lambda^\TT (z-x)<0$。这与 x 是 S 上极小化 \lambda^\TT z 的唯一解相矛盾。

3.2 极小元的对偶性质

现在讨论极小（minimal）元的类似性质。此时，在必要和充分条件间存在一定的间隙。如果 \lambda\succ_{K^*} 0 并且 x 在 z\in S 上极小化 $\lambda^\TT z$，那么 x 是极小的，如图 24所示。

$图 24. 集合 $S\subseteq\mathbf{R}^2$。其关于 \mathbf{R}_+^2 的极小点集合由其边界的（左下）深色部分所示。S 上极小化 \lambda_1^\TT z 的解为 $x_1$，因为 $\lambda_1\succ0$，所以 x_1 是极小的。S 上极小化 \lambda_2^\TT z 的解为 $x_2$，因为 $\lambda_2\succ0$，所以它是 S 的另一个极小点。$ {width=400px}

证明假设 \lambda\succ_{K^*} 0 并且 x 在 S 上极小化 $\lambda^\TT z$，但 x 不是极小元，即存在 z\in S 满足 $z\neq x$，$z\preceq_Kx$。那么 $\lambda^\TT (x-z)>0$，这与我们的假设，即 x 在 S 上极小化了 $\lambda^\TT z$，相矛盾。

其逆命题在一般情况下不成立：S 上的极小元 x 可以对于任何 \lambda 都不是 z\in S 上极小化 \lambda^\TT z 的解，如图 25所示。此图表明了凸性在这个逆定理中的重要作用，当凸性成立时，逆定理是成立的。假设集合 S 是凸集，可以说对于任意极小元 $x$，存在非零的 \lambda\succeq_{K^*} 0 使得 x 在 z\in S 上极小化 $\lambda^\TT z$。

$图 25. 点 x 是 S\subseteq\mathbf{R}^2 关于 \mathbf{R}_+^2 的极小元。但是，不存在 $\lambda$，使得 x 在 z\in S 上极小化 $\lambda^\TT z$$ {width=350px}

证明假设 x 是极小的，也就是说 $((x-K)\setminus{x})\cap S=\emptyset$。对凸集 (x-K)\setminus\{x\} 和 S 应用超平面分离定理，可以得出：存在 \lambda\neq0 和 $\mu$，使得对于所有 y\in K 有 $\lambda^\TT (x-y)\leqslant\mu$，对于所有 z\in S 有 $\lambda^\TT z\geqslant\mu$。根据第一个不等式，可知 $\lambda\succeq_{K^} 0$。由于 x\in S 和 $x\in x-K$，所以有 $\lambda^\TT x=\mu$，所以第二个不等式表明 \mu 是 S 上 \lambda^\TT z 的最小值。因此，x 是 S 上极小化 \lambda^\TT z 的一个解，这里 $\lambda\neq0$，$\lambda\succeq_{K^}0$。

这个逆定理无法加强为 $\lambda\succ_{K^} 0$。反例表明，凸集 S 上的极小元 $x$，可以对于任意 $\lambda\succ_{K^}0$，都不是 z\in S 中极小化 \lambda ^\TT z 的解（参见图 26，左图）。同时，并不是对于任意 $\lambda\succeq_{K^*} 0$，在 z\in S 上极小化 \lambda^\TT z 的解都一定是极小的（参见图 26，左图）。

$图 26. 左：点 x_1\in S_1 是极小的，但对于任意 $\lambda\succ0$，它都没有在 S_1 上极小化 $\lambda^\TT z$。（但是，对于 $\lambda=(1,0)$，它确实在所有 $z\in S_1$中极小化了$\lambda^\TT z$。）右：点 x_2\in S_2 不是极小的，但对于 $\lambda=(0,1)\succeq0$，它确实在所有 z\in S_2 中极小化了$\lambda^\TT z$。$ {width=700px}

参考文献

Stephen P. Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex optimization. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2004.
Stephen P. Boyd and Lieven Vandenberghe, 凸优化. 北京: 清华大学出版社, 2013.

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