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Josh's Notes: 最优阵列处理（Part 1.3 —— 均匀加权线阵）	true	true	true	enable number wrap expand_all max_depth true true true true 4	阵列信号处理 均匀加权线阵 3dB 带宽 第一零点波束宽度 旁瓣 栅瓣 瑞利限	Josh 的学习笔记 最优阵列处理 阵列和空域滤波器	aa32ec76	2023-04-20 19:34:47

均匀加权线阵的频率-波数响应函数

  现在把注意力集中到均匀加权线阵（Uniformly Weighted Linear Array）的情况，即

$$\begin{equation} w_n = \frac{1}{N}, , n = 0,1,\cdots,N-1 \end{equation}$$

$$\begin{equation} \boldsymbol{w} = \frac{1}{N} \boldsymbol{1} \end{equation}$$

其中 \boldsymbol{1} 是 N \times 1 维的单位矢量，则在 \psi 空间的频率-波数响应函数可以写成（利用等比级数的求和公式）

$$\begin{equation} \begin{aligned} \boldsymbol{\varUpsilon}\psi(\psi) &= \frac{1}{N} \sum{n=0}^{N-1} e^{j \left(n - \frac{N-1}{2}\right)\psi} \ &= \frac{1}{N} e^{-j \left(\frac{N-1}{2}\right)\psi} \sum_{n=0}^{N-1} e^{j n \psi} \ &= \frac{1}{N} e^{-j \left(\frac{N-1}{2}\right)\psi} \left[ \frac{1-e^{jN\psi}}{1-e^{j\psi}} \right] \end{aligned} \end{equation}$$

或（利用欧拉公式）

$$\begin{equation} \boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N \frac{\psi}{2} \right)}{\sin\frac{\psi}{2}} \end{equation}$$

可以观察到：

• 当 N 是奇数时，\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi) 是周期函数，周期为 $2\pi$；
• 当 N 为偶数时，波瓣在 $\pm 2 \pi$、\pm 6 \pi 处的值为负值，周期为 $4 \pi$；
• 对任意的 $N$，\left|\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right| 的周期为 $2 \pi$。

当 N = 11 时， \boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi) 和 \psi 的关系在图 1-3-1 中给出。图 1-3-2 给出了 $\left|\boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi)\right|$，单位为 dB，其中

$$\begin{equation} \boldsymbol{\varUpsilon}\mathrm{dB}(\psi) = 10 \log{10} \left|\boldsymbol{\varUpsilon}(\psi)\right|^2 \end{equation}$$

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若不指定 \boldsymbol{w} 的类型，则 \boldsymbol{\varUpsilon}_\psi(\psi) 是复数，所以相位也应该画出来。但是，均匀加权线阵具有对称性，因此得到的频率-波数响应是实函数。

  也可以用 k_z 来表示频率-波数响应

$$\begin{equation} \boldsymbol{\varUpsilon}(\omega:k_z) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left( N k_z \frac{d}{2} \right)}{\sin \left(k_z\frac{d}{2}\right)} \end{equation}$$

这里 \boldsymbol{\varUpsilon}(\omega:k_z) 是周期函数，周期为 $2\pi/d$。

{% note warning %}

注意，响应函数仅依赖于波数分量 $k_z$，是 k_z 的周期函数，间隔为 $2\pi/d$，这是线性阵列的一维特性导致的，所以该阵列仅能分析在 k_z 方向上投影的波数分量。

{% endnote %}

均匀加权线阵的波束方向图

  均匀加权线阵的波束方向图为

$$\begin{equation} B_\theta(\theta) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(\frac{N}{2} \cdot \frac{2\pi}{\lambda} \cos \theta \cdot d \right)}{\sin \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{\lambda} \cos\theta \cdot d\right)}, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant \pi \ \end{equation}$$

$$\begin{equation} B_u(u) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(\frac{ \pi Nd}{\lambda} u \right)}{\sin \left( \frac{N d}{\lambda} u\right)}, \quad -1 \leqslant u \leqslant 1 \label{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain} \end{equation}$$

$$\begin{equation} B_\psi(\psi) = \frac{1}{N} \frac{\sin\left(N\frac{\psi}{2}\right)}{\sin \left( \frac{\psi}{2} \right)}, \quad -\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda} \label{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain} \end{equation}$$

其中定义域分别为 $0 \leqslant \theta \leqslant \pi$、-1 \leqslant u \leqslant 1 和 $-\displaystyle\frac{2\pi d}{\lambda} \leqslant \psi \leqslant \frac{2\pi d}{\lambda}$，称为**{% label primary @可视区域（visible region） %}**。

{% note info %}

函数 B_u(u) 和 B_\psi(\psi) 有时称为**{% label primary @阵列因子（Array Factor） %}**。这个量对非全向性阵元非常重要。

{% endnote %}

  图 1-3-3 给出了 B_\theta(\theta) 的极坐标形式，单位为 dB。如果在三维空间画出波束方向图，在图 1-3-3 中的图将对应沿着任意方位角 \theta 切割得到的方向图。图 1-3-4 给出了波束方向图的幅度和不同变量之间的关系。

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{% note info %}

虽然以上例子比较简单，但是可以用来展示线性阵列的一些重要特征。

{% endnote %}

波束方向图的参数

  波束方向图的重要特征可以使用波束方向图的参数来描述。

1. 3dB 带宽（半功率波束宽度，half-power beamwidth，HPBW）
2. 到第一零点的距离（这个距离的两倍称为 $BW_{NN}$）
3. 到第一旁瓣的距离
4. 第一旁瓣的高度
5. 其余零点的位置
6. 旁瓣衰减的速率
7. 栅瓣（Grating lobes）

半功率波束宽度

  为了说明前两个参数，考虑在图 1-3-5 中给出的原点附近的波束方向图。

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  3dB 波束宽度是波束宽度的一个度量。定义为对应 \left| B_u(u) \right|^2 = 0.5 或 \left| B_u(u) \right| = 1/\sqrt{2} 的点。可以通过令波束方向图 $B_u(u)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain}$）等于 $1/\sqrt{2}$，来求出 u 空间的半功率点。对于 $N\geqslant 10$，通过解下面的方程可以得到一个很好的近似：

$$\begin{equation} \frac{\pi N d}{\lambda} u = 1.4 \end{equation}$$

即有

$$\begin{equation} \label{ApproximationOfHPBW} \Delta u_1 = 0.891 \frac{\lambda}{N d} \end{equation}$$

我们把这个间隔称为**{% label primary @半功率波束宽度（half-power beamwidth，HPBW） %}**。当 N 增加时，式 \eqref{ApproximationOfHPBW} 中的常系数会稍稍减小。对于 $N > 30$，0.886 \lambda/Nd 是一个更好的近似表达式。

  表 1-3-1 中列出了不同空间内 HPBW 的表达式。

表 1-3-1 各个空间的半功率波束宽度

空间	任意 d	d=\lambda/2
u	0.891 \frac{\lambda}{Nd}	1.782 \frac{1}{N}
\bar{\theta} 1	2\sin^{-1} \left( 0.446 \frac{\lambda}{Nd} \right)	2\sin^{-1} \left( 0.891 \frac{1}{N} \right)
较小的 \bar{\theta}	\simeq 0.891 \frac{\lambda}{Nd} radians \simeq 51.05 \frac{\lambda}{Nd} degrees	\simeq 1.782 \frac{1}{N} radians \simeq 102.1 \frac{1}{N} degrees
\psi	0.891 \frac{2\pi}{N}	0.891 \frac{2\pi}{N}
k_z	0.891 \frac{2\pi}{dN}	1.782 \frac{2\pi}{\lambda N}

第一零点波束宽度

  方向图的零点出现在当波束方向图 $B_u(u)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInDirectionCosineDomain}$）的分子为零而分母不为零时，即

$$\begin{equation} \sin \left( \frac{\pi N d}{\lambda} u \right) = 0 \end{equation}$$

成立的条件为

$$\begin{equation} \frac{\pi N d}{\lambda} u = m\pi, \quad m = 1,2,\cdots \end{equation}$$

则出现零点需要满足下面的两个条件：

$$\begin{equation} u = m \frac{\lambda}{Nd}, \quad m = 1,2,\cdots \end{equation}$$

且

$$\begin{equation} u \ne m \frac{\lambda}{d}, \quad m = 1,2,\cdots \end{equation}$$

则第一个零点的位置为 $\lambda/Nd$，即有

$$\begin{equation} \Delta u_2 = 2 \frac{\lambda}{Nd} \end{equation}$$

我们把 \Delta u_2 称为零点-零点波束宽度（null-to-null beamwidth），用 BW_{NN} 表示。 BW_{NN} 的一半是到第一零点的距离 (0.5 BW_{NN}) 。这个量能够衡量阵列分辨两个不同平面波的能力，也称为{% label primary @瑞利限（Rayleigh resolution limit） %}。如果第二个波束方向图的峰值在第一个波束方向图的第一零点之外（间隔 $\geqslant \Delta u_2 / 2$），则认为这两个平面波是可以分辨的。在后面，我们将研究一个阵列的分辨能力的统计性度量。

{% note warning %}

注意到线阵在方位角方向（$\varphi$）没有分辨能力，因为该阵列在 x 和 y 方向上没有扩展。我们将在后面详细讨论分辨率的问题。

{% endnote %}

  表 1-3-2中列出了在各个不同空间表示出的 $BW_{NN}$。

表 1-3-2 各个空间的第一零点波束宽度

空间	任意 d	d=\lambda/2
u	2 \frac{\lambda}{Nd}	\frac{4}{N}
\bar{\theta}	2\sin^{-1} \left( \frac{\lambda}{Nd} \right)	2\sin^{-1} \left( \frac{2}{N} \right)
较小的 \bar{\theta}	\simeq 2 \frac{\lambda}{Nd} radians	\simeq \frac{4}{N} radians
\psi	\frac{4\pi}{N}	\frac{4\pi}{N}
k_z	\frac{4\pi}{dN}	\frac{8\pi}{\lambda N}

旁瓣的位置及其衰减速率

  旁瓣极大值的位置出现在当波束方向图 $B_\psi(\psi)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$）中的分子逼近极大值的时候：

$$\begin{equation} \sin \left( \frac{N \psi}{2} \right) = 1 \end{equation}$$

则此时有

$$\begin{equation} \frac{N \psi}{2} = \pm \left( 2m+1 \right)\frac{\pi}{2}, \quad m = 1,2,\cdots \end{equation}$$

也即在 \psi 空间有

$$\begin{equation} \psi = \pm \frac{2m+1}{N}\pi \end{equation}$$

也即在 u 空间有

$$\begin{equation} u = \pm \frac{2m+1}{N}\frac{\lambda}{2d} \end{equation}$$

则第一旁瓣的峰值出现在

$$\begin{equation} \psi = \pm \frac{2\pi}{N} \end{equation}$$

由于在极大值时，波束方向图 $B_\psi(\psi)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$）中的分子趋近为 1，因此极大值为

$$\begin{equation} B_\psi \left( \pm \frac{3\pi}{N} \right) \approx \frac{1}{N \sin \left( \frac{3\pi}{2N} \right)} \end{equation}$$

对于较大的 $N$，这个表达式可以进一步近似为

$$\begin{equation} B_\psi \left( \pm \frac{3\pi}{N} \right) \approx \frac{3}{2\pi} \end{equation}$$

计算得 -13.5dB。

{% note warning %}

这意味着一个信号如果在这个旁瓣的位置入射，且比位置在 k_z = 0 的信号大 13.5dB，则这两个信号将产生相同的响应。主要的旁瓣出现在 $k_z = \pm(2m + 1) \pi/Nd$，旁瓣的水平衰减速率为 $1/(2m + 1)$。例如，第二旁瓣的高度为 -17.9dB。在实际中，这种旁瓣水平的分辨能力是不能被接受的，所以很少使用均匀加权。旁瓣控制在确定性阵列和自适应阵列设计中都是特别重要的问题。

{% endnote %}

栅瓣（Grating lobes）

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  在图 1-3-6 中，针对多种 d/\lambda 的值，画出了 $\left| \boldsymbol{\varUpsilon}u(u) \right|$。图中说明了“栅瓣”这个重要的概念，即和主波束一样高的波瓣。栅瓣发生在当波束方向图 $B\psi(\psi)$（式 $\eqref{BeamPatternOfUWLAInWaveNumberDomain}$）中的分子和分母均为零的时候。栅瓣出现的间隔为

$$\begin{equation} \frac{\psi}{2} = m \cdot \pi \end{equation}$$

也即

$$\begin{equation} \psi = m \cdot 2 \pi \end{equation}$$

也即

$$\begin{equation} u = m \cdot \frac{\lambda}{d} \end{equation}$$

  如果阵列的间距大于 $\lambda$，则栅瓣的峰值出现在信号传播区域以内，即在 \left| u \right| \leqslant 1 的区域以内。这里就会出现峰值响应模糊的问题，只有当我们对信号的入射方向有先验信息的时候，才可能解决这个问题。

  下一节将讨论阵列调向的问题，阵列调向使得在 u 空间的频率-波数响应函数 \left| \boldsymbol{\varUpsilon}_u(u) \right| 发生平移，这种平移导致栅瓣进入了可视区域以内。我们发现，如果阵列需要的调向范围为 0^\circ \leqslant \theta \leqslant 180^\circ 则需要

$$\begin{equation} \frac{d}{\lambda} \leqslant \frac{1}{2} \end{equation}$$

也即

$$\begin{equation} \lambda \leqslant \frac{\lambda}{2} \end{equation}$$

  通常，我们考虑满足 d \leqslant \lambda/2 的阵列，并假设需要在整个球内进行调向。我们把满足 d = \lambda/2 的均匀线阵称为**{% label primary @标准线阵（standard linear array） %}**。

{% note info %}

在时间序列分析中，当对时域波形欠采样时，会出现混迭问题。栅瓣的问题和时域混迭问题是等同的。

{% endnote %}

参考文献

1. Van Trees, Harry L. Optimum array processing: Part IV of detection, estimation, and modulation theory. John Wiley & Sons, 2002.
2. Van Trees, Harry L, 汤俊. 最优阵列处理技术. 清华大学出版社. 2008.

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1. 侧射角（broadside angle）的定义为 \bar{\theta} = \pi/2 - \theta ↩︎