1. 交集

交集运算是保凸的：如果 S_1 和 S_2 是凸集，那么 S_1 \cap S_2 也是凸集。这个性质可以扩展到无穷个集合的交：如果对于任意 $\alpha\in A$，S_\alpha 都是凸的，那么 \displaystyle \bigcap_{\alpha \in A} S_\alpha 也是凸集。（子空间、仿射集合和凸锥对与任意交运算也是封闭的。）举一个简单的例子，多面体是半空间和超平面（它们都是凸集）的交集，因而是凸的。

举例半正定锥 \bfS^n_+ 可以表示为，
\bigcap_{z\ne 0} \left\{ X \in \bfS^n\ \middle|\ z^\TT Xz \geqslant 0 \right\}
对于任意 $z\ne 0$，z^\TT Xz 是关于 X 的（不恒等于零的）线性函数，因此集合
\left\{ X \in \bfS^n\ \middle|\ z^\TT Xz \geqslant 0 \right\}
实际上就是 \bfS^n 的半空间。由此，半正定锥是无穷个半空间的交集，因此是凸的。

举例考虑集合

$$\begin{equation}\label{example2.8} S = \left{ x \in \bfR^m\ \middle|\ |p(t)|\leqslant 1\ 对于\ |t| \leqslant \pi/3 \right} \end{equation}$$

其中 $p(t) = \displaystyle\sum_{k=1}^m x_k \cos kt$。集合 S 可以表示为无穷个平板（slab）的交集：$S = \displaystyle \bigcap_{|t|\leqslant\pi/3} S_t$，其中
S_t = \left\{x\ \middle|\ -1\leqslant (\cos t,\cdots, \cos mt)^\TT x \leqslant 1\right\}
因此，S 是凸的。对于 m=2 的情况，它的定义和集合可见图 13 和图 14。

$图 13. \eqref{example2.8} 定义的集合 (m=2) 中的点的三角多项式。虚线所示的三角多项式是另外两个的平均。$ {width=500px}

$图 14. 图中央的白色区域显示了 m=2 情况下 \eqref{example2.8} 定义的集合 $S$。这个集合是无限多个（图中显示了其中 20 个）平板的交集，所以是凸的。$ {width=470px}

在上面这些例子中，我们通过将集合表示为（可能无穷多个）半空间的交集来表明集合的凸性。反过来我们也将看到：每一个闭的凸集 S 是（通常为无限多个）半空间的交集。事实上，一个闭集 S 是包含它的所有半空间的交集：


S = \bigcap \left\{ \H\ \middle|\ \H\ 是半空间,\ S\subseteq \H \right\}

2. 仿射函数

函数 f: \bfR^n \to \bfR^m 是仿射（affine）的，如果它是一个线性函数和一个常数的和，即具有 f(x) = Ax+ b 的形式，其中 $A \in \bfR^{m\times n}$，$b \in \bfR^m$。假设 S \subseteq \bfR^n 是凸的，并且 f: \bfR^n \to \bfR^m 是仿射函数。那么，S 在 f$ 下的象


f(S) = \left\{ f(x)\ \middle|\ x\in S \right\}

是凸的。类似地，如果 f:\bfR^k\to\bfR^n 是仿射函数，那么 S 在 f 下的原象


f^{-1}(S) = \left\{ x\ \middle|\ f(x)\in S \right\}

是凸的。

两个简单的例子是伸缩（scaling）和平移（translation）。如果 S \subseteq \bfR^n 是凸集，\alpha \in \bfR^n 并且 $a \in \bfR^n$，那么，集合 \alpha S 和 S+a 是凸的，其中


\alpha S = \left\{ \alpha x\ \middle|\ x \in S \right\},\qquad S + a = \left\{ x + a\ \middle|\ x \in S \right\}

一个凸集向它的某几个坐标的投影（projection）是凸的，即：如果 S \subseteq \bfR^m \times \bfR^n 是凸集，那么


T = \left\{ x_1\in \bfR^m\ \middle|\ (x_1,x_2)\in S\ 对于某些\ x_2 \in \bfR^n \right\}

是凸集。

两个集合的和（sum）可以定义为：


S_1 + S_2 = \left\{ x + y\ \middle|\ x \in S_1, y \in S_2\right\}

如果 S_1 和 S_2 是凸集，那么，S_1 + S_2 是凸的。可以看出，如果 S_1 和 S_2 是凸的，那么其直积或 Cartesian 乘积


S_1 \times S_2 = \left\{ (x_1,x_2)\ \middle| \ x_1\in S_1, x_2\in S_2 \right\}

也是凸集。这个集合在线性函数 f(x_1,x_2) = x_1+x_2 下的象是和 $S_1 + S_2$。

也可以考虑 S_1,S_2 \in \bfR^m \times \bfR^n 的部分和（partial sum），定义为


S = \left\{ (x,y_1 + y_2)\ \middle| \ (x,y_1)\in S_1,\ (x,y_2)\in S_2 \right\}

其中 $x\in\bfR^n$，$y_i \in \bfR^m$。m=0 时，部分和给出了 S_1 和 $S_2$的交集；n=0 时，部分和等于集合之和。凸集的部分和是凸集。

参考文献

Stephen P. Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex optimization. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2004.
Stephen P. Boyd and Lieven Vandenberghe, 凸优化. 北京: 清华大学出版社, 2013.

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1. 交集

2. 仿射函数

参考文献

5.5 KiB

Raw Blame History