1. 正常锥与广义不等式

$ \newcommand{\bfR}{\mathbf{R}} \newcommand{\bfS}{\mathbf{S}} \newcommand{\E}{\mathcal{E}} \newcommand{\TT}{\mathrm{T}} \def\iint{\mathop{\bf int}} $ 称锥 K \subseteq \bfR^n 即为正常锥（proper cone），如果它满足下列条件

K 是凸的。
K 是闭的。
K 是实（solid）的，即具有非空内部。
K 是尖（pointed）的，即不包含直线（或者等价地，$x\in K, -x \in K \Longrightarrow x = 0$）。

正常锥 K 可以用来定义广义不等式（generalized inequality），即 \bfR^n 上的偏序关系。这种偏序关系和 \bfR 上的标准序有很多相同的性质。用正常锥 K 可以定义 \bfR^n 上的偏序关系如下


x \preceq_K y \Longleftrightarrow y - x \in K

y \prec_K x 也可以写为 $x \succeq_K y$。类似地，定义相应的严格偏序关系为


x \prec_K y \Longleftrightarrow y - x \in \iint K

并且可以同样地定义 $x \succ_K y$。（为将广义不等式 \preceq_K 与严格的广义不等式区分开，有时也称 \preceq_K 为不严格的广义不等式）。

当 K = \bfR_+ 时，偏序关系 \preceq_K 就是通常意义上 \bfR 中的序 \leqslant 相应地，严格偏序关系 \prec_K 与 \bfR 上的严格序 < 相同。因此，广义不等式包含了 \bfR 上的（不严格和严格）不等式，它是广义不等式的一种特殊情况。

举例 非负象限及分量不等式。非负象限 K = \bfR^n_+ 是一个正常锥。相应的广义不等式 \preceq_K 对应于向量间的分量不等式，即 x \preceq_K y 等价于 $x_i \leqslant y_i, i = 1,\cdots,n$。相应地，其严格不等式对应于严格的分量不等式，即 x \prec_K y 等价于 $x_i < y_i, i = 1,\cdots,n$。

我们将常常使用对应于非负象限的不严格和严格的偏序关系，因此省略下标 $\bfR^n_+$。当 \preceq 或 \prec 出现在向量间的时候，该符号应被理解为分量不等式。

举例 半正定锥和矩阵不等式。半正定锥是 S^n 空间中的正常锥，相应的广义不等式 \preceq_K 就是通常的矩阵不等式，即 X \preceq_K Y 等价于 Y - X 为半正定矩阵。（在 S^n 中）S^n_+ 的内部由正定矩阵组成，因此严格广义不等式也等同于通常的对称矩阵的严格不等式，即 X \prec_K Y 等价于 Y - X 为正定矩阵。

这里，也是由于经常使用这种偏序关系，因此省略其下标，即对于对称矩阵，我们将广义不等式简写为 X \preceq Y 或 X \prec Y, 它们表示关于半正定锥的广义不等式。

举例 [0, 1] 上非负的多项式锥。K 定义如下

$$\begin{equation} K = { c\in\bfR^n\ |\ c_1 + c_2 t + \cdots + c_n t^{n-1} \geqslant 0\ 对于\ t \in [0,1]} \end{equation}$$

即 K 是 [0, 1] 上最高 n - 1 阶的非负多项式（系数）锥。可以看出 K 是一个正常锥，其内部是 [0, 1] 上为正的多项式的系数集合。

两个向量 c, d \in \bfR^n 满足 c \preceq_K d 的充要条件是，对于所有 t \in [0, 1] 有
c_1 + c_2 t + \cdots + c_n t^{n-1} \leqslant d_1 + d_2 t + \cdots + d_n t^{n-1}

1.1 广义不等式的性质

广义不等式 \preceq_K 满足许多性质，例如

\preceq_K 对于加法是保序的：如果 x \preceq_K y 并且 $u \preceq_K v$，那么 $x + u \preceq_K y + v$。
\preceq_K 具有传递性：如果 x \preceq_K y 并且 $y \preceq_K z$，那么 $x \preceq_K z$。
\preceq_K 对于非负数乘是保序的：如果 x \preceq_K y 并且 $\alpha \geqslant 0$，那么 $\alpha x \preceq_K \alpha y$。
\preceq_K 是自反的：$x \preceq_K x$。
\preceq_K 是反对称的：如果 x \preceq_K y 并且 $y \preceq_K x$，那么 $x = y$。
\preceq_K 对于极限运算是保序的：如果对于 i = 1,2,\dots 均有 $x_i \preceq_K y_i$，当 i \to \infty 时，有 x_i \to x 和 $y_i \to y$，那么 $x \preceq_K y$。

相应的广义不等式 \prec_K 也满足一些性质，例如

如果 $x \prec_K y$，那么 $x \preceq_K y$。
如果 x \prec_K y 并且 u \prec_K v, 那么 $x + u \prec_K y + v$。
如果 x \prec_K y 并且 $\alpha > 0$，那么 $\alpha x \prec_K \alpha y$。
$x \nprec_K x$。
如果 $x \prec_K y$，那么对于足够小的 u 和 v 有 $x + u \prec_K y + v$。

这些性质可以从 \preceq_K 和 \prec_K 的定义以及正常锥的性质中直接得到。

2. 最小与极小元

广义不等式的符号（$\preceq_K$，$\prec_K$）似乎表明它们与 \bfR 上的普通不等式（$\leqslant$，$<$）有着相同的性质。虽然普通不等式的许多性质对于广义不等式确实成立，但很多重要的性质并不如此。最明显的区别在于，\bfR 上的 \leqslant 是一个线性序（linear ordering），即任意两点都是可比的（comparable），也就是说 x\leqslant y 和 y \leqslant x 二者必居其一。这个性质对于其他广义不等式并不成立。这导致了最小、最大这些概念在广义不等式环境下变得更加复杂。本节将对此进行简要的讨论。

如果对于每个 $y \in S$，均有 $x \preceq_K y$，称 x\in S 是 $S$（关于广义不等式 $\preceq_K$）的最小元（minimum element）。类似地，我们可以定义关于广义不等式的最大元（maximum element）。如果一个集合有最小（或最大）元，那么它们是唯一的。

相对应的概念是极小元（minimal element）。如果 $y \in S$，y \preceq_K x 可以推得 $y=x$，那么称 x\in S 是 S 上（关于广义不等式 $\preceq_K$）的极小元（minimal element）。同样地，可以定义极大元（maximal element）。一个集合可以有多个极小（或极大）元。

用简单的集合符号，我们可以对最小元和极小元进行描述。元素 x\in S 是 S 中的一个最小元，当且仅当


S \subseteq x + K

这里 x+K 表示可以与 x 相比并且大于或等于（根据 $\preceq_K$）x 的所有元素。元素 x\in S 是极小元，当且仅当


(x - K) \cap S = \{x\}

这里 x-K 表示可以与 x 相比并且小于或等于（根据立$\preceq_K$）x 的所有元素，它与 S 的唯一共同点即是 $x$。

$K=\bfR^n$ 导出的实际上就是 \bfR 上一般的序。此时，极小和最小的概念是一致的，也符合集合最小元素的通常定义。

举例考虑锥 $\bfR^2_+$，它导出的是 \bfR^2 上的关于分量的不等式。对此，可以给出一些关于极小元和最小元的简单的几何描述。不等式 x \preceq y 的含义是 y 在 x 之上、之右。$x \in S$是集合 S 的最小元，表明 S 的其他所有点都在它之上、之右。而 x 为集合 S 的极小元，是指 S 中没有任何一个点在 x 之下、之左，其区别可见图 17。

$图 17. 左：集合出关于 \bfR^2 上的分量不等式有最小元 $x_1$。集合 x_1+K 由浅色阴影所示；x_1 是 S_1 的最小元，因为 $S_1 \subseteq x_1 + K$。右：点 x_2 是 S_2 的极小元。集合 x_2-K 由浅色阴影所示。点 x_2 是极小的，因为 x_2-K 和 S_2 只相交于 $x_2$$ {width=700px}

举例 对称矩阵集合中的最小元和极小元。用 A \in \bfS^n_{++} 表示一个圆心在原点的椭圆，即
\E_A = \{ x\ |\ x^\TT A^{-1} x \leqslant 1 \}
我们知道 A \preceq B 等价于 $\E_A \subseteq \E_B$。

给定 v_1,\cdots,v_k \in \bfR^n 并定义
S = \{ P \in \bfS ^n_{++}\ |\ v_i^\TT P^{-1} v_i \leqslant 1,\ i = 1,\dots k \}
它对应于包含了点 v_1,\cdots,v_k 的椭圆的集合。集合 S 没有最小元：对于任意包含点v_1,\cdots,v_k 的椭圆，总可以找到另一个包含这些点但不可比的椭圆。一个椭圆是极小的，如果它包含这些点但没有更小的椭圆也包含这些点。图 18显示了 \bfR^2 上 k = 2 时的一个例子。

$图 18. \bfR^2 中的三个椭球，它们均以原点（图中较低的点所示）为中心，并且包含较高处的点。椭球 \E_1 不是极小的，因为存在包含这些点并且更小的椭球（例如，$\E_3$）。由于同样的原因，\E_3 也不是极小的。椭球 \E_2 是极小的，因为没有其他（以原点为中心）包含这些点并被 \E_2 包含的椭球。$ {width=300px}

参考文献

Stephen P. Boyd and Lieven Vandenberghe, Convex optimization. Cambridge, UK: Cambridge University Press, 2004.
Stephen P. Boyd and Lieven Vandenberghe, 凸优化. 北京: 清华大学出版社, 2013.

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1.1 广义不等式的性质

2. 最小与极小元

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