struct(app): 重整附录文件——合并 A3+A5+A4→D、A7+A8→G
按 agent_instruction.md 阶段 1 重排附录： - 01-assumptions → A-symbolIndex（迁入附录区，符号索引） - A1 → B（数学基础）、A2 → C（经典 DoA 方法） - A3+A5+A4 合并为 D-singleArrayCrb，子节顺序 D.1 确定 DoA → D.2 确定 DoA-Doppler → D.3 随机 DoA（对照） - A6 → E（多星静态 CRB，暂不扩展多用户） - A7+A8 合并为 G-multiFrameCrb，子节 G.1 CP / G.2 IP 合并依据：D 三者共享 FIM+Schur 推导框架；G 中 CP 与 IP 是对比关系，合并便于量化跨帧相位连续性的信息量。 合并后内部 \subsection 降一级为 \subsubsection，原 \subsubsection 降一级为 \paragraph*；原 \section 行去除，原 \label 保留在新 \subsection 上以维持交叉引用。主文件 \input 列表同步更新。
This commit is contained in:
@@ -0,0 +1,267 @@
|
||||
\section{背景知识}
|
||||
\label{sec:background}
|
||||
|
||||
本附录只整理后续似然函数与 \gls{crb} 推导反复使用的概率分布、Fisher 信息和 CRB 基础公式。这里的广义参数 $\theta$ 或 $\bm\theta$ 不代表多星主线中的全局 DoA；多星主线的方向参数仍以 $\boldsymbol\xi=[\alpha,\beta]^\Tran$ 为准。
|
||||
|
||||
\subsection{高斯变量的 PDF}
|
||||
|
||||
\subsubsection{一维实高斯随机变量}
|
||||
|
||||
一维实高斯随机变量 $X \sim \mathcal{N} \left( \mu, \sigma \right)$~\footnote{本文使用 $\sigma$ 表示高斯随机变量的方差。} 的 \gls{pdf} 为
|
||||
%
|
||||
\begin{align}
|
||||
\label{eq:1d_real_gauss_pdf}
|
||||
f_X \left( x \mid \mu, \sigma \right)
|
||||
= \frac{1}{ \sqrt{2\pi\sigma} }
|
||||
\exp \left[ -\frac{ \left( x - \mu \right)^2 }{ 2\sigma } \right].
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsubsection{一维圆对称复高斯随机变量}
|
||||
|
||||
\begin{mdquote}
|
||||
圆对称复高斯（Circularly Symmetric Complex Gaussian）随机变量
|
||||
$Y \sim \mathcal{CN} \left( \mu, \sigma \right)$ 的实部和虚部是独立的实高斯随机变量。
|
||||
即令 $Y = Y^{(r)} + j Y^{(i)}$，有
|
||||
$Y^{(r)} \sim \mathcal{N} \left( \mu^{(r)}, \dfrac{\sigma}{2} \right)$，
|
||||
$Y^{(i)} \sim \mathcal{N} \left( \mu^{(i)}, \dfrac{\sigma}{2} \right)$，
|
||||
其中 $\mu = \mu^{(r)} + j \mu^{(i)}$。
|
||||
\end{mdquote}
|
||||
|
||||
一维圆对称复高斯随机变量 $Y \sim \mathcal{CN} \left( \mu, \sigma \right)$ 的 \gls{pdf} 为
|
||||
%
|
||||
\begin{align}
|
||||
\label{eq:1d_cplx_gauss_pdf}
|
||||
f_Y \left( y \mid \mu, \sigma \right)
|
||||
&= f_{Y^{(r)}} \left( y^{(r)} \,\middle|\, \mu^{(r)}, \frac{ \sigma }{ 2 } \right)
|
||||
\times
|
||||
f_{Y^{(i)}} \left( y^{(i)} \,\middle|\, \mu^{(i)}, \frac{ \sigma }{ 2 } \right) \nonumber
|
||||
\\
|
||||
&= \frac{1}{ \pi \sigma }
|
||||
\exp \left(
|
||||
-\frac{
|
||||
\left( y^{(r)} - \mu^{(r)} \right)^2
|
||||
+
|
||||
\left( y^{(i)} - \mu^{(i)} \right)^2
|
||||
}{
|
||||
\sigma
|
||||
}
|
||||
\right)
|
||||
= \frac{1}{ \pi \sigma }
|
||||
\exp \left(
|
||||
-\frac{ \left| y - \mu \right|^2 }{ \sigma }
|
||||
\right).
|
||||
\end{align}
|
||||
%
|
||||
其中 $\left|\, \cdot \,\right|$ 表示取复数的模。
|
||||
|
||||
|
||||
\subsubsection{\texorpdfstring{$M$}{M} 维圆对称复高斯随机变量}
|
||||
|
||||
$M$ 维圆对称复高斯随机变量
|
||||
$\mathbf{Z} \sim \mathcal{CN} \left( \bm{\mu}, \mathbf{R} \right)$ 的 \gls{pdf} 为
|
||||
%
|
||||
\begin{align}
|
||||
\label{eq:general_complex_gaussian_pdf}
|
||||
f_{\mathbf{Z}} \left( \mathbf{z} \mid \bm{\mu}, \mathbf{R} \right)
|
||||
= \frac{1}{ \pi^M \det \left( \mathbf{R} \right) }
|
||||
\exp \left[
|
||||
-\left( \mathbf{z} - \bm{\mu} \right)^\Herm
|
||||
\mathbf{R}^{-1}
|
||||
\left( \mathbf{z} - \bm{\mu} \right)
|
||||
\right],
|
||||
\end{align}
|
||||
%
|
||||
其中 $\bm{\mu} \in \mathbb{C}^{M \times 1}$ 为均值向量，$\mathbf{R} \in \mathbb{C}^{M \times M}$ 为协方差矩阵，$\det \left( \mathbf{R} \right)$ 为归一化项，使 \gls{pdf} 的积分为 1。
|
||||
|
||||
在\emph{各维独立且方差 $\sigma$ 相同}的情形下，协方差矩阵退化为 $\mathbf{R} = \sigma \mathbf{I}_M$，即 $\mathbf{Z} \sim \mathcal{CN} \left( \bm{\mu}, \sigma \mathbf{I}_M \right)$，则 \gls{pdf} 简化为
|
||||
%
|
||||
\begin{align}
|
||||
\label{eq:independent_complex_gaussian_pdf}
|
||||
f_{\mathbf{Z}} \left( \mathbf{z} \mid \bm{\mu}, \sigma \right)
|
||||
= \prod_{i=1}^M
|
||||
f_{Z_i} \left( z_i \mid \mu_i, \sigma \right)
|
||||
= \frac{1}{ \left( \pi \sigma \right)^M }
|
||||
\exp \left[
|
||||
-\frac{ \left\| \mathbf{z} - \bm{\mu} \right\|^2 }{ \sigma }
|
||||
\right].
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
|
||||
\subsection{CRB 的定义\texorpdfstring{~\cite{kayFundamentalsStatisticalSignal1993}}{}}
|
||||
|
||||
\begin{mdquote}
|
||||
本节的 $\theta$ 和 $\bm{\theta}$ 是广义的参数和参数向量，并非 DoA 估计问题中的角度。
|
||||
\end{mdquote}
|
||||
|
||||
\Gls{crb}，亦称 \gls{crlb}，在参数估计理论中给出了\emph{无偏估计量方差的下界}。
|
||||
|
||||
\subsubsection{单参量的 CRB}
|
||||
|
||||
假设随机变量 $X$ 的 \gls{pdf} 为 $f_X \left( x; \theta \right)$，其中 $\theta \in \mathbb{R}$ 是待估计参量，且满足正则条件
|
||||
%
|
||||
\begin{align}
|
||||
\mathbb{E}_X \left[
|
||||
\frac{
|
||||
\partial \ln f_X \left( x; \theta \right)
|
||||
}{
|
||||
\partial \theta
|
||||
}
|
||||
\right]
|
||||
= 0, \quad \forall\, \theta ,
|
||||
\end{align}
|
||||
%
|
||||
则任何\emph{无偏估计} $\hat\theta$ 的方差必然满足
|
||||
%
|
||||
\begin{align}
|
||||
\mathrm{var} ( \hat\theta )
|
||||
\geqslant
|
||||
\frac{1}{-\mathbb{E}_X \left[
|
||||
\dfrac{
|
||||
\partial^2 \ln f_X \left( x; \theta \right)
|
||||
}{
|
||||
\partial \theta^2
|
||||
}
|
||||
\right]}
|
||||
=
|
||||
\frac{1}{ \mathcal{I} \left( \theta \right) } = \mathrm{CRB}(\theta),
|
||||
\end{align}
|
||||
%
|
||||
其中 $\mathcal{I} \left( \theta \right)
|
||||
\triangleq
|
||||
-\mathbb{E}_X \left[
|
||||
\dfrac{
|
||||
\partial^2 \ln f_X \left( x; \theta \right)
|
||||
}{
|
||||
\partial \theta^2
|
||||
}
|
||||
\right]
|
||||
$ 称为 Fisher 信息，$\dfrac{1}{\mathcal{I} \left( \theta \right)}$ 称为 \gls{crb}。
|
||||
|
||||
\subsubsection{多参量的 CRB}
|
||||
|
||||
假设随机变量 $X$ 的 \gls{pdf} 为 $f_X \left( x; \bm{\theta} \right)$，其中 $\bm{\theta} = \left[ \theta_1, \ldots, \theta_K \right]^\Tran \in \mathbb{R}^{K \times 1}$ 是待估计参量，且满足正则条件
|
||||
%
|
||||
\begin{align}
|
||||
\mathbb{E}_X \left[
|
||||
\frac{
|
||||
\partial \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
|
||||
}{
|
||||
\partial \bm{\theta}
|
||||
}
|
||||
\right]
|
||||
= \mathbf{0},
|
||||
\quad \forall\, \bm{\theta} ,
|
||||
\end{align}
|
||||
%
|
||||
则任何\emph{无偏估计} $\hat{\theta}_i$ 的方差必然满足
|
||||
%
|
||||
\begin{align}
|
||||
\mathrm{var} ( \hat{\theta}_i )
|
||||
\geqslant \left[ \mathcal{I}^{-1} \left( \bm{\theta} \right) \right]_{ii}
|
||||
= \left[ \mathrm{CRB}(\bm{\theta}) \right]_{ii} .
|
||||
\end{align}
|
||||
%
|
||||
其中 $\mathcal{I} \left( \bm{\theta} \right)$ 是 $K \times K$ 的 \gls{fim}，其元素定义为
|
||||
%
|
||||
\begin{align}
|
||||
\left[ \mathcal{I} \left( \bm{\theta} \right) \right]_{ij}
|
||||
\triangleq
|
||||
-\mathbb{E}_X \left[
|
||||
\frac{
|
||||
\partial^2 \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
|
||||
}{
|
||||
\partial \theta_i \, \partial \theta_j
|
||||
}
|
||||
\right],
|
||||
\quad i = 1, \ldots, K;\, j = 1, \ldots, K .
|
||||
\end{align}
|
||||
|
||||
此外，可以推导得到
|
||||
%
|
||||
\begin{align}
|
||||
\mathbb{E}_X \left[
|
||||
\frac{
|
||||
\partial^2 \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
|
||||
}{
|
||||
\partial \theta_i \, \partial \theta_j
|
||||
}
|
||||
\right]
|
||||
= -\mathbb{E}_X \left[
|
||||
\frac{
|
||||
\partial \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
|
||||
}{
|
||||
\partial \theta_i
|
||||
}
|
||||
\frac{
|
||||
\partial \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
|
||||
}{
|
||||
\partial \theta_j
|
||||
}
|
||||
\right] .
|
||||
\end{align}
|
||||
%
|
||||
因此，\gls{fim} 的元素还可以写作
|
||||
%
|
||||
\begin{align}
|
||||
\label{eq:fisher_element}
|
||||
\left[ \mathcal{I} \left( \bm{\theta} \right) \right]_{ij}
|
||||
= \mathbb{E}_X \left[
|
||||
\frac{
|
||||
\partial \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
|
||||
}{
|
||||
\partial \theta_i
|
||||
}
|
||||
\frac{
|
||||
\partial \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
|
||||
}{
|
||||
\partial \theta_j
|
||||
}
|
||||
\right],
|
||||
\quad i = 1, \ldots, K;\, j = 1, \ldots, K .
|
||||
\end{align}
|
||||
%
|
||||
|
||||
令$
|
||||
\bm{\Psi}
|
||||
\triangleq
|
||||
\left[
|
||||
\dfrac{
|
||||
\partial \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
|
||||
}{
|
||||
\partial \theta_1
|
||||
},
|
||||
\ldots,
|
||||
\dfrac{
|
||||
\partial \ln f_X \left( x; \bm{\theta} \right)
|
||||
}{
|
||||
\partial \theta_K
|
||||
}
|
||||
\right]^\Tran ,
|
||||
$ 则 \gls{fim}可以表示为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:compact_fisher_matrix}
|
||||
\mathcal{I} \left( \bm{\theta} \right)
|
||||
= \mathbb{E}_X \left[
|
||||
\bm{\Psi} \bm{\Psi}^\Tran
|
||||
\right] .
|
||||
\end{equation}
|
||||
|
||||
\subsubsection{一般高斯随机过程的 CRB\texorpdfstring{~\cite{stoicaPerformanceStudyConditional1990}}{}}
|
||||
\label{subsubsec:general_gauss_crb}
|
||||
|
||||
假设 $M$ 维圆对称复高斯随机变量 $\mathbf{Z} \sim \mathcal{CN} (\bm{\mu} (\bm{\theta}), \mathbf{R}(\bm{\theta}))$，其中均值矢量 $\bm{\mu} (\bm{\theta}) \in \mathbb{C}^{M \times 1}$ 和协方差矩阵 $\mathbf{R}(\bm{\theta})\in \mathbb{C}^{M \times M}$ 由实参数向量 $\bm{\theta}$ 唯一确定，也即复高斯随机变量 $\mathbf{Z}$ 的分布由实参数向量 $\bm{\theta}$ 唯一确定，则 $\bm{\theta}$ 的任何无偏估计的协方差矩阵的 \gls{crb} 可以表示为
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\label{eq:general_gauss_crb}
|
||||
[(\mathrm{CRB})^{-1}]_{ij} = \tr \left[
|
||||
\mathbf{R}^{-1} (\bm{\theta}) \frac{\partial \mathbf{R} (\bm{\theta})}{\partial \theta_i} \mathbf{R}^{-1} (\bm{\theta}) \frac{\partial \mathbf{R} (\bm{\theta})}{\partial \theta_j}
|
||||
\right] + 2 \Re \left\{
|
||||
\frac{\partial \bm{\mu}^\Herm (\bm{\theta})}{\partial \theta_i} \mathbf{R}^{-1} (\bm{\theta}) \frac{\partial \bm{\mu} (\bm{\theta})}{\partial \theta_j}
|
||||
\right\},
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
|
||||
其中 $\theta_i$ 表示 $\bm{\theta}$ 的第 $i$ 个分量。
|
||||
|
||||
以上公式构成后续各类 CRB 推导的公共工具箱。 \ref{sec:det_doa_crb}--\ref{sec:det_doa_doppler_crb} 将先把这些公式用于单阵列基线， \ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}--\ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 再用于多星主线模型。
|
||||
Reference in New Issue
Block a user