fix(abstract,preface,sec6,sec7,app-D,app-G): 中文双引号统一为 ``-'' 配对
全文 15 对 ASCII 直引号（在 XeLaTeX 下渲染为竖直 " 而非成对中文引号） 与 3 对 Unicode 弯引号（D、G），统一为 TeX ``…'' 连字，与既有 22 对口径 一致。配对方式：开引号 ``、闭引号 ''。编译两遍无误。
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本文以学习笔记的方式记录这一问题的递进路径：每节只沿一个维度推进模型，其余维度保持最简形态。
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正文从多快拍单阵列确定信号 \gls{doa} 估计出发，依次引入 Doppler、多星几何，并以多用户与星间时间戳误差两节给出后续方向所需的模型接口与初步分析；随后转入多帧连续相位结构，最后以从全局方向到用户三维位置的输出参数化收尾，为多星协作定位等拓展方向提供模型接口。
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正文仅写到集中似然的最终形式与 \gls{efim} 的 Schur complement 表达式，详细矩阵代入与逐步化简见附录。
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附录按"是否共享推导框架"组织：单阵列三种 \gls{crb} 合并为\ref{sec:singleArrayCrb}，多星静态模型为\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}，时间戳误差 \gls{fim} 分析为\ref{sec:timestampErrCrb}，多帧动态模型的连续/独立相位对比为\ref{sec:multiFrameCrb}，用户三维位置 \gls{crb} 为\ref{sec:userPositionCrb}。
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附录按``是否共享推导框架''组织：单阵列三种 \gls{crb} 合并为\ref{sec:singleArrayCrb}，多星静态模型为\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}，时间戳误差 \gls{fim} 分析为\ref{sec:timestampErrCrb}，多帧动态模型的连续/独立相位对比为\ref{sec:multiFrameCrb}，用户三维位置 \gls{crb} 为\ref{sec:userPositionCrb}。
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\end{abstract}
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\input{parts/preface.tex}
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@@ -415,7 +415,7 @@
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其中 $\odot$ 表示 Hadamard 积。
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该结果是单阵列确定信号 \gls{doa} 的条件 CRB 基线。后续单阵列 \gls{doa}--Doppler 和多星 \gls{doa}--Doppler 的 CRB 推导会沿用“先构造完整 Fisher 信息，再对干扰参数做 Schur 补”的处理方式。
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该结果是单阵列确定信号 \gls{doa} 的条件 CRB 基线。后续单阵列 \gls{doa}--Doppler 和多星 \gls{doa}--Doppler 的 CRB 推导会沿用``先构造完整 Fisher 信息，再对干扰参数做 Schur 补''的处理方式。
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\subsection{确定信号 DoA--Doppler CRB}
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\label{sec:det_doa_doppler_crb}
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@@ -730,7 +730,7 @@ $\mathcal P_{[\mathbf B_{\mathrm{st}},\mathbf B_{\mathrm{st},\nu}\mathbf D_\zeta
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它描述了协方差矩阵由于干扰参数变化所能移动的所有方向。
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Schur 补 $\mathcal{I}_{\mathrm e}
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= \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta}$ 的本质是从 $\mathcal{I}_{\theta\theta}$ 中剔除可以被干扰参数“解释”的变化部分，从而获得关于 \gls{doa} 的独立信息。
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= \mathcal{I}_{\theta\theta} - \mathcal{I}_{\theta\psi} \mathcal{I}_{\psi\psi}^{-1} \mathcal{I}_{\psi\theta}$ 的本质是从 $\mathcal{I}_{\theta\theta}$ 中剔除可以被干扰参数``解释''的变化部分，从而获得关于 \gls{doa} 的独立信息。
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因此 Schur 补在几何上等价于将 $\mathbf{R}_{\theta_i}$ 在扰动子空间 $\mathcal{S}_{\boldsymbol\psi}$ 上的分量消除，只保留与该子空间正交的部分。
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\subsubsection{Fisher 块构建}
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@@ -925,7 +925,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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\end{equation}
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因此，无论在连续相位模型还是 relaxed 连续相位模型下，将 $\sigma_{n,\ell}^2$ 视为未知量都只会在 FIM 中附加与其他参数解耦的对角块，不改变式~\eqref{eq:A7_Ieff_cp}、\eqref{eq:A7_Ieff_rel_ext} 和 \eqref{eq:A7_Ieff_rel_eta} 的形式。
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因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文连续相位模型和 relaxed 连续相位处理的 Fisher 信息表达。它与 \S\ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕“是否保留跨帧绝对相位连续性”展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。
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因此，本小节给出的不是新的动态模型，而是正文连续相位模型和 relaxed 连续相位处理的 Fisher 信息表达。它与 \S\ref{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb} 的比较应围绕``是否保留跨帧绝对相位连续性''展开，而不是围绕不同的主参数定义展开。
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\subsection{独立相位 IP 基线 EFIM}
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\label{sec:A8_dynIndependentPhaseCrb}
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@@ -1,20 +1,20 @@
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\section*{前言}
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\addcontentsline{toc}{section}{前言}
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这是一份学习笔记，用来记录自己是如何一步步把"用通信信号估计 \gls{doa} 与 Doppler"这件事想清楚的。
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笔记不追求论文式的紧凑，而追求"读起来能跟着推一遍"的连贯性。
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这是一份学习笔记，用来记录自己是如何一步步把``用通信信号估计 \gls{doa} 与 Doppler''这件事想清楚的。
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笔记不追求论文式的紧凑，而追求``读起来能跟着推一遍''的连贯性。
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正文按一条由简到繁的递进路径组织，每节只沿一个维度推进问题，其他维度保持最简形态。
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起点是多快拍场景下的单阵列确定信号 \gls{doa} 估计；之后依次引入 Doppler、多星几何、多用户、星间时间戳误差，再转入多帧连续相位结构，最后以从全局方向到用户三维位置的输出参数化作为收尾。
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每节开头有一段过渡，说明上一节的什么限制被解除、本节新增什么结构。
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正文只写到集中似然的最终形式与 \gls{efim} 的 Schur complement 表达式，详细矩阵代入与逐步化简集中在附录，使正文每节的推导密度保持一致。
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符号采取"跟随问题引入"的策略：每个符号在它第一次出现的那一节首次定义，定义紧贴使用场景，而不在阅读流之前堆叠完整符号表。
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符号采取``跟随问题引入''的策略：每个符号在它第一次出现的那一节首次定义，定义紧贴使用场景，而不在阅读流之前堆叠完整符号表。
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若需要查找某个符号在全文范围内的定义、维度与所属参数组，请直接翻到\textbf{\ref{sec:assumptionsAndNotation} 完整符号索引}，它按主题分表整理了 \gls{doa} 与几何、Doppler 与相位、\gls{fim}/\gls{crb}、时间戳误差、波束成形接口等所有符号。
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\ref{sec:assumptionsAndNotation} 同时记录了若干尚未在正文展开但已在符号体系中预留命名空间的对象（如波束成形向量 $\mathbf{w}_{\ell,k}$、信道矩阵 $\mathbf{H}_\ell$ 等），它们为后续章节扩展留出接口。
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附录的组织依据是"是否共享同一推导框架"。
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附录的组织依据是``是否共享同一推导框架''。
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\ref{sec:background}、\ref{sec:doa_methods} 收纳数学基础与经典 \gls{doa} 方法；\ref{sec:singleArrayCrb} 把单阵列三种 \gls{crb}（确定信号 \gls{doa}、确定信号 \gls{doa}--Doppler、随机信号 \gls{doa}）合并整理，便于对比；\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 处理多星静态模型（单用户与多用户）；\ref{sec:timestampErrCrb} 是新增的时间戳误差 \gls{fim} 分析；\ref{sec:multiFrameCrb} 处理多帧动态模型的连续相位与独立相位 \gls{crb} 对比；\ref{sec:userPositionCrb} 给出用户三维位置的 \gls{crb}，复用多星静态框架的 Jacobian 与 Schur 补。
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正文遇到"详细推导见附录~X"时，可循此跳读。
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正文遇到``详细推导见附录~X''时，可循此跳读。
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后续方向上，波束成形与安全通信的鲁棒设计是这份笔记的自然延伸（参见 \ref{sec:assumptionsAndNotation} 末尾预留的接口符号），但本版本不展开波束成形相关章节，仅在符号层面与正文估计侧保持接口一致。
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@@ -4,7 +4,7 @@
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前面五节都在单帧（静态）框架内沿不同维度推进问题。第一篇论文的方向是另一个独立的维度扩展：将单观测块推广为\emph{多帧观测窗口}，由此带来跨帧绝对相位连续性这一新信息。
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本节在第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节单用户多星静态模型的基础上引入多帧索引、Doppler rate 与跨帧连续相位结构，但\emph{不}叠加第 4、5 节的多用户与时间戳误差扩展，以保持 ``一节一维度'' 的推进风格。
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主估计目标仍为 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{dyn}}=\boldsymbol\eta_{\mathrm{stat}}=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$，而参考链路 Doppler rate $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。
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本节以连续相位 CP 作为多帧主模型，并以独立相位 IP 作为 phase-relaxed deterministic 基线进行对照——二者不是并列的两套物理模型，而是"主模型 vs.\ 放弃跨帧绝对相位约束的基线"——以此量化跨帧相位连续性携带的信息量；详细 \gls{fim}/\gls{crb} 推导见\ref{sec:multiFrameCrb}。
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本节以连续相位 CP 作为多帧主模型，并以独立相位 IP 作为 phase-relaxed deterministic 基线进行对照——二者不是并列的两套物理模型，而是``主模型 vs.\ 放弃跨帧绝对相位约束的基线''——以此量化跨帧相位连续性携带的信息量；详细 \gls{fim}/\gls{crb} 推导见\ref{sec:multiFrameCrb}。
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\subsection{时间索引与参考星 Doppler rate}
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@@ -1,15 +1,15 @@
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\section{从全局方向到用户三维位置估计\texorpdfstring{~\cite{liFastAccurateLEO2022}}{}}
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\label{sec:userPositioning}
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前六节的主估计目标始终是全局方向 $\boldsymbol\xi$（外加参考星 Doppler）。但 $\boldsymbol\xi$ 只有两个自由度，描述的是"用户在哪个方向"，而多星协作定位真正要回答的是"用户在哪个点"——三维位置 $\mathbf p$。
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前六节的主估计目标始终是全局方向 $\boldsymbol\xi$（外加参考星 Doppler）。但 $\boldsymbol\xi$ 只有两个自由度，描述的是``用户在哪个方向''，而多星协作定位真正要回答的是``用户在哪个点''——三维位置 $\mathbf p$。
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本节沿一个新维度推进——\emph{输出参数化}（从方向到位置的几何反演）——把主参数从 $\boldsymbol\xi$ 换成 $\mathbf p$，其余维度保持最简：单观测块、单用户作为基线、已知导频、各星完全相干，不叠加第~\ref{sec:multiSatMultiUser}、\ref{sec:timestampError}、\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节的多用户/时间戳/多帧扩展。
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关键观察是：第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的全局方向模型，正是位置模型在\emph{远场极限}下的退化——各星共享同一方向 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；一旦用户与星座的距离有限，各星看到的视线方向不再相同，这一\emph{视差}差异连同差分 Doppler，正是把方向（2 维）补足为位置（3 维）的信息来源。这类"以位置为主参数、由原始观测直接估计"的方法即直接定位（Direct Position Determination，DPD）\cite{liFastAccurateLEO2022,haoInterferenceGeolocationSatellite2021}。
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关键观察是：第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的全局方向模型，正是位置模型在\emph{远场极限}下的退化——各星共享同一方向 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；一旦用户与星座的距离有限，各星看到的视线方向不再相同，这一\emph{视差}差异连同差分 Doppler，正是把方向（2 维）补足为位置（3 维）的信息来源。这类``以位置为主参数、由原始观测直接估计''的方法即直接定位（Direct Position Determination，DPD）\cite{liFastAccurateLEO2022,haoInterferenceGeolocationSatellite2021}。
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详细位置 \gls{crb} 推导见\ref{sec:userPositionCrb}。
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\subsection{位置参数化与逐星视线映射}
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\label{subsec:positionLosMap}
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设用户在参考时刻的三维位置为 $\mathbf p\in\mathbb R^3$（ECI 坐标系），在单观测块内视为常量（与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节"\gls{doa} 块内不变"同级的假设；用户运动的 Doppler 效应仍按既有模型折叠进 $\nu_{\mathrm{ref}}$，不升格为显式速度参数）。
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设用户在参考时刻的三维位置为 $\mathbf p\in\mathbb R^3$（ECI 坐标系），在单观测块内视为常量（与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节``\gls{doa} 块内不变''同级的假设；用户运动的 Doppler 效应仍按既有模型折叠进 $\nu_{\mathrm{ref}}$，不升格为显式速度参数）。
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第 $\ell$ 颗卫星到用户的视线向量与单位视线方向为
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\begin{equation}
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\mathbf r_\ell(\mathbf p)\triangleq\mathbf p-\mathbf s_\ell,
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@@ -28,7 +28,7 @@
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\begin{equation}
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\mathbf a_\ell(\mathbf p)\triangleq\mathbf a_\ell\!\big(\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p),\beta_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p)\big)\in\mathbb C^{M_\ell\times1}.
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\end{equation}
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也即\emph{每阵列内部仍是平面波模型，阵列导向 $\mathbf a_\ell$ 的形式一字不改}；变的只是"本地角由 $\mathbf p$ 而非 $\boldsymbol\xi$ 诱导"。
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也即\emph{每阵列内部仍是平面波模型，阵列导向 $\mathbf a_\ell$ 的形式一字不改}；变的只是``本地角由 $\mathbf p$ 而非 $\boldsymbol\xi$ 诱导''。
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\begin{mdquote}
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\textbf{远场退化。} 固定全局方向 $\mathbf u_0$，令 $\mathbf p=\mathbf s_{\ell_{\mathrm{ref}}}+R\,\mathbf u_0$ 并取 $R\to\infty$，则对所有 $\ell$ 有 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)\to\mathbf u_0$，逐星视线趋于共向，第~\ref{sec:userPositioning} 节模型退化为第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的全局方向模型。反之，有限距离下 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)\neq\mathbf u_{\ell'}(\mathbf p)$ 的视差是距离维的角度信息来源。
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@@ -71,7 +71,7 @@
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\qquad
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\mathcal E_\ell\triangleq\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2-\frac{\big|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\big|^2}{\|\mathbf g_\ell\|_2^2}.
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\end{equation}
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形式与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的集中似然完全一致，仍是"在统一的 $(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 下，对各星空时匹配输出按几何与噪声水平加权融合"，只是匹配模板 $\mathbf g_\ell$ 由位置参数化。
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形式与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的集中似然完全一致，仍是``在统一的 $(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 下，对各星空时匹配输出按几何与噪声水平加权融合''，只是匹配模板 $\mathbf g_\ell$ 由位置参数化。
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\subsection{可辨识性与几何精度}
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\label{subsec:positionIdentifiability}
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@@ -88,4 +88,4 @@
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\end{equation}
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第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的空时模板 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)$、集中似然对各星 $\mathbf G_\ell=[\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}]$ 列空间的投影、以及用户分离可辨识性，全部与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节及\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 逐字平行，只把 $\boldsymbol\xi_k$ 换成 $\mathbf p_k$。
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本节完成了从全局方向到用户三维位置的输出参数化：阵列信号模型、参考星 Doppler、集中似然与 EFIM 框架全部继承自多星静态主线，唯一变动的是"位置经逐星视线映射诱导各星本地角与差分 Doppler"这一几何层；全局方向模型为其远场极限。这正是第二篇论文"多星阵列对多用户单天线定位"所需的模型接口；时间戳误差与多帧连续相位扩展可正交叠加于此。
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本节完成了从全局方向到用户三维位置的输出参数化：阵列信号模型、参考星 Doppler、集中似然与 EFIM 框架全部继承自多星静态主线，唯一变动的是``位置经逐星视线映射诱导各星本地角与差分 Doppler''这一几何层；全局方向模型为其远场极限。这正是第二篇论文``多星阵列对多用户单天线定位''所需的模型接口；时间戳误差与多帧连续相位扩展可正交叠加于此。
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Reference in New Issue
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