content(sec7): 新增用户三维位置估计节与位置 CRB 附录

沿"输出参数化"维度把主参数从全局方向 ξ 升到三维位置 p：
正文新增第 7 节，主参数 η_pos=[p, ν_ref]，逐星视线
u_ℓ(p)=Ω_ℓ^T (p-s_ℓ)/‖p-s_ℓ‖ 诱导各星本地角与差分 Doppler，
阵列平面波模型与参考星 Doppler 不变（用户运动/载频仍折叠进
ν_ref），并给出远场退化为全局方向模型的命题、L≥2 可辨识性
与 GDOP 几何各向异性。
附录 H 给出位置 CRB：复用附录 E 的联合堆叠/复增益 Schur 补/
EFIM 投影—Gram，仅重写主参数 Jacobian——∂u_ℓ/∂p=
(I-u u^T)/‖r_ℓ‖ 的秩 2 投影显式给出"径向不可观、靠多星视差
补满秩"的结构，远场极限下退化为二维方向 CRB。
方法定位为 DPD，引 wei/li/hao/xv（均已发表）；wei 条目补入
ref.bib。前言与摘要同步补入该节与附录。

doa_doppler_est.tex

@@ -130,9 +130,9 @@
 \begin{abstract}
   使用通信信号估计来波方向与 Doppler 参数，是通信感知一体化和低轨卫星协作感知中的基础问题。
   本文以学习笔记的方式记录这一问题的递进路径：每节只沿一个维度推进模型，其余维度保持最简形态。
-  正文从多快拍单阵列确定信号 \gls{doa} 估计出发，依次引入 Doppler、多星几何，并以多用户与星间时间戳误差两节给出后续方向所需的模型接口与初步分析；最后回到第一篇论文的多帧连续相位结构。
+  正文从多快拍单阵列确定信号 \gls{doa} 估计出发，依次引入 Doppler、多星几何，并以多用户与星间时间戳误差两节给出后续方向所需的模型接口与初步分析；随后回到第一篇论文的多帧连续相位结构，最后以从全局方向到用户三维位置的输出参数化收尾，给出第二篇论文多星定位所需的模型接口。
   正文仅写到集中似然的最终形式与有效 \gls{fim} 的 Schur complement 表达式，详细矩阵代入与逐步化简均迁移至附录。
-  附录按"是否共享推导框架"组织：单阵列三种 \gls{crb} 合并为\ref{sec:singleArrayCrb}，多星静态模型为\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}，时间戳误差 \gls{fim} 分析为\ref{sec:timestampErrCrb}，多帧动态模型的连续/独立相位对比为\ref{sec:multiFrameCrb}。
+  附录按"是否共享推导框架"组织：单阵列三种 \gls{crb} 合并为\ref{sec:singleArrayCrb}，多星静态模型为\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb}，时间戳误差 \gls{fim} 分析为\ref{sec:timestampErrCrb}，多帧动态模型的连续/独立相位对比为\ref{sec:multiFrameCrb}，用户三维位置 \gls{crb} 为\ref{sec:userPositionCrb}。
 \end{abstract}
 
 \input{parts/preface.tex}
@@ -142,7 +142,8 @@
 \input{parts/sec4_multiSatMultiUser.tex}
 \input{parts/sec5_timestampError.tex}
 \input{parts/sec6_multiFrameCp.tex}
-% \input{parts/sec7_beamforming.tex}        % 预留，本次不展开
+\input{parts/sec7_userPositioning.tex}
+% \input{parts/sec8_beamforming.tex}        % 预留，本次不展开
 
 \appendix
 \renewcommand{\thesection}{附录~\Alph{section}}
@@ -164,6 +165,8 @@
 \input{parts/F-timestampErrCrb.tex}
 \newpage
 \input{parts/G-multiFrameCrb.tex}
+\newpage
+\input{parts/H-userPositionCrb.tex}
 
 \newpage
 \renewcommand*{\bibfont}{\footnotesize}

parts/H-userPositionCrb.tex

@@ -0,0 +1,63 @@
+\section{用户位置 CRB}
+\label{sec:userPositionCrb}
+
+本附录给出第~\ref{sec:userPositioning} 节位置参数化模型的 \gls{crb}。整套构造——联合堆叠、复增益 Schur 补、EFIM 投影--Gram——与\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 完全一致，唯一需要重写的是主参数 Jacobian：把对全局角 $(\alpha,\beta)$ 的导数换成对位置 $\mathbf p$ 的导数。下面只给出这一差异部分，其余直接引用附录 E 的结果。
+
+\subsection{位置对视线与本地角的链式导数}
+
+单位视线 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)=\mathbf r_\ell/\|\mathbf r_\ell\|_2$（$\mathbf r_\ell=\mathbf p-\mathbf s_\ell$）对位置的 Jacobian 为
+\begin{equation}
+  \frac{\partial\mathbf u_\ell}{\partial\mathbf p}
+  =\frac{1}{\|\mathbf r_\ell\|_2}\big(\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran\big)\in\mathbb R^{3\times3}.
+  \label{eq:H_dudp}
+\end{equation}
+两点结构性读法：因子 $1/\|\mathbf r_\ell\|_2$ 表明角灵敏度随距离衰减——这正是远场极限下位置不可由角度观测的根源；投影 $\mathbf I_3-\mathbf u_\ell\mathbf u_\ell^\Tran$（秩 $2$）表明沿视线方向（径向）平移不改变该星方向，只有横向平移可观测，故单星无法定距，必须靠多星视差把各秩 $2$ 投影补成满秩 $3$。
+本地视线 $\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell$ 给出 $\partial\mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\,\partial\mathbf u_\ell/\partial\mathbf p$，再按与\eqref{eq:A6_local_angle_chain} 同样的 atan2/arcsin 链式法则得到行向量 $\partial\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p$、$\partial\beta_\ell^{\mathrm{loc}}/\partial\mathbf p\in\mathbb R^{1\times3}$，从而
+\begin{equation}
+  \frac{\partial\mathbf a_\ell}{\partial\mathbf p}
+  =\dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha}\frac{\partial\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}
+  +\dot{\mathbf a}_{\ell,\beta}\frac{\partial\beta_\ell^{\mathrm{loc}}}{\partial\mathbf p}
+  \in\mathbb C^{M_\ell\times3},
+  \label{eq:H_dadp}
+\end{equation}
+其中 $\dot{\mathbf a}_{\ell,\alpha},\dot{\mathbf a}_{\ell,\beta}$ 同\eqref{eq:A6_da_chain}。
+Doppler 部分，$\partial\nu_\ell/\partial\mathbf p=\partial\Delta\nu_\ell(\mathbf p)/\partial\mathbf p\in\mathbb R^{1\times3}$ 由已知星历与几何确定，$\partial\nu_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=1$；时间模板导数沿用\eqref{eq:A6_qdot}，即 $\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i=\dot{\mathbf q}_\ell\,(\partial\nu_\ell/\partial p_i)$、$\partial\mathbf q_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\dot{\mathbf q}_\ell$。
+
+\subsection{位置 EFIM 与 CRB}
+
+按 Kronecker 求导法则（同\eqref{eq:A6_Dl}）组装空时模板对 $\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}=[\mathbf p^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 的 Jacobian
+\begin{equation}
+  \mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}
+  =\big[\,
+    \partial\mathbf g_\ell/\partial p_x,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial p_y,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial p_z,\ \partial\mathbf g_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}
+  \,\big]\in\mathbb C^{M_\ell T\times4},
+\end{equation}
+其中位置列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial p_i=\mathbf q_\ell\otimes(\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i)+(\partial\mathbf q_\ell/\partial p_i)\otimes\mathbf a_\ell$、Doppler 列 $\partial\mathbf g_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}=\dot{\mathbf q}_\ell\otimes\mathbf a_\ell$，$\partial\mathbf a_\ell/\partial p_i$ 取\eqref{eq:H_dadp} 的第 $i$ 列。消去复增益后的 EFIM 与\eqref{eq:A6_Ieff_final} 同形：
+\begin{equation}
+  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
+  =2\sum_{\ell=0}^{L-1}\frac{|\zeta_\ell|^2}{\sigma_{n,\ell}^2}
+  \Re\!\big\{(\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}})^\Herm\mathcal P_{\mathbf g_\ell}^\perp\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}\big\}\in\mathbb R^{4\times4}.
+  \label{eq:H_efim}
+\end{equation}
+将\eqref{eq:H_efim} 按 $(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 分块为
+\begin{equation}
+  \mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})
+  =\begin{bmatrix}
+    \mathcal I_{\mathrm{pp}} & \mathcal I_{\mathrm p\nu}\\
+    \mathcal I_{\nu\mathrm p} & \mathcal I_{\nu\nu}
+  \end{bmatrix},
+\end{equation}
+则把参考 Doppler 视为干扰参数、对其取 Schur 补，得位置 \gls{crb}
+\begin{equation}
+  \operatorname{CRB}(\mathbf p)
+  =\big(\mathcal I_{\mathrm{pp}}-\mathcal I_{\mathrm p\nu}\,\mathcal I_{\nu\nu}^{-1}\,\mathcal I_{\nu\mathrm p}\big)^{-1}\in\mathbb R^{3\times3}.
+\end{equation}
+几何精度因子（GDOP）即 $\sqrt{\operatorname{tr}\operatorname{CRB}(\mathbf p)}$ 随星座几何的变化。
+
+\begin{mdquote}
+\textbf{远场退化（Fisher 信息层）。} 由\eqref{eq:H_dudp}，当所有 $\|\mathbf r_\ell\|_2\to\infty$ 时 $\partial\mathbf a_\ell/\partial\mathbf p\to\mathbf0$，$\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 的三列位置导数趋于线性相关（径向列退化），$\mathcal I_{\mathrm e}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}})$ 在距离方向奇异——位置 \gls{crb} 在距离维发散，退化为\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 的二维方向 \gls{crb}。这与第~\ref{subsec:positionLosMap} 小节的远场退化命题在 Fisher 信息层面一致。
+\end{mdquote}
+
+\subsection{多用户}
+
+多用户位置 \gls{crb} 把 $\mathbf D_\ell^{\mathrm{pos}}$ 按用户横向拼接为 $\mathbf D_{\ell,k}^{\mathrm{pos}}$、对各星 $\mathbf G_\ell$ 列空间正交补投影，结构与\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 完全一致（把 $\boldsymbol\xi_k$、$\mathbf D_{\ell,k}$ 换成 $\mathbf p_k$、$\mathbf D_{\ell,k}^{\mathrm{pos}}$）；第 $k$ 个用户的位置 \gls{crb} 为 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}(\boldsymbol\eta_{\mathrm{mu\text{-}pos}})$ 中对应 $\mathbf p_k$ 的 $3\times3$ 子块，可作为定位精度与（预留）波束成形鲁棒设计的统一上界。

parts/preface.tex

@@ -6,7 +6,7 @@
 笔记不追求论文式的紧凑，而追求"读起来能跟着推一遍"的连贯性。
 
 正文按一条由简到繁的递进路径组织，每节只沿一个维度推进问题，其他维度保持最简形态。
-起点是多快拍场景下的单阵列确定信号 \gls{doa} 估计；之后依次引入 Doppler、多星几何、多用户、星间时间戳误差，最后回到第一篇论文的多帧连续相位结构。
+起点是多快拍场景下的单阵列确定信号 \gls{doa} 估计；之后依次引入 Doppler、多星几何、多用户、星间时间戳误差，再回到第一篇论文的多帧连续相位结构，最后以从全局方向到用户三维位置的输出参数化作为收尾。
 每节开头有一段过渡，说明上一节的什么限制被解除、本节新增什么结构。
 正文只写到集中似然的最终形式与有效 \gls{fim} 的 Schur complement 表达式，详细矩阵代入与逐步化简全部移入附录，目的是让正文每节的推导密度保持一致。
 
@@ -15,7 +15,7 @@
 \ref{sec:assumptionsAndNotation} 同时记录了若干尚未在正文展开但已在符号体系中预留命名空间的对象（如波束成形向量 $\mathbf{w}_{\ell,k}$、信道矩阵 $\mathbf{H}_\ell$ 等），它们为后续章节扩展留出接口。
 
 附录的组织依据是"是否共享同一推导框架"。
-\ref{sec:background}、\ref{sec:doa_methods} 收纳数学基础与经典 \gls{doa} 方法；\ref{sec:singleArrayCrb} 把单阵列三种 \gls{crb}（确定信号 DoA、确定信号 DoA--Doppler、随机信号 DoA）合并整理，便于对比；\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 处理多星静态模型（单用户与多用户）；\ref{sec:timestampErrCrb} 是新增的时间戳误差 \gls{fim} 分析；\ref{sec:multiFrameCrb} 处理多帧动态模型的连续相位与独立相位 \gls{crb} 对比。
+\ref{sec:background}、\ref{sec:doa_methods} 收纳数学基础与经典 \gls{doa} 方法；\ref{sec:singleArrayCrb} 把单阵列三种 \gls{crb}（确定信号 DoA、确定信号 DoA--Doppler、随机信号 DoA）合并整理，便于对比；\ref{sec:A6_multiArrayStatDetDoaDopplerCrb} 处理多星静态模型（单用户与多用户）；\ref{sec:timestampErrCrb} 是新增的时间戳误差 \gls{fim} 分析；\ref{sec:multiFrameCrb} 处理多帧动态模型的连续相位与独立相位 \gls{crb} 对比；\ref{sec:userPositionCrb} 给出用户三维位置的 \gls{crb}，复用多星静态框架的 Jacobian 与 Schur 补。
 正文遇到"详细推导见附录~X"时，可循此跳读。
 
 后续方向上，波束成形与安全通信的鲁棒设计是这份笔记的自然延伸（参见 \ref{sec:assumptionsAndNotation} 末尾预留的接口符号），但本版本不展开波束成形相关章节，仅在符号层面与正文估计侧保持接口一致。

parts/sec7_userPositioning.tex

@@ -0,0 +1,83 @@
+\section{从全局方向到用户三维位置估计\texorpdfstring{~\cite{liFastAccurateLEO2022}}{}}
+\label{sec:userPositioning}
+
+前六节的主估计目标始终是全局方向 $\boldsymbol\xi$（外加参考星 Doppler）。但 $\boldsymbol\xi$ 只有两个自由度，描述的是"用户在哪个方向"，而多星协作定位真正要回答的是"用户在哪个点"——三维位置 $\mathbf p$。
+本节沿一个新维度推进——\emph{输出参数化}（从方向到位置的几何反演）——把主参数从 $\boldsymbol\xi$ 换成 $\mathbf p$，其余维度保持最简：单观测块、单用户作为基线、已知导频、各星完全相干，不叠加第~\ref{sec:multiSatMultiUser}、\ref{sec:timestampError}、\ref{sec:dynamicDoaDopplerEst} 节的多用户/时间戳/多帧扩展。
+关键观察是：第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的全局方向模型，正是位置模型在\emph{远场极限}下的退化——各星共享同一方向 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$；一旦用户与星座的距离有限，各星看到的视线方向不再相同，这一\emph{视差}差异连同差分 Doppler，正是把方向（2 维）补足为位置（3 维）的信息来源。这类"以位置为主参数、由原始观测直接估计"的方法即直接定位（Direct Position Determination，DPD）\cite{liFastAccurateLEO2022,haoInterferenceGeolocationSatellite2021}。
+详细位置 \gls{crb} 推导见\ref{sec:userPositionCrb}。
+
+\subsection{位置参数化与逐星视线映射}
+\label{subsec:positionLosMap}
+
+设用户在参考时刻的三维位置为 $\mathbf p\in\mathbb R^3$（ECI 坐标系），在单观测块内视为常量（与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节"DoA 块内不变"同级的假设；用户运动的 Doppler 效应仍按既有模型折叠进 $\nu_{\mathrm{ref}}$，不升格为显式速度参数）。
+第 $\ell$ 颗卫星到用户的视线向量与单位视线方向为
+\begin{equation}
+  \mathbf r_\ell(\mathbf p)\triangleq\mathbf p-\mathbf s_\ell,
+  \qquad
+  \mathbf u_\ell(\mathbf p)=\frac{\mathbf r_\ell(\mathbf p)}{\|\mathbf r_\ell(\mathbf p)\|_2}\in\mathbb R^3.
+\end{equation}
+与第~\ref{subsec:globalLocalDoaMap} 小节的关键区别是：这里的 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)$ \emph{逐星不同}，而不再是同一个全局方向 $\mathbf u(\boldsymbol\xi)$。沿用同一组本地坐标基与旋转矩阵 $\boldsymbol\Omega_\ell$，本地来向与本地角度为
+\begin{equation}
+  \mathbf u_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p)=\boldsymbol\Omega_\ell^\Tran\mathbf u_\ell(\mathbf p),
+  \qquad
+  \alpha_\ell^{\mathrm{loc}}=\operatorname{atan2}\!\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,2},u^{\mathrm{loc}}_{\ell,1}\big),
+  \qquad
+  \beta_\ell^{\mathrm{loc}}=\arcsin\!\big(u^{\mathrm{loc}}_{\ell,3}\big),
+\end{equation}
+并据此代入与第~\ref{subsec:single_arr_array_model} 小节完全相同的 ULA/UPA 阵列导向模板，得到本地导向矢量
+\begin{equation}
+  \mathbf a_\ell(\mathbf p)\triangleq\mathbf a_\ell\!\big(\alpha_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p),\beta_\ell^{\mathrm{loc}}(\mathbf p)\big)\in\mathbb C^{M_\ell\times1}.
+\end{equation}
+也即\emph{每阵列内部仍是平面波模型，阵列导向 $\mathbf a_\ell$ 的形式一字不改}；变的只是"本地角由 $\mathbf p$ 而非 $\boldsymbol\xi$ 诱导"。
+
+\begin{mdquote}
+\textbf{远场退化。} 固定全局方向 $\mathbf u_0$，令 $\mathbf p=\mathbf s_{\ell_{\mathrm{ref}}}+R\,\mathbf u_0$ 并取 $R\to\infty$，则对所有 $\ell$ 有 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)\to\mathbf u_0$，逐星视线趋于共向，第~\ref{sec:userPositioning} 节模型退化为第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的全局方向模型。反之，有限距离下 $\mathbf u_\ell(\mathbf p)\neq\mathbf u_{\ell'}(\mathbf p)$ 的视差是距离维的角度信息来源。
+\end{mdquote}
+
+\subsection{链路 Doppler 的位置诱导}
+
+沿用第~\ref{subsec:refSatParameterization} 小节的参考星参数化，各链路归一化 Doppler 仍写为
+\begin{equation}
+  \nu_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\mathbf p),
+  \qquad \Delta\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\mathbf p)\equiv0,
+\end{equation}
+唯一区别是几何差分 $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 现在由已知星历 $\{\mathbf s_\ell,\mathbf v_\ell\}$ 与\emph{用户位置} $\mathbf p$ 诱导（取代原来由方向 $\boldsymbol\xi$ 诱导）。参考链路总 Doppler $\nu_{\mathrm{ref}}$ 仍作自由标量，继续吸收参考链路 range-rate 与用户载频/钟偏——这与既有模型对运动和载频的处理完全一致，是本节"模型演变不大动"的关键：绝对 Doppler 不进入几何，几何只通过差分 $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 约束 $\mathbf p$。
+
+\subsection{信号模型、主参数与集中似然}
+
+第 $\ell$ 颗卫星接收向量与第~\ref{subsec:staticBlockModel} 小节同构，仅将 $\boldsymbol\xi$ 替换为 $\mathbf p$：
+\begin{equation}
+  \mathbf y_\ell(t)=\zeta_\ell\,\mathbf a_\ell(\mathbf p)\,s(t)\,e^{j\nu_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})t}+\mathbf n_\ell(t),
+  \qquad \mathbf n_\ell(t)\sim\mathcal{CN}(\mathbf0,\sigma_{n,\ell}^2\mathbf I_{M_\ell}).
+\end{equation}
+时间模板 $\mathbf q_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 与空时模板 $\mathbf g_\ell=\mathbf q_\ell\otimes\mathbf a_\ell$ 按相同方式定义。主参数为
+\begin{equation}
+  \boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}
+  =\begin{bmatrix}\mathbf p\\\nu_{\mathrm{ref}}\end{bmatrix}\in\mathbb R^4,
+\end{equation}
+干扰参数仍为各星复增益与噪声方差 $\{\zeta_\ell,\sigma_{n,\ell}^2\}$。由于似然以及对 $\zeta_\ell$、$\sigma_{n,\ell}^2$ 的闭式消元与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节逐字平行（只是 $\mathbf g_\ell$ 现在依赖 $\mathbf p$），集中似然准则直接写为
+\begin{equation}
+  \widehat{\boldsymbol\eta}_{\mathrm{pos}}
+  =\arg\min_{\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}}}
+  \sum_{\ell=0}^{L-1}M_\ell T\log\mathcal E_\ell(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}}),
+  \qquad
+  \mathcal E_\ell\triangleq\|\tilde{\mathbf y}_\ell\|_2^2-\frac{\big|\mathbf g_\ell^\Herm\tilde{\mathbf y}_\ell\big|^2}{\|\mathbf g_\ell\|_2^2}.
+\end{equation}
+形式与第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的集中似然完全一致，仍是"在统一的 $(\mathbf p,\nu_{\mathrm{ref}})$ 下，对各星空时匹配输出按几何与噪声水平加权融合"，只是匹配模板 $\mathbf g_\ell$ 由位置参数化。
+
+\subsection{可辨识性与几何精度}
+\label{subsec:positionIdentifiability}
+
+位置三维可辨识性来自两条互补信息：（i）跨星 AoA 视差——位置沿某颗星视线方向的平移不改变该星本地角，却改变其他星的本地角；（ii）差分 Doppler $\Delta\nu_\ell(\mathbf p)$ 对距离的依赖。二者都要求 $L\ge2$ 且几何充分：单星时各采样仅约束单一方向、距离不可辨识，正好落回第~\ref{sec:multiArrayStatDetDoaDopplerEst} 节的纯方向情形。
+量化上，沿用消去干扰参数后的有效 \gls{fim}（EFIM）投影--Gram 结构（见\ref{sec:userPositionCrb}），$\boldsymbol\eta_{\mathrm{pos}}$ 的 EFIM 的最弱本征方向通常对应\emph{距离}维，其条件数（几何精度因子，GDOP）由星座基线/视差角与各链路信噪比共同决定。两星或少数多星时，横向位置因视差好而精度高、距离维因视差角小而恶化，是该模型最典型的几何各向异性\cite{weiIntegratedDopplerPositioning2024,xvJointBeamScheduling2024}。这与第~\ref{subsec:multiSatGainFdIdentifiability} 小节用同一套投影--Gram/条件数语言刻画的多星 Doppler 增益是同源的。
+
+\subsection{多用户堆叠}
+
+推广到 $K$ 个单天线用户，只需把每个用户的位置与参考 Doppler 独立堆叠：
+\begin{equation}
+  \boldsymbol\eta_{\mathrm{mu\text{-}pos}}
+  =[\mathbf p_1^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},1},\ldots,\mathbf p_K^\Tran,\nu_{\mathrm{ref},K}]^\Tran\in\mathbb R^{4K}.
+\end{equation}
+第 $\ell$ 颗卫星对第 $k$ 个用户的空时模板 $\mathbf g_{\ell,k}=\mathbf q_{\ell,k}\otimes\mathbf a_\ell(\mathbf p_k)$、集中似然对各星 $\mathbf G_\ell=[\mathbf g_{\ell,1},\ldots,\mathbf g_{\ell,K}]$ 列空间的投影、以及用户分离可辨识性，全部与第~\ref{sec:multiSatMultiUser} 节及\ref{subsec:E2_multiUserMultiSatCrb} 逐字平行，只把 $\boldsymbol\xi_k$ 换成 $\mathbf p_k$。
+
+本节完成了从全局方向到用户三维位置的输出参数化：阵列信号模型、参考星 Doppler、集中似然与 EFIM 框架全部继承自多星静态主线，唯一变动的是"位置经逐星视线映射诱导各星本地角与差分 Doppler"这一几何层；全局方向模型为其远场极限。这正是第二篇论文"多星阵列对多用户单天线定位"所需的模型接口；时间戳误差与多帧连续相位扩展可正交叠加于此。

ref.bib

@@ -26368,3 +26368,18 @@
   langid = {american},
   lccn = {1}
 }
+
+@article{weiIntegratedDopplerPositioning2024,
+  title = {Integrated {{Doppler Positioning}} in a {{Narrowband Satellite System}}: {{Performance Bound}}, {{Parameter Estimation}}, and {{Receiver Architecture}}},
+  shorttitle = {Integrated {{Doppler Positioning}} in a {{Narrowband Satellite System}}},
+  author = {Wei, Qihui and Chen, Xi and Ni, Zuyao and Jiang, Chunxiao and Huang, Zhen and Zhang, Shuangna},
+  year = 2024,
+  month = mar,
+  journal = {IEEE Internet of Things Journal},
+  volume = {11},
+  number = {6},
+  pages = {10893--10910},
+  issn = {2327-4662},
+  doi = {10.1109/JIOT.2023.3327711},
+  urldate = {2026-06-04}
+}