@@ -33,6 +33,20 @@
%
并将 $ \dot \nu _ { \mathrm { ref } } $ 作为干扰参数处理。为避免重复建模，这里只保留 \gls { crb} 推导所需的最小定义、导数记号与 \gls { fim} /\gls { efim} 结构。
用 K/U 分别标记参考 Doppler rate 已知/未知，三种配置均保留相同的三维主参数。在幅度严格为正的局部工作点，影响均值的干扰参数与实维数为
%
\begin { equation}
\begin { array} { c|c|c}
\text { 配置} & \text { 干扰参数} & \text { 实维数} \\ \hline
\text { CP-K} & \{ \chi _ \ell \} ,\{ \rho _ { \ell ,p} \} & L+LP\\
\text { CP-U} & \dot \nu _ { \mathrm { ref} } ,\{ \chi _ \ell \} ,\{ \rho _ { \ell ,p} \} & 1+L+LP\\
\text { IP-U} & \dot \nu _ { \mathrm { ref} } ,\{ \vartheta _ { \ell ,p} \} ,\{ \rho _ { \ell ,p} \} & 1+2LP
\end { array}
\label { eq:A7_ parameter_ dimensions}
\end { equation}
%
若各星噪声方差未知，完整干扰参数另增加 $ L $ 维，与均值参数 Fisher 块解耦。复增益已由幅度与相位表示，不再额外引入一组独立复路径增益；K 配置固定的是参考 rate，各星相对 rate 仍通过全局方向变化。
\subsubsection { 沿用正文模型的最小定义与导数记号}
沿用第~\ref { subsec:dynamicCpModel} 小节中的\gls { cp} 模板与块级向量化方式。对任意卫星 $ \ell = 0 , \ldots ,L - 1 $ 与帧 $ p = 0 , \ldots ,P - 1 $ ，定义\gls { cp} 模板
@@ -112,6 +126,24 @@
%
其中已利用正文中的几何参数化：$ \dfrac { \partial \nu _ \ell } { \partial \nu _ { \mathrm { ref } } } = 1 $ ， $ \dfrac { \partial \dot \nu _ \ell } { \partial \dot \nu _ { \mathrm { ref } } } = 1 $ 。这里的显式导数采用正文中的加性参考星参数化，$ \nu _ \ell = \nu _ { \mathrm { ref } } + \Delta \nu _ \ell ( \boldsymbol \xi ) $ 且 $ \dot \nu _ \ell = \dot \nu _ { \mathrm { ref } } + \Delta \dot \nu _ \ell ( \boldsymbol \xi ) $ ；若改用一般映射，只需将上述两个导数替换为对应链式法则项。
对固定方向模型，角度导数可直接由 \eqref { eq:sec3_ dnu_ projection} 与 \eqref { eq:sec5_ relative_ rate_ fixed_ direction} 给出：
%
\begin { equation}
\begin { aligned}
\frac { \partial \nu _ \ell } { \partial x}
& =\frac { 2\pi T_ { \mathrm s} \epsilon _ D} { \lambda _ { \mathrm c} }
\Delta \mathbf v_ \ell ^ \Tran \frac { \partial \mathbf u} { \partial x} ,\\
\frac { \partial \dot \nu _ \ell } { \partial x}
& =\frac { 2\pi T_ { \mathrm s} ^ 2\epsilon _ D} { \lambda _ { \mathrm c} }
(\Delta \mathbf a_ \ell ^ { \mathrm { orb} } )^ \Tran
\frac { \partial \mathbf u} { \partial x} ,
\qquad x\in \{ \alpha ,\beta \} .
\end { aligned}
\label { eq:A7_ direction_ doppler_ derivatives}
\end { equation}
%
所有角度导数以弧度为自变量，$ \epsilon _ D = - 1 $ ；旋转矩阵及参考时刻星历在求参数导数时保持已知。空间导数由 \eqref { eq:A6_ uloc_ jac} 与 \eqref { eq:sec3_ propagation_ steering} 直接链式计算，可避免在局部角极点处使用 atan2/arcsin 导数。
于是空时模板对主参数与 $ \dot \nu _ { \mathrm { ref } } $ 的导数分别为
%
\begin { equation}
@@ -224,7 +256,7 @@
\zeta _ { \ell ,p} ^ { \mathrm { cp} } \triangleq \rho _ { \ell ,p} ^ { \mathrm { cp} } e^ { j\chi _ \ell } ,\qquad \rho _ { \ell ,p} ^ { \mathrm { cp} } \in \mathbb R_ { \ge 0} .
\end { equation}
%
在常规局部 \gls { crb} 推导中默认真实工作点满足 $ \rho _ { \ell ,p } ^ { \mathrm { cp } } > 0 $ ，从而幅度--相位参数化在该点局部可微且相位参数可辨识；若某些块的 幅度为零，则对应相位不可辨识，应在数值实现中删除该相位列或采用广义逆形式的 \gls { efim } 。
在常规局部 \gls { crb} 推导中默认真实工作点满足 $ \rho _ { \ell ,p } ^ { \mathrm { cp } } > 0 $ ，从而幅度参数位于非负约束的内部。同星公共相位仍可由该星其他非零幅度块提供信息，不能仅因一个块幅度为零就删除该星相位列；若该星所有块 幅度均 为零，其公共相位列才整体为零。零幅度边界须另行分析约束与可辨识性，不能仅靠广义逆恢复常规局部 \gls { crb } 。
则第 $ ( \ell ,p ) $ 个观测块的均值为
%
\begin { equation}
@@ -346,7 +378,7 @@
\label { eq:A7_ Ieff_ cp}
\end { equation}
%
其中 \eqref { eq:A7_ Ieff_ cp} 默认 $ \mathcal I _ { \psi \psi } ^ { \mathrm { cp } } $ 在考虑的局部工作点非奇异。若由于低信噪比、零幅度块或几何退化导致干扰参数块秩亏，则数值仿真中应将 $ \big ( \mathcal I _ { \psi \psi } ^ { \mathrm { cp } } \big ) ^ { - 1 } $ 替换为 Moore--Penrose 广义逆 $ \big ( \mathcal I _ { \psi \psi } ^ { \mathrm { cp } } \big ) ^ { \dagger } $ ，并将所得结果解释为广义 \gls { efim } 。
其中 \eqref { eq:A7_ Ieff_ cp} 默认 $ \mathcal I _ { \psi \psi } ^ { \mathrm { cp } } $ 在考虑的局部工作点非奇异。若内部工作点存在冗余干扰方向，可按实切空间投影使用 Moore--Penrose 广义逆构造广义 Schur 补，见 \eqref { eq:A7_ efim_ projection_ interpret } 。在正定噪声协方差下，有限信噪比降低本身不改变精确秩，数值病态须与结构性秩亏区分。从 \gls { efim } 求完整主参数的逆还须满足 \eqref { eq:A7_ real_ rank_ condition } 。
从而其 \gls { crb} 为
%
\begin { equation}
@@ -499,7 +531,7 @@
\zeta _ { \ell ,p} ^ { \mathrm { cp,rel} } =\zeta ^ { (r)} _ { \ell ,p} +j\zeta ^ { (i)} _ { \ell ,p} .
\end { equation}
%
这里模板仍然是 $ \mathbf g ^ { \mathrm { cp } } _ { \ell ,p } $ ， 因此该模型只是放松了块复系数结构，并未放弃跨帧 \gls { cp } 模板 。
这里模板仍然是 $ \mathbf g ^ { \mathrm { cp } } _ { \ell ,p } $ ， 但自由块复系数可以吸收每帧常相位；保留绝对时间模板不再保留结构化 \gls { cp } 的同星公共相位约束。该放松模型与 \gls { ip } 的参数对应见 \eqref { eq:A8_ rel_ ip_ equivalence }
令扩展参数向量为
%
@@ -681,26 +713,43 @@
\mathbf R_ n^ { -1/2} \mathbf J_ { \psi }
\end { equation}
%
为白化 Jacobian。则 Schur 补可写成
为白化 Jacobian。由于主参数与干扰参数均为实参数，先定义实化矩阵
%
\begin { equation}
\mathbf A\triangleq
\begin { bmatrix} \Re \{ \bar { \mathbf J} _ { \eta } \} \\ \Im \{ \bar { \mathbf J} _ { \eta } \} \end { bmatrix} ,
\qquad
\mathbf B\triangleq
\begin { bmatrix} \Re \{ \bar { \mathbf J} _ { \psi } \} \\ \Im \{ \bar { \mathbf J} _ { \psi } \} \end { bmatrix} .
\label { eq:A7_ realified_ jacobians}
\end { equation}
%
完整均值参数的 Fisher 信息为 $ 2 [ \mathbf A, \mathbf B ] ^ \Tran [ \mathbf A, \mathbf B ] $ 。对干扰参数执行 Schur 补得到
%
\begin { equation}
\mathcal I_ { \mathrm { e} }
=
2\Re \left \{
\bar { \mathbf J} _ { \eta } ^ { \Herm }
\mathcal P_ { \bar { \mathbf J} _ { \psi } } ^ { \perp }
\bar { \mathbf J} _ { \eta }
\right \} ,
2\mathbf A ^ \Tran \mathcal P_ { \mathbf B } ^ { \perp } \mathbf A,
\qquad
\mathcal P_ { \bar { \mathbf J } _ { \psi } } ^ { \perp }
\mathcal P_ { \mathbf B } ^ { \perp }
=
\mathbf I-
\bar { \mathbf J} _ { \psi }
\left (\bar { \mathbf J} _ { \psi } ^ { \Herm } \bar { \mathbf J} _ { \psi } \right )^ { \dagger }
\bar { \mathbf J} _ { \psi } ^ { \Herm } .
\mathbf I-\mathbf B \mathbf B ^ \dagger .
\label { eq:A7_ efim_ projection_ interpret}
\end { equation}
%
实化保证干扰扰动的系数为实数。直接向 $ \bar { \mathbf J } _ { \psi } $ 的复列空间正交补投影，一般会扩大可消去的干扰空间；只有被消去的实切空间本身对乘以 $ j $ 封闭时，才可改用复投影，例如逐块自由复增益的实部与虚部成对消元。结构化 \gls { cp} 的实幅度、共享相位及实值 Doppler rate 须按 \eqref { eq:A7_ efim_ projection_ interpret} 处理。
一个最小检验是已知方向与 rate 的单星两帧模型：各帧仅在时间索引 $ 0 , 1 $ 处观测一个样本，幅度真值均为 $ 1 $ ，公共相位及参考 Doppler 真值均为 $ 0 $ ，噪声复方差为 $ 1 $ 。对参数 $ ( \nu , \rho _ 0 , \rho _ 1 , \chi ) $ 的均值 Jacobian 为
%
\begin { equation}
\mathbf J=\begin { bmatrix} 0& 1& 0& j\\ j& 0& 1& j\end { bmatrix} ,
\qquad
\mathcal I_ { \nu ,\mathrm e} =2-\frac { 2^ 2} { 4} =1.
\label { eq:A7_ real_ projection_ counterexample}
\end { equation}
%
若错误地将两个实幅度列按复系数投影，它们已张成整个 $ \mathbb C ^ 2 $ ，会得到零信息，丢失两帧相位差对 Doppler 的约束。
因此，对任意实扰动 $ \delta \boldsymbol \eta $ ，有
%
\begin { equation}
@@ -709,8 +758,7 @@
\delta \boldsymbol \eta
=
2\left \|
\mathcal P_ { \bar { \mathbf J } _ { \psi } } ^ { \perp }
\bar { \mathbf J} _ { \eta } \delta \boldsymbol \eta
\mathcal P_ { \mathbf B } ^ { \perp } \mathbf A \delta \boldsymbol \eta
\right \| _ 2^ 2.
\label { eq:A7_ efim_ quadratic_ projection}
\end { equation}
@@ -722,8 +770,7 @@
\quad \Longleftrightarrow \quad
\exists \ \delta \boldsymbol \eta \neq \mathbf 0,
\quad
\mathcal P_ { \bar { \mathbf J } _ { \psi } } ^ { \perp }
\bar { \mathbf J} _ { \eta } \delta \boldsymbol \eta
\mathcal P_ { \mathbf B } ^ { \perp } \mathbf A \delta \boldsymbol \eta
=
\mathbf 0,
\label { eq:A7_ exact_ absorbed_ direction}
@@ -732,46 +779,51 @@
也即
%
\begin { equation}
\bar { \mathbf J } _ { \eta } \delta \boldsymbol \eta
\mathbf A \delta \boldsymbol \eta
\in
\operatorname { range} ( \bar { \mathbf J } _ { \psi }
\operatorname { range} _ { \mathbb R } ( \mathbf B ).
\label { eq:A7_ range_ absorbed_ direction}
\end { equation}
%
近奇异情形对应于
%
\begin { equation}
\bar { \mathbf J } _ { \eta } \delta \boldsymbol \eta
\mathbf A \delta \boldsymbol \eta
\approx
\bar { \mathbf J } _ { \psi } \delta \boldsymbol \psi ,
\mathbf B \delta \boldsymbol \psi ,
\qquad \delta \boldsymbol \psi \in \mathbb R^ { \dim \boldsymbol \psi _ \mu } ,
\label { eq:A7_ near_ nuisance_ absorption}
\end { equation}
%
即主参数扰动产生的一阶均值变化可以由干扰参数扰动近似表示。
即主参数扰动产生的一阶均值变化可以由实 干扰参数扰动近似表示。对本节三个主参数，常规局部 \gls { crb } 存在的条件为
%
\begin { equation}
\operatorname { rank} \big (\mathcal P_ { \mathbf B} ^ { \perp } \mathbf A\big )=3.
\label { eq:A7_ real_ rank_ condition}
\end { equation}
%
只有满足 \eqref { eq:A7_ real_ rank_ condition} 才能将 $ \mathcal I _ { \mathrm e } ^ { - 1 } $ 解释为完整主参数的局部无偏协方差下界。若秩亏，应报告不可辨识方向；$ \mathcal I _ { \mathrm e } ^ { \dagger } $ 只用于满足相应可估条件的函数或已声明约束下的子空间，不能把零特征值方向解释为零误差界。
为了把这种近似表示写成可度量的量，定义最小投影角
%
\begin { equation}
\sin ^ 2\theta _ { \min }
\triangleq
\min _ { \delta \boldsymbol \eta \neq \mathbf 0}
\min _ { \mathbf A \ delta\boldsymbol \eta \neq \mathbf 0}
\frac {
\left \|
\mathcal P_ { \bar { \mathbf J } _ { \psi } } ^ { \perp }
\bar { \mathbf J} _ { \eta } \delta \boldsymbol \eta
\mathcal P_ { \mathbf B } ^ { \perp } \mathbf A \delta \boldsymbol \eta
\right \| _ 2^ 2
} {
\left \|
\bar { \mathbf J } _ { \eta } \delta \boldsymbol \eta
\mathbf A \delta \boldsymbol \eta
\right \| _ 2^ 2
} .
\label { eq:A7_ min_ projection_ angle}
\end { equation}
%
式~\eqref { eq:A7_ efim_ quadratic_ projection} 表明，\gls { efim} 在某个方向上的有效信息正比于该方向
得分在干扰子空间正交补上的残余能量。因此，当 $ \theta _ { \min } \approx 0 $ 时，
$ \mathcal I _ { \mathrm { e } } $ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他方向的信息快速增加，
则 $ \kappa ( \mathcal I _ { \mathrm { e } } ) $ 会显著变大。
得分在实 干扰子空间正交补上的残余能量。定义域排除了零原始得分；若存在非零 $ \delta \boldsymbol \eta $ 使 $ \mathbf A \delta \boldsymbol \eta = \mathbf 0 $ ，则已直接违反 \eqref { eq:A7_ real_ rank_ condition } 。 $ \theta _ { \min } $ 衡量相对于原始得分能量的信息损失比例，实际小特征值还取决于得分尺度；比较条件数时应先统一参数单位并声明尺度归一化。
接下来把上述投影解释专门用于 \gls { doa} --Doppler 耦合。将 \gls { efim} 按
$ \boldsymbol \eta = [ \boldsymbol \xi ^ \Tran , \nu _ { \mathrm { ref } } ] ^ \Tran $ 分块为
@@ -1441,12 +1493,20 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
\subsubsection { 与 A7 中放松连续相位结果的关系}
式~ \eqref { eq:A8_ IP_ FIM_ etadotnu } 给出的扩展 \gls { fim } 的投影型结构与 \appref { sec:A7_ dynDoaDopplerCrb } 中 放松 \gls { c p} 模型的结果形式一致，但两者对应的 \emph { 时间模板不同 } ：
\begin { itemize}
\item \appref { sec:A7_ dynDoaDopplerCrb} 使用的是\gls { cp} 模板 $ \mathbf g ^ { \mathrm { cp } } _ { \ell ,p } $ ，其中通过 $ t _ { p,t } = \tau _ p + t $ 保留了跨帧绝对相位连续性；
\item 本附录使用的是 \gls { ip } 模板 $ \mathbf g ^ { \mathrm { ip } } _ { \ell ,p } $ ，其中帧间常相位项已被 $ \vartheta _ { \ell ,p } $ 吸收，只保留帧内局部相位演化。
\end { itemize}
因此，两类模型的差异不在 Schur 补的代数形式本身，而在模板里是否保留跨帧连续相位结构。这也正是正文中``\gls { cp} vs.~\gls { ip} ''对比的统计本质。
在相同 Doppler/rate 映射、噪声和采样配置下，放松 \gls { cp } 与 \gls { i p} 的模板只相差块常相位 ：
%
\begin { equation}
\begin { aligned }
c_ { \ell ,p} & \triangleq \nu _ \ell \tau _ p+\frac { 1} { 2} \dot \nu _ \ell \tau _ p^ 2,\\
\mathbf g^ { \mathrm { cp} } _ { \ell ,p} & =e^ { jc_ { \ell ,p} } \mathbf g^ { \mathrm { ip} } _ { \ell ,p} ,
\qquad
\zeta ^ { \mathrm { ip} } _ { \ell ,p}
=\zeta ^ { \mathrm { cp,rel} } _ { \ell ,p} e^ { jc_ { \ell ,p} } .
\end { aligned}
\label { eq:A8_ rel_ ip_ equivalence}
\end { equation}
%
自由复增益使 \eqref { eq:A8_ rel_ ip_ equivalence} 成为可逆的干扰参数重参数化。对主参数求导产生的附加项 $ j \left ( \dfrac { \partial c _ { \ell ,p } } { \partial x } \right ) \mathbf g _ { \ell ,p } $ 落在块复增益的干扰切空间内，消元后两种写法给出相同的扩展 \gls { efim} ，进一步消去 rate 后也相同。结构化 \gls { cp} 则限制同星各帧共享相位，不能逐块吸收这些常相位；其与 \gls { ip} 的信息差异来自这一约束。
从 \gls { efim} 病态的角度看，\gls { ip} 模型与 放松 \gls { cp} 模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian
%
@@ -1462,25 +1522,20 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
\frac { \partial \boldsymbol \mu ^ { \mathrm { ip} } } { \partial \boldsymbol \psi ^ { \mathrm { ip} } _ { \mu } } ,
\end { equation}
%
则式~\eqref { eq:A8_ IP_ EFIM_ eta} 等价于
将这些矩阵按 \eqref { eq:A7_ realified_ jacobians } 实化为 $ \mathbf A ^ { \mathrm { ip } } $ 与 $ \mathbf B ^ { \mathrm { ip } } $ ， \eqref { eq:A8_ IP_ EFIM_ eta} 的广义 Schur 补形式为
%
\begin { equation}
\mathcal I^ { \mathrm { ip} } _ { \mathrm { e} }
=
2\Re \left \{
( \bar { \mathbf J } ^ { \mathrm { ip} } _ { \eta } ) ^ { \Herm }
\mathcal P ^ { \perp } _ { \bar { \mathbf J } ^ { \mathrm { ip} } _ { \psi } }
\bar { \mathbf J} ^ { \mathrm { ip} } _ { \eta }
\right \} .
2( \mathbf A ^ { \mathrm { ip } } ) ^ \Tran
\big ( \mathbf I- \mathbf B ^ { \mathrm { ip} } ( \mathbf B ^ { \mathrm { ip } } ) ^ \dagger \big )
\mathbf A ^ { \mathrm { ip} } .
\label { eq:A8_ IP_ EFIM_ projection}
\end { equation}
%
因此，\gls { ip} 模型下的弱可辨识方向仍由
$ \mathcal P ^ { \perp } _ { \bar { \ mathbf J } ^ { \mathrm { ip } } _ { \psi } } \bar { \mathbf J } ^ { \mathrm { ip } } _ { \eta } $
的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 放松 \gls { cp } 模型相比，二者的主要区别不在
Schur 补代数形式，而在 $ \mathbf g ^ { \mathrm { ip } } _ { \ell ,p } $ 使用局部时间索引并允许每个
$ ( \ell ,p ) $ 块具有独立相位 $ \vartheta _ { \ell ,p } $ 。这些自由相位会吸收跨帧绝对相位所携带的公共
Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls { doa} --Doppler--rate 耦合，而是构成一个更保守的相干性基线。
$ \mathcal P ^ { \perp } _ { \mathbf B ^ { \mathrm { ip } } } \mathbf A ^ { \mathrm { ip } } $
的实 秩和最小奇异方向决定。仅消去逐块自由复增益时，式~ \eqref { eq:A8_ IP_ FIM_ block_ eff } 的复投影是合法简化；将实值 rate 一并消去时须使用实 Schur 补或 \eqref { eq:A8_ IP_ EFIM_ projection } ，完整主参数求逆仍需满足 \eqref { eq:A7_ real_ rank_ condition } 。在相同工作点，放开结构化 \gls { cp } 的公共相位约束只会减少或保持有效信息；这不意味着每个归一化耦合系数都会单调增大。
\subsubsection { 关于噪声方差参数的说明}
@@ -1495,4 +1550,64 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合
%
因此，将 $ \sigma _ \ell $ 视为未知量不会改变式~\eqref { eq:A8_ IP_ FIM_ etadotnu} 与式~\eqref { eq:A8_ IP_ EFIM_ eta} 的形式，只是在完整 \gls { fim} 中附加一个与其他参数解耦的对角块。
至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref { sec:A7_ dynDoaDopplerCrb} 对应\gls { cp} /放松 \gls { cp} 模型，本附录对应\gls { ip} 基线模型。二者共享同一主参数 $ \boldsymbol \eta $ ，因而可以直接比较相位连续性对 \gls { doa} --Doppler 信息保留能力的影响。
至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref { sec:A7_ dynDoaDopplerCrb} 对应\gls { cp} /放松 \gls { cp} 模型，本附录对应\gls { ip} 基线模型。二者共享同一主参数 $ \boldsymbol \eta $ ，因而可以直接比较相位连续性对 \gls { doa} --Doppler 信息保留能力的影响。
\subsection { 全局方向与参考 Doppler 的局部误差指标}
\label { subsec:globalDirectionErrorMetrics}
上述信息矩阵以弧度及归一化 Doppler 为参数单位。为将局部界与误差指标对应，设 \eqref { eq:A7_ real_ rank_ condition} 成立，记 $ \mathbf C _ \eta = \mathcal I _ { \mathrm e } ^ { - 1 } $ ，其角度子块为 $ \mathbf C _ \xi $ 。对局部无偏估计，角度分量方差界为 $ [ \mathbf C _ \eta ] _ { 11 } $ 与 $ [ \mathbf C _ \eta ] _ { 22 } $ ；周期方位角误差须先在真值附近展开。标准差界取方差界的平方根，度单位的方差界再乘 $ ( 180 / \pi ) ^ 2 $ 。
公共方向夹角定义为 $ \theta = \arccos ( \mathbf u ^ \Tran \widehat { \mathbf u } ) $ 。在零误差处 $ \arccos $ 的普通一阶导数不可用；由单位向量的切向变化得到局部二阶度量。令 $ \mathbf U = \partial \mathbf u / \partial \boldsymbol \xi ^ \Tran $ ，则
%
\begin { equation}
\mathbf U^ \Tran \mathbf U
=\begin { bmatrix} \cos ^ 2\beta & 0\\ 0& 1\end { bmatrix}
\triangleq \mathbf W_ \xi ,
\qquad
\theta ^ 2
=\delta \boldsymbol \xi ^ \Tran \mathbf W_ \xi \delta \boldsymbol \xi
+o(\| \delta \boldsymbol \xi \| _ 2^ 2).
\label { eq:A7_ direction_ local_ metric}
\end { equation}
%
因此，小误差、局部无偏条件下，夹角均方误差的局部二阶下界为
%
\begin { equation}
B_ \theta
\triangleq \operatorname { tr} (\mathbf W_ \xi \mathbf C_ \xi )
=\cos ^ 2\beta [\mathbf C_\eta] _ { 11} +[\mathbf C_ \eta ]_ { 22} .
\label { eq:A7_ direction_ mse_ bound}
\end { equation}
%
$ B _ \theta $ 的单位为 rad$ ^ 2 $ ，对应的夹角均方根误差界为 $ \sqrt { B _ \theta } $ ；这不是对任意有限误差或有偏估计器的全局界。有偏估计的局部角度均方误差还含偏差二次项，须使用相应有偏界。在 $ \beta = \pm \pi / 2 $ 处方位角坐标退化，应在二维正交切平面基下重新参数化并构造信息，不能用退化角坐标的伪逆解释完整方向精度。
参考 Doppler 的物理单位界由 \eqref { eq:sec5_ physical_ normalized_ rates} 换算：
%
\begin { equation}
B_ { f_ { \mathrm { ref} } }
=\frac { [\mathbf C_ \eta ]_ { 33} } { (2\pi T_ { \mathrm s} )^ 2} ,
\qquad
\sqrt { B_ { f_ { \mathrm { ref} } } }
=\frac { \sqrt { [\mathbf C_ \eta ]_ { 33} } } { 2\pi T_ { \mathrm s} } .
\label { eq:A7_ physical_ doppler_ bound}
\end { equation}
%
两者单位分别为 Hz$ ^ 2 $ 与 Hz。若另报告未知参考 rate 的精度，应从消去幅相干扰后的扩展四维协方差 $ \mathbf C _ { \mathrm { ext } } $ 取第 $ 4 $ 个对角元，再除以 $ ( 2 \pi T _ { \mathrm s } ^ 2 ) ^ 2 $ ；
导数实现若采用度、Hz 与 Hz/s，可用一次参数变换统一核对。令
%
\begin { equation}
\begin { aligned}
\boldsymbol z
& =[\alpha _ { \mathrm { deg} } ,\beta _ { \mathrm { deg} } ,f_ { \mathrm { ref} } ,\dot f_ { \mathrm { ref} } ]^ \Tran ,\\
\boldsymbol \eta _ { \mathrm { ext} } & =\mathbf S\boldsymbol z,\qquad
\mathbf S=\operatorname { diag} \left (\frac { \pi } { 180} ,\frac { \pi } { 180} ,
2\pi T_ { \mathrm s} ,2\pi T_ { \mathrm s} ^ 2\right ),\\
\mathbf J_ z& =\mathbf J_ { \eta _ { \mathrm { ext} } } \mathbf S,\qquad
\mathcal I_ z=\mathbf S^ \Tran \mathcal I_ { \eta _ { \mathrm { ext} } } \mathbf S,\qquad
\mathbf C_ z=\mathbf S^ { -1} \mathbf C_ { \mathrm { ext} } \mathbf S^ { -\Tran } .
\end { aligned}
\label { eq:A7_ parameter_ unit_ transform}
\end { equation}
%
K 配置删除 rate 行列即可；这些关系要求比较同一均值模型、同一工作点和同一干扰参数配置。
