fix(app-F): 修正全局方向信息投影与误差指标
用实化干扰切空间统一 CP/IP 的 Schur 补与秩判据，明确放松 CP 与 IP 的等价条件。 补充传播方向符号、固定方向 rate 映射、参数单位及球面局部误差度量。
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-48
@@ -33,6 +33,20 @@
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并将 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 作为干扰参数处理。为避免重复建模，这里只保留 \gls{crb} 推导所需的最小定义、导数记号与 \gls{fim}/\gls{efim} 结构。
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用 K/U 分别标记参考 Doppler rate 已知/未知，三种配置均保留相同的三维主参数。在幅度严格为正的局部工作点，影响均值的干扰参数与实维数为
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\begin{equation}
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\begin{array}{c|c|c}
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\text{配置} & \text{干扰参数} & \text{实维数}\\ \hline
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\text{CP-K} & \{\chi_\ell\},\{\rho_{\ell,p}\} & L+LP\\
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\text{CP-U} & \dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\chi_\ell\},\{\rho_{\ell,p}\} & 1+L+LP\\
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\text{IP-U} & \dot\nu_{\mathrm{ref}},\{\vartheta_{\ell,p}\},\{\rho_{\ell,p}\} & 1+2LP
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\end{array}
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\label{eq:A7_parameter_dimensions}
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\end{equation}
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若各星噪声方差未知，完整干扰参数另增加 $L$ 维，与均值参数 Fisher 块解耦。复增益已由幅度与相位表示，不再额外引入一组独立复路径增益；K 配置固定的是参考 rate，各星相对 rate 仍通过全局方向变化。
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\subsubsection{沿用正文模型的最小定义与导数记号}
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沿用第~\ref{subsec:dynamicCpModel} 小节中的\gls{cp} 模板与块级向量化方式。对任意卫星 $\ell=0,\ldots,L-1$ 与帧 $p=0,\ldots,P-1$，定义\gls{cp} 模板
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@@ -112,6 +126,24 @@
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其中已利用正文中的几何参数化：$\dfrac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1$，$\dfrac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}=1$。这里的显式导数采用正文中的加性参考星参数化，$\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 且 $\dot\nu_\ell=\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$；若改用一般映射，只需将上述两个导数替换为对应链式法则项。
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对固定方向模型，角度导数可直接由 \eqref{eq:sec3_dnu_projection} 与 \eqref{eq:sec5_relative_rate_fixed_direction} 给出：
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\begin{equation}
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\begin{aligned}
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\frac{\partial\nu_\ell}{\partial x}
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&=\frac{2\pi T_{\mathrm s}\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
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\Delta\mathbf v_\ell^\Tran\frac{\partial\mathbf u}{\partial x},\\
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\frac{\partial\dot\nu_\ell}{\partial x}
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&=\frac{2\pi T_{\mathrm s}^2\epsilon_D}{\lambda_{\mathrm c}}
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(\Delta\mathbf a_\ell^{\mathrm{orb}})^\Tran
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\frac{\partial\mathbf u}{\partial x},
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\qquad x\in\{\alpha,\beta\}.
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\end{aligned}
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\label{eq:A7_direction_doppler_derivatives}
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\end{equation}
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所有角度导数以弧度为自变量，$\epsilon_D=-1$；旋转矩阵及参考时刻星历在求参数导数时保持已知。空间导数由 \eqref{eq:A6_uloc_jac} 与 \eqref{eq:sec3_propagation_steering} 直接链式计算，可避免在局部角极点处使用 atan2/arcsin 导数。
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于是空时模板对主参数与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数分别为
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\begin{equation}
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@@ -224,7 +256,7 @@
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\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\triangleq \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}e^{j\chi_\ell},\qquad \rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}\in\mathbb R_{\ge0}.
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\end{equation}
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在常规局部 \gls{crb} 推导中默认真实工作点满足 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}>0$，从而幅度--相位参数化在该点局部可微且相位参数可辨识；若某些块的幅度为零，则对应相位不可辨识，应在数值实现中删除该相位列或采用广义逆形式的 \gls{efim}。
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在常规局部 \gls{crb} 推导中默认真实工作点满足 $\rho_{\ell,p}^{\mathrm{cp}}>0$，从而幅度参数位于非负约束的内部。同星公共相位仍可由该星其他非零幅度块提供信息，不能仅因一个块幅度为零就删除该星相位列；若该星所有块幅度均为零，其公共相位列才整体为零。零幅度边界须另行分析约束与可辨识性，不能仅靠广义逆恢复常规局部 \gls{crb}。
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则第 $(\ell,p)$ 个观测块的均值为
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\begin{equation}
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@@ -346,7 +378,7 @@
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\label{eq:A7_Ieff_cp}
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\end{equation}
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其中 \eqref{eq:A7_Ieff_cp} 默认 $\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}$ 在考虑的局部工作点非奇异。若由于低信噪比、零幅度块或几何退化导致干扰参数块秩亏，则数值仿真中应将 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{-1}$ 替换为 Moore--Penrose 广义逆 $\big(\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}\big)^{\dagger}$，并将所得结果解释为广义 \gls{efim}。
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其中 \eqref{eq:A7_Ieff_cp} 默认 $\mathcal I_{\psi\psi}^{\mathrm{cp}}$ 在考虑的局部工作点非奇异。若内部工作点存在冗余干扰方向，可按实切空间投影使用 Moore--Penrose 广义逆构造广义 Schur 补，见 \eqref{eq:A7_efim_projection_interpret}。在正定噪声协方差下，有限信噪比降低本身不改变精确秩，数值病态须与结构性秩亏区分。从 \gls{efim} 求完整主参数的逆还须满足 \eqref{eq:A7_real_rank_condition}。
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从而其 \gls{crb} 为
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\begin{equation}
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@@ -499,7 +531,7 @@
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\zeta_{\ell,p}^{\mathrm{cp,rel}}=\zeta^{(r)}_{\ell,p}+j\zeta^{(i)}_{\ell,p}.
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\end{equation}
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这里模板仍然是 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，因此该模型只是放松了块复系数结构，并未放弃跨帧\gls{cp} 模板。
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这里模板仍然是 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，但自由块复系数可以吸收每帧常相位；保留绝对时间模板不再保留结构化 \gls{cp} 的同星公共相位约束。该放松模型与 \gls{ip} 的参数对应见 \eqref{eq:A8_rel_ip_equivalence}。
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令扩展参数向量为
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@@ -681,26 +713,43 @@
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\mathbf R_n^{-1/2}\mathbf J_{\psi}
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\end{equation}
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为白化 Jacobian。则 Schur 补可写成
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为白化 Jacobian。由于主参数与干扰参数均为实参数，先定义实化矩阵
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\begin{equation}
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\mathbf A\triangleq
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\begin{bmatrix}\Re\{\bar{\mathbf J}_{\eta}\}\\\Im\{\bar{\mathbf J}_{\eta}\}\end{bmatrix},
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\qquad
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||||
\mathbf B\triangleq
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||||
\begin{bmatrix}\Re\{\bar{\mathbf J}_{\psi}\}\\\Im\{\bar{\mathbf J}_{\psi}\}\end{bmatrix}.
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\label{eq:A7_realified_jacobians}
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\end{equation}
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完整均值参数的 Fisher 信息为 $2[\mathbf A,\mathbf B]^\Tran[\mathbf A,\mathbf B]$。对干扰参数执行 Schur 补得到
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\begin{equation}
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\mathcal I_{\mathrm{e}}
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=
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2\Re\left\{
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||||
\bar{\mathbf J}_{\eta}^{\Herm}
|
||||
\mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
|
||||
\bar{\mathbf J}_{\eta}
|
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\right\},
|
||||
2\mathbf A^\Tran\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A,
|
||||
\qquad
|
||||
\mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
|
||||
\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}
|
||||
=
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||||
\mathbf I-
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||||
\bar{\mathbf J}_{\psi}
|
||||
\left(\bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}\bar{\mathbf J}_{\psi}\right)^{\dagger}
|
||||
\bar{\mathbf J}_{\psi}^{\Herm}.
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||||
\mathbf I-\mathbf B\mathbf B^\dagger.
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\label{eq:A7_efim_projection_interpret}
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\end{equation}
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实化保证干扰扰动的系数为实数。直接向 $\bar{\mathbf J}_{\psi}$ 的复列空间正交补投影，一般会扩大可消去的干扰空间；只有被消去的实切空间本身对乘以 $j$ 封闭时，才可改用复投影，例如逐块自由复增益的实部与虚部成对消元。结构化 \gls{cp} 的实幅度、共享相位及实值 Doppler rate 须按 \eqref{eq:A7_efim_projection_interpret} 处理。
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一个最小检验是已知方向与 rate 的单星两帧模型：各帧仅在时间索引 $0,1$ 处观测一个样本，幅度真值均为 $1$，公共相位及参考 Doppler 真值均为 $0$，噪声复方差为 $1$。对参数 $(\nu,\rho_0,\rho_1,\chi)$ 的均值 Jacobian 为
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\begin{equation}
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\mathbf J=\begin{bmatrix}0&1&0&j\\j&0&1&j\end{bmatrix},
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\qquad
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||||
\mathcal I_{\nu,\mathrm e}=2-\frac{2^2}{4}=1.
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\label{eq:A7_real_projection_counterexample}
|
||||
\end{equation}
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%
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若错误地将两个实幅度列按复系数投影，它们已张成整个 $\mathbb C^2$，会得到零信息，丢失两帧相位差对 Doppler 的约束。
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因此，对任意实扰动 $\delta\boldsymbol\eta$，有
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%
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\begin{equation}
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@@ -709,8 +758,7 @@
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\delta\boldsymbol\eta
|
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=
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2\left\|
|
||||
\mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
|
||||
\bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
|
||||
\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\delta\boldsymbol\eta
|
||||
\right\|_2^2.
|
||||
\label{eq:A7_efim_quadratic_projection}
|
||||
\end{equation}
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@@ -722,8 +770,7 @@
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\quad\Longleftrightarrow\quad
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||||
\exists\ \delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0,
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||||
\quad
|
||||
\mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
|
||||
\bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
|
||||
\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\delta\boldsymbol\eta
|
||||
=
|
||||
\mathbf 0,
|
||||
\label{eq:A7_exact_absorbed_direction}
|
||||
@@ -732,46 +779,51 @@
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也即
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%
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\begin{equation}
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\bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
|
||||
\mathbf A\delta\boldsymbol\eta
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\in
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\operatorname{range}(\bar{\mathbf J}_{\psi}).
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\operatorname{range}_{\mathbb R}(\mathbf B).
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\label{eq:A7_range_absorbed_direction}
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\end{equation}
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近奇异情形对应于
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\begin{equation}
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\bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
|
||||
\mathbf A\delta\boldsymbol\eta
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\approx
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||||
\bar{\mathbf J}_{\psi}\delta\boldsymbol\psi,
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||||
\mathbf B\delta\boldsymbol\psi,
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||||
\qquad \delta\boldsymbol\psi\in\mathbb R^{\dim\boldsymbol\psi_\mu},
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||||
\label{eq:A7_near_nuisance_absorption}
|
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\end{equation}
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即主参数扰动产生的一阶均值变化可以由干扰参数扰动近似表示。
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即主参数扰动产生的一阶均值变化可以由实干扰参数扰动近似表示。对本节三个主参数，常规局部 \gls{crb} 存在的条件为
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\begin{equation}
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\operatorname{rank}\big(\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\big)=3.
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\label{eq:A7_real_rank_condition}
|
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\end{equation}
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%
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只有满足 \eqref{eq:A7_real_rank_condition} 才能将 $\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$ 解释为完整主参数的局部无偏协方差下界。若秩亏，应报告不可辨识方向；$\mathcal I_{\mathrm e}^{\dagger}$ 只用于满足相应可估条件的函数或已声明约束下的子空间，不能把零特征值方向解释为零误差界。
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为了把这种近似表示写成可度量的量，定义最小投影角
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\begin{equation}
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\sin^2\theta_{\min}
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\triangleq
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||||
\min_{\delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0}
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||||
\min_{\mathbf A\delta\boldsymbol\eta\neq\mathbf 0}
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||||
\frac{
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\left\|
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||||
\mathcal P_{\bar{\mathbf J}_{\psi}}^{\perp}
|
||||
\bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
|
||||
\mathcal P_{\mathbf B}^{\perp}\mathbf A\delta\boldsymbol\eta
|
||||
\right\|_2^2
|
||||
}{
|
||||
\left\|
|
||||
\bar{\mathbf J}_{\eta}\delta\boldsymbol\eta
|
||||
\mathbf A\delta\boldsymbol\eta
|
||||
\right\|_2^2
|
||||
}.
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||||
\label{eq:A7_min_projection_angle}
|
||||
\end{equation}
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%
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式~\eqref{eq:A7_efim_quadratic_projection} 表明，\gls{efim} 在某个方向上的有效信息正比于该方向
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得分在干扰子空间正交补上的残余能量。因此，当 $\theta_{\min}\approx0$ 时，
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$\mathcal I_{\mathrm{e}}$ 会出现小特征值；若同时多星几何使其他方向的信息快速增加，
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则 $\kappa(\mathcal I_{\mathrm{e}})$ 会显著变大。
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得分在实干扰子空间正交补上的残余能量。定义域排除了零原始得分；若存在非零 $\delta\boldsymbol\eta$ 使 $\mathbf A\delta\boldsymbol\eta=\mathbf0$，则已直接违反 \eqref{eq:A7_real_rank_condition}。$\theta_{\min}$ 衡量相对于原始得分能量的信息损失比例，实际小特征值还取决于得分尺度；比较条件数时应先统一参数单位并声明尺度归一化。
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||||
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接下来把上述投影解释专门用于 \gls{doa}--Doppler 耦合。将 \gls{efim} 按
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$\boldsymbol\eta=[\boldsymbol\xi^\Tran,\nu_{\mathrm{ref}}]^\Tran$ 分块为
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@@ -1441,12 +1493,20 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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\subsubsection{与 A7 中放松连续相位结果的关系}
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式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 给出的扩展 \gls{fim}的投影型结构与\appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 中 放松 \gls{cp} 模型的结果形式一致，但两者对应的\emph{时间模板不同}：
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\begin{itemize}
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\item \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 使用的是\gls{cp} 模板 $\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}$，其中通过 $t_{p,t}=\tau_p+t$ 保留了跨帧绝对相位连续性；
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||||
\item 本附录使用的是\gls{ip} 模板 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$，其中帧间常相位项已被 $\vartheta_{\ell,p}$ 吸收，只保留帧内局部相位演化。
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||||
\end{itemize}
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||||
因此，两类模型的差异不在 Schur 补的代数形式本身，而在模板里是否保留跨帧连续相位结构。这也正是正文中``\gls{cp} vs.~\gls{ip}''对比的统计本质。
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||||
在相同 Doppler/rate 映射、噪声和采样配置下，放松 \gls{cp} 与 \gls{ip} 的模板只相差块常相位：
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%
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\begin{equation}
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\begin{aligned}
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||||
c_{\ell,p}&\triangleq\nu_\ell\tau_p+\frac{1}{2}\dot\nu_\ell\tau_p^2,\\
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||||
\mathbf g^{\mathrm{cp}}_{\ell,p}&=e^{jc_{\ell,p}}\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p},
|
||||
\qquad
|
||||
\zeta^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}
|
||||
=\zeta^{\mathrm{cp,rel}}_{\ell,p}e^{jc_{\ell,p}}.
|
||||
\end{aligned}
|
||||
\label{eq:A8_rel_ip_equivalence}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
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||||
自由复增益使 \eqref{eq:A8_rel_ip_equivalence} 成为可逆的干扰参数重参数化。对主参数求导产生的附加项 $j\left(\dfrac{\partial c_{\ell,p}}{\partial x}\right)\mathbf g_{\ell,p}$ 落在块复增益的干扰切空间内，消元后两种写法给出相同的扩展 \gls{efim}，进一步消去 rate 后也相同。结构化 \gls{cp} 则限制同星各帧共享相位，不能逐块吸收这些常相位；其与 \gls{ip} 的信息差异来自这一约束。
|
||||
|
||||
从 \gls{efim} 病态的角度看，\gls{ip} 模型与 放松 \gls{cp} 模型共享同一类投影解释。若定义白化 Jacobian
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%
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||||
@@ -1462,25 +1522,20 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$，则
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||||
\frac{\partial\boldsymbol\mu^{\mathrm{ip}}}{\partial\boldsymbol\psi^{\mathrm{ip}}_{\mu}},
|
||||
\end{equation}
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||||
%
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||||
则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 等价于
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||||
将这些矩阵按 \eqref{eq:A7_realified_jacobians} 实化为 $\mathbf A^{\mathrm{ip}}$ 与 $\mathbf B^{\mathrm{ip}}$，则式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的广义 Schur 补形式为
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||||
%
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||||
\begin{equation}
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||||
\mathcal I^{\mathrm{ip}}_{\mathrm{e}}
|
||||
=
|
||||
2\Re\left\{
|
||||
(\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta})^{\Herm}
|
||||
\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}
|
||||
\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}
|
||||
\right\}.
|
||||
2(\mathbf A^{\mathrm{ip}})^\Tran
|
||||
\big(\mathbf I-\mathbf B^{\mathrm{ip}}(\mathbf B^{\mathrm{ip}})^\dagger\big)
|
||||
\mathbf A^{\mathrm{ip}}.
|
||||
\label{eq:A8_IP_EFIM_projection}
|
||||
\end{equation}
|
||||
%
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||||
因此，\gls{ip} 模型下的弱可辨识方向仍由
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||||
$\mathcal P^{\perp}_{\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\psi}}\bar{\mathbf J}^{\mathrm{ip}}_{\eta}$
|
||||
的秩和最小奇异方向决定。与 A7 中的 放松 \gls{cp} 模型相比，二者的主要区别不在
|
||||
Schur 补代数形式，而在 $\mathbf g^{\mathrm{ip}}_{\ell,p}$ 使用局部时间索引并允许每个
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||||
$(\ell,p)$ 块具有独立相位 $\vartheta_{\ell,p}$。这些自由相位会吸收跨帧绝对相位所携带的公共
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||||
Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合，而是构成一个更保守的相干性基线。
|
||||
$\mathcal P^{\perp}_{\mathbf B^{\mathrm{ip}}}\mathbf A^{\mathrm{ip}}$
|
||||
的实秩和最小奇异方向决定。仅消去逐块自由复增益时，式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_block_eff} 的复投影是合法简化；将实值 rate 一并消去时须使用实 Schur 补或 \eqref{eq:A8_IP_EFIM_projection}，完整主参数求逆仍需满足 \eqref{eq:A7_real_rank_condition}。在相同工作点，放开结构化 \gls{cp} 的公共相位约束只会减少或保持有效信息；这不意味着每个归一化耦合系数都会单调增大。
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||||
|
||||
|
||||
\subsubsection{关于噪声方差参数的说明}
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@@ -1495,4 +1550,64 @@ Doppler 截距信息，因此通常不会缓解 \gls{doa}--Doppler--rate 耦合
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%
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||||
因此，将 $\sigma_\ell$ 视为未知量不会改变式~\eqref{eq:A8_IP_FIM_etadotnu} 与式~\eqref{eq:A8_IP_EFIM_eta} 的形式，只是在完整 \gls{fim}中附加一个与其他参数解耦的对角块。
|
||||
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||||
至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应\gls{cp}/放松 \gls{cp} 模型，本附录对应\gls{ip} 基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。
|
||||
至此，动态多帧主线的两类性能界已经形成闭环： \appref{sec:A7_dynDoaDopplerCrb} 对应\gls{cp}/放松 \gls{cp} 模型，本附录对应\gls{ip} 基线模型。二者共享同一主参数 $\boldsymbol\eta$，因而可以直接比较相位连续性对 \gls{doa}--Doppler 信息保留能力的影响。
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||||
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||||
\subsection{全局方向与参考 Doppler 的局部误差指标}
|
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\label{subsec:globalDirectionErrorMetrics}
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上述信息矩阵以弧度及归一化 Doppler 为参数单位。为将局部界与误差指标对应，设 \eqref{eq:A7_real_rank_condition} 成立，记 $\mathbf C_\eta=\mathcal I_{\mathrm e}^{-1}$，其角度子块为 $\mathbf C_\xi$。对局部无偏估计，角度分量方差界为 $[\mathbf C_\eta]_{11}$ 与 $[\mathbf C_\eta]_{22}$；周期方位角误差须先在真值附近展开。标准差界取方差界的平方根，度单位的方差界再乘 $(180/\pi)^2$。
|
||||
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||||
公共方向夹角定义为 $\theta=\arccos(\mathbf u^\Tran\widehat{\mathbf u})$。在零误差处 $\arccos$ 的普通一阶导数不可用；由单位向量的切向变化得到局部二阶度量。令 $\mathbf U=\partial\mathbf u/\partial\boldsymbol\xi^\Tran$，则
|
||||
%
|
||||
\begin{equation}
|
||||
\mathbf U^\Tran\mathbf U
|
||||
=\begin{bmatrix}\cos^2\beta&0\\0&1\end{bmatrix}
|
||||
\triangleq\mathbf W_\xi,
|
||||
\qquad
|
||||
\theta^2
|
||||
=\delta\boldsymbol\xi^\Tran\mathbf W_\xi\delta\boldsymbol\xi
|
||||
+o(\|\delta\boldsymbol\xi\|_2^2).
|
||||
\label{eq:A7_direction_local_metric}
|
||||
\end{equation}
|
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因此，小误差、局部无偏条件下，夹角均方误差的局部二阶下界为
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\begin{equation}
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B_\theta
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\triangleq\operatorname{tr}(\mathbf W_\xi\mathbf C_\xi)
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=\cos^2\beta[\mathbf C_\eta]_{11}+[\mathbf C_\eta]_{22}.
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\label{eq:A7_direction_mse_bound}
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\end{equation}
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$B_\theta$ 的单位为 rad$^2$，对应的夹角均方根误差界为 $\sqrt{B_\theta}$；这不是对任意有限误差或有偏估计器的全局界。有偏估计的局部角度均方误差还含偏差二次项，须使用相应有偏界。在 $\beta=\pm\pi/2$ 处方位角坐标退化，应在二维正交切平面基下重新参数化并构造信息，不能用退化角坐标的伪逆解释完整方向精度。
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参考 Doppler 的物理单位界由 \eqref{eq:sec5_physical_normalized_rates} 换算：
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\begin{equation}
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B_{f_{\mathrm{ref}}}
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=\frac{[\mathbf C_\eta]_{33}}{(2\pi T_{\mathrm s})^2},
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\qquad
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\sqrt{B_{f_{\mathrm{ref}}}}
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=\frac{\sqrt{[\mathbf C_\eta]_{33}}}{2\pi T_{\mathrm s}}.
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\label{eq:A7_physical_doppler_bound}
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\end{equation}
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两者单位分别为 Hz$^2$ 与 Hz。若另报告未知参考 rate 的精度，应从消去幅相干扰后的扩展四维协方差 $\mathbf C_{\mathrm{ext}}$ 取第 $4$ 个对角元，再除以 $(2\pi T_{\mathrm s}^2)^2$；rate 已知时不报告其估计方差。
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导数实现若采用度、Hz 与 Hz/s，可用一次参数变换统一核对。令
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\begin{equation}
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\begin{aligned}
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\boldsymbol z
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&=[\alpha_{\mathrm{deg}},\beta_{\mathrm{deg}},f_{\mathrm{ref}},\dot f_{\mathrm{ref}}]^\Tran,\\
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\boldsymbol\eta_{\mathrm{ext}}&=\mathbf S\boldsymbol z,\qquad
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\mathbf S=\operatorname{diag}\left(\frac{\pi}{180},\frac{\pi}{180},
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2\pi T_{\mathrm s},2\pi T_{\mathrm s}^2\right),\\
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\mathbf J_z&=\mathbf J_{\eta_{\mathrm{ext}}}\mathbf S,\qquad
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\mathcal I_z=\mathbf S^\Tran\mathcal I_{\eta_{\mathrm{ext}}}\mathbf S,\qquad
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\mathbf C_z=\mathbf S^{-1}\mathbf C_{\mathrm{ext}}\mathbf S^{-\Tran}.
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\end{aligned}
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\label{eq:A7_parameter_unit_transform}
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\end{equation}
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K 配置删除 rate 行列即可；这些关系要求比较同一均值模型、同一工作点和同一干扰参数配置。
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