fix: 行内独立导数改用 \dfrac

行内单个独立的导数斜杠 ∂f/∂x 堆成 \dfrac{∂f}{∂x}(更易读):D682/839、E203/239/259、F116/466/1205、H151/311、G17/27 共 18 处。链式连乘(E318)、Kronecker 装配(G54)、矩阵条目(G50/98/99)、算子记号(A528/H177)、记号定义(E159)仍留斜杠。
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@@ -113,7 +113,7 @@
\label{eq:A7_qgamma_cp}
\end{equation}
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其中已利用正文中的几何参数化:$\partial \nu_\ell/\partial \nu_{\mathrm{ref}}=1$,$\partial \dot\nu_\ell/\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}=1$。这里的显式导数采用正文中的加性参考星参数化,$\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 且 $\dot\nu_\ell=\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$;若改用一般映射,只需将上述两个导数替换为对应链式法则项。
其中已利用正文中的几何参数化:$\dfrac{\partial \nu_\ell}{\partial \nu_{\mathrm{ref}}}=1$,$\dfrac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}=1$。这里的显式导数采用正文中的加性参考星参数化,$\nu_\ell=\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$ 且 $\dot\nu_\ell=\dot\nu_{\mathrm{ref}}+\Delta\dot\nu_\ell(\boldsymbol\xi)$;若改用一般映射,只需将上述两个导数替换为对应链式法则项。
于是空时模板对主参数与 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的导数分别为
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@@ -463,7 +463,7 @@
\label{eq:A7_ref_link_mapping_no_xi}
\end{equation}
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因此 $\partial \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial x=0$ 且 $\partial \dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}/\partial x=0$ 对 $x\in\{\alpha,\beta\}$ 成立。
因此 $\dfrac{\partial \nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial x}=0$ 且 $\dfrac{\partial \dot\nu_{\ell_{\mathrm{ref}}}}{\partial x}=0$ 对 $x\in\{\alpha,\beta\}$ 成立。
由式~\eqref{eq:A7_qx_cp} 可知,reference-link 的 \gls{doa} 导数不含 Doppler-mapping-induced temporal phase derivative,而只含空间阵列导向导数。
在幅度和公共相位干扰方向被投影消去后,该 \gls{doa} score 的残差部分是与 $\mathbf a_{\ell_{\mathrm{ref}}}(\boldsymbol\xi)$ 正交的空间切向量;相反,$\nu_{\mathrm{ref}}$ 和 $\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 的残差 score 仍具有沿 reference steering vector 的时间相位结构。
在标准窄带阵列流形下,二者的 Fisher 内积为零,因此式~\eqref{eq:A7_SS_xi_rate_orthogonality_condition} 成立。
@@ -483,7 +483,7 @@
\ell\neq\ell_{\mathrm{ref}}.
\end{equation}
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此时 \gls{doa} 导数包含由 $\partial\Delta\nu_\ell/\partial x$ 与 $\partial\Delta\dot\nu_\ell/\partial x$ 诱导的时间相位分量。
此时 \gls{doa} 导数包含由 $\dfrac{\partial\Delta\nu_\ell}{\partial x}$ 与 $\dfrac{\partial\Delta\dot\nu_\ell}{\partial x}$ 诱导的时间相位分量。
因此,$\mathbf i_{\xi\dot\nu}$ 和 $\mathbf a_{\xi\nu}^{\mathrm K}$ 一般不再严格为零,known-rate 与 unknown-rate \gls{doa} \gls{crb} 的完全相等性也不应被作为一般结论。
若数值上 multi-satellite \gls{doa} bound 仍与 known-rate benchmark 基本重合,更稳妥的解释是:在所选 representative geometry 下,\gls{doa} residual score 与 residualized Doppler-rate nuisance direction 的耦合较弱。
这一定量现象适合作为 \gls{efim} accounting 的 sanity check,而不应升级为主要理论贡献。
@@ -1202,7 +1202,7 @@ $\mathcal T_{\mathrm{sub}}=\{\tau_{p_1},\ldots,\tau_{p_Q}\}$,则
\frac{\partial \dot\nu_\ell}{\partial \dot\nu_{\mathrm{ref}}}=1,
\end{equation}
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这里同样采用正文中的加性参考星参数化;若改用一般映射,则 $\partial\nu_\ell/\partial\nu_{\mathrm{ref}}$ 与 $\partial\dot\nu_\ell/\partial\dot\nu_{\mathrm{ref}}$ 应替换为对应的链式法则结果。
这里同样采用正文中的加性参考星参数化;若改用一般映射,则 $\dfrac{\partial\nu_\ell}{\partial\nu_{\mathrm{ref}}}$ 与 $\dfrac{\partial\dot\nu_\ell}{\partial\dot\nu_{\mathrm{ref}}}$ 应替换为对应的链式法则结果。
因此
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\begin{equation}